靜力學與材料力學　申論題歷屆試題與參考架構

有一平面應力元素受應力如下圖所示，如此元素之最大主軸應力 1 為10 MPa，請計算  x 、最小主軸應力  2 、最大剪應力 max 、最大主軸應力之方向及最小主軸應力之方向。（25 分）x   y x   y提示： x1   cos 2  xy sin 2 2 2

（25 分）

有一桁架如下圖，B 點為鉸支撐，D 點為與水平呈 45°之滾支撐。E 點受一集中水平力 P。試求 B 點及 D 點之反力及方向、各桿件軸力（請重畫該桁架，將軸力寫在各桿件旁，張力為正，壓力為負）。 （25 分）45°

（25 分）

下圖之構造系統中 A 與 B 點為鉸支撐（hinge） ，其它接點均為栓接（pin） 。圖中分佈載重 w(x)之單位為 kN/m，且 w(x) = 400x (0  x  3) 。試計算A 點與 B 點支承處之水平與垂直反力（請標示力的大小與方向） ，以及EF 桿與 CD 桿之內力（請註明為壓力或張力）。 （25 分）

（25 分）

下圖有一 ABC 梁 A 點為鉸支撐，B 點為滾支撐。梁於 BC 段受均佈載重q，試求 A 點及 B 點之反力（請註明作用之方向） 、A 點之轉角（請註明轉角之方向） 、C 點之轉角及位移（請註明轉角及位移之方向） 。（25 分）

（25 分）

如圖一所示，桿件 AC 與 BC 在 A 點與 B 點均以插銷（pin）連結於支承上。CAB = CBA = 60 。在節點 C 上受到水平力 P 作用（P＞0）。桿件 AC 彈性係數為 68.9 GPa，拉伸與壓縮的降伏強度為 255 MPa。桿件 BC 彈性係數為 200 GPa，拉伸與壓縮的降伏強度為 250 MPa。桿件 AC 與桿件 BC 的截面為 40 mm  40 mm 的方形截面，兩桿件的長度均為 0.1 m。本題忽略桿件自重所帶來的影響。注意，以下數據解題可能需要： 3 =1.732，  =3.14159。據此，請回答以下問題：

（一）請求出桿件 AC 與 BC 所受到的軸力大小（以 P 表示） ，並標明其為張力或是壓力。（12 分）

（二）若桿件受壓時的挫曲狀況之安全因子設為 2，而受軸力的降伏狀況之安全因子為 1.5，而且不論那根桿件挫曲或降伏，即視為失敗。據此，請問水平力 P 的最大值為多少？（13 分）C P A B圖一

（25 分）

如圖二所示，有一軸力構件 AB，兩端為固定支承（Fix end） 。構件的長度 L = 2 m，構件由 A36 鋼材所製作，其彈性模數為 E = 200 GPa，構件的截面為圓形，其半徑為 0.1 m。構件中央處為 C 點。已知在 AC 段，受到分布軸力 p(x) = x2(kN/m)施加，x = 0 處為 A 點，x 軸向右為正。圓周率 π =3.14159。據此，請求出 A 端與 B 端的反力各自為何。（25 分）截面圖p(x) A C B圖二

（25 分）

如圖三所示，有一機構由一 1/4 圓弧曲桿 ABC 還有一直桿 BD 所構成。在曲桿的 A 端為鉸支承（以△表示） ，在 C 端為滾支承（以○代表），曲桿與直桿的聯結在 B 點為插銷，直桿 BD 與水平軸夾角為 45 。在曲桿上的 E 點受到外力 F = 10 kN 作用，E 點受力之力線延伸可以交於 1/4 圓弧曲桿的圓心處。現在假設在 D 點的接觸有靜摩擦係數 s = 0.25。本題解題可能用到以下數據： 3 =1.732, 2 =1.4142。請問系統能夠保持靜力平衡嗎？若是可以，請問在 D 點的摩擦力大小最大為多少，A 支承反力多少，C 支承反力又為多少？（25 分）F D A E B C圖三

（25 分）

如圖四所示，圖中尺寸為 mm。陰影區域為一高度 12 mm，寬度為 8 mm的矩形區域，其中挖去一直徑為 4 mm 的半圓形區域，該半圓形區域的圓心座落在矩形區域的幾何中心處。請求出該陰影區域之幾何中心點之座標為何？（請以圖中所標示的 X-Y 座標系統表示） 。過此幾何中心點平行 X 軸之二次面積矩為何？注意：解題可能需要，圓周率 π =3.14159。（25 分）Y X 4 4圖四

