工程力學（土木工程組）　申論題歷屆試題與參考架構

圖一之結構，彈力常數為 k  2000 N/m 之彈簧連接在 B 點，且當  90 時，彈簧不伸長也不縮短。力矩 M  8 N i m 作用於 A 點。力量 F 作用於 C 點。求當  60 時，欲使結構達平衡時所須之力 F  ？（25分）F C 125 mm 125mm k B 75 mm 75mm M  A圖一

（25 分）

圖二(a)之結構，水平桿件 AB 為矩形截面（寬 b  40 mm，高 h  100 mm ） ，長 L  4 m ，桿件 AB 為剛體。傾斜 CD 桿是由兩根矩形截面桿（寬 5b / 8 ，高 h ）組成，傾斜 CD 桿之楊氏模數 E  20 GPa 。 AB 桿與 CD 桿在 C 點用直 徑 d  20 mm 之 錨 釘 固 定 ， 如 圖 二 (b) 所 示 。 若 錨 釘 之 允 許 剪 應 力 allow  100 MPa ，則載重 P 之允許值 Pallow  ? 又，在允許載重 Pallow 下， B 點垂直位移  B ？（25分）22m 22m m A B C 1.5m 1.5 m剛體P D圖二(a) 圖二(b)：在C點之結構

（25 分）

長為 L 、直徑為 d 、剪力模數為 G 之實心圓桿 AB ，兩端為固定端，受到分佈扭矩 t ( x)  t0 x / L 作用，如圖三所示。求圓桿 AB 之最大剪應力 max 及最大扭轉角 max 。（25分）x t ( x)  t0 t0 L A B x L圖三

（25 分）

梁 ABC ，在 C 點為滑動支撐，如圖四所示，梁之撓曲勁度為 EI ，熱膨脹係數為 ，梁之上下緣分別受到溫度 T1 及 T2 (T2  T1 ) 作用。試求 C 點的力矩M C ，以及 C 點的垂直（ y 向）位移  C 。（寫出大小並標出方向） （25分）y h A T1 B C x T2 L a圖四

（25 分）

有一材質均勻之六邊形板尺寸如下圖所示，板中心有一 26 mm 直徑之開孔。試求此板形心 C 與板邊界之距離 a 及 b。如 x 與 y 為通過板形心 C之水平軸及垂直軸，試求此板之慣性矩 Ix，I y 及慣性矩乘積 Ixy。（25 分）單位：mm提示：bh3 Ix  b2h 2 r 4 Ixy   Ix  I y  72 4

（25 分）

一 AB 水平桿件受一垂直均佈載重 q、三個垂直集中載重及一個集中彎矩載重，A 點為鉸支承（hinge），B 點為自由端。若已知該桿件處於靜止狀態，試計算均佈載重 q 之值、A 點之水平與垂直反力（包含作用方向），並試繪此桿件之剪力圖及彎矩圖。（25 分）

（25 分）

有一矩形斷面之懸臂梁，梁長度 L  4 m，寬度b  40 cm，高度 h  60 cm 。此梁於自由端受一集中載重 P，P 平行於 x 軸且作用於梁斷面之角落。此梁任一斷面受到之彎矩 M y 及 M z 為何？如此梁所能承受之最大張應力值或最大壓應力值皆不能超過 40 MPa，試計算 P 之最大值為何？（25 分）

（25 分）

有一 ABC 連續梁，B 點為鉸支撐，A 點及 C 點為滑動支撐（sliding support），設梁之彎矩勁度為 EI。試求 B 點之反力及作用方向、B 點之彎矩（註明正值或負值），A 點及 C 點之彎矩（註明正值或負值），A 點及 C 點之位移及位移方向。（25 分）提示：考慮對稱性及重疊法Px 2 Mo x 2 v(x)   (3a  x), (0  x  a) v(x)  , (0  x  a) 6EI 2EI

（25 分）

如圖示懸臂梁，由兩不同深度的矩形斷面的桿件組成。其寬度均為50 mm，深度分別為 100 mm 及 150 mm。試求該梁的最大的彎曲應力。（25 分）2 kN 100 mm 150 mm A B C 4m 4m 150 mm 100 mm 50 mm 50 mm

