工程統計學與品質管制 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 102～115 年共 14 份試卷、69 題，其中 52 題附參考答題架構。考這一科的類科：工業工程。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某逐次抽樣計畫已知生產者冒險率 α=0.05，在此生產者冒險率下不良率Pα=0.02；消費者冒險率 β=0.1，在此消費者冒險率下不良率 Pβ=0.07。試求：
（一）允收線與拒收線方程式。 （15 分）
（二）當樣本數 n=81，拒收該批產品所需之最小累積不良品數。 （10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題評量華德（Wald）循序機率比檢定（SPRT）在項目計數型逐次抽樣計畫之應用。考生應清楚說明二項分配逐次抽樣之對數概似比推導邏輯，列出允收線與拒收線的斜率與截距公式，並代入題給參數求解線性方程式，進而計算特定樣本數下判定拒收的整數門檻值。
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- 2
某磁磚製程設計實驗採用直交表進行試驗，實驗結果如下表所示。試求：
（一）影響 S/N 比最主要的前四項控制因子。（10 分）
（二）前四項最主要因子的最佳水準組合及其預測 S/N 比。（15 分）Exp. A B C D E F G H S/N 1 1 1 1 1 1 1 1 1 44.93 2 1 1 2 2 2 2 2 2 50.14 3 1 1 3 3 3 3 3 3 49.16 4 1 2 1 1 2 2 3 3 46.84 5 1 2 2 2 3 3 1 1 41.76 6 1 2 3 3 1 1 2 2 57.94 7 1 3 1 2 1 3 2 3 50.73 8 1 3 2 3 2 1 3 1 46.15 9 1 3 3 1 3 2 1 2 52.05 10 2 1 1 3 3 2 2 1 40.86 11 2 1 2 1 1 3 3 2 46.88 12 2 1 3 2 2 1 1 3 41.82 13 2 2 1 2 3 1 3 2 42.99 14 2 2 2 3 1 2 1 3 52.98 15 2 2 3 1 2 3 2 1 46.77 16 2 3 1 3 2 3 1 2 45.28 17 2 3 2 1 3 1 2 3 40.72 18 2 3 3 2 1 2 3 1 46.43 Ave=46.9
（25 分）
參考架構・破題
本題為田口 L18(2^1×3^7) 直交表的 S/N 比分析：先算各因子各水準的平均 S/N 比，以全距（或變動平方和）排出影響大小，再取望大方向（S/N 比越大越好）的最佳水準，用加法模型預測最佳條件下的 S/N 比。
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- 3
某精密軸承製造廠生產之軸承外徑規格為 25 ± 0.05 mm，若製程平均值為 25 mm，標準差為 0.025 mm，且產品尺寸服從常態分配，假設外徑高於規格上限者須重新加工，低於規格下限者則須報廢，試求：
（一）產品中有多少百分比應報廢？（5 分）
（二）產品中有多少百分比可重新加工使用？（5 分）
（三）若調整製程平均值，使報廢率趨近於 0（採 3σ 原則），則重新加工率為多少？（15 分）已知 P(Z>1)=0.1587，P(Z>2)=0.0228，P(Z>3)=0.00135
（25 分）
參考架構・破題
本題探討常態分配下雙邊規格製程之不良品歸類與製程均值調整決策。核心在於區分高於規格上限（重工）與低於規格下限（報廢）的不同經濟成本意涵，透過標準常態變數 Z 轉換求算機率，並運用常態分配之三倍標準差原則進行目標均值平移分析。
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- 4
下表為一隨機集區設計實驗資料，其中 A、B、C 為集區，甲、乙、丙為處理：處理集區甲 乙 丙A 3 5 2 B 8 7 6 C 7 6 5已知集區平方和 SSB=21.56，總平方和 SST=30.23。
（一）試完成下列 ANOVA 表。（10 分）變異來源 SS 自由度 MS F集區 21.56 2處理隨機總和 30.23 8
（二）寫出檢定各處理平均數是否相同之虛無假設。（5 分）
（三）寫出處理效果之檢定統計量，並計算其數值。（5 分）
（四）已知F2,4,0.10 =4.32，F2,4,0.05 =6.94，F2,4,0.025 =10.65，在顯著水準α=0.05 下，判斷各處理平均數是否具有顯著差異。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為隨機集區設計（RCBD）的變異數分析：集區 3 個、處理 3 個、每格一個觀測值，由已知的 SST 與 SSB 推出處理平方和與誤差平方和，完成 ANOVA 表後以 F 檢定處理效果。
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114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一項新光阻塗覆製程被使用於製造積體電路的 125 毫米晶片的生產。挑 10 片晶片測試，測量的光阻厚度（單位：埃×1000）如下：13.3987、13.3957、13.3902、13.4015、13.4001、13.3918、13.3965、13.3925、13.3946 及 13.4002。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）請檢定厚度平均為 13.4×1000 Å 的假設。請使用 α=0.05，並說明其雙邊對立假設。
（二）假設厚度資料呈常態分配，求厚度平均數 99%的雙邊信賴區間。
（20 分）
參考架構・破題
本題評量常態母體在變異數未知、小樣本條件下之單一母體平均數假設檢定與雙邊信賴區間建構。作答核心在於正確計算樣本平均數與樣本標準差，建立學生氏 t 統計量，並依據雙邊檢定與區間估計程序做出統計推論與製程品質評估。
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- 2
某電動車製造商估計，以其生產的電動車通勤，每天行駛 80 公里後，晚上需充電約 1 小時 45 分鐘（105 分鐘）。假定此電動車的電池充電實際所需時間是介於 90 至 120 分鐘的均勻分配。（每小題 5 分，共 20 分）
（一）寫出電池充電時間的機率密度函數的數學式。
（二）寫出電池充電時間小於 110 分鐘的機率是多少？
（三）寫出電池充電時間至少要 100 分鐘的機率是多少？
（四）寫出電池充電時間介於 95 至 110 分鐘的機率是多少？
（20 分）
參考架構・破題
本題評量連續型均勻分配（Continuous Uniform Distribution）之基本性質、機率密度函數（PDF）定義及累積機率積分計算。作答關鍵在於正確寫出包含定義域之機率密度函數數學式，並透過幾何面積或積分公式依序計算各小題之事件機率。
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- 3
試述戴明（Deming）、朱蘭（Juran）、克勞斯比（Crosby）、石川馨（Ishikawa）及田口玄一（Taguchi）等品管大師對品質之定義？（10 分）並請依據品質管理發展的歷史演變，來說明品質檢驗、品質管理、品質保證、全面品管管制、全面品質管理及品質改善與創新階段等階段發展之品質觀點、品管專業人員角色及參與部門等特色。（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題橫跨全面品質管理之大師哲學與歷史演進脈絡。前半部須精準歸納五位品管大師的核心名言與定義哲學；後半部則須以演進階段為經、品質觀點、品管人員角色及參與部門為緯，採用結構化比較展現品質思維從事後檢驗邁向全員參與與創新導向之歷程。
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- 4
以直交表進行磁鐵磁力實驗並得下表之結果，試分析：
（一）各因子的影響大小依序排列。（15 分）
（二）應如何配置因子，該磁力才能獲得最大磁力？（5 分）編號 A B C D E F G H 磁鐵磁力的實驗結果1 1 1 1 1 1 1 1 1 5.41 2 1 1 2 2 2 2 2 2 5.42 3 1 1 3 3 3 3 3 3 5.43 4 1 2 1 1 2 2 3 3 5.42 5 1 2 2 2 3 3 1 1 5.32 6 1 2 3 3 1 1 2 2 5.36 7 1 3 1 2 1 3 2 3 5.36 8 1 3 2 3 2 1 3 1 5.34 9 1 3 3 1 3 2 1 2 5.37 10 2 1 1 3 3 2 2 1 5.39 11 2 1 2 1 1 3 3 2 5.34 12 2 1 3 2 2 1 1 3 5.36 13 2 2 1 2 3 1 3 2 5.49 14 2 2 2 3 1 2 1 3 5.44 15 2 2 3 1 2 3 2 1 5.50 16 2 3 1 3 2 3 1 2 5.48 17 2 3 2 1 3 1 2 3 5.45 18 2 3 3 2 1 2 3 1 5.47
（20 分）
參考架構・破題
本題以 L18(2^1×3^7) 直交表分析磁鐵磁力，屬望大特性：計算各因子各水準平均，以全距（或平方和）排序影響大小，再取平均最高的水準組成最佳配置。
