結構動力分析與耐震設計　申論題歷屆試題與參考架構

二層構架如圖所示，假設為剛性樓板，而呈「剪力屋架」之結構行為。考量地表運動僅為一個方向時，其數學模式可以下圖之二階自由度代表之：W2 u2 3m W1 u1 3m 4m &u& g(t)樓層重量 W1=3 tf，W2=6 tf，此結構週期為 T1 = 0.176 秒， T2 = 0.047 秒，各週期所對應的振態為{ϕ1}T={0.738 1.0}，{ϕ2}T={1.0 ‒0.369}，其地盤水平向正規化加速度反應譜係數 C 值及週期 T 之關係，如下式：C = 1.0 T ≤ 0.03 秒C = 8.824T + 0.7352 0.03 秒 ≤ T ≤ 0.2 秒C = 2.5 0.2 秒 ≤ T ≤ 1.32 秒C = 3.3 T 1.32 秒 ≤ T ≤ 3.3 秒C = 1.0 3.3 秒 ≤ T若此地盤水平加速度為 0.2 g。試採用 SRSS 疊加法計算此建築物動力分析所得總橫力值為何？（25 分）

（25 分）

請回答下列有關建築物耐震設計規範的問題：

（一）何種情況之建築物，須以動力分析方法設計之。（15 分）

（二）建築物因地上結構、地下室結構及基礎土壤互制等值彈簧之阻尼比不同時，得依可信理論計算複合振態阻尼比。規範乃以建築物阻尼比為 5%時定義工址短週期與一秒週期之設計水平譜加速度係數 SDS 與 SD1，若建築物阻尼比異於 5%阻尼時，可由短週期與長週期的阻尼修正係數 BS 與 B1 修正之。試問若建築物工址 SDS = 0.6，SD1 = 0.45，則此工址短週期與中週期的分界 T0 值為何？又若建築物阻尼比為 10%時，BS = 1.33 與 B1 = 1.25，則此工址短週期與中週期的分界 T0 值又為何？（10 分）

（25 分）

臺灣位於地震帶，故鋼筋混凝土建築物設計時應依規範要求考量構材之耐震細部設計以達到韌性要求，其中一項為大梁端部應設置閉合箍筋。若梁斷面尺寸為 40×60 cm，主筋為 D22（直徑 2.22 cm）且單排鋼筋排列，箍筋為 D13（直徑 1.27 cm），保護層依規範最低要求施作。試問梁之兩端應設置閉合箍筋之範圍為何？除了力學要求外，依規範規定此閉合箍筋最大間距不得超出何值？（25 分）全一張（背面）

（25 分）

既有鋼筋混凝土結構物耐震能力不足可能歸咎於以下幾項因素：⑴設計年代的結構物耐震設計標準較低；⑵結構系統規劃欠佳；⑶結構物耐震設計不良；⑷施工品質欠佳；⑸結構物老劣化或其他等因素。以圖示 2016 美濃地震中建築物損害為例，其壹樓為公共使用，二樓為小隔間辦公室。ଵ牆圖例：粗體為 1B 磚牆，細體為 ‫ܤ‬磚牆。較嚴重損害為 2 根壹樓前排柱，如照片所ଶ示。請依你的研判，說明此建物會發生損害的主要因素。（25 分）

（25 分）

已知五自由度剪力建築結構的質量矩陣、勁度矩陣、模態向量如下：⎡m 0 0 0 0 ⎤ ⎡ 2k −k 0 0 0 ⎤ ⎢0 m 0 0 0⎥ ⎢− k 2k −k 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ M = ⎢0 0 m 0 0⎥、K = ⎢ 0 −k 2k −k 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 m 0 ⎥ ⎢ 0 0 −k 2k − k⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0 m⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 −k k ⎥⎦樓層 模態-1 模態-2 模態-3 模態-4 模態-5 1樓 0.334 -0.895 1.173 1.078 0.641 2樓 0.641 -1.173 0.334 -0.895 -1.078 3樓 0.895 -0.641 -1.078 -0.334 1.173 4樓 1.078 0.334 -0.641 1.173 -0.895 5樓 1.173 1.078 0.895 -0.641 0.334試求各模態之模態質量、模態勁度及模態頻率；假設結構物受到水平地震力作用，試求第一、二模態的模態參與因子（Modal participation factor）。又若依設計特殊要求，進行模態疊加分析時最少應該包含結構質量和的 97.5%以上，試問至少應計算到第幾個模態。（25 分）

