數位訊號處理　申論題歷屆試題與參考架構

假設一個週期為 T 的連續時間訊號 x(t )，其基本角頻率（radian frequency）為 0  2 ，該訊號可以表示為複數指數形式的傅立葉級數（Fourier T Series）： x(t )   ak e j0kt k 

（一）請推導出上式之傅立葉係數（Fourier coefficients）{ak } 計算公式為：（15 分）1 T ak   T 0 x(t )e j0kt dt

（二）當訊號 x(t )  sin3 (4 t ) ，請計算出該訊號之傅立葉係數{ak } 。（10 分）

（25 分）

一簡單的移動平均（moving average）濾波器系統定義如下：1 M 1 y[n]  x[n  k ] M k 0

（一）求該系統之脈衝響應（impulse response） h[n] ；（5 分）

（二）請推導該系統之頻率響應（frequency response）H (e j ) 表示式； （10 分）

（三）假設濾波器 M  11 ，若輸入訊號 x[ n]  e j n ，請找出  值，   ω   ，使得 y[ n]  0 ， n 成立。（10 分）

（25 分）

考慮下面的差分方程式的系統：y[n]  y[n  1]  y[n  2]  2 x[n]  2 x[n  1] Y ( z)

（一）找出系統函數（System function） H ( z )  ，以 z 的正冪次方多項X ( z)式比表示；（10 分）

（二）求該系統的脈衝響應（impulse response）h[n]，以純實數表示。（15 分）

（25 分）

對於任何實數序列 x[n] ，其傅立葉轉換 X (e j )  x[n]e  j n ：n

（一）請證明其傅立葉轉換之大小（Magnitude） |X (e j )| 為偶函數而相位（Phase） X (e j ) 為奇函數，即（10 分）|X (e j ) | |X (e  j )| ；X (e j )  X (e  j )

（二）當實數序列 x[n]  0.5n u[n] ，請驗證（一）之等式成立。（15 分）

（25 分）

考慮圖一的系統方塊圖（system block diagram）：其中|a|<1 x[n] y[n] b a 1/Z圖一：系統方塊圖當輸入 x[n]分別是以下兩種情形時： （每小題 10 分，共 20 分）

（一） x[n] = e jω0n

（二） x[n] = e jω0．n u[n] where u[n] is an unit-step function.請找出輸出 y[n]。

（20 分）

一個 causal and stable system 的線性非時變（LTI）系統具有以下的轉換函數： （每小題 10 分，共 20 分）1 − 2 Z −1 H (Z ) = ⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎞ ⎜1 − Z ⎟ ⎜1 − Z ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠

（一）是否可能可以找到另一個 causal 且 stable 的系統，Hi(Z)，若存在有某Z 能 使 H(Z)Hi(Z)=1 ， 若 是 ， 請 找 出 Hi(Z) 的 收 斂 區 （ region of convergence）。若否，請解釋為什麼？

（二）請找出 impulse response of a causal and stable system H A [n] ，能使得Z −1 − c* H (e ) H A (e ) =1，for all ω 。（提示：jω jω −1 is all pass, which has 1 − cZ constant magnitude response for all ω. The * denotes complex conjugation.）

（20 分）

何謂奈斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem）？（20 分）

（20 分）

X c ( jΩ) 與 H (e jω ) 如圖二的系統所示。請針對下面兩種情況畫出（sketch）並標記（label） yc (t ) 的傅立葉轉換：（每小題 10 分，共 20 分）

（一） 1/T1=2·104，1/T2=104

（二） 1/T1=104，1/T2=2·104圖二

（20 分）

考慮 x[n]，它的離散時間傅立葉轉換（DTFT）如圖三中所示。⎧ x[n], n = Mk , k ∈ Z xs [ n ] = ⎨ and xd [n] = xs [ Mn] = x[ Mn] ⎩0 , otherwise當 M = 3 且 ω H = π / 4 ，請畫出（sketch） X s (e jω ) 與 X d (e jω ) 。（20 分）圖三

（20 分）

考慮由下列輸出-輸入線性差分方程式所描述的數位訊號與系統y(n) = [x(n+1) + x(n – 1)]/2

（一）請推導該系統之頻率響應函數 H(ω) = ∑ h(n) e –jωn =Y(ω) / X(ω)。（10 分）

（二）請根據上述結果，計算將下列訊號 x(n)輸入上述系統所產生的穩態輸出 y(n)。（10 分）x (n) = 5 + 4 sin(0.5nπ + 60。) + 3 cos(nπ), –∞≤ n ≤∞

