地球物理數學　申論題歷屆試題與參考架構

若海嘯動能 MV2/2= A h V2/2，其中：海水密度，：海水截面積，h h：水深，V：海嘯傳送速度。若重力波作功 0 m( z) gdz =  A g 0 zdz 引發h海嘯，其中 g：重力加速度。海嘯傳送速度為何？（10 分）

（10 分）

以分離變數法求解下列的程函方程式（Eikonal Equation）。（20 分） T ( x, y, z )   T ( x, y, z )   T ( x, y, z )  2 2          V 2 ( x, y, z ) x  y   z可設定 T ( x, y , z )  Tx ( x )  Ty ( y )  Tz ( z ) , 2   x ( x)   y ( y )   z ( z ) v ( x, y , z )

（20 分）

直線方程式 di = m1 + m2 zi，其中 m1：直線截距，m2：直線斜率。  ，其若 diobs 為觀測值，則其誤差平方的總和為 E   iN1 d i obs  m1  m 2 z i中 N 為觀測值的總數。使用誤差平方總和最小化，以計算直線截距（m1）與直線斜率（m2）。（20 分）d obs d pre dpre直線截距 m 直線斜率 m 1 2 pre z z i

（20 分）

在 x, y, z 平面的垂直應力與剪切應力皆對稱，且為 xx  2 psi,  yy  2 psi,  zz  1 psi  xy   1 psi,  yz  0 psi,  zx  0 psi

（一）以 3×3 矩陣呈現上述垂直應力與剪切應力。（5 分）

（二）從上述 3×3 矩陣的特徵值，得到垂直應力與剪切應力的主應力。（5 分）

（三）從上述垂直應力與剪切應力的正規化特徵向量，得到主應力的旋轉矩陣。 （10 分）

（20 分）

若 取 樣 時 間 間 隔 為 1， 則 時 間 序 列 a = (1, 0.6, -0.4, 0.2, -0.1)與b = (1, -0.2)的 摺 積 （ Convolution） 為 何 ？ （ 15 分 ） 離散式摺積 Ci =  ak  bi  k t =  ak  bi  k ， t  1 k  k 

（15 分）

離散的時間序列 S = 為複數，且其中 n 為此時間序列的取樣數目。⋮

（一）若時間序列 S 的振幅為 ，且其相位為 ，則 S 為何？（5 分）⋮ ⋮

（二）若新時間序列 S ′為逆時鐘旋轉（旋轉角度為）原時間序列 S 所形成，則 S ′為何？時間序列 S ′與 S 的關係式為何？（5 分）∅ ∅

（三）若原時間序列 S 逆時鐘旋轉的角度為 ，則 S ′為何？（5 分）⋮ ∅

（15 分）

已知一複數冪次級數（complex power series）如下：∞ 3n + 2 ∑ ( 4n ) n ( z + i ) n n =1

（一）求此級數之中心（center of the series）。（5 分）

（二）求此級數之收斂區間（region of convergence）。（10 分）r r r r

（15 分）

若 φ ( x, y, z ) = xy + z ，則在方向 D = i − 4 j + k 上之點(-2, 1, 3)， φ 的梯度為何？（15 分）x ∫ sin t dt 之極值（limit）。（15 分）

（30 分）

求 lim 0 x →0 x3 z1 + z 2 + 1

已知 z1 = 1 − i , z 2 = −2 + 4i , z 3 = 3 − 2i ，求 。（15 分）z1 − z 2 + i r r r r r r r r r r

（15 分）

令 A = i + j , B = 2i − 3 j + k , C = 4 j − 3k ，求：r r r

（一） ( A × B ) × C 。（10 分）r r r

（二） A × ( B × C ) 。（10 分）

（20 分）

一球座標之偏微分方程式如下：∂ 2U 2 ∂U 1 ∂  ∂U  1 ∂ 2U 1 ∂ 2U + +  sin θ + = ∂r 2 r ∂r r 2 sin θ ∂θ  ∂θ  r 2 sin θ ∂φ 2 c 2 ∂t 2而球座標之 Laplacian 為：1 ∂  2 ∂U  1 ∂  ∂U  1 ∂ 2U ∇ U = 2 r +  sin θ + r ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ  ∂θ  r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2

（一）請問此球座標偏微分方程是什麼方程式？（寫出名稱即可，例如 Laplace’s equation, Poisson’s equation, …）（10 分）

（二）寫出卡氏座標（Cartesian coordinates）之 Laplacian。（10 分）

（20 分）