工程力學　申論題歷屆試題與參考架構

如圖一所示，一質量為 20 kg 的滑塊靜止放在斜面上，斜面的靜摩擦係數為 0.3，若施加一拉力 T 在滑塊上，使滑塊保持靜止不動，求 T 大小為多少？（20 分）圖一

（20 分）

如圖二所示，一質量為 100 kg 的滑塊放置於 A 點且平貼於光滑斜面上，圖中水平地面之磨擦係數 fs 為 0.2，且在 C 點放置一彈簧，其彈簧係數ks 為 200 N/m。若滑塊從 A 點靜止釋放後滑下斜面，假設滑塊在運動過程中緊貼斜面與水平地面，並於水平地面滑行。請問滑塊是否會撞上彈簧？若有撞上彈簧，試求彈簧最大壓縮距離？（假設滑塊與彈簧撞擊時，過程為完全非彈性碰撞，恢復係數 e=0）（20 分）圖二

（20 分）

有一樑如圖三所示，在 C 點受 6 kN∙m 彎矩作用，以及在 BE 段受到一均佈負載 w 作用，試求：

（一）與水平面夾角 60°斜面上作用於 D 點之正向應力與剪應力。（8 分）

（二） D 點之主應力與主應力方向。（12 分）500 mm 300 mm圖三

（20 分）

有一滑車在軌道上直線移動如圖四所示，當滑車行駛至 P 點，此時滑車之速度 v = 8 m/s，加速度 a = 1.5 m/s2，OP 之距離 r = 30 m，θ = 135°，請問此瞬間之 ̇ 、 ̈ 、 ̇ 與 ̈ 為多少？（20 分）圖四

（20 分）

如圖五所示，一長方體放在兩固定剛體平板中間，若施加一集中力 200 kN在長方體上，試求長方體 x 方向應變為多少？（長方體彈性模數 E 為200 GPa，蒲松比 ν = 0.32）（20 分）圖五

（20 分）

如圖一所示，兩液壓缸（Hydraulic Cylinder）AE 和 DG 用來控制機械人手臂 ABC 的位置。如圖一所示的位置 AE 和 DG 是平行的，當 P = 160 N和 Q = 80 N 時，決定各液壓缸所施加的力。 （25 分）圖一

（25 分）

如圖二所示，一半徑 60 mm 的鼓(Drum) 依附在一半徑 120 mm 的盤（Disk）上。盤和鼓的總質量為 6 kg 且兩者組合的旋轉半徑（Radius of Gyration）為 90 mm。一繩索以一力 P = 20 N 施加於 G 點。已知盤是旋轉但不滑行（Rolls without Sliding），決定：

（一）盤的角加速度和 G 點的加速度。（10 分）

（二）相配此運動所需最小靜摩擦係數值。（15 分）圖二

（25 分）

圖三所示之懸臂梁的斷面係由兩片各為 150 mm ×15 mm 的鋼板所焊接而成。若可容許彎曲應力為 170 MPa 及可容許剪切應力為 95 MPa，

（一）畫出梁之剪力圖及彎矩圖。（5 分）

（二）決定梁可安全承載的最大 P 值。（20 分）圖三

（25 分）

如圖四所示的承受軸向力及扭矩之直昇機（圖(a)）旋轉翼軸（Rotor Shaft）之應力狀態（圖(b)），使用摩爾圓（Mohr’s Circle）決定：

（一）由 x 軸逆時針旋轉 22.5° 之應力狀態。（10 分）

（二）旋轉翼軸之主應力（Principal Stresses）及絕對最大剪應力（Absolute Maximum Shear Stress）。（15 分）圖圖圖四

（25 分）

如圖一所示，桿 AB（桿長8 m），其兩端點 A 及 B，均只能沿著傾斜面上下移動。已知當桿為水平時，端點 A 沿著傾斜面向下的速度 vA 及加速度 aA 分別為2 m/s 及4 m/s2。試求在此一瞬間：（每小題5分，共20分）

