作業研究 申論題歷屆試題與參考架構
地方特考三等，民國 102～114 年共 12 份試卷、56 題，其中 37 題附參考答題架構。考這一科的類科：工業工程。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某公司準備推出兩種新產品（P1 與 P2），單位利潤分別為 60 及 50 元。這些產品皆必須經過 K1, K2, K3 三個生產部門的生產。生產每單位 P1必須使用 K1, K2, K3 部門的產能分別為 3, 4, 1 小時；生產每單位 P2 必須使用 K1, K2, K3 部門的產能分別為 6, 2, 1 小時；K1, K2, K3 這三個生產部門每週可使用的產能分別為 500, 320, 100 小時。公司生產出來的 P1與 P2 產品其銷售部門皆能售出。公司欲規劃可使每週總利潤最大化的產品 P1 與 P2 的生產量。（每小題 10 分，共 30 分）
（一）建構可使每週總利潤最大化的線性規劃模式。
（二）請利用單純法（simplex method）求解此線性規劃問題產品 P1 與 P2 每週的生產量及總利潤的最佳解。
（三）請詳細說明，若公司每週可再增加一個小時的產能，則應該選擇增加那一個部門的產能，才可使每週總利潤增加最多？此時每週總利潤為多少？
（30 分）
參考架構・破題
本題是典型的產品組合（product mix）線性規劃：兩個決策變數、三個資源限制、目標為利潤最大化。作答順序為建模、單純法求解、由影子價格（對偶價格）判斷擴充哪個部門。
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- 2
某公司新購 M1, M2, M3 三台機器，候選的機器安裝位置有 L1, L2, L3, L4，其中 M2 機器因某些因素無法擺放在 L3 的位置。表一為三台機器分別擺在四個候選位置的物料搬運頻率。表一候選位置L1 L2 L3 L4 M1 21 23 20 22機器 M2 30 25 - 23 M3 26 24 27 20
（一）請以匈牙利法（Hungarian method）進行這三台機器的安裝位置指派，以使總物料搬運頻率為最小。（10 分）
（二）若表一內的數值代表機器被分配在各候選位置的利潤，請以匈牙利法進行這三台機器的安裝位置指派，以使總利潤為最大。（5 分）
（15 分）
參考架構・破題
這是不平衡指派問題（3 台機器、4 個位置）且有禁止指派格，先補虛擬機器並把禁止格設為大 M，化成 4×4 方陣後才能用匈牙利法；第（二）小題是極大化，要先轉成機會損失（遺憾）矩陣。
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- 3
某新設大學欲在主要建築物間鋪設光纖網路，以使主要建築物間網路能夠通連。下圖結點為需通連光纖網路的各建築物，圖中各結點間弧上之數字為各建築物間鋪設光纖網路所需之距離。請求解應如何鋪設光纖網路方可使鋪設總距離最短？（最終答案需寫出那些結點必須相連及其總距離）。（15 分）3 6 8 2 2 5 2 4 7 5 5 1 2 9 4 6 7 10 4
（15 分）
參考架構・破題
要讓所有建築物通連且總長度最短，是最小擴展樹（Minimum Spanning Tree）問題；8 個結點需 7 條邊，用 Kruskal 或 Prim 演算法逐步選邊即可。
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- 4
某公司考慮 A, B, C, D 四個擴張方案，這四個方案預期的每年收益主要取決於未來的產業景氣。若產業景氣分成衰退、持平、復甦三種，產業景氣現在完全無法預估。表二為 A, B, C, D 四個方案在各種產業景氣的預期年收益（單位：億元） 。請詳細回答下列問題： （每小題 5 分，共 20 分）
（一）以 Laplace 準則求算最佳方案及其預期年收益。
（二）以小中取大（maximin）準則求算最佳方案及其預期年收益。
（三）以 Hurwicz 準則（樂觀指數 α = 0.4）求算最佳方案及其預期年收益。
（四）請求算 A, B, C, D 四個方案分別適用於樂觀指數各為多少的範圍？表二產業景氣衰退 持平 復甦A 120 70 -40 B 80 90 5方案C 90 100 -10 D 60 55 50
（20 分）
參考架構・破題
這是不確定情況下（完全不知各景氣機率）的決策，分別套用 Laplace、Maximin、Hurwicz 準則，最後把 Hurwicz 值寫成樂觀指數 α 的函數，比較直線交點找出各方案的適用區間。
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- 5
有一小鎮某消費性產品有 A, B, C 三種競爭品牌，經分析消費者若本次購買 A 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.6, 0.3, 0.1；若本次購買 B 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.3, 0.5, 0.2；若本次購買 C 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.1, 0.2, 0.7。請詳細回答下列問題：
