靜力學概要與材料力學概要　申論題歷屆試題與參考架構

如圖 1 所示四根均質鋼線對稱懸吊一剛體。若所有鋼線之性質均相同，在拉力 P = 40 kN 作用之下，試分別求 A、B、C、D 各鋼線之軸向力。（25 分）圖1

（25 分）

一底為 20 cm，高為 15 cm 之等腰三角形斷面，現於其底部開一10  5 cm對稱方孔（如圖 2 所示） 。請分別求其對方孔頂部平行於底部之 x 軸，及對垂直對稱軸（y 軸）的慣性矩。（25 分）y 15 cm x 5 cm 5 cm 5 cm 10 cm 10 cm圖2

（25 分）

一邊長 40 cm，厚度為 2 cm 之方形鋼管短柱，內部充填混凝土（如圖 3 所示）。設鋼管彈性模數 Es = 2.0×106 kgf/cm2，混凝土彈性模數Ec = 3.5×105 kgf/cm2。現該柱承受一無偏心之軸向壓力 P = 400 tf，試分別求鋼管及混凝土之平均軸向應力。 （25 分）P t = 2 cm 40 cm圖3

（25 分）

兩 種 分 別為 圓形（ 直徑 D）及方 形（邊 長 B）的 均 質 彈性 材料 斷 面（如圖 4 所示） 。若兩種斷面承受相同之彎矩，且其最大彎曲應力相同，則圓形斷面直徑 D 與方形斷面邊長 B 之關係為何？又若兩種斷面承受相同之剪力，且其最大剪應力相同，則 D 與 B 之關係為何？（25 分）D B B圖4

（25 分）

有一內含開孔之梁斷面尺寸如下圖所示，試求 a 及 b 之長度使得斷面形心位於 O（坐標原點）之位置。進而求此斷面對 y 軸及 z 軸之慣性矩 I y及 Iz 。（25 分）長度單位:公分

（25 分）

有一桿件 ABC，A 為固定端，C 為自由端，C 點受到一集中力 P 如下圖所示。試求 P 力對 A 點之彎矩及 P 力對 AB 軸之彎矩。如 P 力對 AB 軸彎矩之絕對值不能超過 500 N-m，則 P 之最大值為何？（25 分）

（25 分）

有一軸向桿件 ABC 受集中力 P 如下圖所示，AB 段及 BC 段皆為正方形斷面且 AB 段之斷面積為 9 cm 2 ，BC 段之斷面積為 4 cm 2 。桿件 ABC 為同一材料所組成，材料之楊氏係數 E  200 GPa。如 L = 1 m，BC 段之軸向應變為1  10-5 ，試求 BC 段之伸長量、集中力 P 之值、BC 段之軸向應力、AB 段之軸向應力及 AB 段之伸長量。（25 分）

（25 分）

有一 ABCDE 梁如下圖所示，A 點為鉸支撐，C 點為滾支撐。設集中載重 P = 100 N、Q = 200 N，均佈載重 q = 100 N/m。試求梁 A 點及 C 點之反力及反力作用方向，並繪製此梁之剪力圖及彎矩圖。（25 分）

（25 分）

如圖一所示，有一物塊 A 質量為10kg，置放在斜面 BC 上，接觸面的最大靜摩擦係數為 μs=0.2。斜面與水平面的夾角為 θ=30°，物塊上緣的中央處 D 有一繩索 DE 繞過一個圓盤的定滑輪 F，定滑輪在 F 點為鉸支承（hinge support）。繩索在 E 處有一水平力 P 作用，且繩索在 D 處與斜面的夾角 ϕ=45°。忽略定滑輪的質量，並且繩索與滑輪沒有存在任何摩擦。本題用到三角函數值 sin30°=0.5，cos30°=0.866，sin45°=cos45°=0.7071，sin15°=0.2588，cos15°=0.9659。據此回答以下問題：

