地球物理數學概要　申論題歷屆試題與參考架構

在地球物理線性反演（逆推）問題中，觀測數據向量 與物理模型向量有下列關係：=上式 稱為核矩陣（kernel matrix），為連結模型與數據之線性數學算子，而 為待求的物理模型參數向量。請回答下列問題：

（一）若 = 為超定問題（over-determined problems），亦即觀測數據 的維度大於地下模型 的維度，請利用最小平方法（least squares method）推導其估計解 的矩陣表達式。（15 分）

（二）在實際地球物理反演中，如地震波速層析成像（Tomography）或有限斷層滑移分佈反演(Finite-fault inversion)，核矩陣 經常呈現嚴重的病態特徵，為了避免反演時產生估計解的劇烈變動，實務上常引入一平滑矩陣（smoothing matrix） 以約束相鄰模型參數間的平滑度。請利用廣義阻尼最小平方法（generalized damped least squares method）推導其估計解 的矩陣表達式。 （10 分）

（25 分）

若一解析函數（analytic function） ( )在 = 處展開為泰勒級數（Taylor series），可表示為：( ) = + ( − )+ ( − ) + ( − ) +⋯+ ( − ) +⋯上式中之的 , , , ,…, ,…為該泰勒級數之展開係數。請回答下列問題：

（一）請利用尋求待定係數之思路（推導各階係數 與函數導數之關係） ，透過逐項比較的方法，證明其一般項係數如下：（10 分）( ) ( ) = !

（二）請寫出馬克勞林級數（Maclaurin series）的形式。（5 分）

（三）請推導函數 ( ) = ln(1 + )的馬克勞林級數展開式，並明確寫出其級數的一般項（第 項）表達式（不用考慮該級數的收斂區間） 。（10 分）

（25 分）

考慮地球岩石圈的熱傳導問題，令地層密度為 、比熱為 、熱導率（thermal conductivity）為 。隨深度 的一維熱傳導方程式為：=上式中之 ( , )表示沿 方向隨時間 之溫度變化。請回答下列問題：

（一）請利用傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law of Heat Conduction）與能量守恆原則，推導出此一維熱傳導方程式（如上式） 。（5 分）

（二）請利用分離變數法（separation of variables）求解此一維熱傳導方程式，並寫出其一般解（general solution）的通式。 （10 分）

（三）考慮溫度只在垂直方向（ 方向）變化，且內部有熱源 （單位體積之產熱率），若地熱場達到穩定狀態（steady-state），即 = 0，則其熱導方程式為：=−已知地表（ = 0）處之溫度與熱流觀測值分別滿足： = 0與 = − =−（地表的熱流值） ，請推導出地溫分佈 ( )為何？（10 分）

（25 分）

地震定位是地震學研究的基本核心問題之一。令某一地震的真實地震定位參數為 = [ , , , ] ，其中( , , )為震源的三維空間座標， 是發震時間。現有若干地震測站，而第 個測站的座標為( , , )，其記錄到 P波的到時（arrival time）為 ，表示如下：( , , , )= + ( , , )是震源到第 個測站的 P 波走時。請回答下列問題：

（一）由於到時 與地震定位參數的關係是非線性問題，若給一初始猜測之震源參數為 = [ , , , ] ，請利用蓋格法（Geiger's method）將之轉換成到時殘差（∆ ）與地震定位參數修正量(∆ , ∆ , ∆ , ∆ )的線性方程表達式。（10 分）

（二）承（一），將若干個測站的到時殘差與地震定位參數修正量線性方程組改寫成矩陣形式，表示為 ∆ = ，其中 稱為核矩陣（kernel matrix） ，∆ = [∆ , ∆ , ∆ , ∆ ] 為地震定位參數修正量向量， 為各測站的到時殘差向量。若 為病態矩陣（ill-conditioned matrix），請利用阻尼最小平方法（damped least squares method）推導其估計解∆ 的矩陣表達式。（15 分）

（25 分）

地球從內而外，由地核、地函與地殼組成。由於地殼的厚度遠小於地核與地函的厚度，下列對地球的計算僅考量地核與地函，且假設地核與地球皆為圓球體。若地核的半徑與密度分別為 r1 與 ρ1，地函的最大半徑與密度分別為 r2 與 ρ2，（如下圖所示）

（一）繪製圖形顯示質量微分 dM =2(r)r2 sin d dr， 其中 ρ(r)為密度，r 為半徑， 為質點徑向與地球自轉軸的夾角。 （5 分）

（二）以積分決定地球的質量 M。 （5 分）

（三）以積分決定地球的轉動慣量或慣性矩（moment of inertia）I=∫ ′2 dM，其中 r′為質點（dM）到地球自轉軸的距離。 （15 分）r′ dM r1 ρ  r ρ2地核r2地函自轉軸

