時序分析　申論題歷屆試題與參考架構

若時間序列 h(t)的傅立葉轉換（Fourier Transform）為 H ( f )   h(t )e  j 2 ft dt ，其中 t 是時間，f 是頻率，j 是虛數(=√-1)，請回答下列問題：

（一）請寫出其逆傅立葉轉換（Inverse Fourier Transform）的型式。（3 分）

（二）請寫出其離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform）的型式（假設時間取樣為 T，N 個資料點數，n 表示第 n 個頻率資料點，k 表示第 k個時間資料點） 。（4 分）

（三）若 h(t)是一純虛數（pure imaginary）時間序列，請證明其傅立葉轉換後，在頻率域的實部（Real part）是奇函數（odd function），而虛部（Imaginary part）是偶函數（even function）。（8 分）

（四）若在頻率域（frequency domain）將訊號移動一個線性相位（Linear phase；頻率與相位成正比），待其逆轉回時間域（time domain）時，此時間序列會有何變化？（5 分）

（20 分）

有三個時間序列 x(t)、y(t)和 o(t)，有 x(t)*y(t) = o(t)的關係，其中符號" ∗ "表示摺積（convolution） ，以符號" ⊗ "表示相關運算（correlations） ，請回答下列問題：

（一）請寫出 x(t)與 y(t)的摺積數學積分型式。（3 分）

（二）承（一），並說明此積分的意義。（可繪圖輔助說明） （7 分）

（三）從 x(t)和 o(t)求 y(t)或從 y(t)和 o(t)求 x(t)，稱為反摺積（deconvolution） ，地 震 學 上 ， 經 常 利 用 反 摺 積 來 去 除 地 震 儀 器 響 應 （ instrumental response）、反演震源時間函數（source time function） 、推導接收函數（receiver function）等等。請從頻率域說明如何進行反摺積以求得y(t)？請問這樣的做法會造成何種問題？該如何解決？（10 分）

（四）在離散下，若 x(t) = (2, 1, 3, 6, 4, 2, 2)和 o(t) = (2, 5, 7, 23, 24, 31, 40, 26, 12, 10)，假設等間隔時間取樣為 1，第一點為時間 0，時間序列往右為時間增加，求 y(t) =？（請寫出計算過程） （5 分）

（五）請證明 a (t )  b(t )  a (t )  b(t ) 。（5 分）

（30 分）

請回答下列有關波形取樣（waveform sampling）及資料處理的問題：

（一）一時間域的取樣函數（sampling function）為一連續脈衝函數的組合，表示為 x(t)   n  (t  nT ) ， 為取樣時間， 為整數，請證明其傅立 1  n葉轉換後為 X(f )=  T n  ( f  T ) 。（10 分）

（二）當一帶寬限制（band-limited）的連續時間函數 h(t)經過波形取樣，其離散傅立葉轉換後會產生那些現象？請說明。 （可繪圖輔助說明）（10 分）

（三）在地震研究中，有時為了分析的需求，經常對原始地震波形降採樣（down-sampling），若採用內插方式（interpolation）來降採樣，此時有一時間取樣為 0.01 秒的資料需降採樣至 0.1 秒時，請問會產生何種問題？該如何處理？（5 分）

（25 分）

表面波（surface wave）是地震研究的重要震波之一，要計算表面波的群速（group velocity）經常利用高斯濾波器（Gaussian filter）來進行時頻分析（Time-Frequency analysis），請回答下列問題：

（一）何謂時頻分析？（3 分）

（二）請寫出高斯濾波器在時間域和頻率域的一般表示式。（4 分）

（三）如何利用高斯濾波器進行時頻分析以求得表面波的群速？（8 分）

（四）下圖是以某一中心頻率濾波後所得到頻率域的實部及虛部，請問該如何安排此實部及虛部，使其能正確逆轉換回到時間域？（可繪圖輔助說明）（5 分）

（五）承（四），若此頻譜為位移譜，請問在頻率域該如何處理，使其逆傳換回到時間域後變為速度紀錄？（5 分）Real part Imaginary part（實部） （虛部）fN fN ⦁：資料點fN：Nyquist frequency

（25 分）

一個時間函數 y (t) 若能表示為傅氏級數（Fourier series）: a0 ∞ y (t ) = + ∑ a n cos( 2π n ∆ f t ) + bn sin( 2π n ∆ f t ) 2 n =1則 y (t) 有何特性？（10 分）

（10 分）

（一）何謂映頻效應（aliasing）？（5 分）

（二）在取樣時，如何降低映頻效應的發生？（5 分）

（三）以間隔 10 m 形成一線型地震儀陣列，時間取樣間隔為 0.01 sec，有一速度為 600 m/sec的震波信號經過，若震波頻率為 40 Hz，則陣列上取得的波長為多少？（10 分）

（20 分）

收到一筆 30 sec 長的地震紀錄，時間取樣間隔 0.01 sec，欲濾出 2 Hz 至 10 Hz 的信號，試說明濾波之每一步驟（包括用到的點數、長度、頻率範圍、資料點安排等）。（20 分）

（20 分）

（一）如何獲得一個地震儀的儀器響應？（10 分）

（二）如何去除地震紀錄裡的儀器響應？（10 分）

（20 分）

如何將加速度（acceleration）地震紀錄轉成速度（velocity）地震紀錄？（10 分）

（10 分）

若傅氏轉換（Fourier transform）及逆傅氏轉換（inverse Fourier transform）表為：（ j = −1 ）∞ ∞ H ( f ) = ∫ h(t )e − j 2π f t dt 及 h(t ) = ∫ H ( f )e j 2π f t df −∞ −∞試寫出對應之離散傅氏轉換（discrete Fourier transform）及逆離散傅氏轉換（inverse discrete Fourier transform）。（20 分）

（20 分）