計算機數學 申論題歷屆試題與參考架構
二等考試，民國 103～115 年共 6 份試卷、49 題，其中 40 題附參考答題架構。考這一科的類科：一般警察・刑事警察人員犯罪分析組。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
Bezout’s Theorem 描述當 a,b 是正整數時，存在有兩個整數 s 和 t，使得gcd(a,b) = sa + tb，gcd(a,b)是 a,b 的最大公因數。已知 gcd(252,198) = 18，請找出 s 和 t，使得 252s + 198t = 18。（12 分）
（12 分）
參考架構・破題
本題考輾轉相除法（Euclidean algorithm）與回代求 Bezout 係數的標準流程。只要把 252 與 198 的相除過程完整寫出，再由下往上回代，即可得到 s、t。得分關鍵在「過程完整、代回驗算」，不要只寫答案。
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- 2
一個數列[1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…, ,30,…,30](30 個 30)，請問，這些數的中位數（median）為何？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
題目的數列是「數字 k 出現 k 次」，k 由 1 到 30。中位數不必真的把 465 個數逐一寫出，只要用累積次數定位中位數落在哪一個數字上。關鍵三步：算總項數、判斷奇偶決定位置、用三角形數 k(k+1)/2 找落點。
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- 3
請解下列的遞迴函數：（12 分）an = 3an-1 + 1, a0 = 1 n!
（12 分）
參考架構・破題
本題是一階常係數線性非齊次遞迴關係式的標準題型：aₙ = 3aₙ₋₁ + 1，a₀ = 1。求封閉解（closed form）可用「齊次解加特解」或「反覆展開」兩種方法，兩者應收斂到同一公式，最後一定要代入初始值驗算。
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- 4
已知，0! = 1 ! = 1，n! = 1 2 3 … n，C(n,i)= ，i !(n-i )! C(n + 1,i) = C(n,i - 1) + C(n,i)。經計算，當 n = 10 時，C(10,i), i = 0, 1, …, 10個別為 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1。請問，在 C(12,i), i = 0, …, 12這十三個數字中，有幾個一位數（也就是小於 10 的數）？有幾個二位數（也就是大於等於 10 但小於 100）？有幾個三位數？有幾個四位數？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題考二項式係數 C(n,i)=n!/(i!(n-i)!) 與巴斯卡遞迴式 C(n+1,i)=C(n,i-1)+C(n,i)。題目已給 C(10,i)，只要用遞迴式往下推兩列得到 C(12,i)，再依位數分類計數即可；重點在展示推導過程與利用對稱性 C(n,i)=C(n,n-i) 檢核。
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- 5
擲一枚公平的骰子，設隨機變數 X 為骰子出現的點數，求 X 的期望值E(X)和變異數 Var(X)。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題考離散均勻分布（discrete uniform distribution）的期望值與變異數。X 為公平骰子的點數，取 1 至 6 且各點機率皆為 1/6。作答要先寫出機率分布與定義式，再代入計算，並同時給出分數與小數兩種形式。
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- 6
某項調查指出，10%的人認為自己曾見過 UFO（幽浮） 。今隨機抽取 10 人作為樣本，求以下各項機率：（每小題 6 分，共 18 分）
（一）恰好有 1 人相信他看過 UFO。
（二）有 2 到 3 人相信他看過 UFO。
（三）至少 3 個人以上（不含 3）相信他看過 UFO。
（18 分）
參考架構・破題
本題為二項分布（binomial distribution）的標準計算題：n = 10、p = 0.1，X ~ B(10, 0.1)。三小題分別考單點機率、區間機率與尾端機率。答題先寫出模型假設與通式，再逐小題代值；尾端機率一定要用補集，不要硬加。
