工程力學（機械工程組）　申論題歷屆試題與參考架構

如圖一所示，已知楔形塊（wedge）的楔角θ為60o，並且已知無論兩端施力P是多少，該系統都可以維持在自我鎖結（self-locking）的狀態，請問此時楔形塊與兩旁的物塊接觸的最大靜摩擦係數μs是多少？本題忽略楔形塊之質量， 3  1.732 。（25分）圖一

（25 分）

如圖二所示，圓盤A質量為1 kg，在光滑的平面上以(vA)1 = 5 m/s的速度向前滑動，質量為4 kg的圓盤B以速度為(vB)1 = 2 m/s朝向圓盤A滑動，兩圓盤做直接中心碰撞。假設兩圓盤間之恢復係數e = 0.4，計算碰撞後A與B的速度。（20分）圖二

（20 分）

如圖三所示，有一質量為10 kg的細長桿AB，連結著BC彈簧，開始的時候為靜止狀態，並且ABC維持水平直線，彈簧BC處於未拉伸狀態。而當AB桿因自重相對於A點產生順時針旋轉運動，已知AB桿與水平面夾角θ為45o時，運動停止，請求出彈簧BC的彈簧係數應該為多少？（20分）cos(45o)=sin(45o)=0.7071圖三

（20 分）

如圖四所示，直徑80 mm、長度共1.2 m的6061-T6鋁合金軸（剪力模數G = 26 GPa），C端為固定端，BC段受到分布力矩10 kN∙m/m作用，而在A端受到扭矩T作用，並且已知在A端的總扭轉角ϕ = -0.1 rad，請問T應為多少？（35分）圖四

（35 分）

如 圖 所 示 由 三 根 桿 件 所 構 成 之 空 間 桁 架 ， 桿 件 端 點 都 是 球 窩 接 頭（ball-and-socket joints），在 D 點之作用力 F = (135i+200j  180k) kN。試求在 ED 桿件之反力大小及說明其為張力或壓力。 （20 分）z E 6m 2 m1 m C B y D 3m F A 4m 6m 3m x

（20 分）

如圖所示，有一繩索末端繫有一質量 m 之質點，另一端則繞在一半徑為R 之圓柱上。在時間 t = 0 時，質點之初始速度為 v0，且繩索繃緊之初始長度為 L0。若繩索與質點都假設於水平面上，且除繩索之張力 T 外，並無其他外力作用，試求繩索張力 T 隨角度 之改變關係函數式。 （20 分）L0 m R 時間t = 0 v0 θ時間t

（20 分）

如圖所示，有一 1 kg 質量之圓球 A 在水平面上以 10 m/s 之速度撞擊一2 m 長、4 kg 質量之靜止桿件 B。若撞擊後球黏著於桿件上（即恢復係數為 0），試求撞擊後桿件之角速度。 （20 分）2m 10 m/s B A

（20 分）

如圖所示之鋼軸（G = 75 GPa）由直徑為 80 mm 實心圓桿所組成，軸 B端為完全固定，而 A 端有 0.005 rad 之餘隙，即可自由轉動 0.005 rad 後就固定。軸上 C、D 處分別承受圖中所示之外力扭矩，且於 D 點處承受750 N·m 之外加扭矩，試求軸內之最大扭轉剪應力。 （20 分）2 kN·m 4 kN·m B D 600 mm C 600 mm A 600 mm

（20 分）

如圖吊架吊掛重物 C 質量為 500 kg，其中桿件 AB 為鋼製（E = 207 GPa）之實心圓截面，且設計時針對預防挫曲 （buckling）失效的安全係數為 2.0，試求此桿件設計時所需之直徑。（20 分）A 45∘ D 4m 60∘ C B

（20 分）

如圖所示，一吊桿由梁 AB 與桿件 BC 構成，兩者於 B 處銷接（pin，末端 A 與 C 固定於剛性牆之銷支撐（pin support）connected） 。梁的截面為 b（寬）× h（高）之矩形。梁 AB 的中點吊掛 6 kN 重物，其承受組合荷載（combined loading）且結構自重不計。請回答下列問題： （每小題10 分，共 30 分）

