工程統計學與品質管制概要　申論題歷屆試題與參考架構

許 多 公 司 採 用 一 種 品 質 管 制 技 術 ， 稱 為 允 收 抽 樣 （ acceptance，來檢測原料及零件等的品質水準。就電子產業而言，整批sampling）零件從供應商處送來，廠商抽取 n 個樣本進行檢驗，此即一個二項實驗。實驗中包含 n 個試驗，每一試驗結果為良品或不良品。某電子公司自供應商處購進一批電子零件，如果該批產品的不良率不超過 1%，則允收該批產品。現自該批產品中隨機抽取 5 個零件做為樣本，請回答下列問題：

（一）假設整批產品的不良率為 1%，則樣本中沒有不良品的機率是多少？（6 分）

（二）假設整批產品的不良率為 1%，則樣本中恰有 1 件不良品的機率是多少？（6 分）

（三）假設整批產品的不良率為 1%，則樣本中有 1 件（含）以上不良品的機率是多少？（6 分）

（四）若樣本中發現1 件不良品，則你認為可以允收該批產品嗎？為什麼？（7 分）

（25 分）

某位技術人員專門針對某地的郵件機器提供維修服務，依照不同的故障情況，維修可能需要 1 小時、2 小時、3 小時或 4 小時，不同型態的故障情況的發生次數也大致相同。 （每小題 5 分，共 25 分）

（一）列出一次維修服務所需時間的機率分配。

（二）繪製機率分配圖。

（三）證明此機率分配滿足離散機率函數的必要條件。

（四）維修時間需要 3 小時的機率是多少？

（五）假設有人要求維修服務，但故障情況未知，又假設現在是下午 3 點，技術人員通常在下午 5 點下班，請問技術人員今天超時工作的機率是多少？

（25 分）

試以區間測試（Zone Test）與連串測試（Run Test）來分析下列管制圖。試判定下列管制圖是否可能存在非機遇原因，並列出所使用之法則。（每小題 5 分，共 25 分）

（一） （二）

（三） （四）

（五）

（25 分）

油漆乾燥所需時間的長短會影響企業的產能。某公司採購了 1 台油漆乾燥機器人，以加快其製程。想驗證一個有趣的問題是「所有油漆乾燥機器人都有相同的乾燥時間嗎？」為了測試這一論點，假設公司由不同品牌的油漆乾燥機器人抽樣 5 次乾燥時間，並記錄油漆乾到可上第 2 次油漆所需之時間（分鐘），所得資料如下：機器人 1 機器人 2 機器人 3 機器人 4 128 144 133 150 137 133 143 142 135 142 137 135 124 146 136 140 141 130 131 153在α = 0.05 的顯著水準下，檢定每種品牌機器人的平均時間是否相等？（25 分）附表：

（25 分）

假設在某一學期的統計學全班（共 8 人）兩次的段考成績如下：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛第一次 65 76 86 62 48 90 72 61第二次 80 97 92 76 84 82 93 76請問：（每小題 10 分，共 30 分）

（一）兩次考試的全班變異數分別是多少？

（二）甲生在兩次考試中的 Z 分數（Z-score）分別是多少？

（三）依照第（二）題的 Z 分數結果顯示，請問甲生在那次考試表現較佳，並說明原因。

（30 分）

市調公司針對 400 個家庭進行調查，育有兩個以上子女的家庭共計有 232家，試求：

（一）育有兩個以上子女的家庭百分比的估計值 p̂ 為何？（10 分）

（二）請計算育有兩個以上子女的家庭百分比 p 的 95%信賴區間。 （10 分）備註：Z0.025 = 1.96、Z0.05 = 1.64、Z0.1 = 1.28

（20 分）

晶圓廠商欲建構一個缺點數管制圖（C chart）以管制晶圓上的缺點數，因此從生產線上抽取出 10 片晶圓進行檢驗，得缺點數資料如下表所示。組別（K） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10缺點數（C） 12 10 6 8 10 7 7 12 11 9根據樣本資料，試回答以下問題：

（一）請計算平均缺點數 C 為何？（5 分）

（二）請計算管制上限（Upper control limit, UCL）與管制下限（Lower control limit, LCL）分別為多少？（10 分）

（三）除了管制界限以外，還有一種界限稱為規格界限。以上限為例，請問UCL 跟規格上限（Upper specification limit, USL）獲得方式的差異為何？（10 分）

