微積分與微分方程　申論題歷屆試題與參考架構

高考三級，民國 102～111 年共 8 份試卷、37 題，其中 30 題附參考答題架構。考這一科的類科：核子工程。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。

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111 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

  1. 1

    （一）求函數 f ( x)  x 2  6 x  10 在區間 [0,5] 之最大值及最小值。 （10 分） ( x  2) n

    （二）求冪級數  n0 之收斂半徑及收斂區間。 （20 分）n 1

    （30 分）

    參考架構・破題

    本題考兩個基本功：（一）閉區間上連續函數的絕對極值（極值定理＋臨界點比較法）；（二）冪級數的收斂半徑與端點檢定。題目轉檔遺失符號，依常見題型推定為 f(x)＝x²－6x＋10，冪級數為 Σ（n＝0 到 ∞）(x－2)ⁿ／(n＋1)。

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  2. 2

    令 f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 及 B  {( x, y, z ) |1  x 2  y 2  z 2  4, y  0, z  0} 。求三重積分    f ( x, y, z )dV 之值。（20 分）B

    （20 分）

    參考架構・破題

    積分區域是兩個同心球面之間（半徑 1 到 2）且限制 y≥0、z≥0 的四分之一球殼，被積函數 x²＋y²＋z² 正是 ρ²，應立即改用球座標，積分會變得極為簡單。

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  3. 3

    令 f ( x, y )  x 2  y 3 。（每小題 10 分，共 20 分）

    （一）求函數 f 在點 (1, 1) 之梯度向量（gradient vector）。

    （二）求函數 f 在點 (1, 1) 之方向導數（directional derivative）之最大值。1, t  [0, 2)

    （20 分）

    參考架構・破題

    本題考梯度與方向導數的關係：梯度由偏導數組成，而方向導數 D_u f＝∇f·u 的最大值等於梯度的長度，發生在梯度方向。題目轉檔遺失運算符號，推定為 f(x,y)＝x²＋y³（若為 x²y³ 或點為 (1,－1)，梯度長度同樣為 √13，作法相同）。

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  4. 4

    令 f (t )   0, t2

    （一）求函數 f 之拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（10 分）

    （二）求初始值問題 y (t )  y (t )  f (t ), t  0, y (0)  1, y(0)  0 之解。（20 分）

    （30 分）

    參考架構・破題

    函數 f 為分段定義的方波：0≤t＜2 時 f(t)＝1，t≥2 時 f(t)＝0（依上下文推定）。本題先用單位步階函數改寫並求拉普拉斯轉換，再用拉氏轉換解二階常係數初始值問題 y″＋y＝f(t)，y(0)＝1，y′(0)＝0（推定遺失的是二階導數符號）。

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108 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

  1. 1

    你是個工程師，但手邊沒有計算機，請估算 ln cos(0.1) 準確到小數點以下第三位。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    本題考泰勒展開與誤差估計：不用計算機，就把 ln cos x 在 x=0 附近展開成多項式，代入 x=0.1，再用餘項證明誤差小於 0.0005。

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  2. 2

    假設冷卻水槽的進水速率為 20 m3/min，出水速率為 10 m3/min。令 T(t)為水槽內水在時間 t 的溫度，我們假設 T(t) 的變化率是 T 的平方根除以水槽在時間 t 的水的體積。假設在時間 0 的時候水溫是 25 度，水的體積為 400 m3，請求出在 t = 10 min 時水的溫度。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    本題是把文字敘述建成可分離變數的一階微分方程：先寫出水量 V(t)，再把溫度變化率寫成 dT/dt = √T / V(t)，分離積分後代入初始條件。

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  3. 3

    一隻螞蟻沿著曲線 y = x2/4 從座標(1,1/4)走到(2,1)，請問這隻螞蟻走了多少距離？（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    本題考平面曲線弧長：L = ∫√(1 + (y′)²) dx，積分後會出現 √(x² + a²) 型的積分，需用三角（或雙曲）代換。

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  4. 4

    請求函數 f ( x, y ) = 2 x + y + 10 在限制條件 x 2 + 2y 2 = 10 下的最小值。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    本題是條件極值，標準解法為拉格朗日乘數法；限制式是有界閉集合（橢圓），故極值必存在，比較候選點即可。