（一） B 端點之速度。

（二）桿 AB 之角速度。

（三） B 端點之加速度。

（四）桿 AB 之角加速度。圖一

（20 分）

如圖二所示，均勻長桿 AB（桿長0.6 m，質量10 kg）在垂直面上移動，其兩端 A 及 B 鉸接於滑塊上，分別被限制只能於水平及垂直的滑軌內移動。假設摩擦力以及滑塊之質量均可忽略不計。已知長桿一開始於θ = 30°時保持靜止。若於 A 點之滑塊施以50 N 的水平力，試求此瞬間：（每小題10分，共20分）

（一）桿 AB 的角加速度。

（二） A 及 B 端之滑塊所受之反作用力。圖二

（20 分）

如圖三所示，斷面為正方形的複合實心桿 ABC，A 端為固定端。AB 段由內外兩種材料緊密套合而成，分別為內材料截面積 Ai = 2,000 mm2、楊氏模數 Ei = 150 GPa，外材料截面積 Ao = 4,000 mm2、楊氏模數 Eo = 100 GPa。BC 段截面積 As = 6,000 mm2、楊氏模數 Es = 150 GPa。若 B 及 C兩點分別承受集中軸力 P 及 Q 作用，同時 BC 段承受均布軸力 q。設 L = 0.3 m，Q = 210 kN，q = 500 kN/m 時，C 點的位移正好為零。【不考慮挫曲（buckling） 】試求此時：

（一）作用力 P。 （10分）

（二） B 點的位移。 （10分）AB段之斷面 BC段之斷面圖三

（20 分）

如圖四(i)所示，組合梁 ABC，A 為滾支撐，B 為鉸接，C 為固定端，楊氏模數 E = 200 GPa。斷面為倒 T 形，其尺寸如圖四(ii)所示（單位為 mm）。試求：

（一） A 及 C 端之反力及反力矩。（5分）

（二） B 處之撓度。 （5分）

（三）梁之剪力及彎矩分布圖。 （10分）

（四）斷面形心位置以及對中性軸之慣性矩 I。（10分）

（五）若 L = 1 m，q = 10 kN/m 試求在固定端斷面處之最大彎曲壓應力及最大彎曲拉應力。（10分）圖四

（40 分）

長 L 的平面懸臂梁 AB 中，A 點為固定端，在 B 點處用插銷（Pin）方式與桿件 BC 連接，其中 C 點為一鉸支撐（Hinge），梁 AB 承受一均佈負荷（單位長度荷重為 w） 。令梁和桿件的楊氏係數為 E 及彎曲慣性力矩為 I，桿件 BC 的斷面面積為 A。若梁 AB 的軸向變形可忽略不計，試求當桿件 BC 產生挫曲時的最小 w（用 E, A, I, L 來表示；忽略梁和桿的重量）。 （20 分）w A B L C L L

（20 分）

一平面架構 ABCD 由三根長度為 L、具實心圓型斷面（半徑為 r）的桿件連結而成，此架構平放在 x-y 平面上，其中 A 點為固定端，D 點為自由端，且在 D 點受一往下（z 方向）的力 P 作用。在 B 點切一斷面 s-s，並考慮該斷面頂端 a 點的應力狀況。用 P，L，r 來表示所有應力；忽略桿的重量。試求：

（一）在 x-y-z 座標中，用一三維應力單元體畫出 a 點的應力分量。（10 分）

（二） a 點在 x-y 平面所產生的兩個主應力。（10 分）L s A a x s B z y x L r P L z D C L s-s 斷面y

（20 分）

套管 B 與桿 AB 用插銷方式連接於 B 上，並在光滑的軸 CD 以等速度VB = 2 m/s 往上滑行，3 m 長之桿 AB 的 A 端則在光滑的斜面上滑動。在此瞬間，試求桿 AB 之角速度 ωAB 及Ａ端的速度 VA。 （20 分）C VB B 50° 3m A D 45°