（25 分）

正方形斷面桿件如下圖所示，（無外力作用）桿件未變形軸向長度L  1250 mm、正方形斷面邊長 b  50 mm。當承受軸拉力 P  400 kN ，桿件變形後軸向長度 Ld  1251 mm 、正方形斷面邊長縮短為 49.99 mm ，求此時桿件軸向應力 x 、正向應變 x 及  y、蒲松比 、桿件最大剪應力及最大剪應變。（25 分）z z x b y L b P P Ld

（25 分）

如下圖所示之平面桁架結構， a 點、 d 點及 f 點為鉸支承， b 點承受水平集中載重120 kN ，求桁架 ab、cd 及 ef 桿件的軸力。（25 分）3m 3m 3m 3m c a d 3m e 3m b 120kN f

（25 分）

梁桿件斷面如下圖所示，求此斷面的慣性矩 I x 、 I y 。（25 分）y 210mm 30mm x 210mm 210mm 210mm 30mm 30mm

（25 分）

均質材料桿件，材料之應力應變關係如右下圖所示，圖中降伏應力 y  250 MPa、降伏應變  y  0.00125，桿件斷面積 A  8 cm2，a 點及 c 點為固定端。當 b 點承受軸向水平外力 P  360 kN 作用，已知此時 ab 桿件已經降伏，求 bc 桿件軸向應力及軸向應變、b 點軸向位移、ab 桿件軸向應變及其應變能。（25 分） P y a c y b y  0.8m 2m y

（25 分）

圖一中，木箱及輪子的質量分別為 80 kg 及 30 kg 。設木箱與地面的最大靜摩擦係數為  sc  0.25 ，輪子與地面的最大靜摩擦係數為  sA  0.5 ，求產生臨界運動之最小力 P  ？又，設木箱與地面的最大靜摩擦係數  sc 還是 0.25 ，若臨界運動時，欲使木箱及輪子皆為滑動，則輪子與地面的最大靜摩擦係數為  sA  ？（25分）圖一

（25 分）

圖二(a)所示之實心圓桿 AB，其長 L  400 mm，直徑 d  16 mm。圓桿 AB受到拉力 P  60 kN 作用，若實心圓桿 AB 之應力應變關係為：124000  當 0    0.03 ( 的單位為MPa) 1  300若圓桿 AB 之楊氏模數 E  124 GPa ，求 0.2% 偏差降伏應力（offset yield stress） y （參考示意圖二(b)） ；當拉力 P  60 kN 作用時，圓桿 AB 之伸長量   ？又，卸載後，圓桿 AB 之永久伸長量  P  ？（25分） E y 1 E y  0.2%圖二(a) 示意圖二(b)

（25 分）

圖三(a)所示之薄壁管 AB 受扭矩 T 作用，薄壁管 AB 的長 L  0.5 m ，其截面為厚度 t  5 mm，半徑 r  50 mm 之薄壁圓管，如圖三(b)所示。已知薄壁圓管 AB 之剪應力  60 MPa ，剪力模數 G  30 GPa ，求：扭矩 T 及B 點之扭轉角  B （單位以度表之） 。又，若薄壁圓管的底座（截面 A）是用6根直徑為 d b 之錨釘拴緊，錨釘的位置距截面圓心為 r0  70 mm 處，如圖三(c)所示，若毎根錨釘之允許剪應力 ( b ) allow  48 MPa ，求每根錨釘之最小直徑 d b 。（25分）Fb圖三(a) 圖三(b) 圖三(c)

（25 分）

圖四之梁 AB 及梁 BCD 於 B 點用鉸接連接，於 CD 段受到均布載重作用，梁 AB 及梁 BCD 之撓曲剛度皆為 EI ，求 B 點的撓度  B 、C 點旋轉角 C 、D 點撓度  D 及 D 點旋轉角 D 。（請標示方向）（25分）圖四

（25 分）

如圖 1 所示之二分之一圓弧形桿件，O 點為圓心，半徑 R = 4 m ，a 點及c 點為鉸支承，b 點為鉸接，角度θ = 45 ° ，載重 P = 10 kN 、 F = 10 kN 。分別求 a、c 點鉸支承反力的水平與垂直分量，及桿件在 e 點的彎矩、剪力與軸力。 （25 分）F b e P R y a θ c x o圖1

（25 分）

如圖 2 所示構架，桿 ab、桿 bc 及桿 cd 為剛性桿件， a 點及 d 點為鉸支承，b 點及 c 點為鉸接，彈簧係數 k = 125 kN m ，長度  = 2 m、h = 3 m 。求臨界挫屈負載 Pcr 。（25 分）P k b c h d h a  圖2

