原子物理　申論題歷屆試題與參考架構

氫的同位素氚（由一個質子和兩個中子組成）衰變成氦三（由兩個質子和一個中子組成） 。

（一）完成以下反應式：3H  3He +？（3H 及 3He 只包含原子核，而非中性原子）（5 分）

（二） 3H 和 3He 的束縛能（原子核分解成質子和中子所需能量）分別為：Eb(3H) = 8.482 MeV; Eb(3He) = 7.718 MeV。計算（一）反應式中釋放出來的熱能(動能） 。質子、中子和電子質量分別為 mp = 938.272、mn = 939.565和 me = 0.511（單位：MeV/c2），反微中子 ( ) 無質量。（7 分）

（三）假設 3H 和 3He 中的三顆核子（質子和中子通稱為核子）可視為三顆小球。3H 和 3He 中的三顆核子具有相同的強作用力，造成兩者束縛能不同的原因在於 3He 中的兩個質子具有庫倫排斥力。估計 3He 中的兩個質子的距離。（8 分）

（20 分）

科學家在非洲加彭的 Oklo 發現了一個天然核分裂反應爐。目前在 Oklo鈾礦的同位素比例為：238U: 99.3 %，235U: 0.7%。兩同位素半生期分別為T1/2(238) = 4.5  109 年，T1/2(235) = 0.7  109 年。（每小題 10 分，共 20 分）

（一） 0.119 g 的 238U，單位時間的衰變量為何？用貝克 Bq 為單位，1 Bq = 1 decay/sec; 1 mole = 6  1023。

（二） 20 億年前（2  109 years） ，235U 的同位素比例為何？（此題的比例為莫耳數比而非質量比）

（20 分）

氫原子 1s 和 2s 軌域的波函數分別為：（每小題 10 分，共 20 分） r  3 r 3 r 1 - - 1 - -  1s  (a0 )  e ,  2 s  2 a0 ( a0 )  e 2 a0  1    2 2  2a0  

（一）證明 1s 滿足歸一化條件：   * (r )4 r 2 dr  1 r 0可使用積分式  x 2 e- x dx  -e- x ( x 2  2 x  2)  C 1S

（二）由波函數計算 1s 和 2s 軌域在 r  0 附近電荷密度的比值， ？2S

（20 分）

雷射光波長 500 nm，功率為 1 mW，照射在某金屬極版。試問：

（一）單位時間有多少顆光子？（5 分）

（二）若光子完全被極板吸收，則極板受力為何？（5 分）

（三）若此金屬的功函數為 1 eV，則產生的光電子最大動能為何？用 eV 表示。（10 分)

（20 分）

電子侷限在三維的位能阱中，位能阱是由邊長 L = 1 nm 的正方體盒子組成，在阱內部電子不受力。電子波函數滿足以下條件：（每小題 10 分，共 20 分）ψ = 0 at x = y = z = 0 and ψ = 0 at x = y = z = L

（一）寫出電子波函數的通解。

（二）若電子由第一激發態（first excited state）躍遷至基態（ground state），則躍遷過程釋放出光子的頻率為何？

（20 分）

（一）計算一具有磁矩為μ的原子，在外加磁場為 B 時的磁能 EM（magnetic。（4 分）energy）

（二）若氫原子中的電子軌道角動量（orbital angular momentum）為 L，旋為 S。假設忽略來自原子核的效應，計算氫原子的磁矩μ。（8 分）

（三）解釋產生正常賽曼效應（normal Zeeman effect）與反常賽曼效應（anomalous Zeeman effect）之物理成因的主要差異。（8 分）

（20 分）

鈾的各同位素不穩定，且依照量子力學的規則衰變。238U 的生命期是6.0×109 年，而 235U 的生命期是 1.0×109 年。假設鈾的這兩種同位素 235U 與U 在地球形成時具有相同的豐度（abundance） 。然而，現今的觀測卻發238 235現 U 的豐度是 U 的 140 倍。據此，估計地球現在的年齡。 （20 分）

（20 分）

（一）以測不準原理估計一簡諧振子之基態能量。假設該振子之震盪角頻率（oscillation angular frequency）為ω。（10 分）

（二）一原子由 4.7 eV 之激發態放出一光子後，回到能量為 0 eV 之基態。若該激發態之生命期為 1.0×10-13 秒。估計該光子的能量不準度ΔE，以及光譜線的寬度Δλ。能量以 eV 為單位，線寬以波長為單位。 （10 分）

