工程數學　申論題歷屆試題與參考架構

求解常微分方程式 y′′ − 2 y′ = −7e 2 x + x 。（20 分）

（20 分）

找出一正交矩陣（orthogonal matrix）及其反矩陣（inverse matrix），以對角化對稱矩陣[A]，並寫出對角化後的矩陣。（20 分）3 0 -2 A= 0 2 0 -2 0 0

（20 分）

計算向量場 F = x-y i +（x+y）j 以逆時針方式，沿橢圓 x2 + 4y2 = 1邊界的線積分。（20 分）

（20 分）

找出函數 f(t)之傅立葉轉換（Fourier transform）：（20 分）1-|t|, -1 ≤ t ≤1 f t = 0, |t| > 1

（20 分）

從頭開始，一步一步詳細求解波動邊界值問題：（20 分）∂2 y ∂2 y = , 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0 ∂t 2 ∂x 2 y(0,t) = y(π,t) = 0, ⎧ ⎪ x, 0≤ x≤π ∂y y( x,0) = ⎪⎨ 2 ( x,0) = 0 ⎪π − x, π ≤ x ≤π ∂t ⎪⎩ 2

（20 分）

請求解下列之 3 階常微分方程式：d3y − y = 7e 2 x dx假設初始值為 y (0) = −1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0 。（20 分）

（20 分）

考慮下列之線性代數方程組x1 + x2 − x3 + 2 x4 = −2 − 2 x1 + 2 x3 − x4 = 3 − x1 + 3 x2 + x3 + 4 x4 = 0定義變數向量 x = [x1 x2 x3 x4 ] T ：

（一）我們可將以上線性代數方程組表示為矩陣型式，即 Ax = b。請寫出矩陣 A 與向量 b，並求矩陣 A之秩（rank）。（5 分）

（二）請以高斯消去法（Gaussian elimination method）判斷此線性代數方程組是否有解？若無解，請說明原因。若有解，請求其一般解（general solution）。 （20 分）

（25 分）

假設某一區域之氣壓分佈函數為P( x, y ) = sin x sinh y

（一）氣流流速 u ( x, y ) 為氣壓分佈函數之梯度（gradient），請求出 u ( x, y ) 。（7 分）

（二） 請 求 出 氣 壓 分 佈 函 數 在 一 點 ( x, y ) = (0, 1) 且 沿 著 方 向 v = [2 3]T 之 方 向 導 數（directional derivative）。（8 分）

（15 分）

請求解下列函數之傅立葉轉換（Fourier transform）：⎧sin t , 0 ≤ t ≤ π f (t ) = ⎨ 。（15 分）⎩ 0, otherwise 105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員 全一張考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 （背面）考 試 別：一般警察人員考試等 別：三等考試類 科 別：消防警察人員

（15 分）

請求解下列熱傳方程式：∂u ( x, t ) ∂ 2u ( x, t ) =9 , 0 < x < 3π , t≥0 ∂t ∂x 2其邊界條件與初始條件為∂u (0, t ) = 0, u (3π , t ) = 0 , u ( x, 0 ) = x 。（25 分）∂x

（25 分）

求解 y′′ + 4 y′ + 5 y = 35e − 4 x ， y (0) = −3 ， y′(0) = 1。（20 分）

（20 分）

函數 f (x) 的拉氏轉換（Laplace Transform）定義為 F ( s ) = L{ f ( x)} = ∫0 f ( x)e − sx dx ，其∞中 L{ f (x)}代表 f ( x) 的拉氏轉換。

（一） 已 知 f (x) 和 f ′(x) 在 [0, ∞) 連 續 ， 拉 氏 轉 換 存 在 。 請 證 明 f ′(x) 的 拉 氏 轉 換 為L{ f ′( x)} = sF ( s ) − f (0) 。（10 分）

（二）請推導出 L{cos 5 x}。（10 分）

（20 分）

以級數方法（series method）求解以下的微分方程式初始值問題（initial value problem）∞ y′′ + 2 xy′ + 2 y = 0 ， y (0) = 1 ， y′(0) = 1。假設解為 y = ∑ an x n ，求出 6 個係數：a0，a1，n =0 a2，a3，a4，a5。（20 分）⎛ xy ⎞