（25 分）

某旅行社針對旗下旅遊產品銷售情況進行調查，發現旅客選擇之旅遊目的地大多數以日本、韓國、泰國為主。旅行社為了想要了解這三個旅遊目的地是否同樣受歡迎，因此隨機抽取部分旅客調查其喜好程度進行評分。設日本的平均評分為 μ1，韓國的平均評分為 μ2，泰國的平均評分為μ3，將蒐集到的數據進行變異數分析（ANOVA）後，目前旅行社已分析完成表格數據如下所示：Source df SS MS F Treatment 2 32.7222 16.3611 ______ Error 6 3.3333 0.5556 Total 8 36.0556假設兩母體相互獨立且服從常態分配，請問：

（一）請列出虛無假設（Null hypothesis）與對立假設（Alternative hypothesis）分別為何？（10 分）

（二）請問檢定統計量之樣本觀察值 F0 是多少？其中 α = 0.05，F0.05(2,6) = 5.14、F0.05(6,2)= 19.33。（5 分）

（三）根據上述假設及結果，請問三個旅遊目的地的喜好程度是否相同，並說明理由。 （10 分）

（25 分）

某一物流公司每週出車之機率p（x）如下表：每週出車之次數 x 12 13 14 p（x） 0.1 0.8 0.1求物流公司每週出車次數介於正負兩個標準差間之機率[即p（－2 < X < ＋2）之值]。另以Chebyshev定理估計結果，與前述p（－2 < X < ＋2）答案進行比較並評論之。（25分）

（25 分）

使用平均值管制圖時，管制上界與管制下界是否可以使用產品規格值的上下界？理由為何？請詳細說明。（25分）

（25 分）

莊家提一博弈遊戲規則，投擲一公平的骰子，若出現3點者為成功事件，則莊家每次支付參與遊戲的博弈者10,000元；若非3點者為失敗事件，則莊家每次收取參與遊戲的博弈者1,000元。某參與遊戲的博弈者，投擲骰子博弈10次，請寫出恰好出現5次3點的機率之列式，以及莊家的期望收益之列式。（25分）

（25 分）

何謂精實六標準差計畫？應用精實六標準差方法，組織可以實現那些益處？請詳述之。（25分）

（25 分）

假設有一縣（市）新冠肺炎染疫率達到了 10%，今在該縣（市）隨機抽樣 50 位居民，請問其中至少有 3 位（含）染疫的機率是多少？請以泊松（Poisson）分配計算剛好有 3 位染疫的機率。（15 分）

（15 分）

單位推出新的改善措施，為了解民眾對此項措施的認同情況，隨機調查了 300 位民眾，其中 100 位女性有 60 位認同，200 位男性有 150 位認同。請以 5%顯著水準檢定男性與女性民眾認同此項措施之比例是否相同。（15 分）

（15 分）

為推廣地方特色產品，分別到四個地區舉辦一星期的試吃會，各地區七天的試吃人數如下表：地區＼星期 一 二 三 四 五 六 日甲 164 140 152 121 165 136 146乙 183 170 178 135 188 159 174丙 122 110 108 100 140 124 154丁 111 96 106 88 135 97 114請列出假說檢定、變異數分析表並以   0.05 檢定地區間之試吃人數是否有差異。（20 分）注意：F4,24,0.05 = 2.78，F4,25,0.05 = 2.76，F4,28,0.05 = 2.71，F3,24,0.05 = 3.01，F3,25,0.05 = 2.99，F3,28,0.05 = 2.95，F6,24,0.05 = 2.51，F6,25,0.05 = 2.49，F6,28,0.05 = 2.45

（20 分）

假設採用 n1 = 15、Ac1 = 0、Re1 = 3，n2 = 25、Ac2 = 3、Re2 = 4 之雙次抽樣來驗收，若有一批貨不良率為 0.02 時，請問該批貨之允收機率為多少？（15 分）

（15 分）

某產品之規格為 150.0±5.0，製程之標準差已知為 2.0，製程平均值之目標值為 150.0，利用平均值（ ）和 R 管制圖來管制此製程，樣本大小n = 4。假設此產品之品質特性符合常態分配，n = 4 查表可得以下各係數：A2 = 0.729，A3 = 1.628，A = 1.500，B3 = 0，B4 = 2.266，D1 = 0，D2 = 4.698，D3 = 0，D4 = 2.282，c4 = 0.9213，d2 = 2.059，d3 = 0.880。