（25 分）

圖示為某直梁之三角形斷面，若斷面上受剪力 V 的作用。試推證斷面上最大的剪應力發生在 y = h/6 處。（25 分）V h y=h/6 NA h/3 b

（25 分）

圖示為長 4 m 之懸臂梁 AB，受均布與分布載重作用。若其固定端 A 點之反力矩為零，試求：

（一）均布載重施載長度 a。（10 分）

（二）並繪出 AB 梁之剪力圖（標示相關值或函數） 。（15 分）6 kN/m A B 7 kN/m a 4m

（25 分）

圖示為一懸臂實心圓棒固定在 A 點，自由端 B 點同時承受剪力 V = 300 N和扭矩 T = 35 N·m 作用。圓棒的長度 L = 1.5 m，直徑 d = 75 mm。試求位於固定端 A 點桿底面上的單元 c 處的主應力和最大剪應力。（應力集中效應忽略不計） （25 分）y V=300 N T=35 N·m x A B L=1.5 m y z c d = 75 mm

（25 分）

如圖示，一長度為 L  2 m ，重量為W  50 N 之均勻桿件靜置於光滑斜面 上，已知左斜面傾斜角為  30 ，右斜面傾斜角為   45 ，不計桿件之斷面大小，求平衡時桿件之傾斜角 為何？（25分）

（25 分）

如圖示，質量為10 kg 之塊狀物A置於水平面上，質量為 5 kg 之塊狀物體B置於傾斜角為 30  之斜面上，以不計重量之二桿件AC與BC連接，所有連接點均為無摩擦力之鉸接，BC桿件為水平，AC桿件與水平方向夾角為 30  ，兩塊狀物與接觸面之靜摩擦係數均為 s  0.5 。今施加一與垂直方向夾角為30  之力P於C點，求兩塊狀物均不滑動之最大力P為何？（25分）

（25 分）

如圖示，AC梁長度為 3a ，撓曲剛度EI為定值，B點為滾接支承，C端結構僅允許垂直位移，其軸向位移及轉角均為零，於A點承受一集中力P作用，求A端之轉角及位移。（25分）

（25 分）

如圖示，剛架ABC係由兩根相同且均勻之圓管於B點焊接而成，A端為鉸支承，C端為滾支承。已知圓管斷面之面積為 A  22620 mm ，二次面積矩為I  92.74 106 mm4 ，外徑為 d  100 mm ，於B點施加垂直力 P  10 kN ，若L  H  2.8 m ，求剛架內最大拉應力與最大壓應力分別是多少？（25分）

（25 分）

圖 1 結構中 A、D、G 點均為鉸支承，桿 AB 與桿 BD 於 B 點以鉸接方式聯結，且桿 EC 於 C 點、E 點分別與桿 BD 及桿 EG 鉸接。今載重 6P如圖 1 所示施加於 F 點，試求支承 A、支承 D、支承 G 之反力 AX、AY、DX、DY、GY 之大小及方向。（25 分）6P E B G F L C 2L GY L D DX L A DY AX 3L L L AY（圖 1）

（25 分）

圖 2 顯示一傾斜桿 AC，以纜索 AB 及垂直牆面支撐而呈現靜態平衡。已知桿 AC 長度 L 為 6 m，牆面 B 點與 C 點之間距 h 為 2 m；由於桿 AC不均勻，桿件重量 W 之重心位置 o 位於由 C 點往左 L/3 處。假設牆面與桿 AC 間沒有摩擦力，試求牆面反力 R、纜索 AB 張力 T、桿 AC 傾斜角θ、纜索 AB 傾斜角φ。（提示：「角度」可用三角函數表示，不用實際算出角度，如：角度θ=30°，可用 sin(θ)=1/2 或θ=sin-1(1/2)表示，不用算出θ=30°。）（25 分）B L L/3 h T R o C φ θ A W（圖 2）

（25 分）

圖 3 顯示一平面應力元素受力狀態。試求主應力與主平面、最大剪應力及其所在平面，並請繪製相應之應力元素圖明確表示。 （25 分）150 kgf/cm2 100 kgf/cm2 y x 50 kgf/cm 2 100 kgf/cm2（圖 3）