（25 分）

已知四自由度之離散化結構的柔度矩陣 F 及質量矩陣 M 如下：⎡0.01 0.01 0.01 0.01⎤ ⎡2 0 0 0⎤ ⎢0.01 0.02 0.02 0.02⎥ ⎢0 1.5 0 0⎥ F=⎢ ⎥ m / kN M=⎢ ⎥ton ⎢0.01 0.02 0.03 0.03⎥ ⎢0 0 1.5 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0.01 0.02 0.03 0.04⎦ ⎣0 0 0 1.5⎦試以改良雷利法（improved Rayleigh Method）求結構之基本振動頻率近似值，精確至小數點以下第三位、以及其近似基本模態向量，正規化為大小等於 1 且書寫至小數點以下第四位。（25 分）全一張（背面）

（25 分）

依建築物耐震設計規範，以靜力分析法設計建築物時計算地震之最小水平總橫力與下列因素有關：震區、結構系統、結構型式（材料）、韌性容量、結構基本振動週期、結構複合振態阻尼比、工址地盤效應、近斷層效應、結構用途等。試說明在計算最小設計地震力時上述因素分別與那個（些）參數相關，及其影響的理由，請逐一詳細回答。（25 分）規範參考公式：I ⎛ S aD ⎞ IFu ⎛ S aD ⎞ I ⎛ S aM ⎞ V= ⎜ ⎟ W V* = ⎜ ⎟ W VM = ⎜ ⎟ W 1.4α y ⎜⎝ Fu ⎟⎠ m 4.2α y ⎜⎝ Fu ⎟⎠ m 1.4α y ⎜⎝ FuM ⎟⎠ m ⎧ S aD S aD ⎪F ; ≤ 0.3 ⎪ u Fu ⎛ S aD ⎞ ⎪ S S ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨0.52 aD + 0.144 ; 0.3 < aD < 0.8 ⎝ Fu ⎠ m ⎪ Fu Fu ⎪0.70 SaD S ; aD ≥ 0.8 ⎪ ⎩ Fu Fu

（25 分）

關於被動消能建築設計，請回答下列問題：

（一）分別就位移型消能器和速度型消能器說明在何條件下可以利用線性靜力分析方法來分析消能器之效應？（9 分）

（二）一單自由度剪力構架（Shear building）如圖，假設兩根柱子所提供的側向勁度總和為 100 MN/m，結構阻尼比為 5%，並假設結構物側向位移為 0.03 m，且結構物仍保持線彈性狀態。若對角線斜撐上的阻尼器為完全彈塑性金屬消能器，其軸向勁度為 400 MN/m、降伏强度為 0.4 MN。問此時系統之有效阻尼比為何？（7 分）

（三）應用靜力分析方法必須先得到結構系統的等效阻尼比才能計算阻尼修正因子，然後計算水平總橫力。有了水平總橫力才能計算結構物最大位移量。但是在計算阻尼器貢獻的阻尼比時需要預知結構物最大位移。此二者似乎是矛盾的，請問實務上應如何處理？（9 分）4m剛性聯結桿件3m阻尼器

（25 分）

二層構架如圖一所示，假設為剛性樓板，而呈「剪力屋架」之結構行為。考量地表運動僅為一個方向時，其數學模式可以圖一之二階自由度代表之：W2 u2 3m W1 u1 3m u g t 圖一假設柱子尺寸皆是 30cm 30cm，彈性模數 E  2.4 105 kgf/ cm2 ，各樓層重量 W1=3 tf，W2=6 tf，試求此結構週期為何？各週期所對應的振態為何？（30 分）

（30 分）

單自由度黏滯性阻尼結構系統（質量為 m、阻尼 c 及勁度 k）承載簡諧荷重 p0 sin  t ，其運動方程式如下式。請推導在穩態反應（steady-state response）時的公式，假設為 10%阻尼比，當此外力振動頻率與系統頻率相同時，其反應之振幅最大，則此時反應之振幅與靜力作用下位移量比例為何？（20 分）mu(t )  cu (t )  ku(t )  p0 sin  t

（20 分）

臺灣地區鋼筋混凝土建築物設計時皆考量為強柱弱梁結構，請分別由柱之主筋（縱向鋼筋）及柱之橫向鋼筋設計二方面，試述如何達到此「強柱弱梁」結構之要求？（20 分）全一張（背面）