（20 分）

無質量連桿 BC 與一質量為 45 kg 之圓碟（半徑 r = 0.125 m）用插銷方式連接於碟之邊緣 B 點處，連桿 BC 受一對力偶（P）作用，而圓碟與地板之間的靜摩擦係數為 μA = 0.2。試求圓碟不發生運動下的最大 P 值。（P 用牛頓 N 表示；令 g = 9.8 m/s2）（20 分）0.3 m C 0.1 m P 0.2 m 0.4 m P 0.1 m B r A

（20 分）

一總質量為 M 且密度為均勻分佈的梁在 A 及 B 兩端分別由彈簧（彈簧係數為 k）和繩子支撐著。考慮在 B 點的繩子突然發生斷裂的瞬間，梁的角加速度（Angular acceleration）為何？（20 分）k A B 4m 4m 3m 3m L

（20 分）

如圖所示之結構，B 處為搖塊（rocker）支撐，銷接點皆無摩擦，試繪相關之受力自由體圖（free-body diagram），並求在 A、B 點處分別之水平與垂直方向反力（reactions）。（20 分）800 N.m C 600 N B 1.5 m A 2m 1.5 m 2m 45° D

（20 分）

如圖一所示有兩部質量相同之轎車在 C 點處產生對頭撞擊，撞擊後兩部車的煞車皆鎖死，並滑動到下方圖二所示之位置停止。若已知 A 車在撞擊前瞬間的車速為 8 km/h，且路面與車輪間的滑動摩擦係數為 0.30，試求 B 車在撞擊前瞬間之車速。（20 分）vA vB C A B圖一A B 1m 4m 圖二C

（20 分）

如圖所示節圓半徑為 80 mm 之齒輪，質量為 5 kg、迴轉半徑（radius of gyration）為 60 mm。桿件 AB 質量為 4 kg，A 端銷接於齒輪軸、B 端在一垂直方向之無摩擦溝槽內移動。若系統由θ = 60o 位置靜止釋放，試求θ = 20o 位置時桿件 AB 之角速度。（20 分）A 80 mm θ 320 mm B

（20 分）

如 圖 所 示 之 管 件 由 A-36 鋼 （ 彈 性 模 數 E = 200 GPa 、 熱 膨 脹 係 數α = 12 × 10-6 1/℃）製成，內直徑 50 mm、壁厚 4 mm，在 15℃下組裝時管件沒有軸向力。若管件通氣後，溫度上升之分布為ΔT =（20 + 30x）℃，其中 x 為從 A 點之距離（m） 。試求通氣後管件之軸向應力。（20 分）A B 2.4 m

（20 分）

如圖所示之 75 kg 運動員兩手均勻懸吊於單槓上，單槓材質為鋼製（E = 200 GPa）、外直徑 75 mm、壁厚 3 mm，A、B 支撐點可視為簡支撐，試求單槓上之最大撓曲變形量與彎曲應力。 （20 分）0.45 m 0.9 m 0.9 m A B

（20 分）

如圖一所示之簡支撐（simply supported）伸臂梁 ABC 承受均勻分布荷載（distributed loading） q0 ，其因次（dimension）為力/單位長度。試求梁 ABC 的：

（一）剪力分布圖（shear force diagram）。（10 分）

（二）彎矩分布圖（bending moment diagram）。 （10 分）圖一

（20 分）

如圖二所示，質量為 mA、平均半徑為 r 的細圓環 A 上鑲著一個質量為 mB 的質塊 B。當質塊 B 位於θ = 60° 時，圓環從靜止狀態釋放，沿著接觸面向右滾動而不發生滑移（rolls without slipping）。若 mA = mB = m，試求：