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- 5
一位工業工程師建議 3 種組裝產品的不同方法。為觀察 3 種方法可正確組裝的產品數量，我們任意選取 30 位員工，並各隨機指派 10 名員工使用某一組裝方法。記錄每種方法可正確組裝的產品數量後，使用 變 異 數 分 析 檢 定 這 些 資 料 ， 得 到 下 列 結 果 ： SST=10800 ，SSTR=4560。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）建立此問題的 ANOVA 表。
（二）在 α=0.05 的顯著水準下，檢定 3 種組裝方法之平均產量是否存在顯著差異。附表一：附表二：
（20 分）
參考架構・破題
本題為完全隨機設計的單因子變異數分析：3 種組裝方法（處理）、每法 10 人，由 SST 與 SSTR 推出 SSE，完成 ANOVA 表並以 F 檢定三法平均產量是否相同。
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113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
最近針對全校 650 名國中生中隨機抽取 70 名國中生進行研究，結果得知國中生每週花費在使用智慧型手機的平均時間是 34 小時，標準差為 8小時，請問：（z0.025=1.96, z0.05=1.645, z0.1=1.282）（每小題 15 分，共 30 分）
（一）在顯著水準為 0.05 時，全體國中生每週平均使用智慧型手機時間的95%信賴區間為何？
（二）若該研究希望建立的 95%信賴區間寬度控制在 2 小時內，則國中生樣本數量至少需要多少？
（30 分）
參考架構・破題
本題評量有限母體抽樣下母體平均數信賴區間之建構與樣本大小決定。作答核心在於檢驗抽樣比例是否超過百分之五，進而評估有限母體修正係數（FPC）之必要性，並熟練運用中央極限定理、大樣本標準常態分位數推導信賴區間與界定抽樣誤差求解樣本數。
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- 2
某學生為檢驗兩母體平均數是否相同，執行單因子變異數分析，其中甲母體樣本數= 10，乙母體樣本數= 15。下表為執行分析後獲得部分資料，由於記錄失誤，導致部分資料遺失，請問：變異來源 (Source) df SS MS F組間 (Treatment) (1) 748.0250 (3) (5)誤差 (Error) 23 2335.7374 (4)總計 (Total) 24 (2)
（一）請計算出上表所欠缺的(1)-(5)分別為何？（25 分）
（二）根據檢定結果，請說明兩母體平均數是否相同，並說明理由。 （10 分）（F0.05(9,14) = 2.646, F0.05(10,15) =2.544, F0.05(1,23) = 4.281, F0.05(1,24) = 4.260）
（35 分）
參考架構・破題
本題考單因子 ANOVA 表的結構關係：由樣本數推自由度、由 SS 加法性求總和、再算均方與 F 值，最後以 F(1,23) 臨界值判斷兩母體平均數是否相同。
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- 3
抽驗電子晶片並建構一不良數管制圖（n p chart），製程工程師以每 100個為單位批量進行抽檢。現從生產線上抽取出 10 個單位批量，得檢驗數據如下表所示。（每小題 5 分，共 20 分）No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10樣本數 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100不良品數 12 10 6 8 10 7 7 12 11 9根據樣本資料，試計算出缺點數管制圖之相關數字：
（一）平均不良數 p 。
（二）管制上限（Upper control limit, UCL）。
（三）中心線（Centerline, CL）。
（四）管制下限（Lower control limit, LCL）。
（20 分）
參考架構・破題
本題為不良數管制圖（np chart）的建立：以 10 組、每組 100 個的抽檢資料估計平均不良率，再以二項分配的 3σ 界限求中心線與上下管制界限。
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- 4
作業特性曲線（Operating Characteristic Curve，OC Curve）是品質管制中經常使用的一種工具，表示在各種不良率的情況下，某一抽樣計畫能被允收之機率，當不良率很低時，送驗批允收機率就會很高，反之則很低。有四個特定點作為判讀 OC Curve 之重要依據，分別為 (1) 、 (2) 、允收水準與 (3) 。下圖為一 OC Curve，其中橫軸表示不良率，縱軸表示允收機率，請根據下圖填寫(1)-(3)分別為何？（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題考允收抽樣 OC 曲線上的四個特定點：生產者冒險率 α 對應允收水準（AQL），消費者冒險率 β 對應批容許不良率（LTPD，拒收水準），依圖上位置填入即可，並說明各點意義。
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112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
x與y具有聯合密度函數，f (x,y) = cxy，0≤x≤1；0≤y≤1，求x、y兩隨機變數之條件機率f (x|y)與f (y|x)。請論述x與y是否為獨立？證明之。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題評量連續型雙變量隨機變數之聯合機率密度函數（Joint PDF）、邊際機率密度函數（Marginal PDF）、條件機率密度函數（Conditional PDF）以及隨機變數獨立性之判定與證明。作答關鍵在於透過二重積分全機率為一求出常數 c，再按定義展開條件分布與獨立性驗證。
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- 2
某人擬採購一臺中古電腦，市場上的中古電腦大約有30%性能有瑕疵，今聘請一位專家協助選擇。該專家依其過去的紀錄顯示，對於有瑕疵的電腦，80%無法逃過其驗出；對於性能原本良好的電腦，僅有10%的機會判斷錯誤。請計算在下列三類情況下，購買到一部有瑕疵電腦之機率？⑴聘請專家以前、⑵如果專家宣稱該部電腦有瑕疵、⑶如果專家宣稱該部電腦性能沒有瑕疵。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題評量貝氏定理（Bayes' Theorem）與條件機率在品質檢驗與決策分析之應用。作答核心在於清楚定義電腦真實品質狀態與專家檢驗結果之隨機事件，依據題意區分事前機率（Prior Probability）與事後機率（Posterior Probability），並運用全機率定理推導各情境下之瑕疵機率。
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- 3
有一手機組裝線，其組裝精度之規格上界為76.12單位，規格下界為56.33單位，母體標準差 為1.86。請計算製程能力指標 ，並依據其管制圖（圖形示意如下），合併判斷組裝精度是否在管制狀態下？並提出對此手機組裝線的綜合判斷與建議。（25分）UCL CL LCL
（25 分）
- 4
一家公司生產一種特定的螺絲產品，規格要求螺絲的直徑在3.95毫米至4.05毫米之間。該公司收集一組螺絲的直徑測量數據，以下是螺絲直徑（毫米）測量數據：3.98、4.01、3.99、3.97、4.02、4.00、3.98、3.96、4.03、4.01請根據以上數據，估計其製程能力。請問公司生產此螺絲產品是否足夠滿足客戶要求？（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題評量利用小樣本實測數據估計製程參數，進而計算製程能力指標（Cp 與 Cpk），並依據工程品質評估準則判定製程滿足顧客要求之適切性。作答關鍵在於準確計算樣本平均值與樣本標準差，清楚辨析潛在製程能力與實際製程能力之落差，並提出具體工程改善建議。
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111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設有一品牌新冠快篩試劑偽陽性（未染疫卻被檢出陽性-染疫）之機率為 5%，偽陰性（已染疫卻檢出陰性-未染疫）之機率為 10%，若目前的染疫率已達 12%，有人此時用該品牌快篩試劑檢測，若得到陽性的結果，請問此人確實染疫之機率為何？解答時，請寫出求解之機率公式。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題評量條件機率、全機率定理與貝氏定理在公共衛生快篩檢驗之應用。作答關鍵在於將題目文字精準轉換為條件機率符號，釐清敏感度、特異度與盛行率（事前機率）之關係，並完整列出貝氏公式進行事後機率（陽性預測值）求解。
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- 2