（20 分）

有一建築物位於桃園縣中壢市，依耐震設計規範要求 SSD=0.6，S1D=0.3，SSM=0.8，S1M=0.45，無鄰近第一類活動斷層，工址為第一類地盤。若此建築物為鋼筋混凝土構造的一般用途，高度 24m，動力週期 0.8 秒，總重 1000 tf，韌性容量 R=4.0。依現行規範規定此建築物設計時考量地震之最小水平總橫力為何？（30 分）規範參考公式：I  SaD  IFu  SaD  I  SaM  V   W V *    W V    W 1.4 y  Fu m 4.2 y  Fu m M 1.4  y  uM  m F  S aD S aD F ;  0.3  u Fu  S aD   S S    0.52 aD  0.144 ; 0.3  aD  0.8  Fu  m  Fu Fu 0.70 S aD S ; aD  0.8   Fu Fu T  0.050hn3/4 Ra  1   R  1 1.5  Ra ; T  T0D     2 Ra  1  Ra  2 Ra  1   T  0.6T0D 0.4T0D ; 0.6T0D  T  T0D Fu    2 Ra  1 ; 0.2T0D  T  0.6T0D    2 Ra  1  2 Ra  1  1 T  0.2T0D 0.2T0D ; T  0.2T0D 

（30 分）

解釋下列名詞：（每小題 5 分，共 20 分）

（一）平方和的平方根（SRSS）估計結構的總響應及完全二次型組合（CQC）估計結構的總響應。

（二）建築技術耐震設計規範中基本設計地震力定義如下：I ⎛ S aD ⎞ V = ⎜⎜ ⎟⎟ W 1.4α y ⎝ Fu ⎠ m針對所定義基本設計地震力中各個符號及數字說明其所代表之意義。

（三）古典瑞利阻尼（Rayleigh damping）使用系統阻尼矩陣 C 之定義。

（四）解釋結構耐震設計中採用 475 年廻歸期及 2475 年廻歸期之物理意義。

（20 分）

考慮一個具有兩個自由度之彈簧質量系統，如圖 1a 所示（m1 及 m2 代表質量，k1 及k2 代表彈簧勁度）。

（一）推導出該系統之自然振動頻率。（10 分）

（二）今有一外力 F(t)作用於質點 2，如圖 1b 所示，求取該外力作用下各質點之位移頻率響應函數（Frequency Response Function）。（10 分）x1 x2 x1 x2 k1 k2 k1 k2 m1 m2 m1 m2 F(t)圖 1a 圖 1b

（20 分）

有一質量 M＝9.1 × 105 kg 由二根垂直構件所支撑，此垂直構件（每根）之側向勁度為 4.4 × 106 N/m。今有一側向外力作用在此質量塊上（如圖 2a 所示），此外力之函數形式如圖 2b 所示。今利用反應求解（Duhamel’s Integral）積分方法，求解此質量塊之水平位移反應。（20 分）220 × 103 N loading, F force 9.1 × 105 kg Δx K=4.4 × 106 N/m每根構件0.08 s 0.08 s 0.08 s圖 2a 圖 2b（註：外力作用時間為 3 × 0.08 sec 小於結構週期，故以脈衝載重考慮此外力）全一張（背面）類 科： 結構工程

（20 分）

考慮一個具有 n 個自由度之集中質量之多自由度高層樓房之結構系統，如圖 3 所示，承受一水平方向之地震力作用。今考慮剛性基礎（rigid foundation）情況下，採用古典普通模式分析（Classical normal mode approach），推導出作用於該高層樓房各樓層之彈性力（elastic force）、作用於該高層樓房之基底剪力（base shear force）及傾覆力矩（overturning moment）。（20 分）x註：(a) 假設此 n 個自由度之集中質量之多自由度高層樓 mN房其運動方程式表示為：MV & (t) + K V(t) = −M{1}&v&g (t ) && (t) + C V其中 &v&g (t ) 為水平方向之地震地表加速度歷時。Reference axis v it mi配合普通模式分析法，進行分析。vi (b) 假設單自由度系統之反應以下列方式表示之：m3 v(t ) = V (T ) m2 ω m1 tf vg圖3其中V (t ) = ∫ &v& (τ ) exp[−ξω(t − τ )] sinω (t − τ )dτ g

（20 分）

考慮單一層樓之結構（假設為一個單自由度振動系統），其集中質量為 W，振動週期 Tn＝0.25 sec。今設計地震之最大加速度定為 0.5 g。

（一） 假 設 在 完 全 彈 性 行 為 下 ， 設 法 求 取 該 單 一 層 樓 結 構 之 側 向 位 移 （ lateral displacement）及側向作用力（lateral force）。（10 分）

（二）假設該結構允許之韌性因子（ductility factor, μ）為 μ＝4，設法求取該單一層樓結構之側向位移（lateral displacement）及側向作用力（lateral force）。（10 分）註：a. 強度折減因子 Ry，與韌性因子（ductility factor, μ）之關係式可由下式中求得，即 R y = 2 μ − 1

b. 令在正規化彈性反應譜中（即 T<0.03 sec 下，絕對擬加速度反應為 1.0 g），在結構週期設定為 Tn＝0.25 sec 時可求得之絕對擬加速度反應（Pseudo- acceleration response）為 2.71 g。

（20 分）