（一）寫出此問題的一階移轉機率矩陣（transition matrix）。（5 分）
（二）計算穩定狀態機率。（5 分）
（三）若此消費性產品的市場有 10,000 名消費者，每位消費者平均一年購買一次，A, B, C 品牌的單位售價分別為$600, $900, $1,200。請計算長期下來該消費性產品每年的總銷售額為多少？（10 分）
（20 分）
113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
以大 M 法（Big-M Method）求解以下線性規劃問題。 （25 分）Maximize Z x1 2 x2 Subject to x1 x2 7 4x1 x2 4 x1 , x2 0
（25 分）
- 2
考慮下表中之運輸問題。到由 供應量D E F A $4 $6 $9 10 B $6 $7 $6 5 C $5 $4 $10 10需求量 12 4 14
（一）應用西北角法（Northwest Corner Method）找出一個初始可行基解（Initial Basic Feasible Solution）。（10 分）
（二）由小題（一）所得之初始可行基解開始，應用運輸單形法（Transportation Simplex Method）求出最佳解。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
先檢查供需是否平衡：供給 25、需求 30，須加入供給 5 的虛擬供給點（運費 0），再以西北角法求初始解、以 MODI（u-v 法）做運輸單形法迭代。
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- 3
以網路單形法（Network Simplex Method）求解下圖中之最小成本流量問題（Minimum Cost Flow Problem）。圖中淨流量顯示於節點旁，單位流量成本則顯示於節線旁。（A, D）與（B, D）之流量上限分別為 20 與 15。（25 分）[30] [0] A C 8 [-50] 1 E B D [20] [0]
（25 分）
參考架構・破題
這是有容量上限的最小成本流量問題：A、B 供給 30、20，E 需求 50，C、D 為轉運點；用網路單形法（擴展樹基解＋上限處理）求解並以節點勢能檢驗最佳性。
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- 4
考慮以下之天氣模型。某城市明天的天氣，取決於今天與昨天的天氣。如果今天與昨天都下雨，則明天下雨的機率是 0.7。如果今天下雨而昨天沒下雨，則明天下雨的機率是 0.6。如果今天沒下雨而昨天下雨，則明天下雨的機率是 0.4。如果今天與昨天都沒下雨，則明天下雨的機率是 0.3。長期下來，該城市是雨天的時間比例為何？（25 分）
（25 分）
112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
產品 A-321 未來四週之訂單需求為 300, 700, 900, 800 個，必須完全滿足，工廠產能為每週 700 個，因法規工時上限，僅可於第二、三週加班，加班之產能為每週 200 個。單個生產成本在前兩週為 100 元，後兩週為150 元，如加班，則單個生產成本會增加 50 元，當週生產過剩之產品可用於滿足未來需求，其每一週之單個儲存成本為 30 元。為決定最佳之每週生產方案，以最小化總相關成本，請建立數學規劃模式，清楚定義決策變數與相關參數、目標式及相關完整限制式。（不須求解） 。（25 分）
（25 分）
- 2
在下述之線性規劃模式：（25 分）Maximize Z = 3x1 + 4x2 + 8x3 subject to： 2x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 9 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 5 x1, x2, x3 ≥ 0.以單型法（Simplex method）求解之最終結果如下所示：（x4, x5 為鬆弛變數 slack variables）Coefficient of：Basic Variable Eq. Z x1 x2 x3 x4 x5 Right Side Z (0) 1 0 1 0 1 1 14 x1 (1) 0 1 -1 0 3 -5 2 x3 (2) 0 0 1 1 -1 2 1針對下述四個參數： , , , ，在維持上表乃為最佳解情況下，試分析計算其可容許範圍（即當其值超過何範圍時，變成非最佳解或非可行解），請列出詳細分析過程，缺乏過程不予計分。
（25 分）
參考架構・破題
