應用力學　申論題歷屆試題與參考架構

樑 ABC 承受一均勻分布力 q = 3.2 kN/m，如圖一所示。

（一）試求銷支撐 A 及 B 處的垂直反作用力。（10 分）

（二）試繪出樑 ABC 的剪力圖（shear-force diagram）（7 分）及彎矩圖（bending- moment diagram）。（8 分）圖一

（25 分）

如圖二所示的桁架，試求：

（一）支承處的反作用力。（5 分）

（二）每一桿件的軸力，並說明各桿件軸力是張力或壓力。（20 分）圖二

（25 分）

如圖三所示為三個質量皆為 m 的光滑球體。若球體 A 及 B 有 v0 的速度向右移動，而球體 C 原是靜止的。所有碰撞的恢復係數皆為 e = 0.6。試求經過 B 碰撞 C 及 A 碰撞 B 的兩次碰撞之後，每一球體的速度。（25 分）圖三

（25 分）

一個質量為 5 kg 的物體以 15 m/s 的初速度沿著坡度為 30°的斜面向上移動。若動摩擦係數為 0.3，試求該物體在斜面向上移動的最長距離。 （25 分）

（25 分）

如圖一所示，桿件 AB 及桿件 BC 分別鉸支承地面 A 處及 C 處，且二桿件在端點 B 處以鉸接相互連接。若有一朝下且大小為 144 N 作用力 P 施加在桿件 AB 上，同時有方向朝上且大小為 40 N 作用力 Q 施加在桿件BC 上。試求：

（一）鉸接 B 處的水平及垂直反作用力。 （10 分）

（二）鉸支承 A 處的水平及垂直反作用力。（15 分）P 3m 3m Q B 1.8 m C A 1.4 m 8m 6m圖一

（25 分）

如圖二所示，一個高度 3 公尺且寬度 4 公尺的板子直立在水槽底部。接著將板子鉸支承於底部 A 處，同時用一根細長桿（即 BC 桿）固定，然後把密度為 1200 kg/m3 的甘油注入水槽內中，直至液面高度升至 2.7 公尺。試求：

（一）桿 BC 上的拉力。 （10 分）

（二）鉸支承 A 處的水平方向及垂直方向的反作用力。（15 分）T C B 3m d A圖二

（25 分）

如圖三所示，在時間等於零時，套筒 A 由靜止狀態以等加速度 3.6 mm/s2開始向上移動，套筒 B 以 18 mm/s 的等速度往下運動。

（一）試說明圖三所示運動系統的自由度值。（5 分）

（二）在經歷幾秒之後質塊 C 的速度等於零？（10 分）

（三）對應質塊 C 速度為零時，質塊 C 移動的位移量。（10 分）圖三

（25 分）

橋式起重機使用兩條纜繩將如圖四所示橫樑（IG = mL2/12）懸吊下降。此橫樑的質量（m）為 250 公斤，長度（L）等於 5 公尺。當圖四中的橫樑逐漸接近地面時，此時起重機操作員使用煞車器來降低橫樑下降的速度。當纜繩 A 的減速度為 6 m/s2，纜繩 B 減速度為 1 m/s2，試求此時對應纜繩 A 及纜繩 B 的張力值大小。（25 分）TA TB A 4m B 5m圖四

（25 分）

如圖一所示，樑AB承受一重量為2800 N的均勻石塊，樑的左端受銷支撐、右端受一重量為400 N的短柱支撐。樑的質量及厚度與短柱的厚度皆可忽略不計。在B及C處的靜摩擦係數皆為0.32，試求可使短柱移動的最小外力P為多少。(25分)圖一

（25 分）

如圖二所示，滑輪E的下方承受12 kN的力量，桿件及滑輪的重量可忽略不計，滑輪是光滑無摩擦的。試求：

（一）銷接A及D處的水平及垂直反作用力。(15分)

（二）桿件BD的桿件力。(10分)圖二

（25 分）

一連桿機構如圖三所示，桿件AB的角速度ωAB為5 rad/s。每根桿件的重量皆可忽略不計。當及時，試求：

（一）物塊C的速度。(10分)

（二）桿件BC的角速度。(15分)圖三

（25 分）

如圖四所示，大塊木料B的重量為1260 N。所有接觸面的靜摩擦係數皆為 s  1 3 。楔子A的重量可以忽略不計。試求能使楔子A往右移動的最小力量P。 （25分）B牆面D P A地面C圖四