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- 7
使用樹圖（tree diagram）來決定集合{3,7,9,11,24}中有幾個子集合的元素總和小於 28。（12 分）
（12 分）
參考架構・破題
本題要求「用樹圖」決定 {3,7,9,11,24} 中元素總和小於 28 的子集合個數。重點不只是答案，而是要真的畫出決策樹：把 5 個元素依序決定取或不取，形成深度 5 的二元樹共 2⁵ = 32 條路徑，再用「累積和已達 28 即整枝剪掉」縮小樹的規模。
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- 8
假設學生的成績（從 0 到 100）是 normal distribution，某位老師計算出學生成績的(mean) = 50 和(standard deviation) = 10 後，依照 − 2, − , + , + 2四個數分成五份，個別給予成績為x 的學生A(x ≥ + 2)、B( + ≤ x < + 2) 、 C( − ≤ x < + ) 、 D( − 2 ≤ x < − ) 、F(x < − 2)等級。其中，D 等級的為活當，可以補考，F 等級則死當，無法補考。假設一個班級有 200 人，那麼：（每小題 8 分，共 16 分）
（一）說明如何利用下表（該表是計算 standard normal distribution） ，將學生成績換算成 standard normal distribution？
（二）計算出該班 200 名學生中，估計個別有多少人被死當？有多少人活當？（經百分比計算出人數後四捨五入） 。
（16 分）
參考架構・破題
本題考常態分配標準化 Z=(X-μ)/σ 與查標準常態表。μ=50、σ=10，五個等級的切點為 30、40、60、70；題附的表是「平均數 0 到 z 之間的面積」（例：z=1.25 時為 0.3944），所以算尾端或區間機率時要用 0.5 加減，這是本題關鍵。
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108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設 G 為一無向權重圖（Undirected Weighted Graph），若 G 的邊上權重值（Edge Weight）均不相同，G 的最小擴張樹（Minimum Spanning Tree）是否為唯一。若不是，請舉例說明；若是請說明其理由。（10 分）
（10 分）
- 2
集合 S n = {1, 2, ..., n }，若 an 代表 Sn 子集合中不含連續數字的全部子集合個數（不含空集合） 。請用遞迴關係式表示 an 及給予初始值。（10 分）
（10 分）
- 3
F(x,y)代表邏輯敘述（Statement）「x 可以欺騙 y」，請用邏輯關係式（Logical Expression）表示下列敘述「有一些人是不會被任何人欺騙的」。（10 分）
（10 分）
- 4
8 個不同的球，丟到 3 個不同的盒子，每個盒子至少有一個球，共有多少種不同的方法？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
不同的球放進不同的盒子、每盒至少一球，就是計算 8 元集合映到 3 元集合的「映成函數（onto）」個數，用排容原理或第二類 Stirling 數求解，答案 5796 種。
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- 5
一袋中有 4 個紅色球 4 個藍色球，若每次從袋中取出 2 個球後，不放回球袋中，總共可取 4 次，每次取出都是 1 個紅色球及 1 個藍色球的機率為何？（10 分）
（10 分）
- 6
擲一公平硬幣 50 次，用中央極限定理（Central Limit Theorem）估算硬幣正面出現低於 20 次的機率，解答僅需列出數學公式。 （10 分）
（10 分）
- 7
重複丟一骰子，若丟出的數字為 6 則立即停止。若丟出的骰子數字為 k，1 ≤ k ≤ 5 ，則等待 k 分鐘後再丟此骰子。從開始丟骰子到停止丟骰子，預期要花多少時間？（10 分）
（10 分）
- 8
連續隨機變數（Continuous Random Variables）X, Y 的聯合機率密度函數（Joint Probability Density Function）定義如下：⎧1 / x if 0 < y < x < 1 f x, y = ⎨ ⎩0 otherwise
（一）計算 E[X]。（5 分）
（二）計算 E[Y]。（5 分）
（10 分）
參考架構・破題
先由聯合密度畫出支撐區域 0 < y < x < 1（三角形），求邊際密度或直接做二重積分；積分上下限是唯一關鍵，答案 E[X] = 1/2、E[Y] = 1/4。
