作業研究 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 102～115 年共 14 份試卷、58 題，其中 44 題附參考答題架構。考這一科的類科：工業工程。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
以大 M 法（Big M Method）求解以下線性規劃問題。（30 分）Maximize Z 2 x1 +2x2 +3x3 Subject to x1 3x2 3x3 15 3x1 x2 4 x3 10 2x1 x2 2 x3 12 x1 , x2 , x3 0
（30 分）
參考架構・破題
本題考大 M 法：限制式含「≥」或「＝」時沒有現成的起始基底，要加人工變數，並在目標式給人工變數 −M 的懲罰，用單形法逐步把人工變數趕出基底。轉檔後係數正負號與不等號方向看不清，請以原卷為準，下面的架構適用於任何組合。
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- 2
某太空中心計畫將一顆探測器送入預定軌道，只有 3 個火箭發射窗口可供使用，而每個發射窗口至多可以發射 5 枚火箭。每枚火箭成功將探測器送入預定軌道的機率為 3/4，失敗機率為 1/4。若某一發射窗口被啟用，則需支付固定的發射準備費用 200 萬元。此外，每發射一枚火箭需額外支付 100 萬元的發射成本。只要有任意一枚火箭成功將探測器送入預定軌道，任務即宣告成功，後續發射窗口將不再使用。若三個發射窗口全部結束後，仍未能成功將探測器送入預定軌道，則此次太空任務失敗，並造成 800 萬元的任務損失。請利用動態規劃決定在各發射窗口中應發射多少枚火箭？使太空中心的總期望成本最小。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為典型的有限階段隨機動態規劃問題，決策核心在於在各發射窗口中權衡發射固定與變動成本，以及任務失敗帶來的龐大損失。考生應採用逆向遞迴法，自最後一個發射窗口反推至最初階段，清楚界定階段、狀態、決策變數與邊界條件，逐步推導各窗口的最佳發射數量，以達成全期總期望成本極小化。
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- 3
某校園有兩個共享單車停放點：東門與西門。一位學生每天早上從校園離開。他從東門出發的機率為 2/3，從西門出發的機率為 1/3。若出發的停放點有共享單車，他就騎一輛單車；若該停放點沒有共享單車，他只能步行。當他返回校園時，他從東門進入的機率為 1/3，從西門進入的機率為 2/3，並將共享單車停放在進入的停放點。假設校園共有兩輛共享單車，長期而言，該學生必須步行的比例是多少？（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為離散時間馬可夫鏈之應用題，探討共享單車在雙站點系統下的轉移行為與長期穩態表現。作答關鍵在於以單一站點的單車存量作為系統狀態，建立狀態轉移機率矩陣，透過求解穩態機率分佈，進而結合各狀態下的缺車機率，精確計算出學生長期必須步行的比例。
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- 4
某消防局將配置 8 輛消防車到 4 個地區，每個地區必須配置 1 至 4 輛消防車，且每輛消防車只能配置到一個地區。配置不同數量的消防車到各地區時，預估可增加的成功救災件數如下表：地區消防車數量1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 16 14 18 12 2 30 27 32 24 3 41 37 43 33 4 49 46 51 40建構一個整數規劃模型，以決定 8 輛消防車於 4 個地區之配置方式，使成功救災總件數的增加量最大。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是資源配置問題：4 個地區各選一種「配置車數 1～4 輛」，總車數剛好 8 輛，使增加的成功救災件數最大。最乾淨的寫法是用 0-1 變數表示「地區 i 配置 j 輛」，表中數據直接當目標係數，不必假設線性報酬。
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114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮一個雙人零和賽局（Two-person Zero-sum Game），其收益表（Payoff Table）如下：參賽者 B策略 b1 b2 b3 a1 8 0 5參賽者 A a2 9 5 1 a3 3 10 7若參賽者 A 採取策略 a1，而參賽者 B 採取策略 b1，參賽者 A 之收益為 8，相對地，參賽者 B 之收益為−8，餘此類推。
（一）若雙方均採取最大損失最小化原則來選取單一策略，雙方所選取之策略為何？（10 分）
（二）此問題是否有鞍點（Saddle Point）？原因為何？（5 分）
（三） 若 參 賽 者 A 考 慮 採 取 混 合 策 略 ， 請 寫 出 一 個 線 性 規 劃 （Linear Programming）以幫助參賽者 A 決定最佳的混合策略（無需求解） 。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是雙人零和賽局的基本三步：先用純策略的 maximin／minimax 判斷，再檢查鞍點，沒有鞍點就要用混合策略，並把 A 的問題寫成線性規劃。收益表以 A 的收益表示（a1：8、0、5；a2：9、5、1；a3：3、10、7）。
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- 2
請使用分枝界限（Branch-and-Bound）法求解下列背包問題（Knapsack，以將所有整數變數放鬆為實數變數的方式求取搜尋樹（Search Problem）Tree）中各節點所需之上限值（Upper Bound），請畫出搜尋樹，並標示各節點所對應的完整實數解及上限值： （25 分）Max z 10 x1 3x2 x3 8 x4 5 x5 3x6 s.t. 8 x1 x2 3x3 5 x4 2 x5 2 x6 15 xi 0 or 1, i 1, 2,...,6
（25 分）
參考架構・破題
0-1 背包問題用分枝界限法：每個節點以 LP 鬆弛（貪婪法依「價值／重量比」裝填，最後一件取分數）求上限，選分數變數分枝，用目前最佳整數解剪枝。題目：Max z = 10x1 + 3x2 + x3 + 8x4 + 5x5 + 3x6，s.t. 8x1 + x2 + 3x3 + 5x4 + 2x5 + 2x6 ≤ 15，xi = 0 或 1。
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- 3
考慮下列線性規劃問題：Max z x1 x2 2 x3 s.t. x1 x2 3 x3 15（限制式1）2 x1 x2 x3 3（限制式2） x1 x2 x3 4（限制式3）x1 0, x2 0, x3 0令 x4 , x5 , x6 分別代表限制式 1, 2, 3 的寬裕變數（Slack Variable），考慮一個基本解（Basic Solution） X B =（ x1 , x3 , x2 ），此基本解所對應的反矩陣（Inverse）為 1 1 2 B 1 1 / 2 1 3 / 2 3 / 2 2 5 / 2
（一）請計算此基本解所對應的目標函數值。（5 分）
（二）請建構此基本解所對應的完整單形表（Simplex Tableau）。（10 分）
（三）請判斷此基本解是否為最佳解？若否，由此基本解開始，利用單形法（Simplex Method）求取最佳解。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考修正單形法的矩陣表示：已知基底 XB 與 B⁻¹，就能直接算出整張單形表，不必從頭疊代。核心公式是 XB = B⁻¹b、z = cB B⁻¹b、表身 = B⁻¹A、檢定值 zj − cj = cB B⁻¹aj − cj。轉檔後目標與限制式的正負號、B⁻¹ 部分元素符號看不清，請以原卷數值代入。