（25 分）

一輪圈（空心）半徑為 150 mm，從斜坡放下，斜坡坡度為 25°。斜坡與輪圈的動摩擦係數 μ k =0.12 及靜摩擦係數 μ s =0.15 。

（一）輪圈是否為純滾動？（請詳述原因及理由）（10 分）

（二）請計算輪圈的角加速度 α。（15 分）

（25 分）

一連桿機構如圖所示，其中桿件 OA 長度為 100 mm，桿件 AB 長度為182 mm，桿件 BC 長度為 75 mm。當桿件 OA 在垂直位置時，桿件 BC剛好在水平位置，而此時桿件 BC 的角速度 ωBC 為 2 rad/s。忽略每根桿件重量。

（一）計算桿件 OA 的角速度。 （10 分）

（二）計算桿件 AB 的角速度。 （15 分）250 mm

（25 分）

連桿機構如圖所示，每根桿件質量為 m，長度為 L。彈簧彈性常數為 k。當轉角 θ 等於 0 時，彈簧無伸長量。請推導力矩 M（作用在 A 點）與轉角 θ 之平衡關係式（將 M 用 L、θ、k、m 等來表示）。假設連桿機構作動時，彈簧均保持在垂直方向。（25 分）

（25 分）

物塊 A 質量為 150 kg，物塊 B 質量為 200 kg，物塊 A 從靜止釋放（如圖所示）並將物塊 B 拉上 30°斜坡，假設物塊 B 與斜坡動摩擦係數為0.5。（假設所有滑輪均沒有摩擦力）

（一）請計算繩子張力。 （10 分）

（二）當物塊 A 碰到地面時，請計算物塊 B 的速度（L=10 m）。（15 分）

（25 分）

樑AB的受力如圖一所示，樑的左端受銷支撐、右端受一重量為390 N的短柱支撐。在B及C處的靜摩擦係數分別為μB = 0.3及μC = 0.2。樑的質量及厚度與短柱的厚度皆可忽略。力P作用在短柱上的固定點D，試求能使短柱移動的最小力量P。（25分）810 N/m A B P 2m 5 500 mm 4 D 300 mm C圖一

（25 分）

如圖二所示，線性彈簧未受力時的原始長度為0.3 m，兩均勻桿件的重量皆為200 N。光滑的滑輪A的質量可忽略。試求機構在平衡狀態下的角度θ。（25分）C 2m k = 150 N/m B A圖二

（25 分）

如圖三所示的桁架，試求：

（一）支承C和E處的反作用力。（5分）

（二）編號①、②、③及④之桿件的軸力，並說明軸力是張力或壓力。（20分）圖三

（25 分）

如圖四所示的均勻細長桿件，其質量為4 kg，左端受銷支撐、右端受一線性彈簧支撐。於100 N的外力作用在桿件的瞬間，試求：

（一）桿件的角加速度。 （10分）

（二）桿件之質量中心的加速度。（10分）

（三）銷支撐A的反作用力。（5分）100 N 1.5 m 1.5 m A B k = 20 N/m圖四

（25 分）

考慮如圖一(a)所示繞過固定曲面之平皮帶（Flat Belt） ，利用靜力平衡條件可證得當 T2 > T1 時，T2 / T1 之極大值為 e μβ ，其中 μ 為平皮帶與曲面間之摩擦係數，β 為接觸角（單位為弳度） 。如圖一(b)所示之一密度為 1.5 Mg / m3的顆粒狀（Granular）材料在滑移一固定表面上的輸送皮帶上運送，顆粒狀材料和輸送皮帶之間的動摩擦係數（Coefficient of Kinetic Friction）為 μ k = 0.3。輸送皮帶的操作是經由一馬達所提供給輪 A 的一力矩 M。輪 B 可自由旋轉（Free to Turn），而在輪 A 與輸送皮帶之間的靜摩擦係數（Coefficient of Static Friction）是 μ A = 0.4。

（一）當未施加負荷於輸送皮帶時，若施加一預拉力（Pretension）300 N 於其上，在不讓輸送皮帶停止的情形下，決定在任何時間可允許在輸送皮帶上的最大顆粒狀材料體積 V。（10 分）

（二）施加此預拉力於輸送皮帶時，計算要驅動輸送皮帶所需的力矩 M。（15 分）β r θ T2 T1圖一(a) 圖一(b)