（25 分）

圖 4(a)顯示一結構，其 A 點支承為固定端、D 點為鉸支承，桿 AB 具 EI值、桿 BC 及桿 CD 之 EI 為無限大，LB 長度相較桿 AB 之 L 甚大，分析時可忽略桿 BC 之剪力影響。今於 B 點及 C 點分別施加垂直載重 P，圖 4(b)為 受 力 後 之 自 由 體 圖 。 已 知 桿 AB 挫 屈 時 之 特 徵 方 程 式 為a×(kL)sin(kL)+b× cos (kL )-1=0（其中 k2=P/EI），試求 a、b 數值，及桿AB 挫屈時之有效長度係數 KAB（其中 Pcr=π2EI/(KABL)2） 。計算時請使用圖 4(b)中 A 點 xy 座標及相關力及彎矩等參數。（25 分）P P P P EI= B C C Δ B L EI EI= x A D PΔ A y D PΔ L L LB MA P P (a) (b)（圖 4）

（25 分）

圖一為重量 15 kg 之均勻桿件 AB，由水平力 P 維持在地面 B 點及垂直牆面 A 點上，不發生滑動，已知桿件與地面靜摩擦係數 μB 為 0.25，與牆面靜摩擦係數 μA 為 0.20，重力加速度 g = 9.81 N/kg = 9.81 m/s2，試回答下列問題：

（一） P 力最小值 Pmin 應為何？（15 分）

（二） P 力最大值 Pmax 應為何？（10 分）圖一

（25 分）

圖二為圓形均勻斷面（直徑 300 mm）梁 ABCD，長為 5000 mm，兩端 A 及 D 點固定，在 B 點及 C 點分別承受 3P 及 P 集中載重，梁彈性模數 E0 = 200 GPa，抗拉及抗壓降伏強度均為σy = 180 MPa，假設不計此梁自重，試回答下列問題：

（一）在此梁尚未發生任何降伏前，P 力之最大載重 Pmax 為何？（15 分）

（二）在 P = Pmax 時，B 點位移、C 點位移及梁 BC 段之變形量各為何？（10 分）σ A B C D σy 3P P E0 1 ε 1000 mm 2500 mm 1500 mm 300 mm −σy圖二全一張（背面）

（25 分）

圖三為桿件 AB、AC 及 AD 鉸接（hinged）在 A、B、C 及 D 四點，在 A 點承受一垂直載重 P = 5 kN，已知各桿件之截面積 A0 均為 100 mm2，彈性模數 E 均為 80 GPa，假設各桿件重量可忽略不計，試回答下列問題：

（一）桿件 AB、AC 及 AD 所承受力量各為何？（15 分）

（二） A 點之垂直及水平位移各為何？（10 分）B 3m C 3m D A 4m P = 5 kN圖三

（25 分）

某工程原規劃使用一支直徑 d = 500 mm 圓形斷面石材作為大梁，但考量節省空間及節省材料，擬將此圓形斷面石材改成寬為 b 及高為 h 內接圓形之矩形斷面梁，如圖四所示，試回答下列問題：

（一）如須將圓形斷面石材製成能抵抗彎矩之最強矩形斷面梁，則最佳之 b 值與 h 值應各為何？（15 分）

（二）此最強矩形斷面梁撓曲應力為原圓形斷面石材撓曲應力之多少倍？材料可節省多少百分比？（10 分）O d = 500 mm h b圖四

（25 分）

圖一中之構造承受一強度為 P 的集中載重，其中 A 與 B 支承點為鉸接（hinge），其他接點均為栓接（pin） 。若 A 點與 B 點支承處之水平與垂直反力中任一分量皆不得大於 2250 N，試計算最大容許載重 P 之值。 （25 分）圖一

（25 分）

圖二中之 4 m × 2 m × 3 m 矩形體受二條繩索 AB 與 AC 之張力作用，若已知此二條繩索對 O 點之力矩大小為 2000 kN-m，且繩索 AB 與 AC 之張力大小比例為 1： 2 ，試計算此二條繩索之張力大小。（25 分）圖二全一張（背面）

（25 分）

有一 I 型斷面之懸臂梁於自由端受一傾斜之集中載重 P 如圖三所示，若 P = 600 N 且α = 30°。請計算此梁斷面之慣性矩 Iy、Iz，中性軸與 z 軸之夾角 β，及最大之張應力 σ x值？（25 分）圖三

（25 分）

有一平面應力元素受應力如圖四(a)所示，當此元素逆時鐘方向旋轉 30°後，其應力狀況如圖四(b)所示。請計算 σ x 、 σ x' 、 σ y' 及此元素之主軸應力（principal stresses）與主軸應力方向，並將主軸應力標示於旋轉至主軸應力方向之應力元素上。（25 分）°圖四