（一）請求出平均值（ ）和 R 管制圖之 3 倍標準差管制界限。（10 分）

（二）若製程平均數發生變異上移至 151.2，請求出此時平均值（ ）管制圖可以偵測到此變異之機率。 （15 分）

（三）請求出此變異發生時，該產品製程之不良率。（10 分）附表：標準常態累加機率值表α O z Z

（35 分）

一小型班級有 10 位考生，考試成績分別為 60、60、55、45、40、70、75、85、80、80，請問：

（一）平均分數？（10 分）

（二）中位數？（10 分）

（三）母體變異數？（10 分）

（30 分）

某班級學生近視狀況如下表：性別男生 女生近視與否近視 24 12沒近視 16 8

（一）請問「性別」與「近視與否」兩事件是否統計獨立？（10 分）

（二）請問「性別」與「近視與否」兩事件是否互斥？（10 分）

（20 分）

已知維修一部機器所需花費的時間呈現指數（exponential）分配，且均數（mean）為 15 分鐘。請列出半小時內可維修完成該種機器數量的機率函數；換句話說，以 k 表示半小時內可維修完成該種機器的數量，請問發生 k 的機率為何？（15 分）

（15 分）

某批準備要被驗收的產品共有 2 萬件，抽取其中 400 件進行檢驗，此些樣本的平均重量為 1200 公克，標準差 100 公克，請以信心水準 95%估計此批產品平均重量。（15 分）

（15 分）

針對 Cp 以及 CPK 兩製程能力指標定義其公式並說明兩者差異。（20 分）

（20 分）

為分析市售兩個廠牌產品重量的差異，經抽樣20件A廠牌的產品與18件B廠牌的產品比較，結果如下表：廠牌 樣本數 平均重量 樣本標準差A 20 323 8 B 18 330 9假設兩個廠牌產品的重量均呈常態分配，當顯著水準為5%時，請檢定兩個廠牌的產品重量是否有差異？（25分）注意：F18,20,0.05=2.152，F17,19,0.05=2.198，F20,18,0.05=2.191，F19,17,0.05=2.243，F18,20,0.025=2.501，F17,19,0.025=2.567，F20,18,0.025=2.559，F19,17,0.025=2.633，t0.05,30=1.697，t0.025,30=2.042，t0.05,40=1.684，t0.025,40=2.021

（25 分）

為了解民眾是否認同單位提昇為民服務的改善措施，調查了300位民眾，有240位民眾認同，請求算民眾認同比率的95%信賴區間。若希望誤差不超過正負3%，請問要調查多少位民眾才足夠？（15分）

（15 分）

某計畫案有三家廠商前來參與報告，經五位評審評分後如下表：廠商\評審 1 2 3 4 5 A 95 96 97 93 95 B 92 93 96 92 96 C 90 89 92 88 92請列出假說檢定、變異數分析表並以α=0.05檢定廠商間或評審間之分數是否有差異。（25分）注意：F2,8,0.05=4.459，F2,9,0.05=4.256，F3,8,0.05=4.006，F3,9,0.05=3.863，F4,8,0.05=3.838，F4,9,0.05=3.633，F5,8,0.05=3.688，F5,9,0.05=3.482

（25 分）

利用 X  R 管制圖管制某製程，其樣本大小n= 4。主要品質特性之規格為100±5，在蒐集25組樣本後，獲得Σ i = 2525以及ΣRi = 102.95。假設品質特性為常態分配，且製程已在管制狀態（in SOSC），n= 4查表可得以下各係數：A2=0.729，B3=0，B4=2.266，c4=0.9213，d2=2.059，D3=0，D4=2.282。

（一）請求出α=0.01的平均值（ X ）管制圖之機率管制界限。（12分）

（二）請求出此製程之Cp及Cpk。（8分）

（三）若製程標準差增加0.2倍，且平均數移動至102.8，試計算此時平均值（ X ）管制圖之型II誤差。 （15分）附表：標準常態累加機率值表α 0 z Z

（35 分）

定義下列各名詞代表的是「事件」 、 「隨機變數」 、 「實數」或「無特殊意義」 。令 X 1 , X 2 , ... , X n 表示抽樣前的獨立資料。相對的抽樣後的資料以小寫 x1 , x2 , ... , xn 表示。令 X = ∑in=1 X i / n, x = ∑in=1 xi / n, S X = ∑in=1 ( X i − X ) 2 /( n − 1) , s X = ∑in=1 ( xi − x ) 2 /( n − 1) var(X)表示 E( X − μ X ) 2 , μ X = E( X ) 表示 X 的期望值。（每小題 4 分，共 20 分）

（一） E(SX)

（二）σ X < S X

（三） 4X

（四） P(S X )

（五） var( 2 X )