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- 4
一名玩家擲一對骰子，如果點數總和為 7 或 10，則他贏了；如果總和為3 或 11，則他輸了；如果總和為其他數字，他將繼續擲骰，直到遊戲結束（他贏或輸）為止。設 X 為遊戲結束（他贏或輸）所需的擲骰次數。注意：若 X 3 ，指的是擲一對骰子 3 次。請回答以下問題：
（一）求他最終贏的機率。（10 分），即 M(t)=E[ etX ]。
（二）求 X 的動差母函數（Moment Generating Function） （10 分）
（三）求 X 的期望值 E[X]。（5 分）
（25 分）
113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
求解馬可夫決策過程之問題的其中一種方式是可以將此問題轉化成線性規劃的問題來看待。考慮以下由馬可夫決策過程之問題轉化後之原始（Primal）線性規劃問題：Minimize (0) (0) + (1) (1) + (2) (2) + (3) (3) + (4) (4) Subject to: (0) − 0.9 (0) − 0.1 (1) − 0 (2) − 0 (3) − 0 (4) ≥ (0,0) (0) − 0.1 (0) − 0.9 (1) − 0 (2) − 0 (3) − 0 (4) ≥ (0,1) (1) − 0.9 (0) − 0 (1) − 0.1 (2) − 0 (3) − 0 (4) ≥ (1,0) (1) − 0.1 (0) − 0 (1) − 0.9 (2) − 0 (3) − 0 (4) ≥ (1,1) (2) − 0 (0) − 0 (1) − 0 (2) − 0 (3) − 0 (4) ≥ (2,0) (2) − 0 (0) − 0 (1) − 0 (2) − 0 (3) − 0 (4) ≥ (2,1) (3) − 0 (0) − 0 (1) − 0.9 (2) − 0 (3) − 0.1 (4) ≥ (3,0) (3) − 0 (0) − 0 (1) − 0.1 (2) − 0 (3) − 0.9 (4) ≥ (3,1) (4) − 0 (0) − 0 (1) − 0 (2) − 0.9 (3) − 0.1 (4) ≥ (4,0) (4) − 0 (0) − 0 (1) − 0 (2) − 0.1 (3) − 0.9 (4) ≥ (4,1) ( ) ≥ 0 for = 1,2,3,4。在此問題中， ( )為決策變數而α(∙)及r(∙,∙)為給定常數。假設 ( , ), = 0,1,2,3,4; = 0,1為上述問題相對應之對偶（Dual）線性規劃問題之對偶決策變數（dual variable）。
（一）請寫出對偶問題之目標式。（5 分）
（二）請寫出對偶問題之限制式。（20 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題旨在評量將無限期折扣馬可夫決策過程轉化為線性規劃之理論素養，並依據線性規劃之對偶理論推導其對偶模型。考生作答時應清晰掌握原始問題中各決策變數、常數與限制式之結構，利用轉置矩陣與標準對偶對應法則，嚴謹列出對偶目標式與對偶限制式，並闡述對偶變數在作業研究中的物理意涵。
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- 2
在每次賭局中，賭徒每次下注的上限即是他當下手中所擁有的現金。每次贏錢的機率與輸錢的機率分別是 和 = 1 − 。賭徒一共可以下注 n 次而且每次下注的金額為其所擁有的現金成一固定比例 ，其中0 ≤ ≤ 1。他的目標為最大化其最後所擁有現金取自然對數後之期望值。當賭徒手上擁有現金 並且還有 次下注機會時，以 ( )來表示在此情況下賭徒最大的期望目標值。邊際條件為 ( ) = ( )。
（一）假設 > 1/2，利用 ( ) = ( )之結果，證明 ( ) = + ( )，其中 = (2) + ( )+ ( )。（15 分）
（二）假設 > 1/2，證明 ( ) = + ( )，for all 皆成立而且最佳下注策略為每次下注的金額為其當下所擁有的現金之 − 比例。 （10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為動態規劃在投資與博弈領域的經典應用，即凱利準則於對數效用函數下的最優下注策略推導。作答核心在於利用一階與二階導數求得單期最佳下注比例，導出邊界關係與常數項，接著以嚴謹的數學歸納法完成多期最佳下注比例恆為勝率差額之證明。
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- 3
考慮以下線性規劃問題max = 12 +9 subject to ≤ 1000 ≤ 1500 + ≤ 1750 4 + 2 ≤ 4800 , ≥ 0.
（一）請將此問題轉成以標準型式（standard form）來表示，也就是將所有不等式轉成為等式的型式。（5 分）
（二）請以單形法（Simplex method）的表格式（Tableau form）來求解最佳解並在每回合表中列出完整之列表。 （20 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為線性規劃基礎題型，測驗考生將不等式模型轉化為標準型式，並熟練操作單形法表格式迭代之能力。作答重點在於正確引入寬裕變數以化為等式，依循最大改善原則選取進基變數，透過最小比值檢定決定出基變數，詳實列出各回合單形表及列運算過程，直至滿足最佳性條件求得極值。
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- 4
律師事務所正準備招聘新的律師。以下是律師事務所預估未來一年新聘律師所需要處理的案件時數：月份 案件時數（小時） 月份 案件時數（小時）1 650 7 750 2 450 8 900 3 600 9 800 4 500 10 650 5 700 11 700 6 650 12 500每一位新聘的律師預期每月可以處理 150 小時的案件時數而且其聘任期至少為一年。所有的案件時數必須在年終處理完畢。這家律師事務所想要決定新的一年所要聘任的新律師的人數。請定義所需之決策變數並將此問題以整數規劃的形式表示出來。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是人力規劃的整數規劃：決策是新聘律師人數（整數），關鍵在「案件可以延到後面月份處理，但年終前必須全部處理完」，因此要用每月未處理案件時數（積壓量）串起各月的平衡式。
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112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
有一線性規劃問題如下：極大化Z=3X1+3X2+4X3受限於4X1+2X2+5X3≤100 2X1+2X2+4X3≤80 X1≥0, X2≥0, X3≥0
（一）請利用單純法（simplex method）求解此線性規劃問題的最佳解。（10分）
（二）在最佳解決策變數值不變的情況下，請分別求算X1、X2及X3各變數其目標函數係數個別變動時允許的變動範圍分別為何？（10分）
（三）在最佳基底不變的情況下，請分別求算各右手（right hand side）常數個別變動時允許的變動範圍分別為何？（10分）
（30 分）
參考架構・破題
本題為線性規劃經典的單形求解與事後敏感度分析綜合題。作答時第一部分應透過單形法表格式求得最佳解與反矩陣資訊；第二部分與第三部分則分別運用對偶理論與可行性維持準則，計算目標函數係數及右端常數項個別變動時的容許範圍，展現深厚的矩陣運算與敏感度分析能力。
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- 2
某公司已預購3台機器（分別為u、v及w），公司已規劃出4個可以放置這些機器的候選位置（A、B、C及D）。機器v因體積太大無法放置於位置C。另因機器擺在不同的位置，未來會產生的物料搬運頻率也不同，表一為各機器擺在不同的位置預期產生的搬運頻率。
（一）請建構可使總搬運頻率最小化的機器－位置擺設規劃的線性規劃模式。（8分）