（20 分）

一單一能量的電子束沿著+x 方向行進，其中每個電子的總能量為 E。假設 x < 0 區域的位能 V = 0。然而，在 x = 0 的位置出現一位障（potential，使得在 x > 0 的區域，其位能增至 V0，且 V0 > 0。假設 E > V0，barrier）在不考慮相對論效應下，計算電子分別在 x < 0 與 x > 0 兩區域的速度、穿透與反射係數（transmission and reflection coefficients）？（20 分）

（20 分）

以加馬射線γ（gamma ray）撞擊氘原子核 d（deuteron）產生一個質子 p與一個中子 n。該反應可表示如下：γ +d →n+ p計算激發該光核反應（photonuclear reaction）所需之加馬射線的最低頻率 fmin。（20 分）

（20 分）

（一）何謂核子束縛能（Nuclear Binding Energy）？（5 分）

（二）請分別計算鈾-235 與鐵-56 的平均束縛能。（12 分）

（三）請以圖示核子平均束縛能與原子核質量數之間的關係曲線略圖。（5 分）

（四）並分別標示鈾-235 與鐵-56 的平均束縛能在前述（三）略圖示內對應座標點上。 （3 分）參考常數與參數：光速 c = 2.997925×108 公尺/秒電子質量 me = 9.10908×10-31 公斤質子質量 Mp = 1.67252×10-27 公斤中子質量 Mn = 1.67482×10-27 公斤原子質量單位（atomic mass unit）：u = 1.66043×10-27 公斤1u = 931.478Mev 1 H 質量 = 1.007825u 1 H 質量 = 2.014102u 26 Fe 質量 = 55.934932u 92 U 質量 = 235.043933u

（25 分）

（一）何謂康卜頓效應（Compton effect）、光電效應（Photoelectric Effect）與成對發生（pair production）？（10 分）

（二）請就下圖示⑴至⑶區域分別說明如何對應於前述三效應。（3 分）

（三）已知碰撞前波長 λ0、碰撞後波長 λ、電子質量 m、光子方向轉動角（碰撞前後的路徑夾角）θ、普朗克常數 h、光速 c，請導出光子碰撞前後波長與碰撞前後的路徑夾角之關係式。 （12 分）作用物質原子序

⑴ ⑶ 40 ⑵ 0.01 0.05 0.1 0.5 1 5 10 50 100輻射光子能量(MeV)全一張（背面）

（25 分）

一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為 L。阱內位能為 0，阱外位能為無限大，粒子只能移動於束縛的方向（x 方向）如圖示：求證一維無限深阱的本徵值 Eｎ與本徵函數 φｎ分別為：n2h2

（一） En = 。（12 分）8mL2 2 ⎛ nπx ⎞

（二）ϕ n = sin ⎜ ⎟ 。（18 分）L ⎝ L ⎠ n 是正值的整數，h 是普朗克常數，m 是粒子質量。

（30 分）

（一）「制動輻射」與「特性 X 射線」如何發生？（15 分）

（二）兩者在實際應用上有何區分？（5 分）

（20 分）

某一核廢料處置前以純鍺偵檢器測量，發現其中兩個分裂產物 137Cs 與 134Cs 之活性比例為 1：0.01。假設此一核廢料離開核反應爐心時，137Cs 與 134Cs 兩種分裂產物核種數目相同，請問此一核廢料離開核反應爐心已經有多少時間了？（20 分）Cs 半衰期為 11000 d (30.12 y)，134Cs 半衰期為 750 d (2.53 y)。

（20 分）

下列核子反應中 10B(n, α)7Li，請問此一反應所產生能量為若干（以 MeV 為單位）？（ 10 分）鋰離子於核反應後為激發態，並發射一個瞬發加馬射線，其能量為0.367 MeV，請問所產生之阿爾發粒子與鋰離子分別之能量各為多少 MeV？（10 分）假設各個粒子之靜止質量為M(1n) = 1.008665u；M(10B) = 10.012937u；M(7Li) = 7.016004u；M(4He) = 4.002603u其 中 1u = 1.6605402×10 -27 kg；電子電量 e = 1.602176487×10 -19 C；電子伏特eV = 1.602176487×10-19 J；真空光速 c = 299792458 m s-1。

（20 分）

鈾離子常為四價或六價，請寫出鈾原子之電子組態？（5 分）請亦寫出四價及六價鈾離子之電子組態，並解釋為何鈾離子多為四價或六價？（10 分）鈾之原子序為 92 其它鄰近元素如 Rn(86), Fr(87), Ra(88), Ac(89), Th(90), Pa(91), Np(93), Pu(94), Am(95)，括弧內數字為原子序。其中 Rn 之電子組態為1s22s22p63s23p64s23d104p65s24d105p66s24f145d106p6鈾原料俗稱黃餅，其化學成分為 U3O8，請問其中三個鈾離子之價數分別應該如何指定？（5 分）