（20 分）

考慮數位訊號 ( )，0 ≤ n ≤ N， ( )的 N 點傅立葉轉換 N(k) =∑ ( ) 。

（一）如果 ( )的週期為 L，請推導傅立葉轉換 L(k)與 2L(k)的關係。（10 分）

（二）如果 ( )={0, 1, 0, 1, …}，請計算 2(k) ={ 2(0), 2(1)}與 4(k) ={ 4(0), 4(1), 4(2), 4(3)}來驗證上述關係，並請說明此關係的物理意義。 （10 分）

（20 分）

假設數位訊號 ( )的 Z 轉換為 ( ) = ∑ x(n) 。請推導（並以 ( )來表示）訊號 1( ) = (2 ) 的 Z 轉換。（20 分）

（20 分）

（一）請解釋有關於有限頻帶訊號數位化之取樣定理。（5 分）

（二）請分別於時間域與頻率域，繪圖說明違反上述取樣定理所造成的重建訊號失真現象。（10 分）

（15 分）

考慮因為衛星影像拍攝過程為每一列影像像素分別擷取，並且有相當的時間差異，因此造成影像中有橫紋干擾的現象（如下圖左，右側為局部放大圖） 。

（一）請解釋上述橫紋干擾於頻率域的位置分布。（10 分）

（二）請提出可以有效消除上述干擾，但不影響原有景物影像的方法。（10 分）

（三）請說明使用局部平均(例如 5 × 5 local averaging)來消除此干擾的缺點。（5 分）

（25 分）

考慮移動平均濾波器（moving average filter）： y[n]= ∑ x[n − k ]，其中 x[n] N1 + N 2 + 1 k = − N1與 y[n]分別為輸入與輸出訊號，N1 與 N2 為正整數。

（一）證明該濾波器之頻率響應（Frequency response）可表示為：（10 分）1 sin [ω( N 1 + N 2 + 1) / 2] − jω( N 2 − N1 ) / 2 H (e jω ) = e N1 + N 2 + 1 sin(ω/2)

（二）假設 N1=0 且 N2=4，求在頻率響應的大小 H (e jω ) 為零時，對應在 0 到 2π間之 ω 值。（10 分）n −1 ⎛1⎞

（20 分）

考慮線性不隨時變系統(LTI)，若其輸入 x[n]=u[n]，輸出 y[n] = ⎜ ⎟ u[n + 1] 。⎝2⎠

（一）求該系統脈衝響應之 z 轉換 H(z)，及其在 z 平面上收斂範圍，並繪出 zero 及 pole點之位置。（15 分）

（二）求該系統脈衝響應 h[n]。（5 分）

（20 分）

圖 P3 為升降頻取樣系統，輸入訊號 x[n]之傅立葉轉換（Fourier transform）為 X (e jω )，系統頻率響應為 H (e jω ) ，L 與 M 為正整數。求輸出訊號 y[n]之傅立葉轉換 Y (e jω ) 。（20 分）x[n] y[n] L H ( e jω ) M圖 P3

（20 分）

當離散傅立葉轉換(DFT)X[k]的長度 N 為偶數，請證明其反向離散傅立葉轉換(IDFT)x[n]，可以表示為具半數負指標的和，即下列等式成立。 （20 分）1 N / 2 −1 x[n] = ∑ X [k ]e j ( 2π / N ) kn N k =− N / 2

（20 分）

考慮常係數差分方程式（Difference equation）定義為 y[n] − ay[n − 1] − x[n] = 0 。假設x[n] = Kδ [n]，輔助條件 y[-1]=c，其中 a, K, c 為任意常數。求該差分方程式的解 y[n]。（20 分）

（20 分）

Y ( z ) = ，試求其反 z 轉換（inverse z transform）y[n]。（20 分）z ( z − 1)( z − 0.6)

（20 分）

一數位濾波器之轉移函數（transfer function）有零點（zero）位於-2 及 0.4，極點（pole）位於 -7±j0.6，且此轉移函數之增益值（gain）為 0.5，請回答下列問題：

