測量平差法概要 申論題歷屆試題與參考架構
普通考試，民國 102～112 年共 11 份試卷、49 題，其中 33 題附參考答題架構。考這一科的類科：測量製圖。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
112 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
利用電子測距儀量測 A 、 B 兩點距離6次，分別為10.104 m 、10.096 m 、10.103 m、10.298 m 、10.097 m、10.100 m ，若假定觀測數據獨立不相關，請計算該距離的最或是值和最或是值之標準偏差（中誤差） 。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是等精度直接觀測的最或是值與精度評定，關鍵在先檢視觀測值有無粗差：10.298 m 與其餘五個數相差約 0.2 m，遠大於其他數值間 mm 級的差異，應判定為粗差（疑似讀數或記錄錯誤）並剔除，再以其餘觀測值平差。
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- 2
一橢圓形操場，用皮捲尺量得橢圓之長、短軸半徑分別為 a 10 m 0.10 m及 b 5 m 0.05 m ，請計算該橢圓操場面積和面積之中誤差。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是「非線性函數的誤差傳播」：橢圓面積 A＝πab，兩個量測值 a、b 視為獨立，先求面積，再以偏微分（線性化）求面積中誤差。原題為 a＝10 m±0.10 m、b＝5 m±0.05 m。
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- 3
按照海洋測量最低標準的特等深度不確定度 a 2 (b d ) 2 （95%信心區間） ，其中 a 0.25 m 為固定水深誤差； b 0.0075 為從屬水深誤差因子；d 為水深(m)。若海水面標高為100 m，請問水深標高 80 m 和 60 m 處之68%信心區間的水深測量誤差限制值為何（水深越深，標高越低）？（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考「水深不確定度公式＋信心水準換算」：先由海水面標高與水深標高求出實際水深 d，代入 √(a²＋(b·d)²) 得到 95% 信心區間的容許值，再除以常態分布 95% 的係數 1.96，換成 68%（約 1σ）的限制值。
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- 4
測量一四邊形 ABCD 的4個內角 α 、 β 、 γ 、 δ ，內角數據等權且不相關，若選擇3個內角 α 、 β 、 γ 當成未知參數 X α 、 X β 、 X γ ，請列出間接平差觀測方程式，並列出未知參數解和未知參數解之中誤差。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是以間接平差（參數平差）處理四邊形內角和條件：4 個觀測值、3 個獨立未知參數，多餘觀測數 r = 4 - 3 = 1。關鍵是把第 4 個內角 δ 用 360° - Xα - Xβ - Xγ 表示，列出誤差方程式後依最小二乘法解參數。
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111 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
測量儀器觀測所得之資料，可能含有幾類誤差，其特性為何？今以全測站儀測量某一方向的讀數分別為 359°59′58′′、350°59′59′′、359°59′59′′、0°0′0′′、359°59′58′′、359°59′59′′，此組資料中位數、最或是值、觀測精度以及最或是值中誤差各是多少？並說明此組資料包含那幾類誤差。（計算結果四捨五入至整數秒小數點下一位） （25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題前半為誤差分類與特性的概念題，後半為一組方向讀數的統計計算。作答時先分類說明系統誤差、偶然誤差、粗差，再處理資料：注意讀數以 360° 為週期，須先換算成相對於 0° 的秒數再計算，並檢查資料中有無明顯異常值。
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- 2
兩 已 知 點 A 、 B 平 面 坐 標 分 別 為 （ 900.000 m, 1250.000 m ） 與（1000.000 m, 1000.000 m），且已知 AB 方位角之中誤差為 3.0′′；今以全站儀架站順時鐘方向觀測得∠ABC 與∠BCD 之角度，分別為 197°59′59′′ 3.0′′與 193°29′59′′ 3.0′′，試繪出相關點位略圖，並求 AB、BC、CD 方位角，以及 BC、CD 方位角之中誤差。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考「坐標反算方位角＋導線方位角推算＋誤差傳播」：先由 A、B 坐標反算 AB 方位角，再以 Az(下一邊)＝Az(上一邊反方位)＋右側順時針觀測角 逐邊推算；方位角中誤差是起始方位角誤差與各觀測角誤差的平方和。
