測量平差法概要 申論題歷屆試題與參考架構
地方特考四等，民國 102～111 年共 10 份試卷、40 題，其中 26 題附參考答題架構。考這一科的類科：測量製圖。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
111 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
精確度（precision）及準確度（accuracy）是兩種常用來分析測量結果好壞的指標，請說明兩者之差異。若打靶七次，請畫示意圖來表示高精確度但低準確度之彈著點。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
精確度與準確度分別描述觀測量的「離散程度」與「接近真值的程度」：前者只與偶然誤差有關、不需知道真值；後者同時受系統誤差與粗差影響、必須有真值或更高精度的檢核值才能評定。後段打靶示意圖的重點是「七個彈著點彼此密集，但整群明顯偏離靶心」。
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- 2
一測距儀之測距精度為 2 mm + 3 ppm。在相同觀測條件，今以此測距儀重複測量一段長 1000 m 的距離 3 次，請計算測距觀測量平均值的中誤差。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
測距儀標稱精度「a + b ppm」是固定誤差與比例誤差的組合，須先依實際距離把比例部分換算成長度單位，再依誤差傳播定律平方合成得單次觀測中誤差，最後套算術平均值的公式除以根號 n。
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- 3
請說明多餘觀測（redundancy）之意義及其需要性。今以一測距儀重複測量 A、B 點間長度十次，請計算多餘觀測數。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
多餘觀測是觀測數超過「唯一決定未知量所需最少觀測數」的部分，也就是平差的自由度；它是誤差檢核、粗差偵測與最小二乘平差能夠進行的前提。後段為單一未知量的等精度重複觀測，多餘觀測數即觀測次數減一。
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- 4
有一測距儀之測距精度為 （2 mm + 3 ppm）。在相同觀測條件，今以此測距儀分別測量 100 m 及 800 m 兩段距離，請問其中誤差比為何？兩者權（weight）之比為何？（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
測距儀標稱精度「a + b ppm」由固定誤差 a（與距離無關）與比例誤差 b·D（與距離成正比）組成。先依距離算出兩段的中誤差，再用「權與中誤差平方成反比」求權比。
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110 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
測量資料中，可能含有偶然誤差、粗差（亦稱錯誤）或系統誤差，請各舉一例說明它們的特性及其處理方式。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
測量誤差依性質分為偶然誤差、系統誤差與粗差三類，判別關鍵在於「是否具規律性」與「量級是否異常」，處理方式也完全不同：粗差必須剔除或重測、系統誤差要用改正或觀測程序消除、偶然誤差只能以平差配賦並估計其大小。答題須逐類舉例並說明特性與處理。
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- 2
以相同精度測量同一段邊長若干次，觀測值如下（單位均為公尺） ：20.094、20.106、20.095、20.098、20.105、30.095、20.092、20.096、20.103試求該段距離的最或是值及其標準差。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
九個觀測值中 30.095 m 比其餘各值大約 10 m，明顯是讀數或記錄的粗差（20.095 誤記為 30.095），必須先剔除；其餘 8 個為等精度觀測，最或是值即算術平均值，再由改正數求標準差。
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- 3
有一條水準環線如下圖所示，實施直接水準測量。圖上單位標示為公尺者，表示高程差觀測值；單位標示為公里者，表示各段的水準路線長。而箭頭方向為高程差觀測的方向。試問該次測量之環線高程差的閉合差為何（以多少 mm K 表示，其中 K 為公里數）？請說明該環線水準測量是否符合 5 mm K 的閉合差限制值要求。又無論是否符合前述的閉合差限制值，均請以最小二乘法原理分配該閉合差於各段高程差觀測值上，使得最後的環線閉合差為零。（25 分）A 2.089 m D 3 km C 4 km B