採用 MIL-STD-105E 雙次抽樣（減量檢驗），n1 = 20，Ac1 = 0，Re1 = 3，n2 = 20，Ac2 = 0，Re2 = 4 做進貨檢驗，若貨批不良率為 0.10 時，請以泊松（Poisson）分配求出該批貨之拒收機率。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題評量美軍軍品抽樣標準 MIL-STD-105E 雙次抽樣在減量檢驗制度下之判定流程與拒收機率計算。作答核心在於明確界定第一次抽樣即拒收與需抽第二次樣本後判定拒收的互斥事件，並利用波松分配近似求得各階段的不良品數機率。
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- 3
利用平均值（ ）和 R 管制圖來管制某產品之製程。假設此產品之品質特性符合常態分配，且製程處於穩定狀態，以樣本大小 n = 9 抽樣求得= 199.8， = 2.9。 n = 9 查表可得以下各係數：A2 = 0.337，A3 = 1.032，A = 1.000，B3 = 0.239，B4 = 1.761，D1 = 0.547，D2 = 5.393，D3 = 0.134，D4 = 1.816，c4 = 0.9693，d2 = 2.970，d3 = 0.808。
（一）請求出平均值（ ）和 R 管制圖之 3 倍標準差管制界限。（10 分）
（二）若製程平均數發生變異上移至 200.5，請求出此時平均值（ ）管制圖可以偵測到此變異之機率。（15 分）
（三）若規格為 200.0 ± 3.0，請求出此變異發生時，該產品製程之 Cp 及 Cpk。（10 分）
（35 分）
參考架構・破題
本題為統計製程管制與製程能力分析之典型計算題，核心在於管制圖係數之選用、管制界限之推導、製程平均數偏移時之檢定力分析，以及製程能力指標之計算。作答時應清晰列出公式、正確選用查表係數，並逐步呈現計算過程與統計管理意涵。
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- 4
單位隨機選派八位員工參加一個品質管理相關課程，請以 5%顯著水準檢定此課程是否有效果。八位員工參與訓練前後之測驗成績如下表：（15 分）員工編號 一 二 三 四 五 六 七 八訓練前成績 83 81 84 72 79 83 78 86訓練後成績 86 82 84 83 84 85 85 87注意： F1,7,0.05 = 5.59，F1,8,0.05 = 5.32，F2,15,0.05 = 3.68，F1,7,0.025 = 8.07，F1,8,0.025 = 7.57，F2,15,0.025 = 4.77，t 7,0.05 = 1.895，t 8,0.05 = 1.860，t15,0.05 = 1.753，t 7,0.025 = 2.365，t 8,0.025 = 2.306，t15,0.025 = 2.131
（15 分）
- 5
從三家廠商採購相同之用品，為了解員工使用情況，經收集五個單位一星期之請領數量如下表，請列出假說檢定、求出變異數分析表並以α = 0.05 檢定廠商、單位對請領數是否有影響。（20 分）廠商\單位 一 二 三 四 五甲 64 45 52 21 65乙 83 70 78 35 88丙 22 40 28 30 40注意： F2,8,0.05 = 4.46，F2,14,0.05 = 3.74，F3,8,0.05 = 4.07，F3,14,0.05 = 3.34，F4,8,0.05 = 3.84，F4,14,0.05 = 3.11，F5,8,0.05 = 3.69，F5,14,0.05 = 2.96附表：標準常態累加機率值表α O z Z
（20 分）
110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
在某次考試中，學生 A 的統計科目成績為 63 分，微積分科目成績為 85分。而統計科目全班 50 人的平均分數為 51 分，標準差 9 分；微積分科目全班 50 人的平均分數為 72 分，標準差為 11 分，兩科目考試的考生為同一群人，請問同學 A 在那一科表現較好？其原因為何？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題評量描述統計學中相異測量尺度與分配情境下之相對位置比較方法。作答核心在於闡述原始分數因各科試題難易度（平均數）與鑑別離散度（標準差）不同，不可直接進行絕對數值比較，必須透過標準化分數（Z 分數）消除量綱與分配差異，方能客觀評斷相對優劣。
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- 2
某工廠宣稱其生產線上之某機台不良率小於 5%。某天從該機台隨機採樣 100 個產品，檢測後其中有 4 個不良品，根據此採樣結果可否支持工廠的宣稱為真。（ = 0.01）（20 分）其中，Z0.005 = 2.576，Z0.01 = 2.326，Z0.025 = 1.96，Z0.05 = 1.645，Z0.1 = 1.282。
（20 分）
參考架構・破題
本題為單一母體比例的左尾檢定：工廠宣稱不良率小於 5%，宣稱應放在對立假設，以大樣本常態近似 Z 檢定判斷樣本不良率 4% 是否足以支持宣稱（α＝0.01）。
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- 3
若從某一生產線上選取 10 個產品進行產品壽命測試，其數據如下（單位：小時）：60 55 58 72 81 56 62 68 53 61假設產品壽命呈現常態分配，試求其產品壽命平均數之 95%信賴區間。（20 分）其中，t0.025(9) = 2.262，t0.025(10) = 2.228，t0.05(9) = 1.833，t0.05(10) = 1.812。Z0.025 = 1.96，Z0.01 = 2.326，Z0.05 = 1.645，Z0.1 = 1.282。
（20 分）
參考架構・破題
本題評量常態母體在變異數未知條件下，利用小樣本數據建構單一母體平均數雙邊信賴區間之能力。作答關鍵在於從原始樣本數據準確計算樣本平均數與樣本標準差，依統計推論原則選用學生氏 t 分配，並正確選取對應自由度與顯著水準之臨界值。
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- 4
若一單次抽樣計畫為 n = 80，c = 2，r = 3，允收水準（Acceptable Quality Levels, AQL）設定為 0.015 及拒收水準（Lot Tolerance Percent Defective, LTPD）設為 0.05 時，試回答下列問題：
（一）當不良率為 AQL 時，其允收機率 Pa 為何？（以 Poisson 求之） （10 分）
（二）當不良率為 LTPD 時，其允收機率 Pa 為何？（以 Poisson 求之） （10 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題評量項目計數型單次抽樣計畫（Single Sampling Plan）之操作特徵曲線（OC 曲線）分析與波松分配近似計算。作答核心在於確立單次抽樣之允收判準，將不良率參數分別代入 AQL 與 LTPD 計算平均不良數 λ，並求解生產者風險與消費者風險對應之允收機率。
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- 5
為了解全國所有工廠的情況，抽其中 150 家工廠進行調查，發現平均一座工廠的每日廢水排放量為 1300 公噸，根據上述回答以下題目：
（一）本調查的樣本為何（sample）?（5 分）
（二）本調查的樣本數為何（the number of samples）?（5 分）
（三）本調查的觀察變數為何（variable of interest）?（5 分）
（四）本調查的母體為何（population）?（5 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題評量統計調查之基本核心概念，包含母體、樣本、樣本數及觀察變數之定義與辨識。作答關鍵在於從工程實務情境敘述中，精確抽離出各項統計名詞對應之實體對象與度量特性，並補充其統計尺度分類，使簡短名詞題具有高度結構化與學術專業性。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某工程需要先經過一次刨除工序後再做兩次相同的填補工序，其完工後之厚度規格為25±1公分。原先之厚度平均與標準差為24及0.2公分，第一道工序平均刨除厚度與標準差為5及0.1公分，請求出能夠符合最後規格的第二道填補工序每次所需增加的平均值與可容許的最大標準差。假設規格是以平均加減四倍標準差計算。（10分）
（10 分）
參考架構・破題
本題是「公差堆疊（tolerance stack-up）」問題：最終厚度＝原厚度－刨除量＋兩次填補量，平均值相加減，獨立變異數則一律相加，再以「規格＝平均±4σ」反推填補工序的條件。
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- 2
請以卜式（Poisson）分配求算出允收品質水準（AQL）為0.02、生產者風險（α）為0.05，允收數（Ac）分別為1及3的兩個單次抽樣計畫。（15分）
（15 分）
參考架構・破題
本題要設計單次抽樣計畫 (n, Ac)：在 AQL＝0.02 時允收機率 Pa＝1－α＝0.95，以卜瓦松分配近似二項分配，先查（或試算）使 P(X ≤ Ac)＝0.95 的 λ＝np，再求 n。
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- 3