（25 分）

如圖二所示的構架（Frame）：

（一）畫出解題所需的分離物體圖（Free-Body Diagram）。（5 分）

（二）決定在 A 及 B 的銷作用在構架上力的水平及垂直分量。（20 分）圖二

（25 分）

如圖三所示的一戶外展示品的一部分，一與兩金屬線 AC 和 BC 連結在一起的 6 kg 的地球模型以等速 v 繞著如圖三中所示的水平圓周旋轉。若兩金屬線 AC 和 BC 均維持繃緊的狀態且若其中任一根鋼絲中的張力不超過 125 N，決定 v 可容許的範圍值。（25 分）A 40° C 900 mm 15° B圖三

（25 分）

如圖四所示，均勻桿件 AB 和 BC 的質量分別為 2.4 kg 和 4 kg，而在 C 的小輪的質量是可以忽略的。如圖四所示的位置，小輪 C 的速度是 2 m/s向右，決定當桿件 AB 旋轉 90°之後銷（Pin）B 的速度。（25 分）600 mm 360 mm圖四

（25 分）

如圖一所示，有一細長均質桿件 AC，其質量與長度分別為 M(kg)與 L(m)，若此桿件從 θ = 0° 時靜止開始釋放，試求：

（一）桿件 AC 相對於點 B 繞 z 軸旋轉的質量慣性矩（mass moment of inertia about z-axis） 。z 軸為符合右手定則且垂直 x-y 平面的座標軸。（6 分）

（二）當 θ = 90° 時，桿件 AC 的自由體圖，以及角速度及動能。（9 分）

（三）當 θ = 90° 時，桿件 AC 的角加速度以及支撐銷 B 作用於桿件的作用力。（10 分）y x圖一

（25 分）

如圖二所示，質量與半徑分別為 M(kg)與 R(m)的均質圓柱 A 在水平面上以等角速度ω1(rad/s)作無滑動的純粹滾動，假設當圓柱 A 碰撞到前方高度為 R/5 的障礙物 B 時，仍繼續作無滑動及無反彈的純粹滾動，試求：

（一）圓柱 A 在碰撞到障礙物 B 前的動能。（5 分）

（二）圓柱 A 在碰撞到障礙物 B 時的自由體圖，並指出那一個外力是衝擊力（impulsive force），請解釋何謂衝擊力。 （5 分）

（三）圓柱 A 在碰撞到障礙物 B 後瞬間的角速度 ω2。（10 分）

（四）圓柱 A 在碰撞到障礙物 B 前後瞬間的能量損失。（5 分）圖二全一張（背面）

（25 分）

如圖三所示，有一質量與長度分別為 M(kg)與 L(m)的細長均質桿件 AB，以二條繩子AC 與 BD 懸吊並保持在靜止狀態，當繩子 AC 被剪斷後的瞬間，試求：

（一）桿件 AB 的自由體圖。（5 分）

（二）繩子 BD 的張力與桿件 AB 的角加速度。 （14 分）

（三）桿件 AB 質心 G 的速度與加速度。（6 分）y x圖三

（25 分）

如圖四所示，若活塞連桿搖桿機構保持靜平衡狀態時，試以（一）力平衡法，（10 分）

（二）虛功原理法，（15 分）分別求取作用於搖桿 AB 的力矩 M(N-m)與作用於活塞 C 的力量 F(N)間的平衡關係式，並繪出各所需的自由體圖。假設搖桿 AB、連桿 BC、與活塞 C 的重量皆忽略不計。圖四

（25 分）

圖 1 是求解汽車重心位置的一種方法。首先，將汽車的四個輪胎水平靜置於四個磅秤上，所量測到兩個前輪之重量合為 10441 N，而兩個後輪之重量合為 8905 N，如圖 1(a)所示。然後將後輪胎中心升高至比前磅秤高 0.8 m 處，此時所量測到兩個前輪之重量合為 11490 N，如圖 1(b)所示。假設輪胎的直徑為 0.594 m，試求這輛汽車重心位置 G 之 x 及 y 為何？（25 分）G 0.80.8mm B A FFAAA == =11490N 11490 N (a) (b)圖1

（25 分）

如圖 2 所示之結構，均質桿件 AB 之重量為 W（N）、長度為 L（m），彈簧的彈簧常數為 k (N/m)。假設在 θ = 90°時，彈簧長度為原長未被壓縮。滾輪與接觸面間均為光面接觸，且重量忽略不計。請以虛功原理來求解此結構在靜平衡時的角度 θ 為何？（25 分）圖2全一張（背面）