（一）繪製梁 AB 的自由體圖，計算支撐點 A 的反力及桿件 BC 的軸力。

（二）繪製梁 AB 的剪力分布圖及彎矩分布圖，並且計算吊掛重物處的剪力及彎矩。

（三）梁 AB 吊掛重物處截面承受的最大壓應力、最大橫向剪應力及各別位置。C 0.6 m y b x h A B 0.4 m 0.4 m 6 kN

（30 分）

如圖所示，末端固定於剛性牆的兩支等長圓柱構件 AB 及 BC，構件連結處 B 設有法蘭（flanges） ，兩者中心線對準。由於安裝誤差，兩法蘭的螺栓孔角度相差 θ。組裝時施予扭轉荷載，將其對準栓接後，移除施加的荷載。兩圓柱構件具有相同的剪力模數（shear modulus）G，面積極慣性矩（polar moment of inertia of area）分別為 3I0 及 I0。試問兩圓柱構件組裝後的殘留扭矩 T 及法蘭的扭轉角（angle of twist）φ。（20 分） A C 3I 0 I0 B B L L

（20 分）

如圖所示，一個正三角鐵平面與鉛垂面平行，頂點 A 懸掛於天花板上的銷支撐（pin support）。三角鐵總質量為 m，邊長為 L，頂點 A 與質心 G之連線的水平傾角為 θ。將正三角鐵於  30 處由靜止下釋放，繞頂點A 旋轉。重力加速度以符號 g 表示。請回答下列問題：

（一）正三角鐵相對 A 點的轉動慣量（moment of inertia of mass）值。（10 分）

（二）當   90 時，銷支撐 A 施予三角鐵的水平力及鉛垂力是多少？（15 分）L A B θ G L L C

（25 分）

如圖所示，一個均質半圓柱靜置於水平地面，質量為 m，半徑為 r。已知半圓柱的質心 G 與圓心 O 距離 y  4r (3π) ，相對圓心 O 的轉動慣量（moment of inertia of mass）為 IO  mr 2 2 ，重力加速度以符號 g 表示。施一傾斜力 P 於 B 點，使半圓柱開始轉動而不滑動（roll without sliding） 。請回答下列問題：

（一）繪製半圓柱於初始瞬間的自由體圖及動力圖（kinetic diagram）。（5 分）

（二）半圓柱於初始瞬間的角加速度 α？（10 分）

（三）半圓柱與地面至少需要的最大靜摩擦係數？（10 分）P 60o A O B y r G C

（25 分）

如圖所示，已知剛性桿AB和BC在B處銷釘連接（pin connected）。假設D處之彈簧的剛度（stiffness）為k，試決定系統的臨界載荷Pcr 。（20分）

（20 分）

如圖所示，其中點A為原點。已知簡支樑之截面為b×h之矩形，其中b為樑之寬度、h為樑之高度，請回答下列問題：（每小題5分，共30分）

（一）試繪製簡支樑（simply supported beam）的自由體圖，並求點A和B處的反力。

（二）試繪製簡支樑的剪力圖，並且求外力作用處的剪力。

（三）試繪製簡支樑的彎矩圖，並且求外力作用處的彎矩。

（四）試求沿簡支樑中立軸（neutral axis）的最大剪應力τmax（maximum shear stress）及其位置。

（五）試求沿簡支樑上表面（y = 0.5h）的最大剪應力及其位置。

（六）試求簡支樑之最大剪應力及其位置。-My QV（提示參考公式： , =± + ，σ = ，τ = 。）I Ib

（30 分）

如圖所示，一質量m = 1.8 kg的軸環A連接到彈簧上，並且可以在水平桿上滑動而不產生摩擦。已知彈簧常數k = 1051 N/m，且當軸環受到壓縮而在靜止狀態自由釋放時，是以初始速度v = 1.4 m/s向右移動。請回答下列問題：