（20 分）

考慮函數 G ( x, y, z ) = 1n ⎜ ⎟ ，其中 ln(.)是自然對數函數（natural logarithm function）。⎝ z ⎠ ⎛1 1 1⎞求 G ( x, y, z ) 在點 ⎜ , , ⎟ 於 2i+6j-3k 方向之方向導數（directional derivative）。⎝ 2 6 3⎠（20 分）

（20 分）

已 知 函 數 f ( x) = x + π , − π < x < π 的 傅 立 葉 級 數 （ F o u r i e r s e r i e s ） 為 f (x) = ∞ 2 ∞ ⎛ ⎞ 1 n +1 π + ∑ ⎜ ⎟(−1) sin nx 。 利 用 傅 立 葉 級 數 收 斂 的 特 性 可 以 得 到 ∑ (−1) n +1 = n =1⎝ n ⎠ n =12n − 1 1 1 1 1 A 1 − + − + − L = π 。試求出 A 和 B 之值。（20 分）3 5 7 9 B

（20 分）

求解：dy d2y y ′′ + 4 y = f (t ) ; y (0) = y ′(0) = 0 , （ y ′ ≡ ， y ′′ ≡ 2 ）dt dt ⎧ 0, for t < 3其中 f (t ) = ⎨ （20 分）⎩ t , for t ≥ 3 ⎡5 −4 4⎤

（20 分）

設矩陣 A = ⎢12 − 11 12⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 − 4 5 ⎥⎦

（一）求 A 的特徵值（eigenvalues）。（5 分）

（二）求 A 的特徵向量（eigenvectors）。（5 分）

（三）求矩陣 P 及 Λ ，使得 A = PΛP −1 ，其中 P 及 Λ 均為 3× 3 矩陣，且 Λ 必須為對角矩陣（diagonal matrix）。（10 分）

（20 分）

利用拉氏轉換（Laplace transform）求解下列之 PDF（partial differential equation）∂ 2 u ( x, t ) ∂ u 2 ( x, t ) ∂ u( x, t ) = 100 + 100 + 25u( x, t ) , ∂ x2 ∂ t2 ∂t ∂ u( x, t ) u( x,0) = 0, if x ≥ 0 ; u(0, t ) = sin t , if t ≥ 0 ; t = 0 = 0, if x ≥ 0。（20 分）∂t 103年 公 務 人 員 特 種 考 試 警 察 人 員 考 試103年 公 務 人 員 特 種 考 試 一 般 警 察 人 員 考 試 全一張103年 特 種 考 試 交 通 事 業 鐵 路 人 員 考 試 試 題 （背面）等 別：三等一般警察人員考試∞

（20 分）

函數 f (t ) 之傅利葉轉換（Fourier transform）定義為 F ( jω ) = ∫− ∞ f (t ) e − jω t dt 。sin 2 t ⎧ 1, ω <2已知若 f (t ) = ，其 F ( jω ) = ⎨ 。πt ⎩ 0, ω >2 sin 2 t 2

（一）若 g (t ) = ( ) ，− ∞ < t < ∞ 。試求 G ( jω ) 。（10 分）πt ∞ sin 2 t 2

（二）試求 ∫ − ∞ ( ) dt 之值。（10 分）πt

（20 分）

設一曲面 S 滿足： φ ( x, y, z ) = z − x 2 + y 2 = 0 。試求：r

（一）此曲面在點 (1, 1, 2 ) 之單位法向量（unit normal vector） N 。（10 分）

（二）此曲面在點 (1, 1, 2 ) 之切平面（tangent plane）。（10 分）

（20 分）

求解微分方程式：（20 分）d2y dy y 2 = ( )2 dx dx

（20 分）

請用拉氏（Laplace）轉換法求解以下方程式：（20 分）t y (t ) = 2t 2 + ∫ y (t − τ )e −τ dτ

（20 分）

若 F = xi + yj + zk ，封閉曲面 S 由 S1：z = x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ≤ 1) 和 S 2：z = 1 所組成，試求 ∫∫ F‧ndσ ，其中 n 為S 之向外單位法向量（unit outer normal vector）。（20 分）s

（20 分）

若空間上任一點溫度 T 可表成T = xy + yz + zx試求在點 (1, 1, 1) 上之最大溫度變化率 ∇T 為何？（20 分）

（20 分）

求解偏微分方程式：∂ 2T 1 ∂T = , T (0, t ) = T (l , t ) = 0 , T ( x,0) = 1 ，其中 l 為棒子長度， α 為熱傳導係數，∂x 2 α 2 ∂t T 為溫度。（20 分）

（20 分）