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- 3
試說明直接觀測平差與間接觀測平差之異同；今以水準測量行經不同路徑，觀測兩點之高差分別為－1.253 m、－1.250 m、－1.247 m、－1.251 m，假設兩點之高差為 x m，以直接觀測平差求解 x 時，四段高差對應之改正數分別以 vi（ i 1～ 4 ）表示，試列出觀測方程式；若四段高差之權分別為 3、1、2、4，試計算 x 值及其中誤差。 （25 分）
（25 分）
- 4
已知 A、D 之平面坐標如下表一所列，以衛星定位靜態觀測方式得到 AB、BD 之基線分量如下表二所列。假設 B 點坐標為（x, y），並將觀測值視為等權，且基線各分量獨立不相關，令 AB、BD 之基線分量改正數分別是 v1～v4，試列出觀測方程式，並求出 B 點坐標及其中誤差。（25 分）表一坐標 X 方向（m） Y 方向（m）A 65777.218 －7798.316 D 59490.412 －4911.507表二基線 X 方向分量（m） Y 方向分量（m）AB －7720.703 －1024.518 BD 1433.905 3911.321
（25 分）
參考架構・破題
本題是只有兩個未知數（B 點 x、y）的間接觀測平差：四個基線分量觀測量各列一條觀測方程式，等權、互不相關，X、Y 兩方向可分開求解，最後以單位權中誤差與法方程式反矩陣求 B 點精度。
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110 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
使用某廠牌全站儀分四組觀測相同角度成果如下表所示，假設各組平均數之權與測回數成正比，試分析該角度的最或是值。（20 分）組 測回數 平均數1 5 120-15-21 2 3 120-15-23 3 2 120-15-19 4 3 120-15-16
（20 分）
- 2
水準測量測線長度 k 公里往返閉合差精度要求須在一定之容許範圍，一般均以 a k mm 表示，因需求精度不同而規定不同之 a 值。設測線長度為 2 km 時，允許之標準差為±14 mm，在同一標準要求下，當測線長為 4 km 時，則允許之誤差為若干？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題考「誤差與路線長度平方根成正比」：水準測量容許誤差寫成 ±a√k mm，先用 2 km 的條件反求 a，再代入 4 km；本質是等精度每公里誤差的累積（誤差傳播）。
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- 3
自測站 O 向 A、B、C、D 四方向作等精度之水平角觀測（如圖所示） ，以間接觀測平差求∠AOB、∠BOC、∠COD 的最小平方估計值，試列出
（一）設計矩陣（二）法係數矩陣（觀測方程式順序依序為 l1、l2、l3、l4、l5、l6，否則本題不計分） 。（20 分）A O B C D 2 1 3
（20 分）
參考架構・破題
本題考間接觀測平差的建模：以 ∠AOB、∠BOC、∠COD 三個獨立角為未知參數，將六個觀測角都寫成參數的線性組合，列出設計矩陣 A；等精度觀測 P＝I，法係數矩陣 N＝AᵀA。觀測方程式順序必須照 l1～l6。
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- 4
假設隨機變數 L1 、 L2 、 L3 ，已知其變方協變方矩陣為 1 4 2 ，求 3 2 3 1 5 1函數 f L1 L2 L3 的標準差。（20 分）3 2 4
（20 分）
參考架構・破題
本題考「相關觀測量的誤差傳播（一般式）」：線性函數 f＝GL 的變方為 σf²＝GΣGᵀ，必須把協變方（非對角元素）一起算進去。原題變方協變方矩陣 Σ＝[2 -1 3；-1 4 2；3 2 3]，f＝(1/3)L1＋(5/2)L2＋(1/4)L3。
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- 5
如圖閉合水準網中，點 A 為已知點，高程為 H A 10.000 m ， P1、 P2 為高程未知點。觀測高程差及路線長度分別為：h1 1.352 m ； S1 2 km h2 0.531 m ； S 2 2 km h3 0.826 m ； S3 1 km試以間接觀測平差求各高程差的平差值。（20 分）P1 P2
（20 分）
參考架構・破題
本題是單一閉合水準環的間接觀測平差：以 P1、P2 高程為未知參數，三段高程差各列觀測方程式，權與路線長成反比，解法方程式求參數，再回算各高程差平差值。可用閉合差按路線長比例分配驗算。
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109 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
A、B、C三點共線。今使用一台誤差為3 mm + 2 ppm之電子測距，單次測得AB之距為100.214 m，BC距為200.921 m，試求總長AC之誤差（假設除電子測距儀外，無其他誤差）。 （25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考誤差傳播定律在「和函數」的應用：先依電子測距儀標稱精度（固定誤差＋比例誤差）分別求 AB、BC 的中誤差，再依 AC＝AB＋BC 傳播求總長誤差。