（一）若要物塊 A 處於靜止狀態，請問此時水平力 P 最少要為多大？（15分）

（二）接（一）小題，在最小水平力 P 之下，鉸支承 F 的反力為何？請標示出反力的水平分量與垂直分量。 （15分）E P F ϕ B D A θ C圖一

（30 分）

如圖二所示，有一桁架系統，桿件之間都以插銷（pin）連接。桁架在 A處為鉸支承（hinge support），在 F 處為滾支承（roller support）。在 H 節點處有一水平力 T=15 N，在節點 D 處有一垂直向下的力 V=10 N。桿件AB、BC、CD、DE、EF、JK、KL、LM、GJ、BG、HK、CH、EI、IM長度均為1 m。且角 IEF、LMI、DEI、CDL、HKL、GJK、GBC 與 ABG均為直角。圖二中◎為各節點上之插銷，△ 為 A 處的鉸支承，而○為 F處的滾支承。若有需要可以使用 2  1.41412 ， 5  2.2361 據此請求出桿件 CD 內所受到的軸力大小，並標示其為張力或是壓力。 （25分）J K L M 1m G H T I 1m A F B C D E V 1m 1m 1m 1m 1m圖二

（25 分）

如圖三所示，有一剛性桿（rigid bar）BCD，與三根一樣的彈性短柱（①柱、②柱與③柱）相黏結。三根短柱垂直立於地面上，高度為 L，軸向剛度（axial rigidity）為 EA（E 為彈性模數，A 為斷面積）。剛性桿在 CD的中央處受到一垂直向下的側向載重 P。求③柱斷面上所受到的軸力為多少，並且標示其軸力為壓力或是張力。（25分）B C D剛性桿

① ② P ③ a/2 a/2 a a圖三

（25 分）

有一外伸梁（overhanging beam）ABC 如圖四所示，AB 長度為2L，BC長度為 L。在梁上受到一三角形的垂直向下的分布載重，三角形分布載重的最大荷重密度在 A 處，大小為 w0。梁在 A 處受到鉸支承，在 B 處受到滾支承。梁的彈性模數為 E，對斷面中性軸（neutral axis）的轉動慣量為 I。若有需要可以使用 2  1.41412 ，據此回答以下問題：

（一）請問最大彎矩值出現在何處？彎矩值為多少？（10分）

（二）若梁的斷面為矩形斷面，梁高為 h，梁寬為 b，則梁的最大彎矩應力為多少？（10分）w0 A B C 2L L圖四

（20 分）

如圖一所示，ABC 桿於 C 端受到垂直向下之作用力 8.4 kN（平行 z 軸）；而 BD 及 BE 為兩繩索，其 D 端及 E 端固定於牆壁上（xz 平面）。假設ABC 桿以及繩索的自重均可忽略，試求：

（一）繩索 BD 及 BE 所受之拉力。（15 分）

（二） A 端球窩支承之反力。（10 分）z 6m D 6m E B C 6m A 7m 3m y x 8.4kN圖一

（25 分）

如圖二所示之桁架，試求：

（一）支承 A 及 G 之反力。（5 分）

（二）桿件 BC、BD、CD 及 CE 之軸力。（請同時標示張力或壓力）（25 分）2.25m 2.25m 4kN 4kN 3kN D B F 1m G 1m A C E 3m 3m 3m圖二

（30 分）

鋁桿 ABC（ E =70 GPa ），AB 段及 BC 段之直徑分別為 20 mm 及 60 mm，如圖三所示。已知 P = 4 kN ，且 A 點之垂直位移為零。試求：

（一）作用力 Q 之大小。 （10 分）

（二） B 點之垂直位移。 （10 分）P=4kN A 0.4m B 0.5m Q C圖三

（20 分）

考慮如圖四所示之簡支梁，其中 T = 15 kN-m。試求：

（一）簡支承 A 及 C 之反力。（5 分）

（二）梁之剪力圖及彎矩圖。 （圖上須標出各轉折點之剪力值、彎矩值）（20 分）60kN 40kN 40kN 60kN T A B C 1m 1m 1.5m 1.5m 1m 1m圖四

（25 分）

圖一中，外力 P=2 kN 作用在 OABCD 剛體，ADB 是連續繩索（cable）跨過無摩擦的滑輪（pulley）D。略去剛體 OABCD 的自重，求平衡時，D 點及 O 點的反力，及繩索之拉力。（25 分）y滑輪22m O B • 1.5 1.5mm 1.5mm 1.5 1.5m圖一 P