（25 分）

如圖 3 所示工型斷面之直樑，材料之彈性模數 E = 240 GPa 。當工型斷面承受 M z = 24 kN ⋅ m 彎矩及 Vy = 12.5 kN 剪力作用，求此時樑中性軸曲率半徑、a 點正向應力 σ x 及 b 點剪應力τ xy 。（25 分）y 20 mm 60 mm a b z 300 mm 20 mm 20 mm 200 mm圖3

（25 分）

某點平面應力狀態如圖 4 所示，求其主應力、最大剪應力，及當θ = 60°作用在 AB 斜面的應力分量σ x' 與τ x ' y ' 。（25 分）Y 90 MPa y' 80 MPa A θ x' 30 MPa 30 MPa X B 80 MPa 90 MPa圖4

（25 分）

如圖一所示之桁架，於圖中所施加外載重作用下，求此桁架中 AD、BE、FI、EH 及 EF 桿件之內力。（25 分）D F I 4m C H 4m A B E G J 2 kN 4 kN 2 kN 6m 3m 3 m 6m圖一

（25 分）

一 固 體 材 料 承 受 多 軸 應 力 作 用 ， 如 圖 二 所 示 ， 其 中 σ 11 = 11 MPa ，σ 22 = σ 33 = 4 MPa ，τ 23 = 5 MPa ，於此多軸應力作用下，求此固體材料所承受之最大剪應力。 （25 分）σ 33 σ 11 X3 X2 σ τ 23 22 σ 22 X1 σ 11 τ 23 σ 33圖二

（25 分）

一長度 l = 10 m 之懸臂梁，於其自由端承受一集中力F作用，如圖三所示，此均勻梁斷面b=12 cm及h=12 cm，其固體材料之應力應變行為屬線彈性完美塑性（Elastic perfectly plastic），如圖四所示，其中彈性模數（Elastic modulus）E=200 GPa及降伏強度（Yield strength）σ y = 200 MPa ，假設此梁產生撓曲變位時，其斷面平面仍保持平面，此梁於a - a斷面處不同位置之應變量，如圖五所示，求此時梁所承受之集中力F。 （25分）y=h ε=0.002 F y a b σ h 0 a σy E y = −h l 2 ε ε= -0.002圖三 圖四 圖五

（25 分）

圖 六 所 示 為 一 長 度 l = 10 m 之 軸 桿 件 ， 當 其 承 受 一 均 勻 拉 應 力σ = 10 MPa 作用時，同時將材料溫度由 20℃升高至 30℃時，此軸桿件長度伸長 δ = 0.6 cm ，若持續承受此拉應力作用，將材料溫度再升高至50℃時，此軸桿件長度伸長變成 δ = 0.8 cm。此軸桿件於未承受任何拉應力作用時，將其兩端固定（Fixed ends） ，如圖七所示，當材料溫度由 40 ℃降低至 20℃時，此軸桿件產生拉力開裂破壞，試求此軸桿件之抗拉強度（Tensile strength）。（25 分）σ σ l δ l圖六 圖七

（25 分）

大部分的金屬材料其波松比（Poisson's ratio）ν 介於 0.25~0.35 之間，且受壓力作用，體積會減小。反之，受拉力作用則體積會變大。今有一線彈性材料，在雙軸應力（biaxial stress）σx 及σy（同為拉應力或壓應力）作用下，亦滿足上述體積變化行為。若其彈性模數為 E，波松比為ν，試以材料體積變化率，推導證明此材料波松比ν 的上限值是 0.5（即ν < 0.5）。（25 分）

（25 分）

圖示 AC 為一等截面圓形實心桿件，其長度為 L = 3 m，直徑 d = 63 mm，彈性模數E = 208 GPa，波松比ν = 0.3。A 為固定端點，距 A 點 L/3 處（B 點）及自由端（C 點）分別受 3T0 及 T0 的扭矩作用。若在 BC 段 a-a 斷面上內徑 ρ = 25 mm 的剪應變γρ = 250 μ。試求：

（一）AC 桿件內最大的剪應力τmax、最大的正向應力σmax 及最大的正向應變εmax。 （15 分）

（二）該桿件最大扭轉角Φmax 及自由端之扭轉角ΦC。（10 分）T(x) d = 63 mm A 3T0 a C T0 Φ (x) B a L/3 ρ = 25 mm x L=3m r = 31.5 mm a-a 斷面