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- 2
一新點P點之高程以GPS橢球高配合內政部之大地水準面由兩已有正高點觀測之，分別為20.31 ± 0.02 m , 20.33 ± 0.04 m。
（一）求P點之加權平均高。（10分）
（二）求加權平均高之標準偏差。（15分）
（25 分）
- 3
三界址點A、B、C之平面座標以GPS相對定位觀測得下列水平基線座標差數據（X，Y；單位 m）∆rAB =（20.142，32.133）∆rBC =（40.212，40.142）∆rCA =（-60.357，-72.278）
（一）求X及Y分量之閉合差。（10分）
（二）令A之座標為（0, 0），求B、C點之座標。（15分）
（25 分）
- 4
簡易的偵錯原則為殘差（residual）3倍中誤差原則。一距離觀測6次如下：30.123、30.125、30.122、30.124、30.129、30.121 m。
（一）求此距離之最或是值。（10分）
（二）以3倍中誤差原則判斷30.129 m是否為粗差（outlier）。（15分）
（25 分）
108 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假 設 觀 測 向 量 為 X = [x y z ] ， 其 方 差 - 協 方 差 矩 陣 為T ⎡ 4.0 - 1.0 0.0⎤ ∑XX = ⎢⎢- 1.0 2.0 2.0⎥⎥，試求觀測量 x、y 及 z 的標準差及其協方差σ xy 、⎢⎣ 0.0 2.0 5.0 ⎥⎦ σ xz 及σ yz 。（25 分）
（25 分）
- 2
有一矩形宗地長（L）、寬（W）的觀測數據如下表所示，試求該矩形之面積及其標準差。（25 分）矩形宗地之長、寬觀測數據表長（L） 寬（W）觀測次數 5 4 248.47 120.46 248.58 120.53觀測量（m） 248.52 120.43 248.41 120.55 248.49
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
已知 3 點的觀測數據，如下表所示。若欲用此 3 點的數據擬合拋物線方程式 y = ax2+b。表中之 y 為觀測值，假設其間互不相關而且是等權。試以最小二乘法間接觀測平差法，求參數 a、b 及其標準差。 （25 分）已知 3 點的觀測數據表點號 A B C x 1 2 3 y 7.50 20.50 42.00
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
有一扇形的土地（如下圖所示），測量了該扇形的圓心角 θ、半徑 r 及圓弧長 L；有關觀測值及觀測精度，如下表所示。試以最小二乘法間接觀測平差法求該扇形面積及其標準差。（25 分）扇形土地的觀測值及觀測精度表參數 觀測值 標準差圓心角 θ 30° ± 6′′半徑 r 38.00 m ± 0.02 m圓弧長 L 20.00 m ± 0.02 m半徑圓弧長圓心角扇形土地示意圖
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
107 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請說明何謂參數相關（correlated）？可由那個統計指標得知參數之相關性？並請說明如何利用該指標來判定參數之相關性高低。（25 分）
（25 分）
- 2
如下圖所示之角度測量，假設各角度觀測量（a1~a5）不相關且等權，請進行平差計算，並列出平差後各角度之估計值以及相對應之改正數。（25 分）正北各角度觀測量a1 = 23.56° a4 a5 a2 = 56.89° a1 a3 = 33.13° a2 a4 = 80.42° a3 a5 = 90.02°正東
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
假定某一物理量 y 是由隨機觀測量 x1 與 x2 之線性組合而成，其關係式可寫為y = ax1 + bx2 + 9 ，且已知 a + b = 8 ，σ x = ±1.0 ， σ x = ±0.5 。請決定適當之 a 與 b 數1 2值使得 y 之隨機誤差能最小化。（25 分）
（25 分）
- 4
請解釋在平差問題中自由度（degrees of freedom）之意義以及其與觀測量個數間的關係。此外請說明自由度越高，則平差解算後之成果精度是否必然越佳？（25 分）
（25 分）
106 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
今有一水準測量各段水準線長分別為 D1 = 3.3 km 、 D2 = 6.4 km 、 D3 = 5.6 km ，假設水準測量的高程差變方和距離成正比，且每公里觀測高程差的中誤差為σ1km，則各段高程差的中誤差分別為？又分別以 D1、D2 及 D3 的中誤差為單位權中誤差，則各高程差的權分別為何？（20 分）
（20 分）
- 2
今有 x、y 兩觀測量，其中誤差分別 σ x 、 σ y ，請分別繪出下列誤差橢圓： σ x = σ y 且相關係數為零； σ x > σ y 且相關係數為零； σ x < σ y 且相關係數為零； σ x = σ y 且相關係數為 0.5； σ x = σ y 且相關係數為-0.5。（20 分）