（20 分）

有一個中子由核反應中溢出此核反應器之溫度為 200℃，假設此中子最可能之能量En = kBT，其中 kB 為波茲曼常數 kB = 1.38×10-23 J/K，請問此中子之能量 En 為何（請以 eV 表示之）？（5 分）並請計算該中子之波長？（5 分）我們將此能量之中子經中子束引出爐心，從事做中子繞射。若此一中子與矽晶片(111)面做中子繞射，則其繞射角度 θ 應該多少？（10 分）矽晶之晶格常數 a = 0.5432 nm, (111)面之晶格間距（lattice spacing）dhkl = a/(h2+k2+l2)1/2。真空光速 c = 299792458 m s-1；普郎克常數 h = 6.62606896×10-34 J．s；亞佛加德羅常數為 6.02×1023。

（20 分）

一個 5 MeV 阿爾發粒子與一個 0.1 MeV 之光子，穿過一片厚度為 0.01 mm 之鋁片。請問穿透鋁片後之阿爾發粒子與光子之能量分別為多少？（20 分）假設此一鋁片對於 5 MeV 阿爾發粒子之阻擋本領（stopping power） ，-dE/dx，為一定2 3值 120 MeV cm /g，鋁的密度 2.7 g/cm ；對於能量為 0.1 MeV 之光子，鋁的線性衰減係數（linear attenuation coefficient）為 0.432 cm-1。

（20 分）

在康普頓效應中，入射紅光的波長為 750 nm。求光子與電子碰撞後，能發生的：

（一）最大波長。（20 分）

（二）最大頻率。（20 分）

（40 分）

請問 2 H +1H → 3 H + γ 反應中，釋放的能量有多少 MeV？（20 分）⎧0 ; a ≤ x ≤ 2a

（20 分）

有一電子存在於一無限位能阱 V(x) = ⎨ 。⎩ ∞ ; otherwise

（一）求解電子的基態波函數。（20 分）

（二）若考慮電子具有自旋，在 a = 1 nm 時，電子的第三激發態本徵能量為何？（20 分）

（40 分）

（一）以 14C 對一古生物進行放射性碳紀年（radiocarbon dating）。14C 之半生期（half-life）為 5730 年。經分析，該古生物體中每單位質量之 14C 放射強度為天然碳的四分之一，估計該古生物距今之時間。（10 分）

（二）某原子中，其電子由基態被激發至受激態。電子於受激態停留一個生命期，約 30 ns後，以自發性輻射方式重回到基態。請問經由自發性輻射所釋放出的光子，其方向為何？估計該光子之最小頻寬（以 Hz 為單位）。（10 分）

（20 分）

考慮下列之核反應 21 H + 94 Be → X + 42 He ，其中 X 為某一核素（nuclide）。

（一）該核素 X 之原子序（atomic number）Z 及質量數（mass number）A 為何？（6 分）

（二）計算該核反應有多少能量釋出？（7 分）

（三）估計該核反應之低限能（threshold energy）？假設各原子核之半徑 R 可以近似為R = R0⋅A1/3，R0 = 1.2 × 10-15 公尺。（7 分）

（20 分）

當波長為 0.24 nm 之 X 光通過一塊碳材（carbon）後產生 40°角的散射。（每小題 10 分，共 20 分）

（一）計算被散射光子之波長。

（二）計算反彈電子（recoiled electron）之動能。

（20 分）

銫原子 133Cs 之原子核自旋為 I = 7 / 2，其超精細結構（hyperfine structure）是由電子總角動量 J 與原子核自旋角動量 I 耦合成總角動量 F = J + I。

（一）計算 133Cs 基態電子能階 62S1/2 之所有超精細結構。（6 分）

（二）詳列各超精細結構能階之簡併（degeneracy）。（6 分）

（三）假設外加磁場強度為 B，且已知各超精細結構能階 F 之蘭德 g 因子（Lande g-factor）為 gF。在弱磁場條件下，計算各超精細結構簡併態之塞曼能移（Zeeman shift）。（8 分）