經隨機調查單位內十件公文處理時間（分鐘） （Y）與其所需經手人員（人次）（X）之間的關係，其資料如下：X 7 5 8 10 6 8 11 12 9 3 Y 345 265 482 576 372 436 586 662 516 126
（一）請求出以經手人次預估處理時間的最適迴歸直線。 （10分）
（二）請以5%之顯著水準檢定此迴歸模型是否合適。（15分）注 意 ： F1,9,0.05=5.117 ， F1,8,0.05=5.318 ， F2,18,0.05=3.555 ， F2,19,0.05=3.522 ，F1,9,0.025=7.209，F1,8,0.025=7.571，F2,18,0.025=4.560，F2,19,0.025=4.508，t0.05,19=1.729 ， t0.05,18=1.734 ， t0.05,10=1.813 ， t0.025,19=2.093 ，t0.025,18=2.101， t0.025,10=2.228
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
一實驗有A、B、C、D等四個因子各有二水準，若AXC、AXD存在外，其餘交互作用均不存在，配置與實驗結果如下表。若其品質特性為望小特性，請求出雜訊（SN）比、因子反應表、最佳條件（因子組合）及其雜訊比估計值。 （25分）A C AXC D AXD B No. 觀測值1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 7.76 8.75 8.55 8.4 2 1 1 1 2 2 2 2 7.15 7.48 7.45 7.35 3 1 2 2 1 1 2 2 5.17 5.14 5.99 6.04 4 1 2 2 2 2 1 1 4.99 4.31 4.65 4.66 5 2 1 2 1 2 1 2 5.78 6.14 6.06 5.89 6 2 1 2 2 1 2 1 6.17 5.44 5.97 5.82 7 2 2 1 1 2 2 1 5.74 5.52 5.37 6.07 8 2 2 1 2 1 1 2 5.29 5.59 6.09 5.14
（25 分）
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- 5
若稽核員以不良品數（np）管制圖來管制單位會計作業之錯誤情況。每次抽取100筆資料為一樣組（假設資料為相同之作業內容），經蒐集足夠資料，求出作業正常時的管制圖中心線為3.0。
（一）請求出np管制圖的三倍標準差管制界限及此時之型一（α）誤差。（13分）
（二）假設作業之平均不良率變差至0.10，請問此狀況能被np管制圖偵測到之機率為何？（12分）
（25 分）
參考架構・破題
np 管制圖的中心線 np̄＝3、n＝100，得 p̄＝0.03，以二項分配的標準差算出三倍標準差界限；型一誤差是製程正常卻落在界限外的機率，偵測機率則是 p 變為 0.10 後落在界限外的機率。
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108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮一個玩家與一個莊家的賭局如下：A.玩家出「正」或「反」的機率分別為 p1 與 1- p1 B.莊家出「正」或「反」的機率分別為 p2 與 1- p2 C.令 W 表示玩家所得的錢，玩家與莊家在 4 種情境下的 W 見表 1表 1：玩家所得的錢玩家 正 反莊家 p1 1- p1正 p2 3 -2反 1- p2 -2 1回答下列問題：
（一）玩家所得的錢 W 的機率模型為何？（5 分）
（二）玩家期望所得的錢為何？（5 分）
（三）對莊家而言是否存在某策略（也就是 p2 在某區間）可使玩家期望所得為負？若是該策略存在，寫出該策略（即 p2 的區間）。 （10 分）
（20 分）
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- 2
針對下列各情況，選擇一個適當的機率分配，列出所有已知的參數值，並說明所有未知的參數值。 （每小題 4 分，共 20 分）
（一） 5000 片晶片不良品個數。
（二）圓周率小數點後的數值。
（三）每個晶片上的缺點數。
（四）樂透每期開獎中獎數字的個數。
（五）晶片檢驗線上，檢驗出第二個不良品所需總檢驗數。
（20 分）
- 3
製程能力指標： C pk 與 C p ，試問： （每小題 5 分，共 10 分）6σ
（一） C p 為何不定義成 ？USL − LSL
（二）定義 C pk ，並舉一例說明 C pk 比 C p 優良。
（10 分）
參考架構・破題
題意第（一）小題是問：Cp 為何定義為 (USL－LSL)/6σ，而不定義成倒數 6σ/(USL－LSL)；第（二）小題要定義 Cpk 並以製程偏離中心的例子說明 Cpk 比 Cp 更能反映實際能力。
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- 4
考慮一個 2V5−1 的實驗設計。試問：（每小題 5 分，共 10 分）
（一）解釋 2V5−1 。
（二）主效用與幾階交互作用是否互為別名？： R 2 與 Radj
（10 分）
參考架構・破題
2^(5－1)_V 是 5 因子二水準、做 1/2 部分實施（16 次試驗）、解析度 V 的部分因子設計；第（二）小題要從定義關係找出主效果與哪些交互作用互為別名。
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- 5
定義兩種常用來判定迴歸模型的績效指標（決定係數） 2，並說明 Radj 為何優於 R 2 ？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題要定義判定係數 R² 與調整後判定係數 R²adj，並說明 R²adj 以自由度修正，避免「多放變數 R² 必增」的偏誤，因此較適合比較不同變數數目的模型。
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- 6
考慮一個紙飛機的實驗。設計最佳實驗以增長紙飛機在空中滯留時間。3種因子：A（機翼長度） ，B（機身長度） ，C（機身寬度） 。考慮 2k 全因子，每種組合重覆 2 次，進行一個 23 全因子實驗，其相關的 T 檢定見表 2。若重新以 23-1 實驗（見表 3）與其相關的 T 檢定（見表 4） ，已知因子 A 與BC 別名（alias） ，因子 B 與 AC 別名，因子 C 與 AB 別名。問題：
（一）填表 4 中 8 個空格，其中空格①～⑥為迴歸與實驗設計概念，空格⑦、⑧為機率分配概念（見 T 分配表） 。（24 分）
（二）列出表 4 中 3 個 p-值相對的假設檢定：虛無假設 H0 與對立假設 H1。（6 分）表 2：23 全因子之 T 檢定Estimated Effects and Coefficients for y (coded units) Term Effect Coef SE Coef T p-值Constant 222.75 5.892 37.8 0 A 55.5 27.75 5.892 4.71 0.002 B -26.5 -13.25 5.892 -2.25 0.055 C -16.5 -8.25 5.892 -1.4 0.199 A*B -6.5 -3.25 5.892 -0.55 0.596 A*C -8.5 -4.25 5.892 -0.72 0.491 B*C 10.5 5.25 5.892 0.89 0.399 A*B*C 7.5 3.75 5.892 0.64 0.542 S=23.5690, PRESS=17776 R 2 =79.60%， Rpre2 =18.41%， Radj2 =61.75%表 3：23-1 實驗組合 No. A B C 反應值c 1 － － ＋ 196,203 a 2 ＋ － － 318,259 b 3 － ＋ － 195,180 abc 4 ＋ ＋ ＋ 220,241表 4：23-1 實驗之相關的 T 檢定Term Effect Coef T p-值Constant 226.5 27.97 0因子 A ① ④ 4.08 ⑧因子 B ② ⑤ ⑦ 0.097因子 C ③ ⑥ -1.42 0.229 T 分配：tα(v) T 分配：tα(v)
（30 分）
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
若一單次檢驗為 n=10，Ac=1，若允收品質水準（AQL）為 0.02 及拒收品質水準（LTPD）為 0.12 時，請問此抽樣計畫的消費者風險與生產者風險各是多少？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
已知抽樣計畫 n＝10、Ac＝1，生產者風險是品質為 AQL（p＝0.02）時被拒收的機率，消費者風險是品質為 LTPD（p＝0.12）時被允收的機率，以二項分配計算允收機率 Pa。
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- 2
改良場以田口方法尋求新品種作物種植之最佳條件，有 A、B 兩個控制因子，各有兩水準，實驗配置及收成數據（公斤）如下表，目標是收成愈多越好，請求出雜訊比、因子反應表、最佳條件及其雜訊比估計值。（20 分）實驗編號 A B A×B 收成數據1 1 1 1 315.2 308.4 314.5 321.6 2 1 2 2 325.2 331.4 326.4 332.4 3 2 1 2 314.6 306.3 297.5 314.2 4 2 2 1 256.4 276.4 282.5 262.4