（一）若以水平向右代表x-軸，試繪製軸環A的自由體圖，並推導其運動方程式。 （10分）

（二）直接利用小題（一）的結果，試表明或驗證軸環A的運動方程式可以表為（5分）x = Csinωt+Dcosωt，其中C和D為常係數，ω為自然頻率，及t為時間。

（三）試決定軸環A在運動過程中的自然頻率ω、振幅和最大加速度各為多少？（10分）

（25 分）

將質量m = 5 kg的球以ω0 = 10 rad⁄s的後旋方式放在一巷道上，其質心O的速度為v0 = 5 m⁄s。試決定球停止旋轉的時間，以及此時的質心速度。假設球與巷道之間的動摩擦係數為μk = 0.08。（25分）

（25 分）

一煞車桿用來停止一受到扭矩（couple moment）M0 = 360 N．m 而轉動之飛輪。若煞車桿與飛輪之間的靜摩擦係數（coefficient of static friction）μs = 0.6，試求所需施加之最小力量 P。（20 分）P 1m 0.4 m C B 0.05 m M0 O 0.3 m

（20 分）

一 50 kg 之重塊 A 由靜止釋放，試求 15 kg 之重塊 B 於 2 sec 後之速度。（20 分）E C D B A

（20 分）

一 2 Mg 重之後輪驅動卡車由靜止以一等加速度開始加速。試問此車要達到 16 m/s 之速度時，所需之最短時間為何？已知輪胎與地面間之靜摩擦係數（coefficient of static friction）μs = 0.8。另忽略輪胎質量，且前輪自由轉動。（20 分）G 0.75 m A B 2m 1.5 m

（20 分）

簡支樑（simply supported beam）長 1.95 m，矩形截面尺寸寬 150 mm，高 300 mm。試求此樑受到 22.5 kN/m 均勻分佈力（uniform distributed load）時，樑內之最大剪切應力（maximum shear stress, τmax）及最大彎曲應力（maximum bending stress, σmax）。（20 分）22.5 kN/m 300 mm 150 mm 1.95 m

（20 分）

一圓柱壓力容器受到扭力（torque）T = 90 kN 及彎矩（bending moment）M = 100 kN．m。已知圓柱外徑 300 mm，厚度 25 mm，內部壓力 p = 6.25 MPa。試求圓柱殼上之最大拉應力（tensile stress, σt）、壓應力（compressive stress, σc）及剪切應力（shear stress, τmax）。（20 分）y0 T M M T x0 z0

（20 分）

如圖一所示有一平行於水平面之力 P，在接觸點 A, B 及 C 的靜摩擦係數（coefficient of static friction）分別為 μA = 0.2、μB = 0.3 及 μC =0.4。100 kg 的滾子（roller）和 40 kg的管子（tube）的半徑皆為 150 mm。計算推管子上 30° 的斜面所需最小的力 P。 （25 分）圖一

（25 分）

如圖二所示，鋁軸 AB 緊密地結合至黃銅軸 BD，而黃銅軸中的 CD 部分是中空的且中空部分內部直徑為 40 mm，計算在 A 端的扭角（angle of twist）。黃銅的剛性模數（modulus of rigidity）G = 39 GPa，鋁的 G = 27 GPa。（25 分）60 mm TB = 1600 N．m 36 mm TA = 800 N．m 250 mm 375 mm 400 mm圖二全一張（背面）

（25 分）

（一）使用面積力矩法（area moment method）求取在圖三支持端 A 及 B 的反作用力。EI是常數，E 為楊氏模數（Young’s modulus），I 為面積慣性矩（area moment of inertia）。（17 分）