（25 分）

圖一結構中 A、E 點為鉸支承，AC 桿與 DE 桿於 B 點以鉸接方式聯結。載重 P 分別施加在 C、D 點。試求在此外力作用下，支承 A 及支承 E 反力 AX、AY 與 EX、EY 之大小及方向為何？（25 分）D C P P L B 2L A AX L AY E EX L L L L L EY圖一

（25 分）

圖二顯示於牆體邊，傾斜靜置一根長度 L 為 4 m、重量為 3W 之均勻桿件。已知此桿件傾斜角度 θ 為 40 度，於 A、B 處之靜摩擦係數分別為 μA = 0.3、μB = 0.2。若於桿件 C 處，施加一垂直力 P = 14W 而不使桿件下滑移動，試求此情況下 d 之最大長度為何？（25 分）B L P d 3W C θ A圖二全一張（背面）

（25 分）

圖三為一框架結構，桿件 BC 及 CD 相較桿件 AB 之 EI 為∞，Lb 長度相較桿件的變形甚大。已知二垂直載重 P 分別施加在 B 點及 C 點，試求此框架結構挫屈時，桿件 AB的挫屈載重之有效長度係數 K 為何？（提示：Pcr = π2EI/(KL)2，分析用之參考坐標為A 點處之 xy 坐標）（25 分）P P EI= B C L EI EI= x A y D Lb圖三

（25 分）

圖四為一個斷面圓形、半徑 r =10 cm 之 L 型托架 ABC，於托架 A 端承受一 P＝1000 kgf之垂直載重。已知 L1＝100 cm、L2＝200 cm，試求固定端 C 處之 a 點及 b 點的最大主應力為何？（25 分）Y Y a a b X b X r L1 C Z B A P L2圖四

（25 分）

圖一所示構架中，CD 為四分之一圓弧形。ABC 段及 CD 段每單位長度的自重皆為10 N/m，B 點受一大小為 50 N 的水平集中載重，在考慮自重的情況下，試求 A 點及 D 點的反力。（25 分）圖一

（25 分）

一長度甚長的橡膠輸氣管，直徑 D = 1 m，管壁厚 t = 1 cm，管內的氣壓 p = 50 kN/m2，如圖二所示。已知橡膠的彈性模數 E = 50 MPa，柏松比 ν = 0.45，試求：

（一）橡膠延軸向、環向及厚度方向的正向應力。（15 分）

（二）橡膠的單位體積變化量。（10 分）圖二全一張（背面）

（25 分）

一均勻斷面且長度甚長的鋼纜置於水平的剛性地面如圖三(a)所示，鋼纜的彈性模數為 E，斷面慣性矩為 I，每單位長度的重量為 w。在鋼纜 A 端施加一向上的 P 力，使鋼纜一部分被拉起，如圖三(b)所示，其中 A 點和 B 點間為被拉離地面的部分，假設 δ << x。試求：

（一） AB 之間的距離 x。（12 分）

（二） A 點的變位量 δ（列出與 w 及 x 的關係）。（13 分）圖三(a) 圖三(b)

（25 分）

圖四(a)懸臂梁在 B 端受到一集中載重 P，懸臂梁的斷面如圖四(b)所示。

（一）當 P = 6 kN 時，試求此懸臂梁的最大正向應力σ max 及最大剪應力τ max 。（10 分）

（二）當 P 漸漸增加，此懸臂梁開始因張應力承受能力不足而出現裂紋時，則此時裂紋的位置及方向為何？請以簡圖表示。（7 分）

（三）當 P 漸漸增加，此懸臂梁開始因剪應力承受能力不足而出現裂紋時，則此時裂紋的位置及方向為何？請以簡圖表示。（8 分）圖四(a) 圖四(b)

（25 分）

如圖一所示，有一 T 型廣告架，廣告看板的中央用 1 根鋼管連接固定，鋼管的底部B 位置有鋼板連接支撐，並用 4 支螺栓將鋼板固定在混凝土塊上，混凝土塊則埋入地面且不產生移動變形。已知廣告看板 2m×4m 重量 5 kN，鋼管重量 1 kN，每支螺栓的容許剪力 10 kN，在垂直廣告看板方向（x 向）承受單向風壓 6 kN/m2，且忽略鋼管面的風壓，請問：鋼管底部（B 位置）承受多少力？（10 分）鋼管底部承受彎矩為何？（5 分）T 型廣告架的螺栓是否能夠承受此風力作用？（10 分）4m廣告2m看板鋼管3m z螺栓 鋼板地面 y B混凝土塊 x圖一