（20 分）
- 3
攝影測量中之光束法平差其目的為將相片之外方位參數與共軛點之物空間坐標同時解算。若今拍攝照片為 m 張，其共軛點數量為 n 個，試求此平差系統之觀測量、未知數、多餘觀測量之數量。 （20 分）
（20 分）
- 4
間接觀測平差之函數模式為 L + V = AX ，其隨機模式為 ∑ LL = σ 02QLL = σ 02 P −1 ，此模型稱為高斯馬可夫模型，依高斯最小二乘法理論，請推導未知數最或是值。 （20 分）
（20 分）
- 5
設隨機變數 X1、X2、X3 與 X4 不相關，且其中誤差分別為 8 mm、6 mm、4 mm 與1 1 1 1 2 mm，求函數 F = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 的中誤差。若隨機變數 X1、X2、X3 與8 6 4 2 X4 分別為 16、12、8 與 4 公尺，則函數 F 之最或是值與相對精度分別為多少？（20 分）
（20 分）
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105 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
什麼是多餘觀測？為什麼要有多餘觀測？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
多餘觀測是指觀測數超過唯一決定未知量所需必要觀測數的部分，是平差得以成立的前提；作答先下定義、再給數量關係，最後從檢核、提高精度、評定精度三方面說明其必要性。
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- 2
如圖一所示之三角網，邊長 b 由基線 a 及水平角α 、 β 、 γ 、 δ 計算得之，觀測量及其標準誤差如下：a＝231.243 m ± 0.012 m、α ＝66°12´30〞± 10〞、β ＝48°08´20〞± 10〞、γ ＝44°17´05〞± 10〞、δ ＝54°27´05〞± 10〞。假設各觀測量之間互相獨立，請計算 b及其標準誤差。（20 分）a b圖一
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
觀測成果中為什麼一定含有偶然誤差？能否將其消除？如何處理？（20 分）
（20 分）
- 4
如圖二所示，P(x, y)代表點位坐標，P(x, y)由觀測量α 、r 計算得之，觀測量及其標準誤差如下：α ＝56°12´30〞± 10〞、r＝331.243 m ± 0.012 m。假設各觀測量之間互相獨立，請計算 x、y 及其標準誤差並計算 x、y 之間的相關係數。 （20 分）Y P ( x,y ) r X圖二
（20 分）
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- 5
某ㄧ水準點高程之六個觀測量及其權重如下表：高程（m） 權重 高程（m） 權重 高程（m） 權重123.345 3 123.340 1 123.336 4 123.342 2 123.338 5 123.343 3請計算此水準點六個高程觀測量之加權平均值及加權平均值之標準誤差。假設權重等於 2 之觀測量其相應之標準誤差為 0.030m 且權重與標準誤差之平方成反比。（20 分）
（20 分）
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104 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
測量觀測量，如水準尺讀數（m）或方向讀數（deg），會被認為是隨機變量，其常有專屬離散的權重或有專屬連續的機率密度函數。試列式並陳述該隨機變量之期望值與標準差參數。（20 分）⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
（20 分）
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- 2
於換算平面直角坐標時，先後將方陣 ⎜ 2 2 ⎟ 與方陣 ⎜ 2 2 ⎟ 相乘。⎜ −1 3⎟ ⎜− 3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠
（一）試列出方陣乘積之結果。（10 分）
（二）列出第（一）小題結果的逆陣，並驗證其正確性。（10 分）
（20 分）
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- 3
獨立且等權觀測平面五邊形頂點內角，得θ（deg i ）於此 i = 1, 2,…, 5。
（一）列出內角總和與理論值間閉合差項。（8 分）
（二）以條件觀測平差法求解每觀測角度之殘差。（12 分）
（20 分）
參考架構・破題
平面五邊形內角和理論值為（5 − 2）× 180° = 540°，五個觀測角只有一個多餘觀測，故只有一個條件方程式；以條件平差求出等權情況下殘差為閉合差平均反號分配。
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- 4
重複兩次（含）以上獨立測量某水平角或某斜距或儀器高等參數。於不等權情況下，明列最小二乘參數平差解答。（20 分）
（20 分）
- 5