（25 分）

如圖二所示之結構，是由 AB 桿、BC 桿及 CD 桿所構成，兩端固定於A, D 點。AB 及 CD 桿件之截面積皆為 2 A；BC 桿件之截面積為 A；三桿件之楊氏模數皆為 E。在 B 點有外力 P 作用，在 C 點有外力 2P 作用。求 AB 桿、BC 桿、CD 桿之軸力 NAB、NBC、NCD，及 B 點的水平位移 δ B 。（25 分）P 2P A B C D L L L圖二

（25 分）

圖三(a)之梁受均布載重 q 作用，梁的長度 L=2 m，截面尺寸如圖三(b)所示。

（一）求支撐點 BC 的距離 S，使梁之最大彎矩為最小，且求此最小化之最大彎矩 Mmax=？（15 分）

（二）接（一）小題求得之 Mmax，若梁之允許拉應力σ allow =8.5 MPa，求最大均布載重 qmax。（10 分）q b = 300 m mm m t = 12 m mm m y A D 18.48 mm 18.48mm B C z h = 80 80mmm m a S a 61.52mm 61.52 mm t = 12 m mm m L圖三(a) 圖三(b)

（25 分）

如圖四所示之繩索固定於 A、B 兩點，若每段繩索能承受之最大張力為 80 kN，略去繩索的自重，求最大施加載重 P、及每段繩索之張力。（25 分）B A 11 m 44m m D C 60kN kN P 1.5mm 3 4m m 3m m圖四

（25 分）

有一鋁管，長度 400 mm，承受 P 之壓力載重，鋁管之外徑與內徑分別為 60 mm 與50 mm。有一應變計貼在鋁管之外表面，用以量測軸向應變，請問：

（一）假如量到之應變為 550 × 10-6，請計算壓縮變形量。（10 分）

（二）假如壓應力為 40 MPa，請計算壓力 P。（15 分）應變計 P L = 400 mm

（25 分）

有一均勻鋼棒自重 W = 25 N，左右各懸一根彈簧，左邊彈簧 K1 = 300 N/m，原始長度 L1 = 250 mm。右邊彈簧 K2 = 400 N/m，原始長度 L2 = 200 mm，兩組彈簧間之距離為 L = 350 mm。二彈簧距鋼棒兩端距離都為 a，另外，右邊彈簧懸掛位置與左邊高度相差 h = 80 mm，如果有一外力 P = 18 N，作用在距離左邊彈簧 x 位置處，請計算可以讓鋼棒保持水平之 x 值。（25 分）h W a p a x L

（25 分）

一簡支梁 AB 長度 3 m，承受一梯形載重，載重呈線性變化，從 A 點之 50 kN/m 到 B點之 30 kN/m，請計算梁中點之剪力 V 與彎矩 M。（25 分）50 kN/m 30 kN/m A 3m B全一張（背面）等 別：四等考試

（25 分）

有一懸臂梁承受均佈載重 q 如下圖所示，請計算端點 B 之變位 δB。（25 分）q A B a b L

（25 分）

圖一所示 x-z 平面板承受垂直於板面之平行力系。請將此平行力系以單一合力表示，並計算合力量與合力的坐標位置。（20 分）z 3m 5m 6 kN 10 kN 2m 3m y 14 kN 1m x圖一

（20 分）

請推算如圖二所示靜定桁架之支承 A、G 的反力，與桿件 IJ、CJ 與 DJ 之桿件力。（20 分）24 kN H I J K L 5m A B C D E F G 30 kN 6@5m = 30m圖二

（20 分）

請推算如圖三所示 T 形斷面之形心位置與斷面對形心軸 x 之面積慣性矩。（20 分）300 mm y 50 mm x 40 mm 350 mm圖三全一張（背面）等 別：四等考試

（20 分）

請推算如圖四所示軸力桿件 AB 段與 BC 段之軸向應力，與 B、C 兩點之軸向位移。AB 段及 BC 段皆為實心圓形斷面，AB 段直徑為 100 mm，BC 段為 80 mm，楊氏模數E 皆為 200 Gpa。（20 分）A B 50 kN C 30 kN 3m 3m圖四

（20 分）

分析如圖五所示梁結構。計算 A、C、E 點反力，並繪梁 A 至 E 段之剪力圖與彎矩圖。（20 分）20 kN 2 kN/m A B C D E 8m 16m 8m 8m圖五