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  5. 5

    假設區域 S 是由 x = 0, x = 1, y = 0 及曲線 y = 4 − x 所圍出來的，請計算S 繞 y 軸旋轉一圈所繞出的體積。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    本題考旋轉體體積：區域以 x 為範圍（0 到 1）且繞 y 軸旋轉，最順手的是圓柱殼法 V = 2π∫ x·f(x) dx。

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107 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

  1. 1

    （一）求 lim x →0 + x e x2 。（10 分）

    （二）求 f ( x ) = x 2 sin x 在 c = 0 之泰勒級數（Taylor Series）。（15 分）

    （25 分）

    參考架構・破題

    第（一）小題考不定型極限的處理（化為 0/0 或 ∞/∞ 後用羅必達法則），第（二）小題考利用已知級數快速求泰勒展開。

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  2. 2

    （一）求通過 z = f ( x, y ) = x 3 − 4 xy − y 2 + y + 7 之圖形上一點 (1, 2, − 2) 之法線（normal line）方程式。（10 分）

    （二）求三重積分（triple integral） ∫∫∫R xy dV 之值，其中 R 為上半單位球R = {( x, y , z ) | 0 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0} 。（15 分）

    （25 分）

    參考架構・破題

    第（一）小題用曲面 F(x,y,z) = f(x,y) − z = 0 的梯度當法向量求法線；第（二）小題三重積分可先觀察對稱性，再用球座標驗算。

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  3. 3

    求 f ( x, y ) = x 2 + y 3 + 2 xy − 2 x − 3 y + 3 之相對極值（relative extreme value）。（15 分）

    （15 分）

    參考架構・破題

    本題是兩變數函數的相對極值：先求臨界點（偏導同時為零），再用二階偏導判別式 D = f_xx f_yy − (f_xy)² 分類。

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  4. 4

    （一）求 y′′(t ) − y′(t ) − 2 y (t ) = t + 1之通解。（15 分）

    （二）求初始值問題 y′(t ) = y (t )(0.5 − 0.025 y (t )) ， y (0) = 10 之解。（20 分）

    （35 分）

    參考架構・破題

    第（一）小題是常係數非齊次二階線性 ODE，用特徵方程求齊次解、未定係數法求特解；第（二）小題是邏輯斯諦（logistic）方程，分離變數加部分分式求解。

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106 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

  1. 1

    （一）求極限值： lim ∫0 cos t dt。（10 分）2x2 x→0

    （二）已知 y = f (x) 滿足方程式 x + 6 x 3 y 3 + y − 8 = 0 且 f (1) = 1，求圖形 f (x ) 在點 (1, f (1)) 的切線方程式。 （10 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    第（一）小題是含變上限積分的不定型極限，用微積分基本定理配合羅必達法則（或泰勒展開）；第（二）小題是隱函數微分求切線斜率。

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  2. 2

    利用 Lagrange 乘數法（The Method of Lagrange Multipliers）求函數 f ( x, y ) = 200 x 0.75 y 0.25 在g ( x, y ) = 400 x + 600 y − 120000 = 0 的條件下之最大值。（20 分）G H G G

    （20 分）

    本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

  3. 3

    令向量函數 F ( x, y, z ) = ( xyz 2 )i + (3 yzx 2 ) j + (5 xzy 2 )k 。（每小題 10 分，共 20 分）G G

    （一）試求 F 的散度（Divergence）： ∇ • F ( x, y , z ) 。G G

    （二）試求 F 的旋度（Curl） ： ∇ × F ( x, y , z ) 。

    （20 分）

    參考架構・破題

    本題考向量場的散度與旋度定義，屬直接計算題；寫清楚公式（散度為偏導和、旋度用行列式展開）再逐項偏微分即可。

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  4. 4

    （一）求下列的積分值：（10 分）∫∫ sin x + y dxdy ，其中 Ω = {( x, y ) | π ≤ x + y ≤ 2π } 。2 2 2 2 Ω

    （二）利用格林定理（Green Theorem）計算下列線積分：（10 分）∫C ( 2 xy + e ) dx + (2 x + e )dy，其中曲線 C 是由拋物線 y = x 與直線 y = x 所圍成封閉2 2 x y區域之邊界。

    （20 分）

    參考架構・破題

    第（一）小題區域為圓環、被積函數只含 √(x²+y²)，應改用極座標；第（二）小題用格林定理把封閉曲線線積分化成區域上的二重積分。

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  5. 5

    求下列微分方程組的解：（20 分）dy1 = 2 y2 (t ) + 2 y3 (t ) ， y1 (0) = 5 ，dt dy2 = 2 y3 (t ) + 2 y1 (t ) ， y2 (0) = −1，dt dy3 = 2 y1 (t ) + 2 y 2 (t ) ， y3 (0) = −1 。dt