（二）畫出樑之剪力圖及彎矩圖。（8 分）圖三

（25 分）

如圖四所示，一長為 2.5 m 且質量為 15 kg 的細長桿件樞接（pivoted）在點 O。細長桿件的左端壓著一彈簧常數 k = 300 kN/m 的彈簧直至彈簧的高度為 40 mm，此時細長桿件在一水平的位置，假若細長桿件由此位置釋放，計算當細長桿件通過一垂直的位置時的角速度及在 O 點的反作用力。 （25 分）2.5 m 0.5 m圖四

（25 分）

如圖所示，設若所有接觸界面的靜摩擦係數（coefficient of static friction）為 μs，並且A 和 B 為全同之塊體（identical blocks），重量皆為 W。試求使 A 和 B 開始產生滑動之 θ 值為多少？（20 分）A B θ

（20 分）

如圖所示，已知齒輪 C 由軸 DE 驅動，當齒輪 B 繞著它的中心軸 GF 自由旋轉時，中心軸 GF 繞著軸 DE 自由旋轉。設若齒輪 A 保持靜止(ωA = 0)，以及軸 DE 以固定之角速度(ωDE = 10 rad/s)轉動，試求齒輪 B 的角速度。（20 分）z C D 150 mm G F y 150 mm B A ωA ωDE =10 rad/s E 150 mm全一張（背面）

（20 分）

如圖所示，質量 5 g 的彈珠在 A 處以靜止狀態通過玻璃管後落下於裝罐車之 C 處。假設裝罐車的尺寸及摩擦阻力皆可忽略，試求：

（一）裝罐車到玻璃管端 B 的水平距離 R。（10 分）

（二）彈珠落在 C 處時的速度。 （10 分）A B 3m 2m C R

（20 分）

以 20 Hz 頻率旋轉的不銹鋼軸，在 A 和 B 處由平滑軸承支持，並可自由旋轉。已知不銹鋼的容許剪應力 τallow = 56 MPa，剪模數 G = 76 GPa，而 C 相對於 D 容許的扭轉角為 0.2°，試求不銹鋼軸直徑應為多少？設若馬達輸出功率為 30 kW，齒輪 C 和 D分別使用 18 kW 和 12 kW，且摩擦損失可以忽略。 （20 分）A C D 250 mm B 200 mm 150 mm

（20 分）

如圖所示，樑在 A 端為滾柱支持（roller support），在 B 端為固定支持（fixed support），受到線性分布負載（distributed loading），試求 B 端的反作用力（reactions）。假設軸向應力可忽略不計，且軸之撓曲剛度 EI 為常數。 （20 分）w0 A B x L

（20 分）

無重量懸臂樑 AB 受分佈力作用如下圖。試繪懸臂樑 AB 之自由體圖（Free Body Diagram），剪力分佈圖（Shear force diagram）及彎矩分佈圖（Bending moment。並試求最大彎矩之大小及其發生位置。diagram） （20 分）πx w = w0 sin 2L y x A B L

（20 分）

x-y 座標相對於地面為固定，其原點 O 為楔子 Q 與方塊 P 系統自靜止狀態釋放前的重心，P 及 Q 的質量同為 5 kg，所有接觸均為光滑無摩擦。系統釋放後，P 沿楔子 Q斜面下滑 2 m 時，試求：

（一）方塊 P 沿楔子 Q 斜面方向之速度及加速度各為多少？（10 分）

（二）楔子 Q 之速度及加速度各為多少？（8 分）

（三）楔子 Q 與方塊 P 系統的重心座標為何？（7 分）

（四）試驗證系統之機械能是否守恆。 （10 分）y P x O Q 30o全一張（背面）

（35 分）

下圖鋼螺栓之螺帽在 20℃時剛好輕輕旋緊在鋁套筒不受力。套筒的內外半徑分別為4 mm 及 5 mm，套筒長度為 20 cm。螺栓半徑為 3.5 mm。鋼與鋁的熱膨脹係數分別為 14×10-6/℃及 23×10-6/℃，楊氏係數則分別為 2×105 MPa 及 7×104 MPa。試求當溫度上升至 120℃時：