（25 分）

如圖 3 所示之連桿機構，若連桿在圖示位置之角速度及角加速度分別為 ωAB = 4 rad/s及 αAB = 2 rad/s2，皆為順時針方向。假設連桿及滑塊的重量皆可忽略不計。試求：

（一）連桿 BC 之角速度 ωBC 及角加速度 αBC？（15 分）

（二）滑塊 C 之加速度？（10 分）0.4 m B ωAB = 4 rad/s αAB = 2 rad/s2 y 30° 30° A 0.4 m x C圖3

（25 分）

一根質量 10 kg 之均質細長桿 AB，桿件兩端之滑塊 A 及 B 被拘限在滑槽內運動，如圖 4所示之結構。桿件原先是靜止放置在 θ = 0°之位置，若在滑塊 B 施加一向左 50 N 之水平力，試求桿件運動至 θ =30°瞬間之角速度為何？忽略滑塊 A 及 B 之重量。 （25 分）圖4

（25 分）

考慮繞過固定曲面之平皮帶，如圖一(a)所示，可以利用基本靜力平衡條件證得當T2 > T1 時， T2 / T1 之極大值為 e μβ ，其中 μ 為平皮帶與曲面間之摩擦係數， β 為接觸角 （ 單 位 為 弳 度 ） 。 關 於 如 圖 一 (b) 所 示 之 轉 輪 銷 接 於 中 心 點 B ， 承 受M = 250 N - m 之扭矩作用，轉輪與平皮帶間之靜摩擦係數為 μ s = 0.3 ，若轉輪原為靜止，試求為阻止轉輪轉動所需施加之力 P 之最小值 Pmin 為若干 N？（25 分）400 mm β B θ M A 200 mm T2 750 mm T1 P圖一(a) 圖一(b)

（25 分）

如圖二所示為一構架，用來支撐質量為 100 kg 之圓柱體，其中 ABD 桿之 D 處安裝了半徑為 0.1 m 之滾輪，若 ABD 桿之 D 處以銷與滾輪結合，A, B, C 處也皆為銷接，試求 ABD 桿在 A 處之反力之大小為若干 N？（重力加速度 g 以 9.81 m/s2 計算）。（25 分）1.2 m D 0.1 m 0.3 m B C 0.6 m y x A A圖二24870 全一張

（25 分）

如圖三所示為兩輛質量分別為 5000 kg 與 2000 kg 之 A 車與 B 車即將發生碰撞前之r r速度 (v A )1 與 (vB )1 ，分別為 15 m/s（+x 方向）與 5 m/s（+x 方向），若恢復係數（coefficient of restitution）e = 0.75，請回答：r r

（一）碰撞後瞬間 A 車與 B 車分別之速度 (v A ) 2 與 (vB ) 2 。（15 分）

（二）碰撞期間之總能量損失 ΔEK 。（10 分）15 m/s A 5 m/s B X圖三

（25 分）

如圖四所示為一裝置運轉至此一相對位置，其中轉輪繞 O 轉動之角速度與角加速度分別為 2 rad/s 與 6 rad/s2，皆為順時針方向，請回答：

（一）連接桿 AB 之角速度大小 ω AB 。（10 分）

（二）連接桿 AB 之角加速度大小α AB 。（15 分）B 45° O 1.5 m 60° 0.3 m A ω = 2 rad/s α = 6 rad/s2圖四

（25 分）

有一剪式機構如圖一所示，每段構件的長度皆為 a（m），彈簧的彈簧常數為 k（N /m），且當θ = 0∘時，彈簧為自由長度狀態，套筒 B 可在光滑垂直導桿上作無摩擦的滑動。假設機構桿件的質量可忽略不計，當一已知的水平外力 P（N）作用於 C 點時，試求：

（一）繪出機構 ABC 的自由體圖（Free-body diagram）。（8 分）

（二）以虛功原理（Principle of virtual work），推求機構在靜平衡時的角度θ。（僅需寫出靜平衡時θ 滿足的方程式即可）（17 分）A a（m）k（N / m）θ C P（N）a（m）B圖一