（20 分）

某公司資訊部門資料庫中收集了機台生產時間與完工時間等資料。這些資料是樣本還是母群體？試說明之。以圖形繪出樣本、母群體、機率問題與統計問題。（10 分）

（10 分）

將下列描述趨勢之屬性分類為「集中」或「分散」。（每小題 2 分，共 10 分）

（一）期望值

（二）全距

（三）標準差

（四）眾數

（五）中位數

（10 分）

某研究中心欲了解中學生課後英文補習能否增進英文能力。隨機選取 12位中學生，測試其補習前後英文成績如下。根據下表回答問題：（每小題 10 分，共 20 分）學生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12補習前 72 81 78 77 79 82 76 77 81 78 75 80補習後 79 77 82 75 83 80 86 78 83 78 82 79

（一）求算補習前後英文平均成績差的 95%的單邊信賴區間。

（二）補習後英文成績是否有顯著提升？

（20 分）

Shewhart Attribute 管制圖：令 Xi =1，若晶片是破片；否則定義 Xi = 0。Xi ~ Bernoulli 分配。令 Zi 為晶片 i 上的總缺點數。Zi ~Poisson 分配。假設每個時間點檢查 n=3 個晶片，將下列 4 個計數管制圖的 y 軸的統計量寫成上述 Xi 或 Zi 的函數。 （每小題 5 分，共 20 分）

（一） np Chart

（二） p Chart

（三） c Chart

（四） u Chart

（20 分）

表 1 與表 2 是使用相同資料（3 因子實驗）產生的兩個表，其中一個是F 檢定，一個是 t 檢定。根據下表提供的資訊回答問題：表 1：ANOVA 表Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 3 12220 12220 4073.3 7.77 0.038 A 1 8712 8712 8712.0 16.61 0.015 B 1 2450 2450 2450.0 4.67 0.097 C 1 1058 1058 1058.0 2.02 0.229 Residual Error 4 2098 2098 524.5 Pure Error 4 2098 2098 524.5 Total 7 14318表 2：因子效用估計表Term Effect Coef SE Coef T P Constant 226.5 8.097 27.97 0.000 A ① 33.0 8.097 ④ ⑦ B ② -17.5 8.097 ⑤ ⑧ C ③ -11.5 8.097 ⑥ ⑨

（一）填寫表 2 中①～⑨之數值。（9 分）

（二）空格④與⑦之關係為何？（11 分）

（20 分）

假設已知某筆記型電腦壽命 X 的機率密度函數（probability density function, pdf）如下：⎧(1 / 10)e − x / 10 x≥0 f X ( x) = ⎨ ⎩0 x<0

（一）求算出任一該產品在一年內夭折的機率，稱為 p 。（10 分）

（二）繪出 f X (x) 之圖形，並以斜線繪出 p 之圖形。（10 分）

（20 分）

設隨機變數 X 服從一致分配 (θ , 1) ，其中θ 為我們想估計的參數。隨機變數 X 的機率密度函數為⎧⎪ 1 , θ ≤ x ≤1 f X ( x) = ⎨1 − θ ⎪⎩0 , 其他已知一組隨機產生的資料為 0.3, 0.5, − 11, 0, 0.4。根據此組資料利用最大概似估計法估計參數θ 。（10 分）

（10 分）

利用表 1 之資料探討不同溫度對磁磚硬度的影響。首先建立 100 度與 150 度虛無假設 H 0 : μ1 = μ 2；與對立假設 H1 : μ1 − μ2 ≠ 0。使用兩個樣本的 T 檢定，得到 T 統計值：0.22，p-值：0.829。

（一）若以 ANOVA 再次做檢定 H 0 : μ1 = μ 2 ，求算 F-值及相對應的 p-值。（10 分）

（二）可否使用 T 統計量建立 H 0 : μ1 = μ 2 = μ 3 之統計檢定？說明理由。（10 分）表 1：一因子之反應值 Yij溫度 密度(F) 1 2 3 4 5水準 1. 100 度 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7水準 2. 150 度 21.9 21.8 21.8 21.6 21.5水準 3. 175 度 21.9 21.7 21.8 21.7 21.6全一張（背面）

（20 分）

品質管制中任何品管圖中都有管制上限（upper control limit, UCL）與下限（lower control limit, LCL）。品管工程師每一次檢驗一個值，將檢驗出來的量測值（例如：尺寸）畫在品管圖上，若量測值在管制上下限外（高於 UCL 或低於 LCL） ，工程師就必須停機檢查。 X 表示品管圖從製程開始到第一次出現停機檢查的檢驗次數。假設每一次檢驗得到的量測值在管制上下限之外的機率為 p = 0.0027 。