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- 9
一間成衣生產工廠生產的成衣有 5%是有瑕疵的，倘若隨機抽取 475 件成衣做為樣本，瑕疵的比例介於 4%到 6%之間的機率是多少？解答僅需列出數學公式。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
樣本瑕疵比例 p̂ 在 n 大時近似常態（中央極限定理），先算 p̂ 的平均與標準誤，本題數字設計得剛好標準誤為 0.01，所求即 P(−1 < Z < 1)。
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- 10
新聞報導「成功訪問了 950 人，在 95%的信心水準下，有 62%的人覺得今年 2 月份的氣候較往年溫暖，抽樣誤差在 3.3%之內」，說明此段話所指「信心水準」 、「抽樣誤差」之意義。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
此題考區間估計的兩個核心概念：信心水準是「方法」長期的命中率，抽樣誤差是估計值上下的誤差界限（margin of error）。要用題目的數字具體說明，並點出常見誤解。
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
試利用數學歸納法（Mathematical Induction）證明：當 n≧1 時，n < 2n。（8 分）
（8 分）
參考架構・破題
題目應為證明 n < 2^n（2 的 n 次方，轉檔時上標遺失）。依數學歸納法標準三步驟：基礎步驟、歸納假設、歸納步驟，關鍵在證明 k + 1 < 2^(k+1)。
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- 2
遞迴式 an－3an－1 = 2－2n2，a0 = 1，求 an。（12 分）
（12 分）
參考架構・破題
題目應為 an − 3an−1 = 2 − 2n²（n² 為平方，轉檔時上標遺失），屬一階常係數線性非齊次遞迴：通解＝齊次解＋特解，再由 a0 = 1 定常數，答案 an = n² + 3n + 2 − 3^n。
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- 3
試求 x1＋x2＋x3＋x4=30 有幾組正整數解，若
（一） xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4。（5 分）
（二） 2 ≤ x1≤ 7 以及 xi ≥ 0 , i = 2, 3, 4。（5 分）
（三） xi ≥ i − 1, i = 1, 2, 3, 4。（5 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題為「整數方程式解的個數」，核心工具是重複組合（星棒法，stars and bars）：x1＋x2＋…＋xk＝n 的非負整數解個數為 C(n＋k－1, k－1)。有下界時先做變數代換化成非負，有上界時用補集（排容原理）扣掉。注意題幹寫「正整數解」，但三小題條件都是 xi ≥ 0 或更寬的下界，應依小題條件解題，並在答案中說明採用的是各小題所列條件。
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- 4
投擲兩個公平骰子，若 E 代表此二骰子點數和是 7 點，F 代表第一顆骰子為 3 點，G 代表第二顆骰子為 4 點，試問：（一） E 與 F 是否獨立？（4 分）（二） E 與 G 是否獨立？（4 分）
（三） E 與 FG 是否獨立？（4 分）
（12 分）
參考架構・破題
本題考事件獨立的定義：P(E∩F)＝P(E)P(F)。重點在於「兩兩獨立不保證對交集事件獨立」，第（三）小題就是這個經典反例。先列出樣本空間 36 個等機率結果，再逐一計算機率。
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- 5
假設某工廠有 A, B, C 三條 IC 生產線，其產量分別占總量之 25%, 35%及 40%。另外，產品中壞的機率分別占 5%, 4%及 2%。試問：
（一）任取一 IC，其壞的機率為何？（4 分）
（二）接著（一），來自 A, B, C 三條 IC 生產線的機率分別為何？（12 分）
（16 分）
參考架構・破題
本題是全機率定理與貝氏定理的標準應用：第（一）小題用全機率定理求不良率，第（二）小題在「已知取到不良品」的條件下，用貝氏定理反推來自各生產線的後驗機率。題目寫「接著（一）」，應理解為在該 IC 為壞品的條件下計算。
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- 6