（一）圓環的初始角加速度α 。（10 分）

（二）圓環與接觸面之間的最小靜摩擦係數 μ s 。（10 分）θ圖二

（20 分）

一根質量 120 公斤的瘦長梁 BC 的長度為 2 公尺，兩端連接兩條繩索 AB 與 AC 懸掛於天花板，如圖三所示。若繩索 AC 突然斷掉，試求：

（一）梁 BC 的初始角加速度 α 。（6 分）

（二）梁 BC 質量中心 G 的線性加速度 aG 。（8 分）

（三）繩索 AB 的瞬間張力。（6 分）° ° m圖三全一張（背面）等 別：三等考試

（20 分）

具有相同的厚度 h 及彈性常數 E 之兩塊板材 A、B 的原始長度分別為 LA、LB（如圖四所示）。板材 A 的截面高度呈線性變化，兩端的截面高度分別為 a1 與 a2；板材 B的截面高度固定為 a = (a1 + a2 ) / 2 。若兩塊板材承受相等軸向拉力的伸長量相等，求解其原始長度的比值 LA / LB。（20 分）圖四

（20 分）

一根半徑為 R 的實心圓棒（如圖五所示） ，兩端承受一對扭矩負載 T 及一對軸向拉力負載 P，圓棒表面黏貼兩枚與中心軸傾角 ± 45° 的單軸應變規，應變規讀數分別為 ε a 及ε b ，圓棒材料彈性常數為 E、剪力模數為 G = E /[2(1 + v)] 。單軸拉伸應變的座標轉換公式如下：ε θ = ε x cos 2θ + ε y sin 2θ + γ xy sinθ cosθ其中，θ 為單軸應變規與座標系統 x 軸的傾角。以應變規讀數 ε a 及 ε b 表示：

（一）扭矩負載 T 值。（10 分）

（二）軸向拉力負載 P 值。（10 分）圖五

（20 分）

如下圖所示之機構，施加一力矩 M = 600 N．m 於桿件 AB，B 點處扭力彈簧之扭轉剛性 k = 300 N．m/rad，當 θ = 90° 時扭力彈簧為未受力之狀態。A、B、C 處之接點為無摩擦之光滑銷接，桿件 C 端連接一小滾輪並與光滑地面接觸，假設桿件之重量可忽略，試求機構平衡時之角度 θ。（20 分）k = 300 N．m/rad B 0.5 m 0.5 m M = 600 N．m θ A C

（20 分）

如下圖所示，一個 1 kg 之套環 C 沿著桿件 OA 無摩擦滑動，且套環 C 以無摩擦之光滑插銷與桿件 BC 相接，桿件於水平面上轉動。於圖示之瞬間，桿件 BC 逆時針方向旋轉，使得 C 點之線速率為 1 m/s、且該線速率之增加率為 1.3 m/s2。試求：

（一）桿件 BC 之張力。（15 分）

（二）桿件 OA 施於套環之力量。 （5 分）A C O 0.6 m 30° 0.3 m B

（20 分）

如下圖所示，長度 L 之桿件 AB 由水平位置於靜止狀態下釋放，旋轉至垂直位置時撞擊另一根具有相同質量和長度之桿件 CD。桿件 CD 於撞擊前靜止放置於無摩擦之地面。假設兩桿件撞擊之恢復係數（coefficient of restitution）為 e = 0.4，試求桿件 CD於撞擊後瞬間的速度。（20 分）A B L L C D全一張（背面）等 別：三等考試

（20 分）

下圖所示為某機器之一段轉軸，其受到一扭轉力矩 T 及一軸向力 P 作用。該轉軸為中空轉軸，其外徑（outer diameter）為 do = 300 mm，內徑（inner diameter）為 di = 250 mm，在轉速 240 rpm 時輸出 1800 kW 之功率。若軸向壓力 P = 540 kN，請計算此段轉軸內之最大張應力、最大壓應力及最大剪應力。（20 分）P T T P