（二）以匈牙利法求解可使總搬運頻率最小化的機器－位置擺設規劃，並計算其總搬運頻率。（7分）表一、指派問題相關資料A B C D u 70 80 140 120 v 90 60 140 w 60 110 100 150
（15 分）
參考架構・破題
本題是不平衡的指派問題：3 台機器、4 個位置，要加一台虛擬機器（成本 0）補成方陣；機器 v 不可放 C，以極大成本 M 表示禁止。第一小題寫 0-1 線性規劃，第二小題用匈牙利法求解。
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- 3
某一離島城市有三家燒烤店（甲、乙、丙） ，目前市場的占有率依序分別是20%、40%和40%，顧客平均大約每個月至燒烤店消費一次，而顧客對這三家燒烤店偏好的轉移機率矩陣如下表所示（例如：顧客本次在甲店消費，下次在甲店、乙店、丙店消費的機率分別為0.7、0.2、0.1）：甲 乙 丙甲 0.7 0.2 0.1乙 0.1 0.8 0.1丙 0.1 0.3 0.6
（一）某消費者若本次在乙店消費，下下次仍在乙店消費的機率為多少？（5分）
（二）兩個月後，各店的市場占有率各為多少？（5分）
（三）經過長時間後，各店的市場占有率各為多少？（5分）
（四）若目前市場的占有率依序分別是40%、30%和30%，則經過長時間後，各店的市場占有率各為多少？（5分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是馬可夫鏈的市場占有率分析：短期用狀態向量乘轉移矩陣，長期解穩態方程 π = πP、Σπ = 1。轉移矩陣 P 的列依序為甲（0.7, 0.2, 0.1）、乙（0.1, 0.8, 0.1）、丙（0.1, 0.3, 0.6）。
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- 4
考慮以下網路圖（如圖一所示） ，弧上數字為各弧所連結兩節點的距離，某人要從節點A以最短距離抵達節點J。請寫出此問題的動態規劃模式〔亦即此動態規劃問題的最佳值函數（optimal value function）、遞迴關係式（recursive relation）以及邊界條件（boundary condition）〕。然後依此求算此動態規劃問題之最佳路徑及距離。（20分）圖一、動態規劃問題相關資料
（20 分）
參考架構・破題
本題是分階段網路的最短路徑，用逆向（後推）動態規劃：階段為 A → {B,C,D} → {E,F,G} → {H,I} → J，狀態是目前所在節點，決策是下一步走哪條弧。
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- 5
有一個兩人競賽（競賽者分別為甲、乙） ，甲分別可以採行策略S1、S2、S3三種策略；乙分別可以採行策略T1、T2、T3三種策略，表二為以甲為立場所列出的報酬矩陣，請求解甲、乙雙方採用其可用策略之最佳機率分別為多少以及本問題之競賽值為多少？（15分）表二、賽局問題相關資料策略T1 策略T2 策略T3策略S1 -1 8 7策略S2 9 0 -1策略S3 1 7 6
（15 分）
參考架構・破題
雙人零和賽局求混合策略：先查鞍點，沒有就用優勢原則刪策略，降成 3×2 後以圖解法求乙的最佳機率，再由關鍵策略聯立求甲的機率與賽局值。報酬矩陣（甲的收益）S1：−1、8、7；S2：9、0、−1；S3：1、7、6。
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111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮到總空間及總重量分別為 300 立方公尺及 160 噸的貨櫃，現有 5 種貨物供裝載，其相關資料如下表所示。請問此貨櫃應如何裝載貨品可有最大的總利潤？（請以整數規劃方法求解）單位體積 單位重量 單位利潤貨物種類（立方公尺） （公噸） （萬元）1 4 11 9 2 5 14 11 3 7 15 13 4 9 17 14 5 10 19 18
（一）請寫出決策變數。（5 分）
（二）請寫出目標式。（10 分）
（三）請寫出限制式。（15 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題是有兩項資源限制（體積、重量）的整數背包問題：每種貨物裝幾件（非負整數），在 300 立方公尺與 160 噸以內使總利潤最大。題目分三小題逐項給分，重點在變數、目標、限制寫得完整正確。
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- 2
考慮一線性規劃問題，且此問題的最佳單形表（optimal simplex tableau）如下表所示，其中 x4, x5, x6 分別代表限制式 1、2、3 的鬆弛變數（slack variable）。Maximize Z x1 2 x2 2 x3 subject to 5x1 2 x2 3x3 15 x1 4 x2 2 x3 12 2x1 x3 8 and x1 , x2 , x3 0基變數 Eq Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS Z （0） 1 1.75 0 0 0.5 0.25 0 10.5 x3 （1） 0 2.25 0 1 0.5 0.25 0 4.5 x2 （2） 0 0.875 1 0 0.25 0.375 0 0.75 x6 （3） 0 0.25 0 0 0.5 0.25 1 3.5
（一）將上述問題轉換成對偶問題（dual problem）。（15 分）
（二）請由最佳單形表讀出對偶問題的最佳解（不包含剩餘變數）。 （10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考線性規劃的對偶理論：先依「原問題極大化、≤ 限制、非負變數」的對稱型式寫出對偶問題；再利用互補寬鬆性，從最佳單形表 Z 列中「鬆弛變數 x4、x5、x6 的係數」直接讀出對偶最佳解（影子價格），最後用強對偶性驗算目標值相等。
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- 3
臺灣之鄉村、城市以及移居海外（包括國外及大陸）的人口變化越來越顯著。根據某研究單位資料顯示，在一年內，所有鄉村的人口有 60%繼續留在鄉村，20%遷往城市，20%移居海外；所有城市的人口有 90%留在城市，3%遷往鄉村，7%移居海外；所有移居海外者有 5%返國定居在城市，其餘繼續留在海外。假設以上的人口移動百分比在未來五年內均維持不變：（計算時小數點請四捨五入至第二位）
（一）轉換機率矩陣（transition matrix）。（5 分）
（二）如果小邱現在住在鄉村，那麼兩年後他遷往城市的機率是多少？ （10 分）
（三）假設現在所有臺灣人民中，有 20%居住在鄉村、65%在城市、15%移居海外，那麼三年後居住在各地（鄉村、城市、海外）的百分比分別是多少？（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考查馬可夫鏈在人口遷移預測的實務應用，題型涵蓋轉移機率矩陣構建、多步轉移機率計算以及長期狀態機率分佈推估。作答時須依據題意文字精確填入各狀態之一期轉移機率，接著運用查普曼-科莫高洛夫方程式進行矩陣乘法，嚴格執行四捨五入要求，依序推導出各期預測結果。
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- 4
考慮一丟銅板遊戲，玩此遊戲需支付$200，共丟三次，若連續三次的結果相同（如正正正、反反反），則獲得$400，請回答下列問題：
（一）建立決策樹（decision trees）。（15 分）
（二）若決定要玩遊戲，請問其期望收益為何？（5 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題為決策分析領域的基本題型，旨在評估決策樹之建立能力與期望貨幣價值準則之運算。考生應將丟銅板的三階段隨機歷程以機會節點展開，並將參與與否置於起始決策節點，透過逆向回溯法計算各節點的期望收益，以評估是否參與遊戲並提供科學化的決策建議。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