（一）套筒及螺栓各自所受的負載。（10 分）

（二）套筒及螺栓各自的伸長量。（10 分）鋁套筒鋼螺栓

（20 分）

直徑 5 mm 之圓桿 ST 受軸向力 P 作用如下圖(a)。圓桿材料的楊氏係數為 2×105 MPa，其應力(σ)-應變(ε)曲線如下圖(b)。

（一）圖(b)的 σ-ε 曲線可透過何種試驗獲得？曲線上相應於 A 點的應力在力學上的名稱為何？（4 分）

（二） ST 可反抗的最大施力 Pmax 為多少？如控制 P 使其自零慢慢增加至 Pmax，試述 ST變形的過程及其最終的狀態。（10 分）

（三）如施加適當負載將圓桿材料的應力-應變狀態帶到 B 點，則圓桿中此時的應變能密度為多少？（5 分）

（四）如到 B 點後，將負載完全撤去，則圓桿最後的伸長量為多少？（6 分）σ（MPa） 斷裂點S 400 A B X 1m T 0 0.1 ε P圖(a) 圖(b)（本圖為示意圖，未按比例繪畫）

（25 分）

考慮斷面如圖一所示（圖內長度單位為 mm）。（每小題 10 分，共 20 分）

（一）試求斷面之形心坐標。

（二）試求斷面對 x 軸之慣性矩。120 120 x 240 240圖一

（20 分）

如圖二所示，輪子質量 m = 25 kg ，半徑 r = 400 mm，且對輪子質心 G 之迴轉半徑為rk = 300 mm 。 已 知 輪 子 與 水 平 地 面 之 靜 摩 擦 係 數 μ s = 0 .25 ， 動 摩 擦 係 數μ k = 0 .2 。今於輪子上施加一力偶矩 M = 50 N ⋅ m ，試求：（每小題 10 分，共 30 分）

（一）輪子之運動狀態（純滾動？或滾動且滑動？）。

（二）輪子之角加速度。

（三）輪子之水平加速度。M r G圖二全一張（背面）

（30 分）

如圖三所示，均勻簡支梁 ABC，梁的撓曲剛度為 EI。其中 L = 2 m， q = 12 kN m ，P = 36 kN ， M 0 = 48 kN ⋅ m 。

（一）試求 A 及 C 端之反作用力。（5 分）

（二）試繪製梁 ABC 之剪力與彎矩分布圖，並標示最大剪力及最大彎矩，以及剪力及彎矩不連續處之值為何。（10 分）

（三）若 EI = 135 kN ⋅ m 2 ，試求 C 端處之轉角。（10 分）P q M0 A C B L/2 L/2圖三

（25 分）

如圖四所示，實心複合扭力構件 ABC，其 A 端為固定端，B 點承受扭矩 T，C 點承受拉力 P 及扭矩 T；其中 P = 125 kN ， T = 1 .2 kN ⋅ m ， L = 0 .6 m ， r = 25 mm 。已知 AB 段材料之楊氏模數及剪力模數分別為 E1 = 200 GPa 及 G1 = 80 GPa ，而 BC 段材料之楊氏模數及剪力模數則分別為 E 2 = 150 GPa 及 G 2 = 60 GPa 。假設材料間緊密結合。試求：

（一） A 點處之反力。（5 分）

（二） C 點的扭轉角。（5 分）

（三） AB 段中之最大主應力（principal stress）及最大剪應力。（15 分）T T P A B C L L r r AB 段斷面 BC 段斷面圖四

（25 分）

如圖一所示，AC 及 CE 是重量均為 W 的桿件，A 及 C 是鉸接（hinge），E 是在垂直平滑面上的滾輪，BD 是彈簧。若彈簧之彈簧常數為 k 且其不受力時之長度為 d，試求在靜態平衡時：（每小題 10 分，共 20 分）在滾輪 E 之反作用力。W 與角度的關係式。a B A b k  C  E b a D圖一