（20 分）

一懸臂梁右端固定，受力狀況及其截面之形狀與尺寸如下圖所示：

（一）試求圖中 A 點處之彎曲應力及剪應力，並繪製其應力元素圖。（12 分）

（二）試求圖中 A 點處的主應力，並繪製其應力元素圖。（8 分）120 kN/m 30 kN A 20 mm 20 mm 150 mm A 20 mm 0.9 m 0.3 m 150 mm

（20 分）

有一軸端之止推軸承（thrust bearing）承受如圖所示之拋物線接觸壓力分佈，若已知軸向負載為 P、接觸面之靜摩擦係數為 μ s ，試求克服轉動所需之力矩 M。（20 分）

（20 分）

如圖所示之 2 kg 質量圓柱體 C 由一銷 P 導引在 OA 桿內之長形槽滑動，且圓柱 C 亦在水平面上滑動。假設所有接觸皆為平滑（smooth）無摩擦，且 OA 桿之角速度θ& 固定為 0.5 rad/s，試求當 OA 桿角度θ 為 60°時，銷 P 上之作用力。（20 分）全一張（背面）等 別：三等考試

（20 分）

如圖所示之 30 kg 均質桿件（OA）當θ = 0° 時為靜止，且此時彈簧為自由長度。若彈簧之彈簧常數為 80 N/m，且其重量不計，試求桿件從釋放後，當θ = 90° 時，桿件之角速度。（20 分）

（20 分）

有一鋼製（G = 76 GPa）薄壁管件，其截面如圖所示，長度為 L = 1.5 m 且承受軸向扭矩 T = 10 kN-m。試求此管件之扭轉剪應力及變形扭轉角。（20 分）

（20 分）

如圖所示之機架，桿件具有均勻一致的彎曲剛性 EI，假設除彎曲力矩所造成之變形外，其餘力所造成之變形皆可以忽略。試求 C 點處因外力負載 P 所產生之垂直撓曲 δ v及水平撓曲 δ h 。（20 分）

（20 分）

如圖一所示之摩擦棘輪扳手用於將圓盤帶動產生逆時針轉動，浮動桿 AB 與圓盤接觸於＝20°處，若要轉動圓盤繞 O 之軸承轉動，所需之施力為 P＝150 N，試求：B 點不產生打滑所需之最小靜摩擦係數為多少？（10 分）A 點轉動銷所受之反力大小。（10 分）B A 600 mm P圖一

（20 分）

如圖二所示，一 2 kg 質量塊置放於一水平桿件上，初始時系統為靜止，隨後桿件以固定之角加速度 1 rad/s2 繞 O 點在垂直面上轉動，假設桿件在往上旋轉至 30°時，質量塊開始在桿件上滑移，重力加速度為 9.81 m/s2，試求桿件與質量塊間之摩擦係數為多少、質量塊之滑移為往 O 點方向或遠離 O 點方向？（20 分）2 kg 1 rad/s2 O 1m圖二

（20 分）

如圖三所示之倒單擺（inverted pendulum）由 10 lb 之球及 4 lb 之桿件所構成，若此倒單擺由 ＝ 90°之位置靜止釋放，轉動撞擊地面之恢復係數（coefficient of restitution）為e＝0.8，試求反彈後此倒單擺可上升之最大角度。重力加速度為 g＝32.2 ft/s2。（20 分）0.3 ft 2 ft   0.3 ft圖三（背面）等 別： 三等考試

（20 分）

如圖四所示之鋼軸（剪力模數 G=80 GPa）傳動結構，由兩只直徑分別為 300 mm 及200 mm 之齒輪 B、C 連動，已知扭矩 T＝400 N．m，d1= 40 mm，d2= 30 mm，且假設軸承處無摩擦，A 點處為固定，試求：D 點處之扭轉變形角度。（10 分）10 分）1.5 m C T 200 mm D d2 d1 300 mm A 1.0 1.0mm B圖四