（25 分）

請以斷面法求出下示桁架 a、b、c 及 d 桿件之內力。（25 分）c a 8m b d 4m A B 5 kN 15 kN 20 kN 30 kN 4@4m = 16 m 2@8m = 16 m全一張（背面）等 別：三等考試

（25 分）

下示 AF 梁，B 及 E 點為鉸接（Hinge）。請求出 A、C、D 及 F 點之反力，並繪出 AF梁之剪力圖及彎矩圖（標示相關值或函數） 。（25 分）15 kN 3 kN/m 8 kN.m B C D F A E 3m 2m 2m 2m 2m 4m

（25 分）

圖一之結構由長度 L = 2 m 之剛性桿件 AC 及 BC 所組成，在 C 點連接一彈簧。在α = 0°時，彈簧未伸長或縮短；當施加外力 P = 10 kN 於 B 點時，結構之變形如圖一所示。設彈簧之彈力常數為 k = 20 kN / m 。以能量法（Energy Method）求平衡時之角度 α ，並判斷平衡時是為穩定平衡、不穩定平衡或隨遇平衡。 （25 分）• k = 20kN / m C • L = 2m L = 2m剛體剛體A • α α • P = 10kN B圖一

（25 分）

托架 ABCD 是由垂直桿 AB（ L = 2 m ） 、平行於 x 軸之 BC 桿（ a = 1.2 m ）及平行於z 軸之 CD 桿（ b = 0.8 m ）所組成，如圖二所示。外力 P = 15 kN 作用於 D 點指向 G 點；力矩 M 0 = 2 kN ⋅ m 作用於 D 點指向 F 點。求在 A 點截面上的軸力大小、剪力大小、彎矩大小及扭矩大小。（25 分）y b D a B C P M0 L E G b A F H x z a a圖二全一張（背面）等 別：三等考試

（25 分）

圖三中，桿件 AB 及 AC 為截面積 A = 36 mm 2 之等截面圓形桿件，其應力~應變關係為：104,000ε σ= for 0 ≤ ε ≤ 0.03 （ σ 的單位為 MPa）1 + 200ε若桿件 AB 及 AC 之允許拉應力或壓應力均為 0.2%偏距降伏應力（offset yield stress），求允許載重 Pallow。（25 分）B 3m C A 1m 2m 1m P P圖三

（25 分）

圖四(a)之簡支梁 AB，承受相連兩輪之載重，此載重可移到任何位置（即圖四(a)中的ξ 為任意值）。梁 AB 之截面如圖四(b)所示。設 P = 2 kN ， L = 10 m ， d = 1.5 m 。求此移動載重造成梁內之最大拉應力，及其所在位置。（25 分）3P P b = 300mm t = 12mm y y ξ c1 B z A x h = 80mm c2 t = 12mm L圖四(a) 圖四(b)

（25 分）

水平天花板上，有三定點 A、B、C，由這三定點各有一根繩索，連接在空間中 D 點，而 ABCD 構成一正四面體，正四面體代表每個面都是正三角形。在 D 點懸掛一垂直重物，其重力大小為 10 kN，請問每根繩索所受到的張力為多少？（25 分）

（25 分）

有一垂直的實心均質圓桿，如下圖所示，其直徑為 d = 10 cm，圓桿的長度 L = 1 m，圓桿的下緣 B 點受到 P = 1 N 力作用，並且在圓桿兩端受到扭矩 T = 10 N-m 作用，圓桿的密度已知為 2 kg/m3。

（一）若末端 B 點為 x 軸原點，並且正 x 軸向上（與重力方向相反） ，請問沿著 x 座標，斷面上的軸向應力（axial stress）σ xx 與 x 的函數關係為何？（10 分）

（二）請問在垂直於圓桿形心軸之平面上，因扭矩所造成的最大剪應力 τ max 為多少？（5 分）

（三）在整根圓桿上，材料所受到的最大主應力（principal stress）為多少？（10 分）x T=10 N-m P A L=1 m B 1N T=10 N-m

（25 分）

關於熱膨脹所造成的應變與應力，請回答下列問題：

（一）當物體之溫度由參考溫度提高，若物體並不受到任何束限，可以自由膨脹，此時根據應變的定義，可以將膨脹量除以原長得到熱應變。請問這時候物體是否承受應力？若有應力，大小如何表達？（10 分）

（二）物體因為溫度變化所產生的應變是軸向應變？還是剪應變？（5 分）

（三）假設有一物體原來長度為 L，受到溫度提升自由膨脹的變形量為δΤ，但是物體無法任意膨脹，可容許的膨脹量為δ（其中δ < δΤ），物體的彈性模數為 E，斷面積為 A，請問斷面上的應力為多少？（10 分）全一張（背面）等 別：三等考試