（25 分）
參考架構・破題
依圖上箭頭方向把四段高程差換算成同一繞行方向後相加求閉合差 w，再與限制值 5 mm√K 比較；分配時以路線長的倒數為權（p = 1/L），最小二乘法結果即「改正數與路線長成正比、符號與閉合差相反」。
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- 4
設 A、B、C、D 為同一直線上的四個點，已知 AD 300.000 公尺，各觀測值如下圖所示。假設各觀測量獨立不相關，觀測量 AB 、 BC 、 CD 、AC 、 BD 的權比例為 2：2：2：1：1，試以最小二乘法平差計算 AB 、BC 、 CD 、 AC 、 BD 之最或是值。（25 分）200.005 m 199.993 m 100.020 m 99.985 m 100.008 m A B C D
（25 分）
參考架構・破題
A、B、C、D 同一直線上 5 個距離觀測，但只有 2 個獨立未知數（AD 已知 300.000 m），多餘觀測 3 個。取 AB、BC 為未知數，以間接觀測平差（觀測方程式法）配合權 2：2：2：1：1 求解，再推算各段最或是值。
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109 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設三個獨立隨機變數 A、B 和 C，中誤差為 A 2 ， B C ，今得新的隨機變數 X = A + B + C，試以誤差傳播定律求隨機變數 X 的中誤差 X 。（25分）
（25 分）
- 2
如圖之水準網中(箭頭為觀測方向)，水準點 A、C 為已知水準點( H A 5.000 m、H C 6.000 m) ，B、D 為未知點，水準觀測數據如下表所示：高程差觀測值(m) 水準路線長(km) h4 h3 H1 0.500 m 2 h5 H 2 0.400 m 5 h1 h2 H 3 0.600 m 5 H 4 0.300 m 2 H 5 0.200 m 5試列出間接平差觀測方程式、設計矩陣 A、權矩陣 P 及法矩陣 N（無需求解）。若採用條件平差進行解算，試問會有幾個條件式？（25分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
偶然誤差係起因於人類感官、儀器極限或受自然環境因素所引起，且誤差無法立即發現或改善，每個觀測值必伴隨著偶然誤差，而其大小、符號和統計機率有關。試列出四項偶然誤差之特性。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
偶然誤差個別看無規律，但大量觀測時服從常態分配的統計規律。作答先定義偶然誤差、與系統誤差及錯誤區分，再逐項列出四大特性並以常態分配曲線說明，最後點出這些特性是最小二乘法平差的理論基礎。
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- 4
今以三種測距儀器 A、B 與 C，分別觀測一距離3次、3次與4次，得平均值 A 50.15 m 、 B 50.13 m 及 C 49.99 m ， 儀 器 觀 測 精 度 分 別 為 A 2 cm、 B 3 cm 與 C 2 cm，試求該段距離之平均值(m)與中誤差(cm)。（25分）
（25 分）
108 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知標準差σU = 2、σV = 1 和σUV = ‐1。隨機變數 U、V 和 X、Y 的關係為X A = U -V ，Y V U B其中 A=3 和 B=‐2。試求隨機變數 X、Y、U、V 的變方-協變方矩陣。 （25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考誤差傳播定律的矩陣形式（協方差傳播律）：先寫出 U、V 的變方-協變方矩陣，再把 X、Y 表成 U、V 的線性函數，以 Σ_XY ＝ J Σ_UV Jᵀ 求出，最後組成四個變數的聯合矩陣。
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- 2
假設誤差服從常態分配，若 95%信賴區間的極限誤差為 20 公分，試求（25 分）50%信賴區間的或然誤差。
（25 分）
- 3
有一測量驗收規定：「驗收標準：建置方（乙方）測量所得的點位位置與驗收方（丙方）測量所得的點位位置之較差不得超過下列限制：較差均方根誤差 10 公分，最大較差 20 公分。丙方須驗收 5%以上的點位，其中 95%的點位位置要通過前述的驗收標準，乙方的建置成果方為合格」。今乙方共建置了 1900 個點。丙方隨機抽驗其中 110 個點，並提供了下面這些資料：110 個點中的 10 個點的位置較差介於 8 至 10 公分之間，95 個點的位置較差介於 10 至 20 公分之間，其餘 5 個點的位置較差均超過 20 公分。試分析丙方所提供的驗收資料是否合於前述規定，以及據此是否可知乙方通過驗收？（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題要逐條比對驗收規定：抽驗比例、單點最大較差、較差均方根誤差、合格點比例。關鍵在於丙方只給「區間」而非逐點數值，均方根誤差無法確定，因此資料不足以判定乙方是否通過。