（一） X 服從什麼分配？（10 分）

（二）平均檢驗幾次才會有一個量測值落在管制上下限之外？（10 分）

（20 分）

考慮一個 2 因子（因子 A 與 B）的設計，見表 2。符號 Yijk 表示在 A 因子在 i 水準與B 因子在 j 水準組合下的第 k 個反應值。利用符號 Yijk 定義表 3 中的兩個符號。

（一）SSTO。（10 分）

（二）SSA。（10 分）

（三）SSE。（10 分）表 2：二因子之反應值 Yijk Factor B Factor A 1 2 … b 列平均1 y111, y112 , … , y11n y121 , y122 , … , y12 n … y1b1 , y1b 2 , … , y1bn Y 1.. 2 y211 , y212 , … , y21n y221 , y222 , … , y22 n … y2b1 , y2b 2 , … , y2bn Y 2.. … … … … … … a ya11 , ya12 , … , ya1n ya 21 , ya 22 , … , y a 2 n … yab1, yab 2 , … , y abn Y a .. …行平均 Y .1. Y .2. Y .b. Y ...表 3：2 因子之變異數分析（ANOVA）表變異來源 SS df MS=SS/df F p-值a −1 FA = MS MS A A SSA MSA pA E MSB B SSB b −1 MSB FB = MS E pB AB SSAB (a − 1)(b − 1) MSAB FAB = MS MSAB p AB E E SSE ab(k − 1) MSE Total SSTO n −1

（30 分）

甲餐廳銷售的粽子重量服從常態分配，平均每一顆是 200 公克，標準差是 10 公克。乙餐廳銷售的粽子重量也是服從常態分配，平均每一顆是 210 公克，標準差是 20 公克。已知這兩家餐廳都出售每一盒 6 顆裝的粽子禮盒。請問：（每小題 10 分，共 20 分）

（一）某人購買了一盒甲餐廳的粽子禮盒，請問其重量超過 1250 公克的機率？

（二）某人從甲餐廳與乙餐廳各買了一盒粽子禮盒，請問購自甲餐廳的這盒粽子比購自乙餐廳的這盒粽子重的機率？

（20 分）

某公司的人資部門想要了解公司的教育訓練是否能夠明顯提昇員工的工作績效，因此隨機選取 8 位員工，記錄訓練前與訓練後完成特定工作的時間如下表（單位：秒）：員工 1 2 3 4 5 6 7 8訓練前 120 110 100 120 125 90 100 110訓練後 115 102 85 118 105 83 92 100若完成工作的時間呈常態分配，請依假設檢定步驟檢定教育訓練是否可提高員工的績效（α = 0.05）。（20 分）

（20 分）

若某產品有 A、B、C、D 四種不同的包裝（因子），將超商依市場規模分為大、中、小三級（集區），在每一級中隨機抽出 4 個市場規模相當的超商，分別以 A、B、C、D 四種不同包裝的產品進行銷售，一個星期的銷售量如下表（單位：千元） ：包裝超商規模 A B C D大 80 65 65 70中 60 50 45 45小 40 35 25 20

（一）請根據上述資料建立變異數分析表。（15 分）

（二）請檢定包裝因子的效果是否顯著（α = 0.05）。（5 分）

（三）請問市場規模是否顯著影響銷售（α = 0.05）？（5 分）（請接第二頁）全五頁第二頁

（25 分）

假設工程師針對一個製程，在固定間隔的時間抽取樣本數 n = 4 個產品，對每次抽樣進行品質特性的量測後計算 及 R 的值。在 50 次抽樣後，得到∑50 50 i=1 xi = 2550 以及 ∑i=1 Ri = 200假設品質特性為常態分配，且查表可得以下各係數：A2 =0.729， A3 =1.628， B3 =0， B4 =2.266，c4 =0.9213， d2 =2.059， D3 =0， D4 =2.282。

（一）請計算 及 R 管制圖的管制界限。 （10 分）

（二）如果規格界限為 50 ± 5，請計算並評論製程能力指標Cp ，Cpk 和Cpm 。（15 分）

（三）假如產品超出規格上限，則可以重工；而如果低於規格下限，則必須廢棄。請計算廢品與重工品的比例。（5 分）

（四）請提供製程如何改善的建議。（5 分）（請接第三頁）全五頁第三頁附表一 標準常態分配表（請接第四頁）全五頁第四頁附表二 t 分配臨界值tp（請接第五頁）全五頁第五頁附表三 F 分配的臨界值表

（35 分）