    （20 分）

    參考架構・破題

    這是常係數線性一階微分方程組 y' = A y，係數矩陣 A 對稱且結構特殊（對角線為 0、其餘為 2），最有效率的解法是求 A 的特徵值與特徵向量，再用初始條件定常數。

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105 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

  1. 1

    計算 ∫ sec3 x dx 。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    ∫ sec³x dx 是分部積分的經典題，關鍵是分部後會「繞回原積分」，再移項解出，並用到 ∫ sec x dx = ln|sec x + tan x|。

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  2. 2

    假定橢圓 E 為柱面 f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − 2 = 0 及平面 g ( x, y, z ) = x + z − 4 = 0 之交集。找出在橢圓 E 上的一點 P(1,1,3) 在平面 g ( x, y, z ) = x + z − 4 = 0 上的切線參數方程式。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    兩曲面交線的切向量，同時垂直於兩曲面在該點的法向量，所以切線方向 = ∇f × ∇g。先確認點在曲線上，再求梯度、外積，寫成參數式。

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  3. 3

    利用 Lagrange 乘數法（the Method of Lagrange Multipliers）找出在 xyz 空間曲面x 2 + y 2 + z 2 + xy = 1上離原點最近距離和最遠距離，並且找出分別對應發生最近距離和最遠距離的點之座標。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    求曲面上離原點的極值距離，等於在約束 x² + y² + z² + xy = 1 下求距離平方 D = x² + y² + z² 的極值。用 Lagrange 乘數法列方程組，分 z 是否為 0 討論。

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  4. 4

    計算此線積分 ∫ y 2 dx + 3 xydy ，此曲線 C 為平面區域C D = {( x, y ) : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 且 y ≥ 0}之邊界，曲線 C 為一單純閉曲線（simple closed curve）且依序連接點 (2,0) , (−2,0) , (−1,0) , (1,0) , (2,0) 。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    曲線 C 是上半圓環區域的邊界，直接分四段計算很繁瑣；先判斷方向為正向（區域在左側），再用 Green 定理轉成二重積分，並以極座標計算。

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  5. 5

    求下列齊次方程式（homogeneous equation）dy y 2 + 2 xy = dx x2之通解 y = y g (x) 。（20 分）

    （20 分）

    參考架構・破題

    dy/dx = (y² + 2xy)/x² = (y/x)² + 2(y/x)，右側只依賴 y/x，是齊次方程式。令 v = y/x 化為可分離變數，積分後還原。

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104 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

  1. 1

    ⎧ (0.5) x − 1 ⎪ , x ≠ 0 ，在 x = 0 處連續，求 k 值。（15 分）

    （一）已知函數 f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ k, x=0 x2

    （二）求 xlim =？（10 分）→ 0 sec x − 1

    （25 分）

    參考架構・破題

    兩小題都是極限計算。（一）連續性要求 k 等於 x → 0 時的極限，本質是 a^x 在 0 的導數；（二）是 0/0 型，可用 sec x − 1 的變形或 L'Hôpital 法則。

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  2. 2

    （一）已知函數 f ( x , y ) = 4 xy − x 2 − y 2 − 6 x ，求此函數在以 (0, 0)，(2, 0)，(2, 6) 三點所圍成的三角形區域 D = {( x , y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 x} 的最大值和最小值。（15 分）

    （二）求 ∫∫ dxdy，其中 Ω 是由(0, 0)，(1, 0)，(1, 1)三點所圍成的三角形區Ω (1 + x 2 + y 2 3/ 2 )域。（15 分）v v v v

    （30 分）

    本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

  3. 3

    已知向量 v ( x , y , z ) = x 2 y i + y 2 z j + xy 2 k ，計算下列之值：（每小題 10 分，共 20 分）v

    （一） ∇ • v (−1, 2, 3) 。v

    （二） ∇ × v (3, − 2, 1) 。

    （20 分）

    參考架構・破題

    向量場 v = x²y i + y²z j + xy² k，散度是純量、旋度是向量。先寫一般式再代點，步驟分在於偏導數與行列式展開的正確性。

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  4. 4

    已知微分方程系統df1 (t ) = −0.7 f1 (t ), f1 (0) = 1, dt df 2 (t ) = 0.7 f1 (t ) − 0.5 f 2 (t ), f 2 (0) = 0, dt df3 (t ) = 0.5 f 2 (t ), f3 (0) = 0 dt求 f１(t ) ， f 2 (t ) 和 f3 (t ) 。（25 分）