（25 分）

如下圖所示，有一桁架系統（truss） ，在 A 處為鉸支承（hinge support），在 B 處為滾支承（roller support）。請回答下列問題：

（一）所謂的桁架系統，所有外力必須作用在何處？（5 分）

（二）請問 BE 構件是否為零力構件？若為零力構件，請解釋。（5 分）

（三）請挑出所有的零力構件。 （5 分）

（四）請計算出桁架系統中的每一非零力構件所受到的力為多少？（10 分）G a E F P=10 N a A B C D a a a

（25 分）

如圖所示，兩端均固定之桿件 abc，桿件由同一種材料組成，其彈性模數（Elastic modulus）為 E，桿件 abc 是由二段組成，ab 段之長度為 L，斷面積為 A，bc 段之長度為 L，斷面積為 2A，已知桿件 abc 單位體積自重是 γ，今考慮自重的效應，試求：a 端及 c 端之反力。（15 分）桿件中點 b 之位移。（10 分）a a LL b b LL c c

（25 分）

如圖所示之梁，梁長 2L，梁上 be 段受均佈載重 q 作用，梁之 a 端則受彎矩 M0 作用，今已知在均佈載重 q 及彎矩 M0 作用下，梁跨度中央 c 處之曲率（curvature）為零，試求出彎矩 M0 的大小（彎矩 M0 請以均佈載重 q 及 L 表示），並繪出此梁之剪力圖及彎矩圖。（25 分）q M0 a b c dd e L L LL L L LL ─ ─ ─ ─ 22 22 2 22（背面）等 別： 三等考試

（25 分）

如圖所示之懸臂梁，全長斷面均為直徑 d 之實心圓形斷面，此梁自由端承受扭力 T T 3T及彎矩 My 與 Mz 作用，已知彎矩 M y  而彎矩 M z  ，在扭力 T 及彎矩 My 與2 2 Mz 作用下，求懸臂梁之最大主應力（最大主應力請以扭力 T 及直徑 d 表示）。（25 分）y My T z x Mz

（25 分）

如圖所示，梁 AB 為懸臂梁，梁長為 L，梁之撓曲剛度為 EI，梁承受均佈載重 q 作用，自由端 B 下方 δ 處有一滾支撐。考慮自由端 B 下方 δ 處，無滾支撐條件下，試求自由端 B 處之變位及自由端 B 處之傾斜角。（15 分）載重 q 作用下，已知自由端 B 已接觸到滾支撐，且梁變位曲線在自由端 B 之傾斜角維持水平，試求均佈載重 q 大小（均佈載重 q 請以 L , EI 及 δ 表示）。（10 分）q B  A L

（25 分）

如圖一所示，剛梁 ABC，絞支撐於 A，彈簧支撐於 B、C，其彈簧常數為 k。假設未承載外力前，剛梁為水平。試求：

（一）外力均佈載重 q 作用下，各支撐的反力。（15 分）

（二）剛梁 ABC 的剪力圖。（5 分）q A C C B k k L 2L圖一

（20 分）

考慮梁斷面如圖二所示（圖內長度單位為 mm），試求：

（一）斷面形心之坐標。（15 分）

（二）斷面慣性矩 I x 。（10 分）y 130 26 26 x圖二全一張（背面）等 別： 三等考試類 科： 土木工程

（25 分）

鋼棒 ac（直徑 8 cm， Es = 200 GPa ）與銅套管 ab（外徑 10 cm， Eb = 100 GPa ）緊密結合，如圖三所示，其 a、c 兩端為固定端， L = 100 cm 。設 b 點承受軸力 P = 10 kN 。同時，系統溫度上升 ΔT = 200 ℃。假設鋼棒與銅管的熱膨脹係數分別為α s = 14×10-6∕℃及α b = 18×10-6∕℃。試求：

（一） a、c 兩端的反力。（15 分）

（二） b 點的位移。（10 分）L L P a b c銅 鋼」」鋼ab 段斷面 bc 段斷面圖三

（25 分）

如圖四所示，均勻斷面懸臂梁 ABC，其剛度為 EI。若 AB 段承受大小為 q 之均佈作用力，且 C 點下方 Δ 處有一滾支撐。

（一）試求 q1 之大小，使得 q = q1 時，懸臂梁 ABC 正好接觸 C 點下方的滾支撐。（15 分）

（二）承題（一），若 q = 2q1 ，試求此時懸臂梁在固定端 A 點處的反力。（15 分）q C B Δ A L L圖四

（30 分）