最短路徑問題（shortest path problem）為常用之數學模型。常用的求解演算法之一，為 Dijkstra 所提出之標籤設定法（label setting algorithm）。該演算法在求解過程中將網路（network）之所有節點區分為永久節點（permanent node）及暫時節點（temporary node）兩類，再逐一設定永久節點之距離標籤（distance label）。任一節點成為永久節點之後，其距離標籤即不再變動。
（一）試寫出標籤設定法之步驟。（10 分）
（二）請設計一個具有下列性質之網路：含有不多於 5 個節點及若干節線（arc）、含有長度為負值之節線、無負值長度之迴圈（negative cycle） 、且以標籤設定法求解其最短路徑時將產生錯誤。請以圖形呈現所設計之網路，並使用標籤設定法求解最短路徑。請列舉詳細計算過程，並明確指出所產生之錯誤。請在圖形中明確標示各節線之長度及最短路徑起點。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題測驗最短路徑問題中標籤設定法（戴克斯特拉演算法）的演算法步驟，以及探討該演算法在面對負權重節線時失效的根本成因。作答時第一部分應系統化陳述標籤設定法的五大核心步驟；第二部分則須精準建構一個無負迴圈但含負長度節線的小型網路反例，詳列演算計算過程，一針見血指出貪婪策略失效之處。
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- 2
假設某港口營運公司欲分配 n 艘船（編號 1 至 n）靠泊 m 個席位（編號1 至 m）。每個席位最多僅可分配予一艘船舶。對每艘船，公司可將之安排於任何一個席位，也可以不予分配任何席位。若船舶 i 安排在席位 j，則將產生 Fij 之效益。在這 n 艘船當中，有 a、b、c 三艘特殊船。不論安排在何席位，a 與 b 不可二者均獲得席位分配，但若 c 有獲得席位分配則無此限制。港口營運公司欲得到總效益最大化之席位分配計畫，試寫出線性整數規劃模式以協助達成之。請注意所有的數學式均必須為線性。
（一）寫出決策變數並明確說明其定義。 （8 分）
（二）寫出目標函數並說明其意義。（5 分）
（三）寫出限制式並說明其意義。（12 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為具備邏輯限制之港口船舶席位指派問題，考查考生將複雜指派規則與條件邏輯轉化為整數線性規劃模型的能力。作答重點在於嚴謹定義二元決策變數，建立最大化營運總效益之線性目標式，並透過大 M 法或二元邏輯不等式，將三艘特殊船隻之間的交互限制精準轉換為純線性限制式。
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- 3
考慮下列線性規劃問題：Maximize 2x1 – x2 + x3 subject to 3x1 + x2 + x3 ≤ 60 2x1 – 2x2 + 4x3 ≤ 20 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
（一）試以單形法（simplex algorithm）求解其最佳解，或明確指出其最佳解不存在。必須使用表列式（tableau）求解，並完整列出每一回合求解之列表。請明確寫出最佳解之基底變數（basic variables）以及最佳之目標函數值。（15 分）
（二）試寫出其對偶問題（dual problem）。（不必求解） （10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題測驗線性規劃單形法的標準表列式迭代技巧與原始對偶理論之對稱關係。考生應依單形演算法逐步執行進基出基判定與高斯樞紐消去，詳列各回合單形表直至檢驗數均非負，精確寫出最佳基底變數與極值；隨後依照原始對偶對應法則，建立對偶問題並透過互補鬆弛性驗證強對偶定理。
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- 4
某公司欲以單一機臺處理 N 批貨件。所有貨件各不相同，編號 1 至 N。該機臺在同一時間僅能處理一批貨件。第 i 批貨件在機臺上所需要之處理時間長度已知為 Ti。機臺可依任何順序處理，但在完成貨件 i 之後，若下一批貨為第 j 貨件時，其間的機臺清理時間已知為 Rij，在進行清理時，機臺無法處理任何貨件。在開始工作之前，以及完成所有工作之後，均無額外機臺清理時間。今欲將此問題模化成為旅行推銷員問題（travelling salesman problem），以求取能夠極小化完成處理所有貨件總時間之工作順序。
（一）試寫出旅行推銷員問題之定義。（文字敘述即可，不必寫出數學式）（5 分）
（二）說明將這個機臺處理貨件問題模化成為旅行推銷員問題之方法。至少需要說明如何定義旅行推銷員問題中之⑴節點、⑵節線長度，並說明求解完成後，如何將旅行推銷員問題之最佳解轉化成為原機臺處理貨件問題之最佳解。（20 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考查組合最佳化中單機排程問題轉化為旅行推銷員問題的建模技巧。題目涉及工件相依清理時間，屬於開放式路徑問題。作答關鍵在於以文字精確界定旅行推銷員問題，並透過「引入虛擬起點與終點節點」將單機加工順序封裝為標準的封閉巡迴路徑，妥善定義節線長度以完全對應總完工時間。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
製造商要生產4個產品：1,2,3,4。令Cj為產品j的價格，分別為C1=40, C2=60, C3=20, C4=100。這4個產品需要在4個工廠加工。令bi為工廠i可用的資源，分別為b1=30, b2=20, b3=40, b4=60。令xj為產品j所生產的數目（可為實數） ，製造商想最大化總價格收入。此最佳化問題的線性規劃模式如下：Max 40 x1 60 x2 20 x3 100 x4 s.t. x1 x2 2 x3 2 x4 30 x1 x2 2 x3 x4 20 x1 2 x2 2 x3 x4 40 x1 x2 x3 2 x4 60令 x5 , x6 , x7 , x8 為相對於限制式的鬆弛（slack）變數。加入之後的式子如下：x1 x2 2 x3 2 x4 x5 30 x1 x2 2 x3 x4 x6 20 x1 2 x2 2 x3 x4 x7 40 x1 x2 x3 2 x4 x8 60已知經由simplex方法解出的最佳解為x1 0, x2 10, x3 0, x4 10
（一）請求出4個資源分別的影子價格（Shadow Prices）。（10分）
（二）如果現在是以最佳解的方式生產，如果資源1增加1，新的最佳解的總價格收入會增加多少？為什麼？（5分）
（三）如果現在是以最佳解的方式生產，如果我們要加購資源2，最高購買價格不能超過多少？為什麼？（5分）
（四）如果現在是以最佳解的方式生產，第3個產品的價格要由20增至多少，製造商才要開始生產第3個產品？（5分）
（五）如果現在是以最佳解的方式生產，求這4個產品價格分別的可允許範圍（Allowable Range），相關計算可能需要參考如下的反矩陣：（5分）1 1 2 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 2 1 1 0 1 3 1 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 0 0 0 2 / 3 1 / 3 1 1 0 1 0 0 1 / 3 2 / 3 2 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 / 3 1 / 3
（六）如果現在是以最佳解的方式生產，當產品1的價格增至50，產品2的價格增至70，請問最佳解是否會改變？為什麼？（5分）
（35 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