（20 分）
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- 3
消防器材公司隨機選取 200 個產品經加速壽命實驗，結果有 38 個故障。公司積極地進行改善，改善後號稱已能至少減少故障率 5%。為了驗證該公司之宣揚是否正確，同樣的隨機選取 250 個改善後之產品經加速壽命實驗，結果有 30 個故障，請以α＝0.05 之下進行檢定。（12 分）
（12 分）
- 4
若以平均值管制圖來管制某一產品重量。假設此時製程處於穩定狀態，若樣本數n=4，經抽樣求得平均值管制圖之三倍標準差上、下管制界限分別為 202.0 g、196.0 g。
（一）請求出此時製程之平均值及標準差。（8 分）
（二）設產品重量呈常態分配，若上、下規格界限為 200 ± 5 g，請求出該產品長度的不良率。（10 分）
（三）若製程平均值突然移至 198 g，標準差增加 30%，請問此時之樣本平均值未能符合管制界限之機率為何？（12 分）
（30 分）
參考架構・破題
由 X̄ 管制圖界限反推製程參數：中心線為上下限中點，界限寬度＝6σ/√n；再用常態分配算規格外不良率，最後算平均與變異同時偏移後 X̄ 落在界限外的機率。
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- 5
改良場欲了解肥料與灌溉對作物之影響，特別選取了 A、B 兩種肥料及甲、乙兩種灌溉方式做實驗，各種實驗組合在四塊土地收成數據（公斤）如下表。假設實驗資料符合變異數分析的各項假設，請列出假說檢定、變異數分析表，並以α=0.05 檢定不同的肥料或灌溉方式的作物收成是否有差異以及是否有交互作用。 （28 分）收成數據肥料灌溉方式甲 灌溉方式乙315.2 308.4 325.2 331.4 A 314.5 321.6 326.4 332.4 314.6 306.3 297.5 314.2 B 282.5 262.4 256.4 276.4（請接第二頁）全三頁第二頁表一：標準常態累加機率值表（請接第三頁）全三頁第三頁表二：F 分配臨界值表
（28 分）
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
針對下列各情況，選擇一個適當的機率分配。無須列出參數值。（20 分）
（一）品管圖上每次檢驗就將相關之統計量填入品管圖之 y 軸上。檢驗出第 1 個落在品管圖上下限外之值所需之總檢驗次數。
（二）一個晶片之厚度。
（三）10 個晶片中不良的晶片數（每個晶片只分兩種：良片與不良片）。
（四）晶片檢驗線上，檢驗出第 2 個不良品所需總檢驗次數。
（20 分）
- 2
令 X 表示某產品的品質指標，如晶片中心點厚度等。令 n 為每次檢查的樣品數。現在欲建立一個監控「平均數 μX, X 」的管制圖，依傳統 ARL0 與 ARL1 為評判標準，下列那一個建議比較好？說明理由。（20 分）σ ‧小王建議(a)採用統計量 X (n = 3)，(b)管制圖上下限：μX ± 3 X 。σ ‧小李建議(a)採用統計量 X (n = 5)，(b)管制圖上下限：μX ± 3 X 。
（20 分）
參考架構・破題
兩人都用 μ±3σX̄（σX̄＝σ/√n）的界限，差別只在樣本數 n＝3 或 5。ARL0 由界限倍數決定，兩者相同；ARL1 取決於偵測偏移的能力，n 越大越好，因此在相同界限下小李的建議較佳。
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- 3
圖 1 中有 2 張品管圖(a), (b)；其中 x 軸是時間，y 軸是品管圖的統計量，說明如下：‧此 2 圖下方中一個圓圈表示一個晶片，圓圈的總數就是檢驗的晶片總數。‧圖(a)與(b)下方中圓圈內黑點表示缺點。例如，一個晶片中有 3 個黑點表示該晶片中有 3 個缺點。圖(a)中 y 軸是缺點總數，圖(b)中 y 軸是缺點比例。試回答下列問題：
（一）傳統將此兩張品管圖命名為何？（提示：可能的選擇為(a)p-chart, (b)np-chart, (c)c-chart, (d)u-chart）（10 分）
（二）說明 y 軸的統計量 θ̂ 在 2 張圖中用何種機率分配模型來描述較適當？說明理由。（20 分）θ̂ = X θ̂ = X ( n ) 3 3 2 2 2 1 1 1/3 2/3時間 時間(a) (b)圖 1：兩張品管圖（請接第二頁）全四頁第二頁
（30 分）
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- 4
說明製程能力指標 Cp 與 Cpk 的關係：（每小題 5 分，共 10 分）
（一）當製程平均值在規格中心時，Cp 與 Cpk 的關係為何？
（二）當製程平均值不在規格中心時，Cp 與 Cpk 的關係為何？
（10 分）
參考架構・破題
Cp 只看製程散布（潛在能力），Cpk 同時考慮散布與平均值偏移（實際能力）。兩者關係可以寫成 Cpk = Cp(1 − k)，k 為偏移程度，再分「置中」與「不置中」兩種情況說明。
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- 5
探討某半導體的三種氣體配方對晶圓片的表面平整度的影響。令 μi 表示配方 i 晶圓片的表面平整度之平均數每種氣體配方抽 6 個資料，利用表 1 之資料回答問題：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）完成變異數分析表（填入(a)–(e)值） 。
（二）建立統計檢定（i.e.,也就是虛無 H0 與對立假設 H1），並做出結論。表 1：一因子之反應值 Yij氣體配方 表 面 平 整 度1 2 3 4 5 6配方 1. 2.7 4.6 2.6 3.0 3.2 3.8配方 2. 4.9 4.6 5.0 4.2 3.6 4.2配方 3. 4.6 3.4 2.9 3.5 4.1 5.1表 2：1 因子變異數分析（ANOVA）表變異來源 SS df MS F Treatment 3.648 (a) (c) (e) Error 7.630 (b) (d) Total 11.278 17（請接第三頁）全四頁第三頁（請接第四頁）全四頁第四頁
（20 分）
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設某標榜快速服務的修車廠對於進廠進行例行保養汽車的服務時間服從指數分配（exponential distribution），平均是 40 分鐘。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）請問對任一進行例行保養的汽車而言，服務時間超過 60 分鐘的機率為何（e ≈ 2.7183）？
（二）某日共有 100 部進行例行保養的汽車（假設車子之間的服務時間彼此獨立） ，請問至少有 20 部車的服務時間超過 60 分鐘的機率為何（請使用常態分配逼近求算近似機率值）？
（20 分）
- 2
某公司的品管工程師收集了製程的設定溫度（X）與產品強度（Y）的資訊，並彙整資料如下表：溫度 40 40 45 45 50 50 55 55 65 65強度 22 18 19 17 18 14 15 13 14 10
（一）請使用最小平方法找出可以從溫度預測產品強度之迴歸方程式Y=b0 +b1 X。（10 分）
（二）試求判定係數（R ），並說明它在此迴歸分析中之意義。（5 分）
（三）試檢定「溫度愈高，則產品強度愈低」的假設（α = 0.05）。（10 分）
（四）請說明何謂多元迴歸模型中的多元共線性問題？遇到多元共線性問題時該如何處理？（5 分）
（30 分）
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- 3
某一家保險公司每天要處理大量新保單的申請，為了確認保險業務員在處理新保單申請時的作業品質，該保險公司每天抽出 100 件新申請案進行檢查，連續抽 30 天，發現當中不符合規定的件數總共是 180 件。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）請依據上述資訊建構不良率管制圖之管制上下限（UCL, LCL） 。
（二）如果某天來了一批新進的保險業務員，因為訓練不佳而導致錯誤的新保單比例提高到 0.10，請問平均大約要過幾天主管才會從管制圖中偵測到這個問題？（請使用常態逼近）
（20 分）
- 4
假設有一個處於穩定狀態的製程，其製程的 x=49.8，R=2，已知繪製管制圖時使用的抽樣大小為 n = 2，而且產品的規格上下限為 50 ± 5。若已知產品的品質特性呈常態分配，且查表可得以下各係數：A2 = 1.880， A3 = 2.659， B3 = 0， B4 = 3.267，c4 = 0.7979， d2 = 1.128， D3 = 0， D4 = 3.267。
（一）請估計潛在製程能力、實際製程能力，並計算 Cpm ，Cpkm 。（15 分）
（二）請針對上述幾個製程能力指標的數值進行評述。（5 分）
（20 分）
- 5
考慮一雙次抽樣計畫，n1 = 50，n2 = 50，c1 = 1，c2 = 3，已知每批進貨的批量很大，請列出產品不良率為 0.05 時之允收機率（僅需清楚列出計算式，無需計算機率值） 。（10 分）（請接第二頁）全四頁第二頁附表一 標準常態分配表0 z（請接第三頁）全四頁第三頁附表二 t 分配臨界值tp（請接第四頁）全四頁第四頁附表三 F 分配的臨界值表F0.95
（10 分）