（25 分）

有一結構如圖二所示，係由 ACD 桿與 BE 桿所組成，繩索繞過滑輪 E 懸掛一質量為m（kg）的重物，試求：

（一）分別繪出機構 ACD 與 BE 的自由體圖。（6 分）

（二）固定支撐點 A 的反作用力。（10 分）

（三）過點 J 與桿件軸向垂直之剖面上的剪力（Shear force）、軸向力（Axial force）及彎矩（Bending moment）。（9 分）D E 4a（m）C m 4a（m） （kg）J 2a（m）B A 3a（m） 3a（m）圖二全一張26470 （背面）

（25 分）

如圖三所示，質量 m（kg）且半徑 c（m）的均質（Homogeneous）球體，以逆時針方向的角速度ω0（rad/s），以及水平向右的質心速度 v0（m/s），在粗糙水平地板上進行滑動的滾動，若球體與地板之間的靜、動摩擦係數分別為μs 與μk，試求：

（一）此瞬時，球體與地板接觸點 A 的速度。（5 分）

（二）繪出球體的自由體圖。（5 分）

（三）球體角速度行將開始反轉為順時針方向的時間。（5 分）

（四）球體行將開始作無滑動純滾動的時間。（10 分）ω0 （rad/s ） c（m）G v0（m/s）A μs, μk圖三

（25 分）

如圖四所示，質量 mr（kg），長度 cb（m）的均質細長桿 AB 以銷子懸吊於 A 點，如果質量 mb（kg）的小球 D 以水平向右速度 v0（m/s），撞擊原為靜止狀態 AB 桿的 C 點，若撞擊的恢復係數（Coefficient of restitution）為 e，試求：

（一）繪出 AB 桿受到撞擊瞬間的自由體圖。（5 分）

（二）撞擊前 A 點的反作用力。（5 分）

（三） AB 桿在撞擊後瞬間的角速度以及小球 D 在撞擊後瞬間的速度。（15 分）A v0（m/ s）x（m）D cb （m）mb C（kg）B mr圖四

（25 分）

圖（一）所示為一液壓式升降系統，此系統包含一置物平台與兩組完全相同之液壓缸連桿組，且可產生相同之液壓力（請注意，圖示只繪出一組液壓缸連桿組）。桿件 EDB 與 GC 之長都是 2a，桿件 AD 是以插梢接合（pin connected）之方式接在桿件 EDB 之中點。若一重為 W 之木箱置放於平台上離 A 點距離為 d 之處，使得 W/2之重量由圖示之系統支撐。請應用虛功原理決定於升高此置物平台至圖示位置時，每一組液壓缸施加之力 FDH。並請將 FDH 表示成 W、L、a 與θ之函數。除木箱之重量 W 外，忽略所有桿件與平台之重量。（25 分）d W/2 A B C 2a D θ H E G L/2 L/2圖（一）

（25 分）

圖（二）所示之賽車於進入半徑 R=100 公尺之半圓形軌道 ABC 之入口 A 點時之時速為 90 公里，然後駕駛持續以等速率（uniform rate）加速，至賽車到半圓形軌道出口 C 點時，其時速已達 144 公里，請計算此賽車在到達半圓形軌道中間點 B 點時之加速度大小。（25 分）A R B O C圖（二）類 科： 汽車工程 （背面）

（25 分）

圖（三）所示之桿件 AB 正以每秒 10 radians 之角速率依順時鐘方向轉動，請決定此時與齒輪接合之齒條於垂直方向之速度 VR。齒輪之軸心固定不移動僅轉動且其半徑為 6 in.。（25 分）B C 12 in. 10 in. 10 rad/s A 6 in. D VR 6 in. 16 in. 6 in.圖（三）

（25 分）

一質量為 mB 且以等角速率ω0 轉動之均質圓盤 B 被緩緩推去與一質量為 mA 之靜止均質圓盤 A 接觸，如圖（四）所示，兩圓盤之接觸點為 C 點，經過時間 t 秒後，兩圓盤在 C 點之切線速度變為相等，請問此時圓盤 B 之角速率是多少？圓盤 A 與 B之半徑分別為 rA 與 rB，圓盤對通過其質心且垂直於圓盤圓面之軸之質量慣性矩為（圓盤質量）（圓盤半徑平方）/2，兩圓盤接觸面間之靜、動摩擦係數分別為 μS 與μ k ，令推力 P 之作用點與圓盤 B 質心之距離為 L，除兩圓盤外忽略其他零件之質量與忽略兩圓盤質心軸承處之摩擦效應。（25 分）P A rA B rB ω0圖（四）

（25 分）