（一）繪出 pole-zero 圖。（10 分）

（二）試求 H(z)。（10 分）

（20 分）

已知 x[n] = u[n]－u[n－4]，請回答下列問題：

（一）求其離散傅立葉轉換 DTFT。（10 分）

（二）當角頻率 ω＝π時，求其振幅響應及角度響應。（10 分）

（20 分）

圖一為降頻取樣系統，輸入訊號 x[n]，其離散傅立葉轉換表示為 X [e jω]，試求輸出訊號 y[n]之離散傅立葉轉換 Y [e jω]。（20 分）x[n] H [e jω] ↓2 y[n]圖一：降頻取樣系統

（20 分）

（一）請設計移動平均濾波器（moving average filter），其振幅響應 -3dB 頻率為 480 Hz，取樣頻率為 10 KHz。（10 分）

（二）請說明 FIR 濾波器與 IIR 濾波器的差異。（10 分）

（20 分）

已知離散脈衝函數（Discrete-time impulse function）  [n]   的離散時間傅立 0, n  0 葉轉換（Discrete-time Fourier transform; DTFT）之定義如下：   [n]  1及   [n  k ]  2   [  2k ] k   k  試求離散序列（Discrete-time sequence） x[n]  5 [n  5]  2.5 [n  2]  2.5 [n  2]  5 [n  5] 的離散時間傅立葉轉換（DTFT） X e j ？（10 分）  試 求 函 數 h[n]  10 cos[0.5n]  5 cos[0.2n] 的 離 散 時 間 傅 立 葉 轉 換 （ DTFT ）  H e j ，並繪出其振幅響應（Amplitude response） H e j   ？（10 分）

（20 分）

考慮ㄧ個由以下兩個差分方程式（Difference equation）所表示的系統：y1[n  2]  2 y1[n]  3 y2 [n]  u1[n  2]  9u2 [n] y2 [n  1]  4 y2 [n]  6 y1[n  1]  5u1[n]其中， u1[n] 與 u2 [n] 為輸入訊號， y1[n] 與 y2 [n] 為輸出訊號。假設我們將輸出訊號定義為狀態（States），亦即 x1[n]  y1[n] ， x2 [n]  y1[n  1]  x1[n  1] ， x3[n]  y2 [n] 。假 設 向 量 x[n  1]  x1[n] x2 [n] x3[n]T 與 y[n]   y1[n] y2 [n]  皆 為 行 向 量 （ Column T vector），此系統可以用向量/矩陣（Vector/matrix）方式以下面動態系統方程式來表示：x[n  1]  A x[n]  B u[n] y[n]  D x[n]請依上述推導出 A、B 與 D 三個矩陣之值為何？（15 分）0.1z

（15 分）

假設濾波器的 z-轉換（z-transfer function）為 H ( z )  ，若輸入訊號 x[n]  0.6n u[n]。z  0.9 1, n  0其中， u[n] （Unit step function）定義如下： u[n]   。0, n  0求輸出訊號 y[n]的 z-轉換Y ( z )  X ( z ) H ( z ) 。其中， X (z ) 為 x[n] 的 z-轉換。（10 分）利用 求得之 z-轉換 Y (z ) 解出輸出訊號 y[n] 及其初始值 y[0] ？（10 分）請利用所謂的初始值特性（Initial-value property）求 y[0] 。（5 分）103年 公 務 人 員 特 種 考 試 警 察 人 員 考 試103年 公 務 人 員 特 種 考 試 一 般 警 察 人 員 考 試 全一張103年 特 種 考 試 交 通 事 業 鐵 路 人 員 考 試 試 題 （背面）等 別：二等一般警察人員考試

（25 分）

假設h[n], n=0,1,...,N-1為FIR（Finite impulse response）濾波器之脈衝響應（Impulse     response）， H e j  H e j e jT 為其對應之頻率響應（Frequency response）。請說明如何設計具有線性相位（Linear phase）的 FIR 濾波器？（10 分）其中之 α 值應如何選擇？（5 分）

（15 分）

請利用雙線性轉換（Bilinear transformation）趨近法將具三個根（Three poles）低通類 比 濾 波 器 ， 來 設 計 其 對 應 的 數 位 濾 波 器 。 假 設 取 樣 率 fs 為 每 秒 鐘 100 取 樣 點（sample/sec），且此三個根分別為 p1  10 e j 2 / 3 ， p2  10 e j 及 p3  10 e j 4 / 3 。試求此低通類比濾波器的轉換函數（Transfer function） H a (s) ？（10 分）利用雙線性轉換設計的對應趨近數位濾波器的轉換函數（Transfer function） H (z )為何？（15 分）

（25 分）