有一商家賣新的熱銷手機，商家每日開始營業時，庫存只可存放最多S支手機於店內。當日結束營業後檢查手機庫存量，如果庫存少於或等於s支手機，商家就會向通路商補貨。通路商只會供應R1或R2兩種供貨數量。也由於手機熱銷，顧客當日來店，若手機當日銷售完，會留下資料，該筆需求成為欠單需求。商家會於補貨日時補足該欠單。補貨時，是以要補足欠單數量（如果有的話） ，同時也要補足S支庫存，或在無法補足時，儘量補足庫存的方式決定補貨R1或R2的手機量。補貨之手機於次日開始營業前會補足欠單量並送達商家成為店內之庫存。令D表示每日的需求量，其機 率 分 布 如 下 P(D=0)=1/3, P(D=1)=1/3, P(D=2)=1/3 。 若 以 馬 可 夫 鍊（Markov Chain）建模分析此系統並以每日結束營業後檢查庫存量當作狀態（state）。系統的參數為S=2, s=0, R1=1, R2=3
（一）寫出狀態空間（state space） ，那些狀態（state）要補R1量的貨？那些狀態（state）要補R2量的貨？（10分）
（二）寫出機率轉換（transition）矩陣。 （5分）
（三）求出穩態（steady-state）機率。（5分）
（四）在系統穩定下，任何一天會發生欠單之機率為何？當這天發生欠單，平均隔幾天會再發生欠單？（5分）
（25 分）
參考架構・破題
本題先把期末淨庫存量作為狀態；正數代表現貨，負數代表欠單。依補貨規則找出各狀態在次日開店前的可售庫存，再由需求分配寫轉移矩陣，最後以穩態機率及再返時間回答服務水準。
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- 3
某公司有3種客製產品（產品1,2,3）需要在7天依序完成，其中每一產品都至少分配1天生產，而第2個產品則至少要2天，另外第3個產品最多只能分配3天生產。每個產品所需之製造成本與所投入總天數有關，完成天數越少所需投入的成本則越多。下表為各個產品相對不同完成天數與成本的對應表。該公司想利用動態規劃決定3種客製產品所投入之天數以使總成本最低。生產成本天數 客製產品1 2 3 1 40 NA（不可行） 90 2 35 50 60 3 30 30 50 4 15 20 NA（不可行）
（一）請定義階段（stage）、狀態（state）與決定（decision）。（5分）
（二）請以動態規劃的方式求解最佳解並以決策樹表示。 （15分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
製造商只生產單一產品且採用訂單式生產方式：收到顧客訂單（顧客下單）才開始生產。每個訂單只要求1單位產品，訂單到達時間間隔呈現指數分配，平均到達時間間隔為2.5天，且到達時間間隔互相獨立。製造商工作機台以訂單先到先服務的方式生產產品，工作機台每次生產1單位產品，生產1單位的時間為指數分布且相互獨立，平均5天可生產6單位產品。製造商現在只有1台工作機台。（每小題5分，共20分）
（一）客戶所關心的是從訂單下單到拿到貨的時間間隔，稱之為回應時間。請問有多少比例的客戶回應時間在2天內？
（二）客戶所關心的是訂單下單到工作機台開始生產該產品的時間間隔，請問有多少比例的客戶訂單在下單之後1天內可開始生產？
（三）如果要滿足客戶的訂單在下單之後1天內可開始生產的比例要至少99%，製造商先嘗試加1台工作機台，訂單仍是先（下單）到先服務的方式由空閒的機台生產產品。請問在此系統，有多少比例，訂單下單後不能馬上生產而要等候空閒的機台？
（四）接續（三），請問增加1台工作機台後有多少比例客戶的訂單在下單之後1天內可開始生產？
（20 分）
參考架構・破題
到達間隔與服務時間皆為指數分配，且採先到先服務，故一台機器是M／M／1，增加一台後是M／M／2。先統一日為時間單位，求到達率、服務率與利用率，再分別套用系統時間、等候時間及Erlang C公式。
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108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
下列線性規劃模型：Maximize Z = 2 x1 + 7 x2 - 3 x3 subject to x1 + 3 x2 + 4 x3 ≤ 30 x1 + 4 x2 − x3 ≤ 10 and x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0令 x 4 and x5 為兩限制式的差額變數（slack variable）。
（一）以簡捷法（Simplex method）的表格型（in tableau form）求最佳解。（8 分）依照（一）題所得到的最佳解，進行（二）至（五）四種敏感度分析。分別各自進行下列（二）至（五）四種敏感度分析（sensitivity analysis）。依據每一題的改變情況，不要重解題目，而是依照（一）題所得到的最佳解，直接進行「敏感度分析的步驟」。檢驗經此改變（一）題所得到的最佳解是否仍是具有可行性（feasibility）及最佳解（optimality）。如果不是，求新的最佳解。⎡ b1 ⎤ ⎡ 40 ⎤
（二）不等式右邊的值改為 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ （8 分）⎣b2 ⎦ ⎣15 ⎦ ⎡ c3 ⎤ ⎡− 2⎤
（三） x3 欄的數據變更為 ⎢ a13 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ （8 分）⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ a 23 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎡ c6 ⎤ ⎡− 2⎤
（四）新增加一決策變數 x6 ，該欄的數據為 ⎢ a16 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ （8 分）⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ a 26 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦
（五）目標式的數據變更為 Z = 2 x1 + 5x2 + 2 x3 （8 分）
（40 分）
參考架構・破題
先以單形表求得原問題的最終基底，再把各項變動分成右端值、既有欄、新增欄及目標係數四類。敏感度分析的核心是保留原基底，分別檢查B逆乘b的可行性與減價成本的最適性；只有檢查失敗才續作樞紐運算。
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- 2
ABC 航空公司正考慮增購新的長程、中程與短程客機。三型飛機每架的價格分別為 67、50、35 千萬元。董事會提供 15 億元的預算，不論購買那一型，它的航程能力都能滿足需求。扣除各項支出成本，三型飛機每架的淨利潤預估分別為 4.2、3、2.3 千萬元。如果增購 30 架新機時，現有的機師仍足敷執行任務。如果只買短程客機，公司現有的維修能力可負擔 40 架的維修。而每架中程客機需要的維修量，約為短程客機的一又三分之一倍。每架長程客機需要的維修量，約為短程客機的一又三分之二倍。以上是基本的分析資訊，需進一步細部的分析。根據以上的資料，公司欲知三型客機應各買幾架？使得其獲利最高。你建立整數規劃模型。
（一）定義每一決策變數。（6 分）
（二）定義目標式與每一限制式。（15 分）
（21 分）
參考架構・破題
本題是三種機型的純整數資源配置模型。作答應先固定金額單位，再把預算、機師與維修能力逐一翻成線性限制，最後加上非負整數條件；題目只要求建模，不必擅自求解。
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- 3
ABC 公司的勞資雙方，正協商新的「勞動規約」增加時薪。勞資雙方分別提出「最終的」時薪增加值為 $11 及 $16，勞資雙方陷入僵局了。勞資雙方同意由仲裁人在 $11 及 $16 之間決定增加時薪的值，含 $11 及 $16。仲裁人要求勞資雙方各行提出一公平的且又合理的增加時薪的值，以「元」整數為計算單位。勞資雙方依據經驗，此仲裁人往往接受讓步較多的一方所提的方案。如果⑴勞資雙方均不變更其所設定的「最終的」加薪底線，或是⑵雙方讓步的值相等，此時，仲裁人則以雙方所提出的「最終的」值的中間值做為加薪後的值，即為 ( $11 + $16 ) / 2 = $13.5。請你利用「兩人賽局，零和遊戲」 （two persons, zero-sum）的賽局理論（game theory） ，建立此問題的清償矩陣（payoff matrix） ，來分析勞資雙方加薪的方案，使得各自最為有利。（24 分）【計分方式：矩陣中的每格資訊得分均等。】