令 X 表示某一電子管的壽命（以小時計） 。假設 X 是連續隨機變數，其機率密度函數(pdf) k為 f ( x) = 2 , 2000 ≤ x ≤ 10000，試求：（一） k 值？（4 分）（二）其累積分布函數(cdf)？（4 分）x
（三）電子管在 5000 小時之前損壞的機率是多少？（4 分）（四）電子管在 6000 小時之後繼續工作的機率是多少？（4 分）
（16 分）
參考架構・破題
題目的機率密度函數經轉檔後排版錯亂，依常見題型應為 f(x)＝k／x²，2000 ≤ x ≤ 10000（其餘為 0）。解題主軸：用「全區間積分為 1」求 k，再積分得累積分布函數，最後以 CDF 計算區間機率。作答時宜先寫明所採用的密度函數。
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- 7
若某工廠之產量平均 500 個：（一）利用 Markov inequality，求某日產量超過 1000 個之機率是多少？（5 分）（二）若其日產量之變異數為 100 個，利用 Chebyshev inequality求某日產量介於 40 至 60 個之機率是多少？（5 分）107年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及 全一張107年特 種 考 試 交 通 事 業 鐵 路 人 員 考 試 試 題 （背面）考 試 別：一般警察人員考試等 別：二等考試類 科 別：刑事警察人員犯罪分析組
（10 分）
參考架構・破題
本題考兩個機率不等式：Markov 不等式以期望值界定非負隨機變數的尾端機率，Chebyshev 不等式以期望值與變異數界定偏離平均的機率。重點是寫對不等式的形式與適用條件，再代數值。須注意本題數據有疑義：平均 500 個，卻問產量介於 40 至 60 個，原題第（二）小題的平均很可能是 50 個，作答時應說明假設。
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- 8
（一）請解釋何謂「中央極限定理（Central Limit Theorem）」？（5 分）（二）假設燈泡之壽命為指數分布，期望值為 10 天，利用下列常態分布（Normal distribution）值表，求一年（365 天）中需要 50 個以上燈泡之機率？（6 分）Area Φ(x) under the Standard Normal Curve to the Left of x
（11 分）
參考架構・破題
第（一）小題要說明中央極限定理的條件與結論；第（二）小題把「一年需要 50 個以上燈泡」轉換成「前 49 個燈泡壽命總和小於 365 天」，再以中央極限定理用常態分布近似。題目附的常態分布表未隨題收錄，下列數值依標準常態分布查得。
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
求遞迴式 2an = nan-1 + 3 · n! , n ≥ 1 , a0 = 5 之解 an。（式中階乘 n! = n n - 1 …· 2 · 1）（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
遞迴式 2an＝n·a(n－1)＋3·n!，係數含 n，直接用特徵方程不適用。關鍵是兩邊同除 n!，令 cn＝an/n!，化為常係數一階線性遞迴，再求通解與特解。
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- 2
求共有幾組整數(x , y) , 0 ≤ x ≤ 1000, 滿足一次方程式 493x + 391y = 51？（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題是線性丟番圖方程式（一次不定方程）ax＋by＝c 的整數解問題：先以輾轉相除法求 gcd，判斷有解條件 gcd | c，再用擴展歐幾里得演算法求一組特解，寫出通解後依 x 的範圍計數。
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- 3
今有 A, B, C, D, E, F, G 七人，其中 A 會說英文，B 會說中文和英文，C 會說英文、韓文、俄文，D 會說日文、中文，E 會說德文、韓文，F 會說法文、日文、俄文，G 會說法文、德文，請問要如何安排七人入座於一圓桌，使得每人都能和左右兩邊的人交談？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題可建模為圖論問題：以七人為頂點，兩人有共同語言就連一條邊，「圓桌入座使每人都能與左右交談」即在此圖中找一條漢彌爾頓迴路（Hamiltonian cycle）。從限制最強（只會一種語言）的人著手推論。
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- 4