一組平面縱橫坐標（N, E）和另一組直角坐標（U, V）之間非共線的同名控制點有K（ ≥ 3）個。倘若 Ni 坐標軸朝正上方，Ui 坐標軸方位角為φ ，今藉（A, B）平移、λ 尺度及φ 旋角參數，以相似轉換將起始（Ni, Ei）坐標計算為成果（Ui, Vi）坐標。
（一）詳列本相似轉換應用公式。（10 分）
（二）承上列小題，僅視成果（Ui, Vi）擁有獨立的隨機坐標誤差。當採用間接觀測平差模式時，試明列 2K × 4 設計矩陣中各個元素。（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
二維相似（Helmert 四參數）轉換含兩平移、一尺度、一旋轉；將 λcosφ、λsinφ 換成新參數 a、b 後成為線性模型，可直接以間接平差列出 2K × 4 設計矩陣。
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103 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
分別於 A、B 兩個已知點（坐標如表 1）架設電子測距儀與反射稜鏡，往返檢測 A、B的水平距離（假設往返檢測獨立不相關），得到結果如表 2，則：依據表 2，請以直接觀測平差法計算此段檢測距離最可能值（或稱最或是值）的標準誤差（或稱中誤差）。（5 分）若電子測距儀出廠檢定的測距精度為 3 mm + 2 ppm，並假設反射稜鏡與儀器的檢定對點誤差均為 1.5 mm，請以誤差傳播法計算此段檢測距離最或是值的標準誤差。（10 分）請論述比較 與 最或是值的標準誤差計算結果之意義。（10 分）依據表 2 檢測結果的最或是值，其與已知距離之間是否存在差異?請論述差異的可能原因。（10 分）表1 表2點號 縱坐標（m） 橫坐標（m） 檢測水平距離（m）A 110.000 630.000 A 到 B（往） 100.040 B 170.000 550.000 B 到 A（返） 100.030
（35 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
在測量的觀測作業中，請論述：多餘觀測量的意義。（5 分）一段距離若僅以電子測距儀施測 1 次得 S 電子測距（公釐等級），請論述此結果。（5 分）延續 ，若另以個人步幅方式加測 1 次得 S步幅（公寸等級），請論述此步幅測距結果對於整體測距成果的意義。（10 分） f1 3 x 2 z 2 1 0
（20 分）
- 3
若已知 f 2 4 x 5 y ，向量G [ x y z ]T 的變方-協變方矩陣D G 1 3 1 ，請計算： f 2 y 3z 3 0 1 4向量 F [ f1 f 2 f 3 ]T 的變方-協變方矩陣 DF。（15 分）f2 與 f3 的相關係數。（5 分）
（20 分）
- 4
假 設 兩 段 無 刻 劃 的 繩 索 長 度 分 別 為 1 與 2 ， 若 量 測 得 其 函 數 關 係 為51 2 2 10.05 m 31 2 49.96 m ，請以最小二乘法計算 1 與 2 長度的最或是值以及其標準誤差 4 90.03 m 1 2（或稱中誤差）。（25 分）
（25 分）
102 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
觀測誤差可分為那幾種類型？並請詳細說明對不同種類之觀測誤差所採用的處理方法。（20 分）
（20 分）
- 2
已知測站點坐標 X 和 Y 的中誤差分別為 σ X = ±5.0cm ， σ Y = ±4.0cm 。若已知 X 和 Y ⎡X ⎤的協變方 σ XY = ±10.0cm 2 ，試寫出向量 Z = ⎢ ⎥ 的變方-協變方矩陣 DZ 和計算 X 與 Y ⎣Y ⎦的相關係數 ρ XY 。（20 分）
（20 分）
- 3
如圖一，在 A 點等權觀測 A、B 兩點之垂直角 α 共六次，分別得 α、 1 α 2、α 、3 α 4、α 5 及α 6 ，並等權測量 A、B 兩點間的斜距 S 共五次，分別得 S、1 S 2、S 3、S 4 及 S 5 ，請詳細列式說明計算水平距 D 之最或是值及其中誤差。（20 分）B S A α D圖一
（20 分）
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等權觀測各角度其觀測值分別為α 、1 α 2、α 3、α 4、α 5 及 α 6 ，如圖二所示。分別以間接平差及條件平差求解，試回答以下問題： A
（一）請列出間接平差觀測方程式V = AX − L 中， D α4 α5 B α1 V、A、X、L 各矩陣大小及其諸元素。（10 分）
（二）請列出條件平差條件方程式 BV + W = 0 中， O α2 B、V、W 各矩陣之大小及其諸元素。（10 分） α3 α6 C圖二
（20 分）
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已知間接平差之觀測方程式為V = AX − L ，試依最小二乘法並引入權矩陣 P，推導出未知數 X=(ATPA)-1ATPL 之計算式。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
間接平差以使加權殘差平方和 VᵀPV 最小為準則，對未知數向量微分令其為零即得法方程，進而解出 X = （AᵀPA）⁻¹AᵀPL；作答重點在矩陣微分步驟與前提條件。
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