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設某工廠之生產線一週內產能（所生產產品的個數）為一隨機變數，已知其平均數為400。問題：該週產能超過1000之機率為何？或該機率之上界為何？如果有利用任何定理與公式，請說出定理與公式的名字與內容。（10分）
（10 分）
- 2
1980年初，Motorola公司提出「6個標準差（6σ）」，提升企業的製程品質。就Motorola公司而言：「6個標準差」是一種管理哲學，將製造過程中的變異可能性納入考量，允許品質特性平均值偏離 1.5σ；也就是品質特性規格在 ±6σ 時，品質特性平均值偏離 1.5σ，仍能維持在標準規格上（USL）與下限（LSL）內。問題：以圖形說明此管理哲學觀點。圖形中必須有USL，LSL，μ0 ，6σ 與以斜線面積表示機率P（X > USL 或X < LSL|μ = μ0 + 1.5σ），其中X為品質特性相關之隨機變數。（10分）
（10 分）
參考架構・破題
六標準差的核心是規格界限距目標值各 6σ，即使長期平均值偏移 1.5σ，最近一側規格仍有 4.5σ 的距離，不良率約為百萬分之 3.4（3.4 DPMO）。本題重點在畫出正確的圖形並標示指定符號。
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- 3
工廠常以製程能力指標 Cp，Cpk，Cpm，Cpkm 來判斷製程的品質，其中 Cp，Cpk，Cpm，Cpkm 為品管常用與通用的製程能力指標公式，所以在此不給定義。令 X 與 Y 分別代表兩個製程 A, B 的品質隨機變數，又其中 X～Normal（ μ = 50, σ = 5） ，Y～Normal（μ = 57.5, σ = 2.5），而 μ 與 σ 分別為相關平均數與標準差。令兩製程的上下規格值皆為 USL = 65 and LSL = 35。回答下列各題（須詳列計算過程），其中前 4 題分別以所列出的單一製程能力指標來判斷兩個製程的品質。（每小題 4 分，共 20 分）
（一） Cp：(a)製程 A 比 B 優，(b)製程 B 比 A 優，(c)二者品質相同
（二） Cpk：(a)製程 A 比 B 優，(b)製程 B 比 A 優，(c)二者品質相同
（三） Cpm：(a)製程 A 比 B 優，(b)製程 B 比 A 優，(c)二者品質相同
（四） Cpkm：(a)製程 A 比 B 優，(b)製程 B 比 A 優，(c)二者品質相同
（五）將 Cpm 寫成 Cp 的函數，也就是 Cpm = dCp，其中 d 值為何？
（20 分）
參考架構・破題
兩製程規格相同（35～65，中心與目標 T = 50），A 置中但變異大，B 變異小但偏移；四個指標因為對「變異」與「偏離目標」的懲罰不同，會得出不同結論，最後把 Cpm 寫成 Cp 乘上修正係數 d。
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- 4
假如A工廠的出貨規定是：每批產品不良率0.01以下方可出貨。品管工程師某日在某批產品中，隨機抽取100個產品，其中發現2個不良品。我們是否可以藉此判定：此批貨為不良品，因此不許出貨？（以α = 0.05 為檢定尺度）請依下列步驟作答：（每小題5分，共20分）
（一）定義符號
（二）定出虛無假設與對立假設
（三）將原始統計問題轉換成相關的機率問題
（四）判定：不許出貨，或准許出貨（請接第二頁）全三頁第二頁
（20 分）
參考架構・破題
這是單一比例的右尾假設檢定：以出貨標準 p0 = 0.01 為虛無假設，檢驗樣本 100 個中 2 個不良是否足以證明不良率超過 0.01。因 np0 = 1 太小，不宜用常態逼近，應以二項分配（或卜瓦松近似）求精確 p 值。
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假設自變數（又名獨立變數）（regressor）x與因變數（又名相依變數）Y之迴歸模型為E（Y | x ）= β0 + β1x + β2x2，其中，E(Y)為Y的期望值，且Y～Normal 分配。令yˆ i = βˆ0 + βˆ1 xi + βˆ2 xi2 為「估計迴歸模型」，其中i = 1, 2,…n，n為總樣本大小。圖一(a.1)(a.2)為兩種描述因變數y的符號，其中圖一(a.1)中之下標為1維度，y1, y2, … , yn;圖一(a.2)中之下標為2維度，yij, i = 1, 2, …, a；j =1, 2, …, ni； ∑ ia=1 ni = n ，又其中圖上的圓點為樣本點。表1為二次迴歸模型之變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）表。
（一）分別舉出圖一(a.1)(a.2)兩種描述因變數 y 的符號之優點。（4 分）
（二）將圖一(b.1)畫在試卷上再繪圖說明表 1 中 ANOVA Table：SSTO = SSR+SSE 之幾何意義。（8 分）
（三）將圖一(b.2)畫在試卷上再繪圖說明表 1 中 ANOVA Table：SSE = SSEL+SSEP 之幾何意義。（8 分）n n圖一 有關二元迴歸圖（請接第三頁）全三頁第三頁
（20 分）
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考慮一個工廠中原物料（items）加工製程。圖二中x軸為「時間（time）」（單位：分鐘），y軸為原物料在等候加工之個數（長度）（queue length, L）利用圖二計算：（每小題5分，共10分）
（一） E(L)，等候加工之個數之期望值（Expected value of items in Queue）。
（二） V(L)，等候加工之個數之變異數（Variance of items in Queue）。L time圖二 等候加工之長度
（10 分）
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令X表示某製程的品質之隨機變數， X (n) 表示相關樣本數為n之樣本平均數（sample mean）。假設X～Normal(μ, σ)。圖三表示 X (5) 的機率分配（probability distribution function）。先將圖三畫在試卷上再畫出 X (10) 的機率分配示意圖（注意：要在同一個圖三上）。（10分）X (n)之pdf X (5)之pdf圖三 X (n) 的機率分配圖
（10 分）
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
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某超市購進一批總數為 2000 個的貨品，假設供應商已知其中有 600 個為瑕疵品。該超市檢驗員從此批貨品中隨機抽出 50 個來檢驗。計算所抽出的 50 個產品中瑕疵品個數大於 15 個的機率。（5 分）假設該超市的主管要求採用樣本數 n=20、c=2 的單次抽樣計畫進行檢驗，請問這批貨品被退貨的機率為何？（10 分）
（15 分）
參考架構・破題
不放回抽樣，瑕疵品數嚴格服從超幾何分配；因母體 2000 遠大於樣本，可用二項分配近似，第一部分再以常態逼近求尾端機率，第二部分以二項分配求允收機率，退貨機率 = 1 − Pa。
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在一個化學製程中安裝一個新的淨化設備，在安裝前，隨機抽驗製程 10 次並測得平均雜質含量為 9.85%，標準差為 9.04%。在安裝後，隨機抽驗製程 8 次並測得平均雜質含量為 8.08%，標準差為 8.86%。若顯著水準為 0.05，請問新安裝的淨化設備是否降低該製程的雜質含量？（10 分）
（10 分）
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假設某製程之品質特性呈常態分配，樣本數 n = 4，若已知 x - R Chart 之 3 倍標準差管制界線如下表。UCL CL LCL x -Chart 363.0 360.0 357.0 R-Chart 16.18 8.91 1.64請問 x -Chart 之風險為何？若規格界限為 3586，則 Cp 與 Cpk 的估計值各為何？（10 分）在製程平均數偏移至 356 後所抽出的第一個樣本就能偵測出製程異常的機率為何？（10 分）若製程平均數並未偏移而欲將風險降至 0.01，則 UCL 與 LCL 應為何？（10 分）
（30 分）
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某紡織工廠欲管制其生產的工業用織布的缺點數。若該紡織廠以每平方公尺織布的缺點數為管制對象，抽取 25 組樣本而得缺點數合計為 70 個，請問應採用何種管制圖？其管制界限為何？（10 分）（請接第二頁）全五頁第二頁
（10 分）