（24 分）
參考架構・破題
以勞方所得的加薪額作為清償值，勞方追求極大、資方追求極小。策略不是單純報價高低，而是相對各自最終立場的讓步幅度；讓步較多者的提案被採納，讓步相同則清償值為13.5。
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- 4
下列為馬可夫鍊（ Markov chain ）各狀態（ state ）一次性轉換的矩陣（transition matrix）。
（一）這些狀態可分為那幾個分類（class）？（10 分）
（二）判定每個分類屬於中轉（transit）或重現（recurrent）？（5 分）state 0 1 2 3 4 0 ⎡1/ 4 3 / 4 0 0 0 ⎤ 1 ⎢3 / 4 1/ 4 0 0 0 ⎥⎥ P= ⎢ 2 ⎢1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢ 0 0 0 3 / 4 1/ 4 ⎥ ⎢ 0 0 1/ 4 3 / 4 ⎥⎦ 4 ⎣ 0
（15 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
使用對偶單形法求解下列問題：（20 分）極小化 Z = x1 − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4受限於− 2 x1 + x2 + 3 x3 + x4 ≤ 4 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 ≤ 12 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
（20 分）
參考架構・破題
本題指定對偶單形法，作答重點除最終解外，還要呈現一個對偶可行但原始不可行的表、離基列與進基欄的選擇，以及每次樞紐後仍維持對偶可行。可先把極小化式及限制式依同一表格慣例整理，再進行對偶樞紐。
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- 2
某臺灣手機相機模組公司在亞洲有三個工廠（P1、P2、P3） ，這三個工廠生產不同規格的相機模組以供應四個品牌商客戶（C1、C2、C3、C4）。由於各品牌商需求的款式有所差異，所以各工廠所能提供各品牌商之情形如表 1 所示，其中 P1 每月必須剛好供應 40 萬台的相機模組給 C2，P2 每月必須至少供應 30 萬台的相機模組給 C3。各工廠每個月的產能及各品牌商的需求如表中所示。由於需求大於產能，各工廠分別應供應多少台相機模組給各品牌商，才能盡可能滿足各品牌商的需求？（20 分）表 1 （單位：萬台）客戶工廠 供給C1 C2 C3 C4 P1 =40 9 9 90 P2 9 ≥ 30 75 P3 9 9 9 110需求 90 80 70 65
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
某公司目前執行一項為期六個月的專案計畫。這項專案計畫需要僱用一些兼職人員，未來六個月分別需要 7、5、4、5、6、8 位。若所僱用的人數超過需求，每多僱一位每月會增加$20,000 的成本。此外，因為每一次新聘人員時需要給予職前訓練，所以不論該月份新聘幾位，均會發生固定的$42,000 培訓成本（若該月份不聘，則不需任何培訓成本）。由於解僱可事前約定，因此解僱時並不會有任何成本。該公司於未來六個月分別應新聘幾位兼職人員，才能以最低的成本滿足人力需求？
（一）寫出此問題的動態規劃模式。 （10 分）
（二）以（一）的模式求解此問題。 （20 分）全一張（背面）
（30 分）
參考架構・破題
這是具有固定聘僱啟動成本與超額人力持有成本的有限期動態規劃。狀態記錄上月留下的人數，決策是本月訓練完成後保留的總人數；因解僱免費，可向下調整，但只要向上增加就支付一次固定培訓費。
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- 4
考慮下列某產品三個不同品牌（A、B、C）的單階（每月）轉換機率矩陣：A B C A ⎡.6 .3 .1⎤ P = B ⎢.3 .5 .2⎥ ⎢ ⎥ C ⎢⎣.1 .7 .2⎥⎦
（一）計算 P2 及 P3。（8 分）
（二）計算穩定狀態機率。 （5 分）
（三）若目前的市場佔有率分別為 0.4、0.5、0.1，則兩個月後的市場佔有率分別是多少？三個月後是多少？長期下來是多少？（9 分）
（四）若該產品的市場有 20,000 位顧客，平均每位顧客一年購買一次，品牌 A、B、C 的售價分別為$1,200、$1,100、$950，則長期下來，該產品每年的總銷售額是多少？（8 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題依序考矩陣乘法、穩態方程、初始分配的多期推移，以及把長期市場占有率轉為銷售額。全程採列向量或行向量須一致；以下以市場占有率為行向量，故第t期分配為q0乘P的t次方。
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
我們有兩個產品，夾克與外套。生產它們要用到三種原料（棉花、尼龍、羊毛） 。夾克所需之原料為棉花與尼龍，外套所需之原料為尼龍與羊毛。我們現有棉花的總量為 20 單位，尼龍的總量為 18 單位，羊毛的總量為 8 單位。每生產一批夾克需用2 單位的棉花與 1 單位的尼龍；每生產一批外套需用 2 單位的尼龍與 1 單位的羊毛。其中夾克每批的利潤為 4 百萬，外套每批的利潤為 8 百萬。令 x1 代表要生產夾克的批數；x2 代表生產外套的批數。
（一）請寫出考慮受限於原料的限制下，最大化利潤的線性規劃問題以決定兩產品最佳生產批數。（5 分）
（二）我們對最佳解有額外之考量，請就生產夾克的批數要多於外套的批數與生產外套的批數要多於夾克的批數，利用 simplex 法求解分別之最佳解。 （15 分）（註：請先用 simplex 法求解再考慮與之最佳解）
（三）在上述的最佳解下，我們會向市場購買一單位尼龍之價格不能超過多少？為什麼？（5 分）
（四）我們不打算生產而想將現在手中所有的原料在市場賣出。我們須決定最佳的售價價格。令棉花的單位價格訂為 y1，尼龍的單位價格為 y2，羊毛的單位價格為 y3。所以全部原料的總售價則為 20y1 + 18y2 + 8y3。我們的原則是將生產一批夾克所需原料賣掉的價格至少不能低於一批夾克的利潤（如此我們才願意賣原料而不生產）；將生產一批外套所需原料賣掉的價格至少不能低於一批外套的利潤。如果我們要賣原料，我們則應在滿足上述的前提下，盡量壓低我們的總售價20y1 + 18y2 + 8y3 以增加市場銷售上的競爭力。請寫出相關的線性規劃問題用以決定最佳化售價（不用求解）。（5 分）
（五）利用與參考（二）之最終表格，找出最佳之售價 yi, i = 1,2,3（不用求解）。（5 分）全一張（背面）
（35 分）
- 2
以下表 1 為某支股票最近 21 天之報酬率資料，我們想利用此資料預估某日股票股價為漲（報酬率為正）或跌（報酬率為負）的機率。令狀態 1 表示漲，0 表示跌。
（一）我們考慮以每天的漲跌為狀態之馬可夫鏈，請參考表 1，運用條件機率之定義P( X = x | Y = y ) = P( X = x , Y = y ) / ( Y = y ) ， 以 觀 察 比 例 的 方 式 估 計 轉 移 機 率（transition probability）並寫出轉移矩陣（transition matrix）。（10 分）
（二）已知今天股價為跌，請利用轉移矩陣計算明天且後天皆為跌的機率為何？（2 分）
（三）已知今天股價為跌，請利用轉移矩陣計算後天為跌的機率為何？（3 分）
（四）請問經過長時間後（系統穩定之下），未來某天股價為跌的機率為何？（5 分）表1天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10報酬率（%） +0.1 -0.2 -0.05 +0.012 -0.3 +0.018 +0.005 -0.032 -0.1 -0.2天 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21報酬率（%） +0.3 -0.2 +0.4 +0.1 -0.2 +0.2 -0.01 -0.6 +0.8 +0.5 -0.1