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- 4
以下列數據迴歸一條直線 y = a x + b，其中 y 為觀測值，x 為已知值：x 8 10 ‐5 ‐15 y 10.65 10.67 10.35 10.20假設所有觀測量等權獨立不相關，試以最小二乘法估計參數 a、b 和其標準差。又參數 a 是否為有效參數？請具體說明之。 （可能的統計門檻值：z0.05=1.64，z0.025=1.96，t2,0.05= 2.92，t2,0.025= 4.303，t4,0.05= 2.132，t4,0.025= 2.776）（25 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
107 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
標準偏差（standard deviation）及均方根誤差（root mean square error）是兩種常被用來評斷測量結果品質好壞的指標，請列出計算公式說明此兩種指標的內容及特性。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
標準偏差衡量觀測值彼此的離散程度（精密度），均方根誤差衡量觀測值相對真值或參考值的偏離（準確度）。作答要寫公式、說明分母差異，並指出 RMSE² ＝ σ² ＋ 偏差²。
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- 2
如下圖，A、B、C 三點位於同一直線上， X = AB 、 Y = BC 為兩段待求距離，今獨立觀測兩線段 a = AB 及 b = AC ，誤差分別為σ 及 2σ ：
（一）試列出 a、b 的協變方矩陣（covariance matrix）。（5 分）
（二）試依據誤差傳播定律推出 X、Y 的協變方矩陣。 （15 分）
（三）請計算 X、Y 之間的相關係數。 （5 分）X Y A a B C b
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
以精度不等的儀器重複觀測一段距離多次，如何推算該距離的最或是值？又如何評定該最或是值的精度？（25 分）
（25 分）
- 4
如下圖，A、B、C、D 為已知水準點，高程分別為 HA=21.126 m，HB=23.141 m，HC=22.788 m 及 HD=21.521 m，P 點高程未知，今觀測四條水準路線如圖所示，箭頭方向表水準測量的行進方向，觀測結果如下表所示：
（一）試以直接觀測平差法計算 P 點高程。（10 分）
（二）試以間接觀測平差法計算 P 點高程，並說明其成果是否與（一）相同？原因為何？（15 分）高程差（m） 路線長度（km）h1 1.199 l1 2 h2 -0.821 l2 6 h3 0.464 l3 2 h4 -0.799 l4 3
（25 分）
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
令 h、H 及 N，分別代表橢球高、正高及大地起伏；σ h 、 σ H 及 σ N ，分別代表 h、H及 N 的中誤差；並假設 h、H 及 N 之間的關係，可以由 h = H + N 方程式表示之。若已知測站 A 的 h 及σ h ，分別為 590.15m 及 ± 0.15m ；N 及 σ N ，分別為 20.48m 及± 0.05m ；試計算 A 點的正高 H 及其中誤差 σ H 。 （25 分）
（25 分）
- 2
A、B 為地面上的兩測站，利用電子測距儀測得 AB 的平距為 132.83m，假設 A 及 B的平面坐標近似值，分別為 (1023.151m, 873.108m) 及 (1094.310m, 985.163m)；試列出距離 AB 與 A、B 平面坐標函數關係的線性化觀測方程式。 （25 分）
（25 分）
- 3
利用逐差水準測量，經由 4 條不同路線長（ li (km), i = 1,L4 ） ，測量兩個水準點 C、D間的高程差（ ΔH i (m), i = 1,L4 ） 。如果已知 4 條路線長及 4 個觀測高程差的資料，分別為[li , i = 1,L 4] = [1, 2, 3, 4](km) 、[ΔH i , i = 1,L 4] = [7.605, 7.623, 7.614, 7.590](m) ，並假設高程差 ΔH 的權與水準路線長 l 成反比，試計算 C、D 兩個水準點間的高程差 ΔH的加權平均値及其中誤差。 （25 分）
（25 分）
- 4
為了擬合曲線，測量 3 個點 A、B 及 C 的平面坐標値 ( x, y)（單位為 m） ，分別為A(1.000, 4.720)、B(2.000, 15.890)及 C(3.000, 33.240)。如果以曲線公式 y = a1 x + a2 x 2 ，對上述 3 個測量點位進行擬合。試利用最小二乘法間接觀測平差法，求擬合函數的係數値 a1 、 a2 及其中誤差。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