（20 分）

如圖二所示，桿件 AB 的 A 端位於水平面上，B 端在一傾斜面上。若 A 及 B 處之摩擦係數均為且桿重不計，試求：（每小題 10 分，共 20 分）A 端之垂直反作用力。可以承受力量 P 的最大距離 a。L a P A B 圖二

（20 分）

如圖三所示，A 為動滑輪，B 為定滑輪，繩之一端固定於天花板上。假設質量 m1 以等加速度 a 下降，重力加速度為 g，且繩及滑輪之重量不計。若繩之張力為 T，試求：（每小題 10 分，共 20 分）a 與 m1 及 T 的關係式。a 與 m1 及 m2 的關係式。A B m1 m2圖三全一張（背面）

（20 分）

如圖四所示，A、B、C、D 均為鉸接（hinge），各桿件之截面積及楊式模數（Young's modulus）均相同。在組裝完 AD 及 CD 後發現 BD 之原始長度較 L 短，故將其從室溫加熱伸長至 L，再將桿件置入。若 BD 冷卻至室溫時，其受力為 P，D 點的垂直位移為D。試求：（每小題 10 分，共 20 分）D 與 P 的關係式。P 與的關係式。 A B C L  D圖四

（20 分）

如圖五所示，A 是固定支承，B 是 P 的施力點，C 是鉸接，D 是簡支承，AC 及 CD具相同的慣性矩 I 及楊氏模數 E。試求：（每小題 10 分，共 20 分）AB 間的撓度（deflection）曲線。C 點的撓度及 D 點的轉角（rotation）。L L L x P A B C D圖五

（20 分）

有一樑的截面如圖所示，試求此截面之面積二次矩 Ix、Iy、Ixy 及極慣性矩 J0；（5 分）試求此截面之主軸（principal axes）方向之角度α；（5 分）試求此截面在不同座標 x′ 、 y′ 之最大及最小面積二次矩 Imax、Imin；（5 分）若此截面承受 Mx 彎矩，試以不對稱彎曲（unsymmetrical bending）之觀念判斷說明此樑之撓曲變形特徵。（5 分）40 mm y 10 mm y' x' α O x 80 mm 10 mm 10 mm 50 mm

（20 分）

如圖一所示重量為 1000 N 之物體置於靜摩擦係數為 0.3、動摩擦係數為 0.2 之水平面上，假設拉力 F 隨時間之變動如圖二所示，試繪出摩擦力隨時間之變動曲線；（10 分）假設物體初始位置 x=0，且重力加速度為 10 m/s2，試繪出 x 隨時間之變動曲線。（10 分）+200 N F x W=1000 N 0 1 2 3 4 t (s) F -400 N圖一 圖二（背面）類 科： 機械工程

（20 分）

如圖之套筒滑塊 C 質量為 1.2 kg，可在無摩擦之水平滑軌上自由移動，其下方分別以彈簧常數為 k＝400 N/m 之彈簧連接到三個固定點 A、D、B，彈簧之自由長度為150 mm，試求滑塊 C 從圖示位置靜止釋放後，可達到之最高速度。（20 分）C k k 150 mm k A D B 150 mm 150 mm

（20 分）

如圖之馬達動力源由 A 端傳動之轉速為 192 rpm、功率為 300 kW，而由 B 齒輪及 C齒輪分別傳出之功率為 120 kW 及 180 kW。假設軸為實心且均一直徑 d，剪力模數 G＝75 GPa，容許剪應力為 50 MPa，A、C 兩端間之容許扭轉角為 0.02 rad，試求設計應選用之軸直徑 d。（20 分）A d B C 1.5 m 0.9 m

（20 分）

如圖所示之簡支樑具有階梯之截面，其中 I1=I、I2=3I，中心點 C 承受一集中負載 P，材料楊氏係數為 E，試求因 P 所產生端點之撓曲斜角及中心點 C 之撓曲位移。（20 分）P I1 I2 C I1 A B L/4 L/4 L/4 L/4

（20 分）