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某輪胎製造公司，欲對市面上的房車提供一新型輪胎，其原料採用一款新配方以提升輪胎的耐磨性與穩定性。今對此新配方所生產的輪胎做測試，共收集樣本數 n 為15 的樣本。假設可能影響輪胎壽命(Y)（即可行駛里程數(103km)）的因素如下：道路面溫度(℃)(X1)、車輛載重(kg)(X2)及平均車速(km/hr)(X3)。令所有測試車輛皆為相同的車款，假設顯著水準為 0.05，經迴歸分析結果得到判定係數（Coefficient of Determination）R2 = 0.8773；調整的（Adjusted）R2 = 0.8439。其他分析結果如表 1與表 2。表 1 迴歸模型的變異數分析（ANOVA）表自由度(df) 平方和(SS) 均方和(MS) F p值迴歸模型 （1） 285.5665 （3） （5） 2.6 10-5殘差 （2） 39.9302 （4）總和 325.4967表 2 迴歸模型的係數未標準化 i 係數的 ˆi 的標準差 檢定 i 的 檢定 i 的估計值（ ˆi ） 估計值（ˆ ˆ ） 統計量（t 值） p-值i截距 93.1247 13.80594 6.745263 3.18 10-5道路面溫度(℃)(X1) -0.5322 0.175361 -3.03485 0.01135車輛載重(kg)(X2) -0.02537 0.00715 -3.5481 0.004567平均車速(km/hr)(X3) -0.19612 0.082484 -2.37773 0.036648（Coefficient of Determination ） R2 以及調整的（Adjusted）R2的意義，並說明此問題適合採用何種判定係數 （R2 或 Adjusted R2）。（10 分）請依據題意以及迴歸分析方法與變異數分析方法，求出表 1 中（1）～（5）空格之值。（5 分）1 的假設檢定以及其 p 值=2.6x10-5 的意義。（5 分）2 的資訊，列出有效的迴歸模型（即模型係數不等於 0），並應用附表找出1 與2 係數的 95%信賴區間。（15 分）（請接第三頁）全五頁第三頁附表一 標準常態分配表Φ(z) (z) P(Z z) z 1 e t2 dt 2 0 z表內數值表示標準常態分配從 到 z 值的面積z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.500000 0.503989 0.507978 0.511967 0.515953 0.519939 0.532922 0.527903 0.531881 0.535856 0.1 0.539828 0.543795 0.547758 0.551717 0.555760 0.559618 0.563559 0.567495 0.571424 0.575345 0.2 0.579260 0.583166 0.587064 0.590954 0.594835 0.598706 0.602568 0.606420 0.610261 0.614092 0.3 0.617911 0.621719 0.625516 0.629300 0.633072 0.636831 0.640576 0.644309 0.648027 0.651732 0.4 0.655422 0.659097 0.662757 0.666402 0.670031 0.673645 0.677242 0.680822 0.684386 0.687933 0.5 0.691462 0.694974 0.698468 0.701944 0.705401 0.708840 0.712260 0.715661 0.719043 0.722405 0.6 0.725747 0.729069 0.732371 0.735653 0.738914 0.742154 0.745373 0.748571 0.751748 0.754903 0.7 0.758036 0.761148 0.764238 0.767305 0.770350 0.773373 0.776373 0.779350 0.782305 0.785236 0.8 0.788145 0.791030 0.793892 0.796731 0.799546 0.802338 0.805106 0.807850 0.810570 0.813267 0.9 0.815940 0.818589 0.821214 0.823815 0.826391 0.828944 0.831472 0.833977 0.836457 0.838913 1.0 0.841345 0.843752 0.846136 0.848495 0.850830 0.853141 0.855428 0.857690 0.859929 0.862143 1.1 0.864334 0.866500 0.868643 0.870762 0.872857 0.874928 0.876976 0.878999 0.881000 0.882977 1.2 0.884930 0.886860 0.888767 0.890651 0.892512 0.894350 0.896165 0.897958 0.899727 0.901475 1.3 0.903199 0.904902 0.906582 0.908241 0.909877 0.911492 0.913085 0.914657 0.916207 0.917736 1.4 0.919243 0.920730 0.922196 0.923641 0.925066 0.926471 0.927855 0.929219 0.930563 0.931888 1.5 0.933193 0.934478 0.935744 0.936992 0.938220 0.939429 0.940620 0.941792 0.942947 0.944083 1.6 0.945201 0.946301 0.947384 0.948449 0.949497 0.950529 0.951543 0.952540 0.953521 0.954486 1.7 0.955435 0.956367 0.957284 0.958185 0.959071 0.959941 0.960796 0.961636 0.962462 0.963273 1.8 0.964070 0.964852 0.965621 0.966375 0.967116 0.967843 0.968557 0.969258 0.969946 0.970621 1.9 0.971283 0.971933 0.972571 0.973197 0.973810 0.974412 0.975002 0.975581 0.976148 0.976705 2.0 0.977250 0.977784 0.978308 0.978822 0.979325 0.979818 0.980301 0.980774 0.981237 0.981691 2.1 0.982136 0.982571 0.982997 0.983414 0.983823 0.984222 0.984614 0.984997 0.985371 0.985738 2.2 0.986097 0.986447 0.986791 0.987126 0.987455 0.987776 0.988089 0.988396 0.988696 0.988989 2.3 0.989276 0.989556 0.989830 0.990097 0.990358 0.990613 0.990863 0.991106 0.991344 0.991576 2.4 0.991802 0.992024 0.992240 0.992451 0.992656 0.992857 0.993053 0.993244 0.993431 0.993613 2.5 0.993790 0.993963 0.994132 0.994297 0.994457 0.994614 0.994766 0.994915 0.995060 0.995201 2.6 0.995339 0.995473 0.995604 0.995731 0.995855 0.995975 0.996093 0.996207 0.996319 0.996427 2.7 0.996533 0.996636 0.996736 0.996833 0.996928 0.997020 0.997110 0.997197 0.997282 0.997365 2.8 0.997445 0.997523 0.997599 0.997673 0.997744 0.997814 0.997882 0.997948 0.998012 0.998074 2.9 0.998134 0.998193 0.998250 0.998305 0.998359 0.998411 0.998462 0.998511 0.998559 0.998605 3.0 0.998650 0.998694 0.998736 0.998777 0.998817 0.998856 0.998893 0.998930 0.998965 0.998999 3.1 0.999032 0.999065 0.999096 0.999126 0.999155 0.999184 0.999211 0.999238 0.999264 0.999289 3.2 0.999313 0.999336 0.999359 0.999381 0.999402 0.999423 0.999443 0.999462 0.999481 0.999499 3.3 0.999517 0.999533 0.999550 0.999566 0.999581 0.999596 0.999610 0.999624 0.999638 0.999650 3.4 0.999663 0.999675 0.999687 0.999698 0.999709 0.999720 0.999730 0.999740 0.999749 0.999758 3.5 0.999767 0.999776 0.999784 0.999792 0.999800 0.999807 0.999815 0.999821 0.999828 0.999835 3.6 0.999841 0.999847 0.999853 0.999858 0.999864 