以間接觀測平差（參數平差）擬合曲線：y 為觀測值、a₁、a₂ 為未知參數，模型對參數為線性，寫出 v＝AX − L，由法方程式解參數，再以後驗單位權中誤差評定參數精度。
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如圖一，A、B 為兩個已知三角點，假設其平面坐標無誤差，分別為 XA=100.23 m、YA=200.65 m、XB=234.23 m、YB=100.65 m。今觀測得水平夾角α =110°20′30″， α 之標準誤差為 10″；水平距離 S=400.00 m、S 之標準誤差為 0.02 m。假設觀測量之間互相獨立且不相關，請計算 P 點之坐標及其標準誤差。（25 分）A α S P B圖一
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
某ㄧ建物牆壁之平面圖如圖二所示，假設窗戶之寬度為 a、窗戶之間隔為 b、窗戶與牆角之距離為 c、牆之全長為 Y，Y 可由三個觀測量 X1、X2、X3 得到。X1、X2、X3 之觀測值及其標準誤差分別為 X1=50.00 m ± 0.02 m、X2=70.00 m ± 0.03 m、X3=75.00 m ± 0.03 m。假設觀測量之間互相獨立且不相關，請計算 Y 及其標準誤差。 （25 分）Y c a b a b a c X1 X2 X3圖二
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
如圖三所示之角度，其觀測值分別為：α =49°53′25″、 β =41°36′33″、 γ =68°53′25″、δ =109°36′29″、 ε =40°06′39″。所有觀測量之間互相獨立不相關且精度相同。假設角A 為無誤差之常數其值等於 90°00′00″，請用最小二乘法平差此五個角度觀測值。（25 分）C D β γ α δ ε A B圖三全一張（背面）等 別：四等考試
（25 分）
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- 4
如圖四所示之水準網由五條水準線構成，圖中水準線之箭頭表示由高向低之高程差，高程差觀測值分別為：h1=15.323 m、h2=10.234 m、h3=25.551 m、h4=12.368 m、h5=13.186 m。假設觀測量之間互相獨立不相關且精度相同，請用最小二乘法平差此五個高程差觀測值。 （25 分）h4 C D h3 h1 h5 A B h2圖四
（25 分）
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104 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
若有一塊圓形土地，其半徑及其中誤差分別以 x 及 σ x 代表之（單位為 m ）。假設x = 35.15 m、σ x = ±0.05 m，試計算此塊圓形土地在 1/500 地圖上的面積及其中誤差。（25 分）
（25 分）
- 2
對地面上 A、B 兩點的平面距離 AB，利用儀器分四天施測，每天測量之平均距離及其中誤差分別為 301.014 m ± 0.012 m 、 301.011 m ± 0.010 m 、 301.005 m ± 0.006 m 及301.024 m ± 0.015 m 。假設中誤差為 ± 0.015 m 時所對應距離的權值為 1，試計算 AB距離的加權平均值及其中誤差。（25 分）
（25 分）
- 3
對地面上 C、D 兩點之間的平面距離 CD，利用儀器進行 4 次觀測，得到該距離的 4 個獨立觀測值 L = [l1, l 2 , l3 , l 4 ]，假設各觀測值之間互相獨立，而且其精度皆為σ 0 。如果以 x̂ 代表 CD 距離的最或是值，試利用最小二乘法原理，推導計算 x̂ 的數學公式。 （25 分）
（25 分）
- 4
有一個平面直角三角形 ABC，若 A 點為 xy 坐標系統的原點，其坐標為 (0.0, 0.0)（假設無誤差） ；AB 位於 x 軸上，B 點的坐標為 (x, 0.0) ， ∠ABC 為直角，AB 及 BC 為兩個互相正交的直角邊，AC 為斜邊，C 點的坐標為 ( x, y)，上述平面坐標的單位皆為 m。為了求得 C 點坐標 ( x, y) 的最或是值，所需的觀測量及其中誤差有：AC 邊及其中誤差為 50.120 m ± 0.030 m ，BC 邊及其中誤差為 30.240 m ± 0.040 m ， ∠CAB 及其中誤差分別為 36°52′24′′ ± 10′′。試利用間接觀測平差法，計算 C 點坐標 ( x, y) 及其中誤差。 （25 分）
（25 分）
參考架構・破題
觀測量有斜邊、直角邊與角度共三個，未知數為 C 點坐標 (x, y) 兩個，多餘觀測數 1，須以非線性觀測方程式線性化後，依權進行間接觀測平差並求坐標中誤差。