    （25 分）

    參考架構・破題

    這是三階段串聯衰變（類似母核→子核→穩定核）的一階線性方程組，係數為上三角，可由上而下逐一解：f1 直接積分，f2 用積分因子，f3 可直接積分或用總量守恆。

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103 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

  1. 1

      (ie ) dx 。（15 分）i πx k k 0 dP

    （15 分）

  2. 2

    某特殊區域在海拔ｘ處的大氣壓力 P(x)滿足  3i 2 e0.21x (psi/mile) dx若海平面之大氣壓力為 15 psi（pound per square inch），求 P(x)。（20 分）dy i 2 y cos x

    （20 分）

  3. 3

    解  ，用積分因子 (iy)2 。（20 分）dx 3sin x

    （20 分）

  4. 4

    求 (iy)"  2(iy)'  iy  4e x ln x  0 的所有解 y(x) 。（20 分）

    （20 分）

  5. 5

    F(x, y)  6ixy2  (iy)3 ， G(x, y)  6ix 2 y  3ixy2 ，證明滿足格林定理（Green Theorem） 的條件 G(x, y)  F(x, y) 。（10 分）x y ( 1,0) F(x, y) dx  G(x, y) dy 。（10 分）(1,2)

    （20 分）

102 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

  1. 1

    （一）設 F (x, y, z) = ，求 div F 與 curl F 。（10 分）x2 + y2 dw

    （二）設 w = f ( x, y, t ) , x = g ( y, t ) , y = h(t ) ，求 。（10 分）dt x t2 e −1

    （三）設 f ( x) = ∫ 2 dt ，求 f (5) (0) 。（10 分）0 t n ⎛ n ⎞t

    （30 分）

    參考架構・破題

    本題三小題分屬向量微積分、多變數連鎖律與冪級數。（一）向量場的分量在轉檔時缺損，請以原卷題目為準；方法是逐分量求偏導。（二）要畫出變數相依樹，（三）用泰勒級數比係數求高階導數。

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  2. 2

    設 c1 , c2 , L, cn 為正常數且 ∑ ci = 1，而 x1 , x 2 , L, x n 為正實數。求 lim ⎜⎜ ∑ ci x it ⎟⎟ 。（15 分）i =1 t → 0 +⎝ i =1 ⎠ 2 2x− x2

    （15 分）

    參考架構・破題

    題目求 lim_{t→0+} (Σ cᵢ xᵢ^t)^{1/t}，為 1^∞ 型不定式。取對數化成 0/0 型，用 L'Hôpital 法則，結果是加權幾何平均數 Π xᵢ^{cᵢ}。

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  3. 3

    （一）求 ∫ ∫ x 2 + y 2 dydx 。（10 分）0 0 x − 2y

    （二）求 ∫ ∫ dA ，而 R 為直線 x − 2 y = 0 ， x − 2 y = 4 ， 3 x − y = 1 與 3 x − y = 8 所圍繞之R 3 x − y平行四邊形。（15 分）

    （25 分）

    參考架構・破題

    （一）積分區域是圓 (x − 1)² + y² = 1 的上半部，被積函數含 √(x² + y²)，改極座標最簡；（二）區域由兩組平行線圍成，令 u = x − 2y、v = 3x − y 做線性變數變換，區域變成矩形。

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  4. 4

    求 ( y 2 − 3x 2 )dx + 2 xydy = 0 ， y x =1 = 0 之特解。（15 分）

    （15 分）

    參考架構・破題

    本題是一階常微分方程初值問題。先檢查是否為正合方程（exact equation），確認正合後求位勢函數，再代入初始條件定出常數。也可以改用齊次方程或白努利方程的解法互相驗算。

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  5. 5

    求曲面（ x = eu − v ， y = u − 3v ， z = (u 2 + v 2 ) ）在點(1, -2 ,1) 的切平面方程式。（15 分）

    （15 分）

    參考架構・破題

    本題是參數曲面的切平面。先由給定點反求參數 (u, v)，再求兩個切向量 r_u、r_v，取外積得法向量，最後用點法式寫出平面方程式。題目文字轉檔有毀損，作答前要先用給定點檢查 z 的式子。

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題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。