（25 分）

如圖二所示，有一蓄水庫以流量 40 m3/s 從水閘門（sluice gate）下方洩水進入水平的矩形渠道，該水平矩形渠道是表面未修飾之混凝土渠道，渠道寬度 5m，水流在流出水閘門後之水深 0.5m 處發生水躍（hydraulic jump），水躍後的水深 4.87m，請問：水躍前的渠道流速 v1 為何？（5 分）水躍後的渠道流速 v 2 為何？（5 分）水躍產生的比能量消散（specific energy dissipation）為何？（15 分）水閘門水躍蓄水庫4.87m 0.5m v 2 渠道v1混凝土層圖二25350 全一張25550 （背面）

（25 分）

工程上為了瞭解振動機具的振動特性，例如路面震動機或震動台的振動行為，常以物體質量和彈簧組成系統模型來分析其行為，如圖三所示，無阻尼振動模型能夠描述物體的振動特性，其中物體質量為 m，彈簧常數為 k，物體承受 F  Fo sin wo t 作用力產生振動位移 y，其中 wo 為頻率，t 為時間。請問：此物體的運動方程式為何？（10 分）已知震動台由 4 根支柱支撐並固結在建築物二樓的 RC 地板上，且每根支柱均由相同彈簧常數 k  500 N/m 的彈簧所支撐，將一部精密儀器鎖固在震動台的平台上，該儀器和震動台的總質量為 10 kg，儀器與震動平台起初靜止不動，而後 RC 地板產生上下位移 Δ  20 sin 5t 的振動，其中位移 Δ 的單位為 mm，時間 t 的單位為秒。若儀器與震動平台僅能上下運動，運動模式類似無阻尼振動模型（圖三），則震動平台之穩態（steady-state）振動的振幅為何？（10 分）RC 地板的振動在何種頻率時會導致震動台產生共振（resonance）？（5 分）k平衡位置y m F  Fo sin wot圖三

（25 分）

均質之矩形簡支梁的跨度 30m，斷面寬度 40cm，高度 100cm，有一均佈載重 w 作用在簡支梁上。若忽略梁自重影響，已知梁的降伏應力為 35MPa，請問在彈性變形內之簡支梁的最大均佈載重 wmax 為何？（25 分）

（25 分）

圖一纜繩結構承受均佈載重 W＝2 kN/m，試求此纜繩結構中之最大張力為何？（20 分）95 m 7m w圖一

（20 分）

如圖二所示，一子彈 A 質量為 25 g，射入方塊 B，若射入時之時間 t＝0 秒，方塊 B（質量 4 kg）與 C（質量 3 kg）間之動摩擦係數 μk＝0.6，方塊 C 與地板 D 間之摩擦係數 μs＝μk＝0。試求子彈嵌入 B 後，方塊 B 與 C 相對速度為 0 時之時間 t 為何？（20 分）圖二

（20 分）

如圖三所示，矩形斷面（梁寬 b＝20 cm，梁深 h＝40 cm）梁，長（L）4 m，受點荷重 P＝500 kN ◦假設其應力分量只有σ xx 、τ xy 及τ yx 。試求點荷重右邊一點點（即x＝3+m 處）斷面上 A 點（參看圖三）之最大剪應力與主應力。（20 分）y P b 3L/4 L/4 A x h 3h圖三34850 全一張34950 （背面）類 科： 土木工程、結構工程四、如圖四所示桁架，假設各桿有相同材料性質，楊氏模數 E，降伏應力σ y ；AD 桿長 L，斷面積為 2A；其餘桿之斷面積為 A； ∠BAD = ∠HAD = 45° ， ∠DBA = ∠DHA = 90° ◦假設變形造成桁架幾何改變可忽略，試求各桿件軸力、初始降伏外力 Py 及當 P＝Py時 A 點變位◦ （20 分）F C D H B A P圖四五、如圖五、圖六所示，閘門 AB 為半徑 1 m 的四分之一鋼管圓柱，情況(A)（圖五所示）及情況(B)（圖六所示）分別為兩種用來密封水槽的開口的狀況（側視圖）。假設水槽蓄水高度同為 3 m，水的密度為 ρ = 1000 kg / m3 ，若不考慮鋼管厚度，求(A)及(B) 兩種情況下水槽內的水作用在單位寬度（垂直紙面方向）的閘門 AB 的合力大小及方向。（20 分）(水深) (水深)圖五 圖六

（60 分）