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103 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
甲、乙兩人分別以測距精度 ± (3 mm + 2 ppm)之電子測距儀觀測同一段直線距離，已知該距離大約為 250 公尺，其中甲直接觀測該段距離 5 次後取平均值作為該段距離之最或是值，乙則將該段距離均分為五段分別觀測，再予以加總後作為該段距離之最或是值。假設各次觀測值皆為獨立且不相關，請比較兩人所得距離最或是值之品質高低。（25 分）
（25 分）
- 2
在下圖中，某人欲求定 A、B、C、D 四個方向間之水平夾角，各觀測值分別如列表所示，並假設觀測值精度相等且彼此獨立不相關：
（一）請計算此次觀測之多餘觀測數。（5 分）
（二）請以最小二乘法進行平差計算，求得各觀測量之改正數、改正後觀測量以及改正後之水平夾角值。（20 分）A水平角 觀測值L1 25°30'40" L1 L4 B L2 20°20'20" L3 23°10'45" L2 L5 O L4 45°50'55" L3 C L5 69°01'55" D
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
若以同一設備重複觀測一長方形建築物基地寬度與長度各 8 次，得下表之數值，請計算該基地之寬度、長度與面積之最或是值以及標準差。（25 分）1 2 3 4 5 6 7 8寬度(m) 12.30 12.31 12.29 12.28 12.32 12.25 12.33 12.27長度(m) 25.93 25.86 25.75 25.80 25.88 25.82 25.89 25.90
（25 分）
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- 4
某人由 A、B、C 三個已知點觀測至一未知點 K 之水平距離，欲藉此以間接觀測平差 法 解 得 該 未 知 點 平 面 坐 標 。 假 設 已 知 點 坐 標 分 別 為 A( x A , y A ) 、 B( xB , y B ) 、C ( xC , yC ) ， 距 離 觀 測 與 標 準 差 為 AK = S AK ± σ S AK 、 BK = S BK ± σ S BK 、CK = SCK ± σ S CK 。
（一）請列出線性化間接觀測平差方程式 V = AX - L 之各矩陣與向量（V、A、X、L）之維度大小與內容元素。（20 分）
（二）請列出題（一）平差計算過程所需要的權矩陣。（5 分）
（25 分）
102 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設 ∠A 的 三 個 觀 測 值 及 其 標 準 差 分 別 為 : 40 o51′ 30′′ ± 3.0′′ 、 40 o 51′ 36′′ ± 6.0′′ 、40 o51′ 26′′ ± 9.0′′ ；如果取 9.0′′ 作為單位權的標準差，求三個觀測值的權（ 10 分）、∠A 的加權平均值 X （10 分）及其標準差 σ X （5 分）。
（25 分）
- 2
在圖 1 中，BM1～BM3 為已知水準點，其高程分別為 51.845 m、95.697 m 及 73.288 m，假設無誤差；A、B 為待測點。1～4 代表水準路線編號，箭頭指示施測方向。路線1～4 的觀測高程差及其標準差，依序為 26 .128 m ± 0.007 m 、 6.873 m ± 0.010 m 、− 10.852 m ± 0.008 m 及11 .552 m ± 0.006 m 。利用間接觀測平差，求 A、B 兩點的高程及其標準差。（25 分）圖 1、水準測量路線示意圖
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
如 果 邊 長 S 、 方 位 角 α 及 其 相 應 標 準 差 已 知 ， 分 別 為 500.00 m ± 0.005 m 及42o30′30.00′′ ± 05.00′′ 。求坐標增量 ΔX = S sin α 、 ΔY = S cos α 及其變方－協變方矩陣⎡ σ ΔX σ ΔXΔY ⎤ ⎢σ σ ⎥ 。（25 分）⎣ ΔXΔY ΔY ⎦
（25 分）
- 4
在圖 2 中， A、 B、 C 三點在一直線上，測出了 AB、 BC 及 AC 的距離，分別為L1 = 190.40 m、L2 = 203.16 m 及 L3 = 393.65 m；3 段距離觀測值的權分別為 P1 = 2、P2 = 4 及 P3 = 6。利用間接觀測平差法，求 AB、BC 及 AC 距離的平差值及其相應標準差。（25 分）圖 2、A、B 及 C 距離觀測示意圖
（25 分）
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其他等別的「測量平差法概要」
- 測量平差法概要（普通考試）（49 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。