（20 分）

以波長為 207 nm 之紫外線照射某一材料，並造成光電子由材料表面釋出，該光電子之截止電壓為 2 V。（每小題 10 分，共 20 分）

（一）計算該材料之功函數（work function），以 eV 為單位。

（二）計算光電子之最大速度。全一張參考常數與參數：黎德堡常數（Rydberg constant）：R∞ = 1.0973731 × 107 1/公尺普蘭克常數（Planck’s constant）：h = 6.626 × 10-34 焦耳⋅秒波爾磁矩（Bohr magneton）：μB = 9.274 × 10-24 焦耳/特士拉原子核磁矩（Nuclear magneton）：μN = 5.051 × 10- 27 焦耳/特士拉波茲曼常數（Boltzmann’s constant）：kB = 1.38 × 10-23 焦耳/克耳文波爾原子半徑（Bohr radius）：a0 = 5.292 × 10-11 公尺光速 c = 3 × 108 公尺/秒基本電荷 e = 1.6 × 10-19 庫倫電子質量 me = 9.11 × 10-31 千克質子質量 Mp = 1.673 × 10-27 千克中子質量 Mn = 1.675 × 10-27 千克庫倫定律常數 1 / (4πε0) = 8.99 × 109 牛頓⋅ (公尺)2 / (庫倫)2原子質量單位（atomic mass unit）：u = 1.66053873 × 10-27 千克1 質量= 1.007825 u 1H 2 質量= 2.014102 u 1H 3 質量= 3.016049 u 1H 4 質量= 4.002603 u 2 He 6 質量= 6.015122 u 3 Li 7 質量= 7.016004 u 3 Li 9 質量= 9.012182 u 4 Be 10 質量= 10.012937 u 5B

（20 分）

出只有庫倫作用力的氫原子之電子的 Schrödinger 方程式。（5 分）請推導 Schrödinger 方程式中，動能項的相對論修正。（5 分）氫原子主量子數 n2 的能階，考慮和不考慮電子的自旋有何差異？請說明之（不需計算）。（15 分）

（25 分）

請說明多電子原子的殼層結構和 Pauli 不共容原理的關係，它們與電子波函數的何種性質有關？（10 分）請說明光譜符號 4 F5 / 2 的左上標、右下標和 F 分別代表何種意思？（5 分）Zeeman 效應和外加磁場的強弱有何關係？請說明之。（10 分）

（25 分）

為何 x 射線對物質具有高度穿透力？（5 分）處於激發狀態的錳（Z12）在幅射 K射線前、後的電子組態分別為何？（10 分）K, K 和 Kabsorb（K absorption edge）的波長(Å )為：鈷(Co)：1.79, 1.62, 1.61鎳(Ni) ：1.66, 1.49, 1.48銅(Cu)：1.54, 1.39, 1.38鋅(Zn)：1.43, 1.29, 1.28請問源自於鈷、銅和鋅之 x 射線通過鎳的薄板時，那些會成為單頻（monochromatic）光？波長為何？（10 分）

（25 分）

（Triton）的質量為 2808.879 MeV/c2，求其原子核之束縛能。（10 分）衰變（ decay）？原子數（atomic number）為 Z 的原子核在什麼情況下會發生衰變？（15 分）已知：中子質量939.566 MeV/c2質子質量938.672 MeV/c2電子質量0.511 MeV/c2

（25 分）

根據下列的核融合反應，3He + 4He → 7Be +γ，請計算產生的 γ 之：

（一）頻率。（20 分）

（二）波長。（10 分）其中 3 He、 4 He 與 7 Be 的質量分別為 3.016029u、4.002602u 與 7.016930u，而1u = 1.660540 ×10 -27 kg。h

（30 分）

根據波爾原子模型，氫原子中基態電子的軌道半徑 r = 與運動速度 v = α c ，me cα e2 1其中α = = 。4πε 0 hc 137.036

（一）試證明基態原子的游離能為 E I = me c 2α 2 。（10 分）

（二）在氫原子中以緲子取代電子時，處於基態的緲子之游離能為何？緲子質量-27 1.883889×10 kg。（10 分）

（三）若以一個正濤子（電量與一個質子相同）取代氫原子核時，基態電子軌道半徑的-27改變為何？濤子質量 3.168106×10 kg。（10 分）94 Pu 、 92 U 、 8 O 、 6 C 與 α 的 質 量 分 別 為 240.053814u 、 236.045568u 、

（30 分）

已 知 240 236 18 14 94 Pu → 92 U + 2 α 與 8 O→ 6 C+ 2 α 反應中，17.999161u、14.003241u 與 4.001506u，在 240 236 4 18 14 4由於三個質點無法滿足動量守恆，故這兩個反應式中必須加入第四個質點 γ 。試問：

（一）加入 γ 的新反應式。（20 分）

（二） γ 所攜帶的能量。（20 分）

（40 分）