（10 分）

如圖五所示之結構承受均佈負載 w＝6 kN/m，假設結構鋼材之楊氏係數 E＝200 GPa、降伏強度 Sy＝360 MPa，其中桿件 AB 在 x-x 軸之挫曲（buckling）邊界為兩端銷接（pinned），在 y-y 軸方向則為兩端固定（fixed），試求此結構在抵抗 AB 桿件挫曲之安全係數。（20 分）w C B 1.5 m 0.5 m 2m 30 mm x 20 mm y y A 30 mm x圖五

（20 分）

如圖所示，重量為 80 N 的均勻實心圓盤與桿件 BCD 在 D 點銷接（Pinned），並受一通過圓盤形心的垂直力 P = 120 N 作用，若不計桿件 BCD 及 AB 的重量，試求：

（一）在點 B、D 之銷（Pin）的反作用力。（8 分）

（二）桿件 AB 在θ = 30 o 及θ = 120 o 之斷面的正向內力（internal normal force）、剪力及彎矩。（12 分） P D C 0 m .3m 0.3 0.35m

0. m θ A B

（20 分）

如圖所示之槽型斷面（channel section）梁的兩端受垂直力 P1 = 15 kN 及力 P2 = 10 kN作用，已知斷面尺寸 d = 0.1 m、b = 0.15 m、t = 0.01 m，試求：

（一）該梁的剪力及彎矩圖。（5 分）

（二）該梁斷面的最大拉應力、壓應力、剪應力之值及其發生的位置。（15 分）y y P1 P2 t x A B t t d b 1 1m m 2mm 1.2 1.2 m

（20 分）

直徑為 d = 4 cm 之圓為如圖所示之等向均質彈性正方形薄板（Isotropic homogeneous elastic thin plate）的一部分，線段 AB 為該圓的直徑， AB 在變形前與 x 軸的夾角為 θ，該薄板的邊長為 a = 20 cm 、厚度為 t = 0.1 cm 、楊氏模數（ Young’s modulus ）為E = 200 GPa ，包松比（Poisson’s ratio）為ν = 0.3。該薄板受一均勻平面應力（Plane stress）σ x = −200 MPa 、σ y = 300 MPa 、τ xy = 200 MPa 作用而變形，令圓的直徑 AB變形後的長度為 d * ， AB 的伸長量 δ = d * − d ，試求當 θ 為多少度時， δ 有最大值及δ 的最大值為多少？（20 分） σy τ xy B y σx σx θ x A τ xy σy d t a全一張（背面）等 別： 三等考試類 科： 機械工程

（20 分）

如圖所示，一質量為 3M、半徑為 R、長度為 2 R 的均勻實心圓柱及一質量為 2M、半徑為 R 的均勻實心圓球用兩根質量皆為 0.5M 的均勻細長桿件銷接在一起，並由一個與水平面夾角為θ 的斜面向下滾動。重力加速度為 g。若該圓柱與圓球皆為純滾動，且銷與桿件間無摩擦力，試求：

（一）圓柱的角加速度。（10 分）

（二）圓柱與斜面間的摩擦力。（5 分）

（三）圓柱與斜面間之靜摩擦係數的最小值。（5 分）圓球 Z圓柱 R X R θ L 22RR R Y 0. 0.11LL L 0.10.L1L X

（20 分）

如圖所示，一質量為 M、圓心為 O、半徑為 R 的均勻 薄壁圓環 PQ，其端點 P 與垂直的牆壁接觸、端點 Q 與水平的地面接觸並受一水平力 F 作用。已知所有的接觸面間皆無摩擦力，且該 圓環 PQ 靜止於圖示的位置，重力加速度為 g。

（一）試求水平力 F 的大小。（5 分）

（二）若將水平力 F 突然移除，試求在水平力 F 移除瞬間， 圓環 PQ 的角加速度及 P、Q 兩點所受的反作用力。（15 分）P O R Q F

（20 分）