（20 分）

一不對稱 C 型梁斷面尺寸及描述座標軸如圖一所示，其中 x − y 軸為梁底端點參考座標軸， x'− y ' 軸為通過斷面形心之形心軸，試求：

（一）梁斷面之形心位置 C ( xc , yc ) 。（10 分）

（二）梁斷面對 x' 軸的慣性矩 I x ' 。（5 分）

（三）梁斷面對 y ' 軸的慣性矩 I y ' 。（5 分）y 30mm y' 70mm 30mm xc 140mm C x' yc 30mm x 200mm圖一

（20 分）

如圖二所示，三根 A36 鋼桿銷接在剛性構件上，若作用在構件上的負載為 15kN，試求各桿的內力。桿件 AB 及 EF 的截面積為 50mm2，桿件 CD 的截面積為 30mm2。A36 鋼桿的彈性模數 Est = 200GPa。（30 分）B D F 0.5m A C E 0.4m 0.2m 0.2m 15kN圖二全一張（背面）等 別：四等考試

（30 分）

試計算圖三組合梁之 A、B、D 支承反力，並繪出該梁之剪力圖及彎矩圖。圖面上須標出圖形各轉折點之剪力值、彎矩值。（25 分）5kN 3kN/m A B C D 3m 3m 1.5m 1.5m圖三

（25 分）

如圖四所示，直徑 10mm 的鋼桿一端固定在牆壁 A 點，且在荷重 P 作用前牆壁 B'點與桿子的間隙為 0.2mm。當 P = 20kN 作用下，試求 A 及 B'兩點之反力。忽略桿上環軸 C 的尺寸，Est = 200GPa。（25 分）P=20kN 0.2mm A B' C B 400mm 800mm圖四

（25 分）

如圖一所示，一物塊重量為 W，置於傾斜角為 θ 的斜面上，並受一水平力 P 的作用。若物塊與斜面間之摩擦係數為 μ，試求可將物塊上推之 P 的最小值。（25 分）圖一

（25 分）

如圖二所示，ABCDE 為桁架，其支撐點 A 處無摩擦力，於 E 點受垂直力 P 的作用。試求各桿件的軸力（請標示張力或壓力）。（25 分）8 D 8 B E C P A圖二

（25 分）

如圖三所示，桿件之一端固定，另一端受一垂直截面的拉力 P 作用。P 作用點之座標為 y = h/2, z = 0。試求桿件內之最大張應力及其所發生處。（25 分）L w x z h h/2 P y y圖三

（25 分）

如圖四所示，A 是固定支承，B 為 P 的施力點，AC 及 CD 具相同的慣性矩 I 及楊氏模數 E。試求距離 A 支承 x 處（ 0  x  L ）之垂直位移及 D 點的水平位移。（25 分）D L L L x P A B C圖四

（25 分）

一懸臂梁 AB 與另一構件 BC 以 Pin 連結如圖一，BC 構件另一端（C 點）為滾支承（Roller）。梁 ABC 所受外力如圖一所示。

（一）計算懸臂梁固定端（Fixed）的反力。（10 分）

（二）畫出梁 ABC 的剪力與彎矩圖（Shear force and bending moment diagrams）。（10 分）圖一

（20 分）

圖二為梁 ABC 及其作用力與梁之斷面。

（一）計算此梁斷面的中性軸位置（a =？）。（10 分）

（二）計算對斷面中性軸的面積慣性矩（area moment of inertia）。（10 分）

（三）計算此梁斷面的最大張應力（tensile stress）和最大壓應力（compressive stress）。（10 分）

（四）計算此梁腹版的最大剪應力（shear stress）。（10 分）圖二全一張（背面）等 別： 四等考試類 科： 土木工程

（40 分）

如圖三所示之桁架（Truss）。

（一）求 A 點與 E 點的反力。（10 分）

（二）求構件 CD、BG 及 FG 的軸力（請標示張力或壓力）。（10 分）E F G 60 kN 4m A B C D 80 kN 60 kN 100 kN 4m 4m 4m圖三

（20 分）

一懸臂梁受分佈力作用於右半段如圖四所示，此梁有固定之撓曲剛性（Flexural rigidity）EI 值。以積分法推導梁的撓度方程式（Deflection by integration）。（設材料為線性彈性材料）（20 分）w A B C L/2 L/2圖四

（20 分）