（25 分）

熱方程式 ut (x, t) = αuxx(x, t)，其中 α 為熱擴散係數，且為定值。若此熱方程式邊界條件為 u(0, t) = 0 ; u(L, t) = 0 與初始條件為 u(x, 0) = f (x)，求解 u(x, t)。（25 分）

（25 分）

若地溫分布為 T(x, y, z) = e2z(sin x +cos y)，在原點(0, 0, 0)地熱溫度變化最快的方向與變化率為何？（15 分）

（15 分）

沿著 x 軸的張應力為 9，沿著 y 軸的壓應力為 3，其垂直 x 軸與 y 軸橫切面的剪切應力為 8（如下圖所示） 。

（一）此應力張量矩陣為何？（5 分）

（二） x 軸旋轉的角度為何，其橫切面的剪切應力將變為零？（10 分）

（三）當剪切應力為零時，其垂直應力（張應力或壓應力）為何？（10 分）y 9 9 x

（25 分）

複數 A = (1+√3i)/2，若行列式 x+A A2 = 0，則未知數 為何？（10 分）A x+A

（10 分）

（一）求 y 3  xy 2  cos xy  2 在點(0,1)的切線方程式。（10分）6 x 2  15 x  22

（二）求  dx 。（10分）( x  3)( x 2  2) 2

（20 分）

試求一在 xy 平面上通過點 (1,1) ，且與直線 y  x 垂直正交，並滿足方程式xy  2 y  0 之曲線。（15分）

（15 分）

（一）若 ( x, y, z )  3 x 2 y  y 3 z 2 ，求於點 (1, 2, 1) 之  （或grad  ）。（5分）

（二）若 A  x 2 zi  2 y 3 z 2 j  xy 2 zk ，求於點 (1, 1,1) 之   Α （或div Α ）。（5分）

（三）若 A  xz 3 i  2 x 2 yzj  2 yz 4 k ，求於點 (1, 1,1) 之   Α (或curl Α )。（5分）

（15 分）

試求矩陣A之特徵值及特徵向量。（20分） 2 2 3  A   2 1 6     1 2 0 

（20 分）

試求函數 f ( x) 之傅立葉級數，假設週期為 2 。（20分）f ( x) | x | (  x   )

（20 分）

試求如下之積分，其中c為單位圓（逆時針）。（10分）sinh z c 4 z 2  1 dz

（10 分）

請解下列的初始值問題（Please solve the following initial value problem）。（20 分）xy′ + y = 0 y (4) = 6

（20 分）

請解下列的線性系統（Please solve the following linear system）。（20 分）⎧ 8 y + 6 z = −4 ⎪ ⎨− 2 x + 4 y − 6 z = 18 ⎪ x+ y−z =2 ⎩

（20 分）

請找出下列函數的傅利葉級數（Please find the corresponding Fourier series of the following function）。 （20 分）f ( x) = x 2 , − π < x < π , period = 2π

（20 分）

請解出下列函數的泰勒級數和收斂半徑（Please find the corresponding Taylor series and associated radius of convergence of the following functions）。 （20 分）z+2 , z0 = 0 1 − z2 [

（20 分）

令 f = ( x − 1)(4 y − 2) ， g = cos2 x + sin 2 y ， w = x 2 yz xy 2 z ] xyz 2 ， 和[ ] v = 0 0 e − x sin y 。請計算出下列函數。（20 分）

⑴∇f

⑵∇2g

⑶∇·w

⑷∇×v

（20 分）

十八世紀（1772 年）德國天文學家波德（Bode）提出了一個經驗式來歸納太陽系行星與太陽之間的距離。下表是當年波德所取得的觀測數據，距離為天文單位（AU）。行星名稱 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 冥王星與太陽距離 0.38 0.72 1.00 1.52 5.20 9.57 19.19 30.07 38.62波德先設定一個數列如下：0, 0.3, 0.6, 1.2, 2.4, 4.8, 9.6, 19.2, 38.4, …其次將每個數加大一個量變成0.4, 0.7, 1.0, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, 19.6, 38.8, …至此，波德發現這個數列居然相當吻合表列的距離數據。於是他先設定起始條件，第一顆行星次序 n=1，其與太陽距離 d(n) = 0.4。再幾經試誤（trial and error）之後他提出了一個簡單的數學式表示行星與太陽之間的距離，稱之為波德定律。請根據上面的規則推算並寫出波德定律。（20 分）G

（20 分）

假設一平面二維位置向量 r ′′(t ) = et ,4e 2t 代表一質點之加速度的時間函數，則該質點在 t = 0 時相對座標原點(0, 0)的距離為何？（10 分）

（10 分）

計算積分值 ∫1 1 dx = ? （下列表格可供參考）（10 分）x x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 log10 ( x ) 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 loge ( x ) 0.693 1.098 1.386 1.609 1.791 1.945 2.079 2.197 2.302 1 1 nπ x