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
在一個 ubike（租借腳踏車）的租借站，顧客按一卜瓦松（Poisson）過程（每小時平均 μ = 30 人）到達租借站，以先到先借之順序租借 ubike。而 ubike 按一卜瓦松過程由外地歸還（每小時平均 λ = 40 台）回到租借站並以先到先被借之順序出租。顧客到達時若發現沒有 ubike 在租借站時會等待，但剛到達的顧客看到租借站裡已有 3 個顧客在等就不等了而離開。另一方面，租借站最多只可停 4 台 ubike。ubike 歸還時發現沒位置可擺置，使用人會騎走停到其他租借站。定義(m, n)為狀態（state） ，其中 m為等待之顧客數，n 為在租借站停放之 ubike 數。令 π(m,n)為穩態機率（steady-state probability）。（註：m 與 n 不會同時為正(> 0)）
（一）請畫出轉移率圖（transition rate diagram）。（5 分）
（二）解 π(m,n)。（5 分）
（三）請以 π(m,n)計算顧客到租借站要排隊等 ubike 或離開之機率。（3 分）
（四）請以 π(m,n)計算 ubike 歸還回到租借站時沒地方擺置之機率。（2 分）
（15 分）
參考架構・破題
因等待顧客與站內腳踏車不會同時為正，二維狀態其實排成一條有限生滅鏈。把淨量k＝n－m由－3排到4，向右是腳踏車歸還、率40，向左是顧客到達、率30，即可用相鄰狀態的局部平衡求全部穩態機率。
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- 4
某人現有現金 20000 元，他利用購買一高風險之基金進行投資，每月每投資一單位（10000 元）可獲利 20000 元之機率 1/5；會虧損 10000 元之機率為 4/5。投資的金額不能超過某人當時手上之現金。他想決定每月要投資多少單位（包含不投資）以使存款會在 3 個月後達到 40000 元之機率為最大。我們想用建立機率性動態規劃（probabilistic dynamic programming）決定最佳解（策略）以使該機率最大。
（一）請定義階段（stage） 、狀態（state）與行動或決策（action or decision）。（10 分）
（二）請以機率性動態規劃計算出最大機率以及求出為達成此機率之最佳解（策略）並以決策樹表示。（20 分）
（30 分）
參考架構・破題
把一萬元視為一個資金單位，三個月就是三個決策階段。每月選擇不超過現有資金的整數投資單位；投資a單位後，成功時資金增加2a，失敗時減少a。以期末資金至少四單位為成功事件，利用倒推求最大達成機率與各狀態的最適行動。
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請以對偶單行法（Dual Simplex method）求解下述之線性規劃問題：（請詳列計算步驟，使用其他方法不計分） （25 分）Zmin = x1 + 4 x2 + 3x4 Subject to： x1 + 2 x2 − x3 + x4 ≥ 3 − 2 x1 − x2 + 4 x3 + x4 ≥ 2 x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0
（25 分）
參考架構・破題
本題須以對偶單形法展示計算，因此先把大於等於限制整理成能形成初始基底的表，使目標列符合對偶可行而右端允許為負；之後以負右端列為離基列進行樞紐，直到同時取得原始可行與對偶可行。
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- 2
鮮洋物流公司擬將一批生鮮海產由其三個冷藏倉儲站運送至全省四個大賣場，三個倉儲站之供應量為（300, 700, 500）公斤，四個大賣場之需求量為（400, 300, 400, 400）公斤，三個倉儲站至四個大賣場之運送時間（單位為小時）如下表所示：大賣場 1 大賣場 2 大賣場 3 大賣場 4倉儲站 1 2 2 2 1倉儲站 2 10 8 5 4倉儲站 3 7 6 6 8為維持產品之最佳鮮度，任兩點間之運送時間以愈短愈好，故必須最小化由倉儲站至大賣場其運送時間之最大值，即如 tij 為倉儲站 i 至大賣場 j 之運送時間，則應最小化T = Max{tij}, for all(i, j)，請以最小成本法（the least cost rule）求出起始解，並以運輸單行法（Transportation Simplex）求出最佳配運計畫，請詳列求解過程與最佳解。 （25 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
請將下列非線性規劃數學模式改寫為整數線性規劃數學模式，清楚定義決策變數、目標式與相關限制式。（不須求解）（25 分）Maximize： Z = x12 + x2 x3 − x33 Subject to： − 2 x1 + 3x2 + x2 x3 ≤ 7 x1, x2 , x3 ∈ (0,1)
（25 分）
參考架構・破題
題目的x1、x2、x3應解讀為零一變數。利用零一性先將單一變數的平方與立方降次，再為乘積x2x3設一個輔助零一變數，配合三組線性限制精確表達邏輯乘積，即可得到等價整數線性模型。
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- 4
一生產系統其生產狀態（States）可區分為四種： （1，2，3，4），其中狀態（1，2，3）可歸類為正常（Up, in control） ，生產之成品為良品，狀態（4）可歸類為不正常或故障（Down, out of control），生產之成品為不良品，其馬可夫鏈機率轉移矩陣如下：1 0.8 0.1 0.1 0 2 0 0.6 0.2 0.2 P= 3 0 0 0.5 0.5 4 0.8 0 0 0.2請估計系統故障速率（即每單位時間或每期之故障次數），生產良品（系統正常）之期望時間長度，與生產不良品（系統不正常）之期望時間長度。（25 分）
（25 分）
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
茲給予下列一個標準型的線性規劃模式：Minimize z = 5x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Subject to 6x1 + 4x2 + x3 = 24 x1 + 2x2 + x4 = 6 - x1 + x2 + x5 = 1 x2 – x6 = 2 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≧ 0
（一）請將此線性規劃模式簡化成一個只含兩個決策變數且同等的線性規劃模式。（10 分）
（二）請採用圖解法（graphical method）求出最佳解，需明示作答圖形、決策變數值和目標式的值。（20 分）
（30 分）
- 2
某製造公司設有四座廠房以生產四種不同產品，下表列出各廠房所負責生產的產品組合。根據過去資料顯示這四座廠房每日的產能分別為：250、180、300 和 200 件，而這四種產品每日的需求量分別為：200、150、350 和 100 件。該公司主管希望能夠決定出各廠房的生產排程，以滿足所有產品的需求。（每小題 10 分，共 20 分）廠房 產品組合A 1、2、3 B 2、3 C 1、3、4 D 1、3、4
（一）假如生產這四種產品各一件所需的人力與物料都非常類似，請將此一生產排程問題表為一種最大流量問題（maximal flow problem），需以網路圖表示。
（二）請利用最大流量演算法求出每一廠房生產其產品組合的數量及總生產量。
（20 分）
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- 3
某超商門市每天的例行作業為：在凌晨營業之前會將某商品的庫存補足到 50 件，晚上結束營業後隨即盤點剩餘庫存。根據最近 30 天每日結束營業後的庫存時間序列資料，顯示如下：1、2、0、3、2、1、0、0、3、0、1、1、3、2、3、3、2、1、0、2、0、1、3、0、0、3、2、1、2、2。