實驗室有兩獨立警報器 A 與 B，單獨使用 A 時有效之機率為 0.92（即失靈之機率為0.08），單獨使用 B 時有效之機率為 0.93。若知在 A 失靈的條件下，B 有效之機率為0.85，求在 B 失靈的條件下 A 有效之機率。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題考條件機率與機率表（聯合機率）的運用。題幹雖寫「兩獨立警報器」，但又給 P(B 有效|A 失靈)＝0.85 ≠ P(B 有效)＝0.93，可見兩者在統計上並不獨立（「獨立」應理解為兩台各自運作的裝置）。作答時以題目給的條件機率計算，並說明這一點。
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- 5
已知隨機變數 X 服從 Poisson 分布，且P(X = 1) = P(X = 2), 求 P(X = 4) = ？（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題考 Poisson 分布的機率質量函數：P(X＝k)＝e^(－λ)λ^k/k!，k＝0, 1, 2, …。由 P(X＝1)＝P(X＝2) 建立方程解出參數 λ，再代入求 P(X＝4)。
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- 6
設總體 X 服從二項分布 B(m , p)，試求 p 的最大似然估計量（maximum likelihood estimator）。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題考最大概似估計（MLE）的標準步驟：寫出概似函數、取對數、對參數微分令為 0、解出估計量，並確認為最大值。設 X1, …, Xn 為來自 B(m, p) 的隨機樣本，m 已知，求 p 的 MLE。
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- 7
學測英文成績為常態分布。已知往年平均成績為 70 分，若今年抽取 36 位考生得其平均分數為 66.5 分，標準差為 15 分，請問在顯著水準（significance level）α = 0.05之下，是否可認為今年全體考生平均成績與往年相同？（已知 t0.975 (35) = 2.0301） （20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題為母體常態、母體標準差未知、小樣本（n＝36）之單一母體平均數雙尾檢定，應使用 t 檢定，自由度 n−1＝35，依題給臨界值 t0.975(35)＝2.0301 判斷。
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請說明歸納證明法的基本概念，並以此概念證明：in1 i3 (in1 i)2 ，nN（自然數）（10 分）
（10 分）
- 2
請說明 bipartite graph 之定義，並說明下圖是否為 bipartite graph。（10 分）
（10 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
請證明 anxn-1 是 O（xn），其中 an0，n 為大於一的正整數。（10 分）
（10 分）
- 4
請說明中國餘式定理（Chinese Remainder Theorem），並以中國餘式定理求解以下題目：x 2(mod 3)，x 1(mod 4)，x 3(mod 5)，求 x。（10 分）
（10 分）
- 5
我們想計算 x0x1x2…. xn 這 n+1 個數的乘積，並定義有 Cn 種不同的方式加入左右括號，來表達這些乘法的順序。舉例來說，C3=5，因為有五種方式加入左右括號：((x0x1)x2) x3，(x0(x1x2)) x3，(x0x1)(x2x3)，x0((x1x2)x3)，x0(x1(x2x3))。請使用 recurrence equation 來定義 Cn，並計算出 C5。（10 分）
（10 分）
- 6
一個隨機變數（random variable）X，它的機率密度函數為：c(1 x 2 ) 1 x 1 f(x) ，請申論 X 的期望值（expected value）E[X]為何？（10 分） 0 otherwise
（10 分）
- 7
一個銅板丟了 1,000 次，結果有 570 次是“頭”（head），我們是否可有結論說此銅板不是公平的銅板（fair coin）？請申述之。（10 分）104年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及104年等 別： 二等一般警察人員考試類 科 別： 刑事警察人員犯罪分析組
（10 分）
- 8