0.999869 0.999874 0.999879 0.999883 0.999888 3.7 0.999892 0.999896 0.999900 0.999904 0.999908 0.999912 0.999915 0.999918 0.999922 0.999925 3.8 0.999928 0.999931 0.999933 0.999936 0.999938 0.999941 0.999943 0.999946 0.999948 0.999950 3.9 0.999952 0.999954 0.999956 0.999958 0.999959 0.999961 0.999963 0.999964 0.999966 0.999967（請接第四頁）全五頁第四頁附表二 t 分配臨界值α 0 tα, v對給定的自由度(v)，表內數值表示右尾面積為時的 t 臨界值 0.400 0.250 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0025 0.001 0.0005 1 0.325 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.320 318.310 636.620 2 0.289 0.816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 23.326 31.598 3 0.277 0.765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.213 12.924 4 0.271 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 5 0.267 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 6 0.265 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 7 0.263 0.711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 8 0.262 0.706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 9 0.261 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 10 0.260 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 11 0.260 0.697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 12 0.259 0.695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 13 0.259 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 14 0.258 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 15 0.258 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 16 0.258 0.690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 17 0.257 0.689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 18 0.257 0.688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 19 0.257 0.688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 20 0.257 0.687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 21 0.257 0.686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 22 0.256 0.686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 23 0.256 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767 24 0.256 0.685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745 25 0.256 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 26 0.256 0.684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 27 0.256 0.684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 28 0.256 0.683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 29 0.256 0.683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 30 0.256 0.683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 40 0.255 0.681 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 60 0.254 0.679 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 120 0.254 0.677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373 0.253 0.674 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291 = degrees of freedom.（請接第五頁）全五頁第五頁附表三 F 分配的臨界值表（f 0.025,v1,v2）α fα, v1, v2
（35 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
（一） X 管 制 圖 之 管 制 界 限 為 正 負 3 個 標 準 差 ， 則 其 作 業 特 性 曲 線 （ Operating Characteristic Curve）之公式為何？（10 分）
（二）試解釋其縱座標與橫座標之意義。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
X̄ 管制圖的作業特性（OC）曲線描述：製程平均值偏移某個幅度後，下一個樣本點仍落在管制界限內（未被偵測）的機率 β。先推導公式，再說明縱、橫座標的意義與曲線形狀如何受樣本數影響。
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- 2
在變異數分析中，因素 A 之組間共有 a 水準，重複次數為 n。
（一）請將下表繪於試卷上，並將答案填入①～⑥等 6 個空格。（12 分）項目 平方和 SS 自由度 DF 平均平方和 MS F A(組間) SSA ① ④ ⑥組內 SSE ② ⑤總變異 SST ③
（二）試寫下其虛無假設和對立假設，以及加法模式。（8 分）
（三）試說明其 F 值、虛無假設/對立假設以及加法模式，這 3 者的關係。（10 分）
（30 分）
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不良率管制圖中，p=0.02，若要使樣本中之不良品的個數大於零的機會大於 0.90，則樣本大小至少要多少？（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
樣本中不良品個數 X 服從二項分配 B(n, p)，題目要求 P(X>0)>0.90，即求最小樣本數 n；這也是 p 管制圖決定樣本大小的常見準則（使樣本中至少出現一個不良品的機率夠高）。
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- 4
某個零件規格如下：目標中心值 T=400, USL=406, LSL=394。假設製程呈常態分布。機器 A 的製程平均值 μ=400，標準差 σA=1.6。機器 B 的製程平均值 μ=401，標準差 σB=1.2。試計算：
（一）機器 A 與機器 B 之 Cp 與 Cpk。（20 分）
（二）機器 A 與機器 B 之不良率。（10 分）
（30 分）
參考架構・破題
製程能力指標 Cp 衡量潛在能力（只看變異），Cpk 同時考慮製程中心偏移；本題比較兩部機器，並由常態分配計算超出規格的不良率，結論要點出「變異小但偏離中心」與「置中但變異大」的取捨。
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其他等別的「工程統計學與品質管制」
- 工程統計學與品質管制（地方特考三等）（56 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。