（一）將此一每日剩餘庫存問題表為一種馬可夫鏈（Markov chain）。（10 分）
（二）請繪製此馬可夫鏈的遞移圖（transition diagram），並說明該馬可夫鏈為何是一種遍歷馬可夫鏈（ergodic Markov chain）。（5 分）
（三）請計算在超商門市內該商品發生零庫存的穩定狀態機率（π0 ）（steady-state probability）。（10 分）（背面）
（25 分）
- 4
兩家藥品公司（A 公司和 B 公司）都有銷售一種感冒藥。為了打開市場，A 公司打算採用電視（A1）和網路媒體（A2）等兩種廣告方式；B 公司打算除了採用電視（B1）和網路媒體（B2）等兩種廣告之外，還增加電台廣播（B3）和報章雜誌（B4）等廣告方式。由於每種廣告策略的效果不一，其中一家公司有可能從另一家公司取得或流失一部分的市場占有率。下列的矩陣綜合出 A 公司從兩種廣告策略中可能取得或流失的市場占有率。B1 B2 B3 B4 A1 8 -2 9 -3 A2 -2 4 -9 5
（一）請證明此兩人零和賽局問題（two-person zero-sum game）不存在一個純鞍點的解（pure saddle-point solution）。（5 分）
（二）請利用作圖法（graphical method）求出 A 公司的混合策略（mixed strategy）及賽局問題的值。（15 分）
（三）請求出 B 公司的混合策略（mixed strategy）及賽局問題的值。（5 分）
（25 分）
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
給定具有下列收益表的決策分析問題（以千元為單位）：自然狀態方案 S1 S2 S3 A1 250 170 110 A2 200 180 150事前機率 0.3 0.4 0.3那一個方案？（5 分）Savage）準則下，應該選擇那一個方案？（10 分）Bayes）決策準則下，應該選擇那一個方案？（5 分）計算完全資訊期望值（expected value of perfect information; EVPI）（10 分）
（30 分）
- 2
某便利商店提供一個三格停車位的小型停車場以便服務顧客。根據以往經驗，在營業期間內，平均每小時有四輛車進入停車場並使用該停車位，若車位已滿，開車顧客便選擇離開。假設機率 Pn 表示目前剛好有 n 個停車格被占用的機率，當 n = 0、1、2、3，則機率 Pn 分別是 P0 = 0.1、P1 = 0.2、P2 = 0.3、P3= 0.4。的容量是多少？（10 分）輛數及其計算程序。（5 分）5 分）
（15 分）
- 3
考慮單一服務員的等候系統，其中到達間隔時間服從參數為 λ 的指數分配，且服務時間服從參數為 μ 的指數分配。若該系統中顧客的期望等候時間與期望等候人數分別是 120 分鐘以及 8 位顧客。5 分）5 分）試問一位顧客到達後將會在該等候系統等候時間超過 40 分鐘的機率為何？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題是穩定的 M／M／1 等候系統；先用 Little 公式由平均人數與平均時間求到達率，再由 M／M／1 關係求服務率，最後套用逗留時間的指數尾端機率。
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- 4
考慮下列線性規劃問題：最大化 z = 2x1 + x2 - x3受限於 x1 + 2x2 + x3 8 （資源 1）-x1 + x2 - 2x3 4 （資源 2）x1 0,x2 0,x3 0試以單形法（simplex method）求解此問題，並分別列出其最佳解及其目標函數值。（10 分）試建立其對偶問題（dual problem），並根據上述 之結果列舉出對偶變數之最佳解。（10 分）若目標函數中 x2 的係數由 1 改變為 6，試利用敏感度分析（sensitivity analysis）來判斷是否會改變上述最佳解？若會造成改變，則求出改變係數後的最佳解。（10 分）
（30 分）
102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
永能電力公司計劃於一區域建設一輸配電站，以提供電力予四個供電站，其平面坐標為：(a, b)= (0, 0), (40, 0), (0, 30), (20, 50)，距離單位為公里，四個供電站預估電力需求（權重）為：(5, 1, 3, 2)萬千瓦，假設規劃之輸配電站之坐標為(x, y)，且輸配電站與供電站之距離可表示為 x − a + y − b ，工程規劃目標為最小化總輸配電成本，亦即總權重需求乘距離之和，請將上述輸配電站選址問題改寫為線性規劃模式，清楚定義決策變數，目標式，與相關限制式，答案必須符合線性規劃模式之定義，不得含非線性之表示式。（不須求解）（20 分）
（20 分）
- 2
請以網路單型法（Network simplex method）求解下述之最小成本網路流量線性規劃問題，其中 bi 表示節點 i 其供應量（+）或需求量（-），節線(i, j)上之數字表示單位運輸成本(Cij)，各節線之容量上限 kij 假設為無窮大，初始解為 x12=4, x23=1, x24=5。（20 分）b2=+2 C12=2 C24=4 1 C32=6 C23=-1 4 b1=+4 b4=-5 C13=-5 C34=3 3 b3=-1 C41=7
（20 分）
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- 3
某地方政府計劃將 100 億資金投資於三種基金，其中 S i 表示第 i 支基金投資一元之年報酬率，財務顧問提供之期望年報酬率(E)與變異度(V)，共變異度(Cov)如下：E ( S1 ) = 0.14 , V ( S1 ) = 0.2 , E ( S 2 ) = 0.11 , V ( S 2 ) = 0.08 , E ( S 3 ) = 0.1 , V ( S 3 ) = 0.18 , Cov( S1 ,S 2 ) = 0.05 , Cov( S1 ,S 3 ) = 0.02 , Cov( S 2 ,S 3 ) = 0.03 。計畫目標為最小化總投資報酬金額之變異度，並保證投資之年報酬率至少為 12%，請將上述投資問題改寫為非線性數學規劃模式，清楚定義決策變數，目標式，與相關限制式。（不須求解）（20 分）全一張（背面）類 科： 工業工程
（20 分）
- 4
下表為台明光電公司未來三週之顧客訂單與生產成本資料：週次 i 訂單量（個）di 生產整備成本($)ki 存貨持有成本($)hi 1 3 3 1 2 2 7 3 3 2 6 2本週剩餘之存貨為一個，即第一週之初始存貨為 1 個，除每次之生產整備成本外，每週生產 yi 個，i=1, 2, 3 之邊際生產成本為：⎧10 yi 0 ≤ yi ≤ 3 ci ( yi ) = ⎨ ⎩30 + 20( yi − 3) yi ≥ 4第 i 週之存貨成本係依據當週結束之存貨量計算，且規劃期間不容許缺貨。為最小化總生產與存貨相關成本，請寫出動態規劃模式，清楚定義變數（階段 stage，狀態 state），目標式（return function），列出計算過程，求解最佳之生產方案與其生產量配置。（20 分）
（20 分）
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- 5
某一修護站觀察故障機器到達之速率為每小時 10 台，其發生間隔時間接近指數分布，待修機器進廠前先進入一條等候線，假設為無限。目前考慮兩種維修工作台設計Ａ與Ｂ，Ａ型設計僅有一個維修機組，其維修速率為每小時 12 台，修復時間接近指數分布，Ｂ型設計使用兩個較小型維修機組，其維修速率為每機組每小時 6 台，修復時間亦接近指數分布。依據題意，請分別寫出修護系統中兩種不同工作台設計應使用之最適等候模式，相關假設，畫出其轉移速率圖（rate diagram），寫出平衡方程式（balance equations），計算機台使用率，如設計目標為最小化待修故障機器在系統時間，請建議最適之方案（工作台設計Ａ或Ｂ）。（20 分）
（20 分）
其他等別的「作業研究」
- 作業研究（地方特考三等）（56 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。