在一個謀殺案的陪審團審案（jury trial）例子中，我們的虛無假設（null hypothesis）H0 和對立假設（alternative hypothesis）Ha 個別是：H0：被告是無辜的（innocent）Ha：被告是有罪的（guilty）法院認定被告是有罪（guilty）的條件是必須要所有的陪審團團員認定被告有罪的情況下，方認定被告有罪。請解釋為何如此設計。（7 分）假使有陪審團在審判開始就對“有罪判決（guilty verdict）”這件事有偏見（也就是對判決有罪這件事反感），這情況下值和值是增加還是減少？請說明你的理由。（8 分）（注意：法院判決 not guilty 不表示被告是 innocent，僅表示法院無法超過某程度的懷疑被告是 guilty。）
（15 分）
- 9
某智慧型手機公司想了解民眾擁有智慧型手機的比例，問了 500 位民眾，其中有 400位擁有智慧型手機。從以上資料，粗略估計民眾擁有智慧型手機的比例。（5 分）從粗略估計的比例計算 90% 的信賴空間（計算參考下表），並解釋其結果。（請以 2 1.41 ， 5 2.24 計算）（10 分）表 Z/2 之值信賴程度 Z/2 100（1-）% 90 .10 1.645 95 .05 1.96 99 .01 2.575
（15 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設集合 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，定義在 S 上的關係 R 如下：xRy 表示 4 − x = y − 4
（一） R 滿足等價關係（equivalence relation），試說明之。（9 分）
（二）試寫出不同的等價類（equivalence classes）。 （9 分）
（18 分）
參考架構・破題
等價關係須同時滿足自反性、對稱性、遞移性；等價類為與某元素有關係之所有元素集合，各等價類構成 S 的分割。 注意：若照字面 4−x＝y−4，即 x＋y＝8，則 1R1 不成立（1＋1≠8），不具自反性，不是等價關係。原卷題意應為 |4−x|＝|y−4|（絕對值符號轉檔遺失，請對照原卷），即「x 與 y 到 4 的距離相等」，以下依此作答。
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- 2
某人投資 10000 元，每年獲利 10%；設 Sn 表示第 n 年年末的總額，
（一）寫出 Sn 的遞迴關係（recurrence relation）及初始條件（initial conditions）。（9 分）
（二）使用迭代法（method of iteration）寫出 Sn 為 n 的函數之公式。（9 分）
（18 分）
- 3
假設某一公司共有 25 位員工，其中有 20 位通過英文檢定考試，另外 5 位沒有通過。今從中隨機抽取 2 位員工，試問：
（一）此兩人都是英文檢定考試沒有通過的機率。（7 分）
（二）有一人通過，另一人沒有通過的機率。（7 分）
（14 分）
- 4
假設投擲一個公正的骰子二次，若二次的點數相同則可獲得賭金的二倍，若二次的點數不同則沒收該賭金。試問：
（一）前五把皆輸掉的機率為何？（5 分）
（二）平均需玩幾把才能贏一次？（5 分）
（10 分）
- 5
某同學期中考經濟學考了 85 分、統計學考了 70 分。已知全班成績統計如下：經濟學平均 80 分、標準差 10 分，統計學平均 64 分、標準差 8 分。試問該同學的成績相對於全班而言，那一個科目表現較優？說明原因 。（10 分）
（10 分）
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在犯罪審判中，建立兩個假設如下：⎧ H 0 : 被告無罪⎨ ⎩ H1 : 被告有罪
（一）「被告無罪而判有罪」為何種誤差？（type-I 或 type-II）（5 分）
（二）「寧可錯放一百，也不願錯殺一人」為增加 α 或 β？而減少 α 或 β？（5 分）
（10 分）
參考架構・破題
以假設檢定類比司法審判：H0 為被告無罪，型一錯誤是 H0 為真卻拒絕 H0（冤枉好人），型二錯誤是 H0 為假卻未拒絕（縱放有罪者）。「寧可錯放一百」即嚴格控制型一錯誤。
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投擲一骰子 60 次，其結果如下表所示： （20 分）點數 1 2 3 4 5 6次數 6 12 9 11 10 12在顯著水準 α＝0.05 下，試檢定：此一骰子是否為一公正骰子？ ( χ 0.05 (5) = 11.0705)
（20 分）
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題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。