（10 分）

令 an = ∫−1 k cos dx ，求 a5 + a7 = ？（20 分）2 2

（20 分）

解三次方程式 8 x3 − 20 x 2 − 2 x + 5 = 0 用常規的代數方法並不容易，實務上可用數值近似法或幾何圖解法。請用任何可行的方法找出所有的零位（過零點）所在區間。精確度不得超過整數絕對值 1。 （20 分）G

（20 分）

求向量 T = x 2 , y,2 z 之散度（divergence）。（10 分）1 π

（10 分）

函數 f (ω ) = (e − iω − eiω ) ， i = − 1 。計算當 ω = 時 f (ω ) = ？（10 分）− iω 2π 2

（10 分）

已知 u = Aei ( kx ± ωt ) = AeiΩt ，若 = 0 ，求 = ？（10 分）∂k t x2 dx

（10 分）

請計算 c ∫ 。（20 分）x1 x 2 + c 2 eiz − e − iz

（20 分）

複數 z = x + iy ，請以三角函數表示 。（20 分）2i y t / c dy t / c m t / c

（20 分）

微分方程式 e + e = e ， c 和 m 為常數且 t = 0 時 y = 0 ，請解出 y。c dt c（20 分）

（20 分）

一三角形的三頂點分別為 A(2, 3, 5), B(4, 2, -1), C(3, 6, 4)，請以向量乘法計算此三角形的面積。（20 分）1 2

（20 分）

在正交曲線座標系統 (r ,θ , φ ) 中，若函數 a (r ) = ，求 a′′(r ) + a′(r ) = ？（10 分）r r

（10 分）

應力（P）與應變（e）的矩陣數學關係為Pij   ij  2eij其中λ和μ為 Lamé 常數，δ為克氏函數（Kronecker delta function），θ為體脹係數（cubical dilatation）。P22  ? （5 分）P23  ? （5 分）數（shear modulus）的通式。（5 分）

（15 分）

巴斯卡矩陣（Pascal matrix）的行列式值為 1，其元素可藉由二項式定理算出。若矩陣 A 為一巴斯卡矩陣1 a12 1 1  1 a 3 4  A 22  1 3 a33 a34    1 4 a43 20 則 a12  a22  a33  a34  a43  ? （15 分）t z / D

（15 分）

假設 A( z )  A0 e ，視 A0 、D 為常數，請計算定積分  A( z )dz 。（20 分）

（20 分）

請利用 Euler's formula 計算：ei / 2 ＝? （5 分）i ＝? （10 分）

（15 分）

若震源信號 w(t )  (1, 0.5) ，濾波器脈衝響應 e(t )  (a, b) 。x(t ) 。（10 分）d (t )  (1,0,0) ，則能量累積誤差（cumulative energy of the error）L 為何？（5 分）地球物理學家不取振幅累積誤差？（5 分）

（20 分）

若 f (t ) 的傅立葉轉換定義為 F ( )   f (t )e it dt 。 F ( ) 的逆傅立葉轉換（inverse Fourier transform）。（5 分）定義 F ( )   f (t )e i 2t dt ，則 F ( ) 的逆傅立葉轉換為何？（5 分） 1   it若定義 F ( )   f (t )e dt ，則 F ( ) 的逆傅立葉轉換為何？（5 分）2  

（15 分）

若一複數冪次級數（complex power series）f (z)定義如下：∞ f ( z ) = ∑ ak ( z − z 0 ) k k =0 = a0 + a1 ( z − z0 ) + a2 ( z − z0 ) 2 + a3 ( z − z0 )3 + ... + an ( z − z0 ) n + an +1 ( z − z0 ) n +1...

（一）其係數可以 f (z)本身或其微分式表示的條件為何？（10 分）

（二）以此法得到的級數名稱為何？（5 分）

（15 分）

積分 ∫ x ln xdx 。（15 分）

（15 分）

求矩陣 A 之反矩陣（inverse matrix）。（20 分） 4 2 2 A = − 2 4 2    3 − 6 − 1 

（20 分）

已知一遞迴關係（recurrence relation）如下：(2n+1) xPn( x) = (n + 1) Pn +1( x) + nPn −1( x) ，若 P0(x) = 1, P1(x) = x，則 P4(x)為何？（15 分）

（15 分）

卡氏座標（Cartesian coordinates）之比例因子（scale factors）為 hx = 1, h y = 1, h z = 1。r v r r求 在卡 氏座 標中 向量 V = i V x + j V y + k V z 之 散 度（ divergence）一 般式 （ general expression）。（15 分）

（15 分）

長度為 25 ns 的數位記錄其採樣間距（sample interval）為 0.025 ns（1 ns=10-9 sec）。請計算：

（一）採樣頻率。（3 分）

（二）其 Nyquist frequency。（4 分）

（三）頻率的解析度（frequency resolution）。（3 分）

（10 分）

圓柱座標之比例因子（scale factors）為 hr = 1 , hθ = r , hz = 1 。求在圓柱座標中之梯度運算子（gradient operator）之一般式（general expression）。（10 分）

（10 分）