這是單形法最終表的敏感度分析：b2 屬右端值（影響可行性），c2、a22 屬非基變數 x2（影響其縮減成本），c3 屬基變數（影響所有非基變數的縮減成本），四種參數各用不同方法。
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- 3
請以動態規劃法求解下述之非線性規劃模式：（25 分）Maximize Z = 2 + subject to + ≤4 and , ≥0請列出詳細求解過程與最佳解，缺乏求解過程不予計分。
（25 分）
- 4
針對最基本的 M/M/1 等候模式，假設 為顧客進入系統速率， 為顧客服務速率，請分析估計在一個顧客接受服務期間：期望顧客進入系統人數，與無顧客進入系統之機率。請清楚定義變數與描述分析過程，僅以直覺論述回答不予計分。（25 分）
（25 分）
111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
旅行推銷員問題（travelling salesman problem）可以用下列整數規劃模式表現之。其中符號定義如下：為雙元整數變數，若節線（i, j）有納入路線中，則 = 1，否則 = 0。為節線（i, j）之長度。為所有節點所成的集合。為 中之若干節點所成的集合，| |為集合 之元素個數。以下為一個表現旅行推銷員問題之整數規劃模式：Minimize ∑ ∈ ∑ ∈ ⑴ Subject to ∑∈ = 1, ∈ ⑵ ∑∈ = 1, ∈ ⑶ ∑∈ ∑∈ ≤ | | − 1, ∀ ⊂ , ≠ , ≠ ⑷ {0,1} ∀ , ∈
（一）試分別說明式⑴、⑵、⑶、⑷之意義。（10 分）
（二）若自模式中刪去式⑷而其餘不變，對求解難易程度有何影響？具體說明關鍵原因。（5 分）
（三）有無自模式中刪去式⑷，對於求解得到之最佳解有何影響？具體說明其影響以及原因。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
這是有向旅行推銷員問題的指派型整數規劃（Dantzig–Fulkerson–Johnson 型式）：式（2）（3）是指派限制，式（4）是消除子迴圈限制；刪去式（4）就退化成指派問題。
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- 2
考慮下列線性規劃問題（linear programming problem）：Minimize Subject to − +4 ≤4 + ≤6 ≥ 0, ≥ 0
（一）試寫出此問題單形法（simplex method）的表格型式（tableau form）。（5 分）
（二）試以表格型式進行演算，使得 x 與 y 二個決策變數均成為基底變數（basic variable）。請完整寫出以表格型式之演算過程，不必求解最佳解。 （20 分）
（25 分）
- 3
某工廠欲尋求建置管線以購買原料液的最低總成本方案。所需要之總量已知為 立方公尺。可能的原料來源有 3 處，編號 1 至 3。與成本相關的因素如下（以下所有說明中， ∈ {1,2,3}）：建置連接來源 之管線時，建置成本已知為 。每一原料來源均設定有一個已知的購買基本量 。實際購買量少於或等於基本量時，每立方公尺原料液之成本已知為 ；實際購買量大於基本量時，超過的部分每立方公尺原料液之成本已知為 。若決定不向其中某些原料來源購買，則不必負擔相對應的管線建置成本。總成本為購買原料與建置管線之成本的總和。試構建線性數學模式以描述上述問題。請注意：必須明確說明所有決策變數的定義。必須明確說明目標函數以及限制式之意義。模式可使用整數決策變數。模式必須為線性。以上 、 、 、 、 等均為已知值。這些值除了均為正值之外，構建模式時均不作其他假設。若認為題目條件不足，可自行作合理假設，但必須明確說明條件，並說明該條件之必要性。（25 分）
（25 分）
- 4
請回答下列有關最小擴充樹問題（minimum spanning tree problem）：
（一）請說明最小擴充樹問題之定義。（5 分）
（二）試說明任一種最小擴充樹問題之求解演算法。請明確列出其步驟。 （10 分）
（三）試求解下圖網路之最小擴充樹，請寫出完整的演算步驟。圖中共有 5個節點（node），編號 1 至 5。各節線（arc）一側之數字即為節線之長度，例如節線（1,2）之長度為 3。 （10 分）
（25 分）
110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮以下線性規劃問題。Maximize Z x1 x2 2 x3 Subject to x1 x2 x3 2 （資源1）2x1 x2 x3 1 （資源 2）x1 x2 3x3 6 （資源 3）x1 , x2 , x3 0已知此問題之最佳解的基變數（Basic Variable）為 x2、x3 及第三條限制式的差額變數（Slack Variable）。
（一）建構最佳解之基底矩陣 B。（5 分）
（二）以高斯-喬登法（Gauss-Jordan Method）求出 B-1。（5 分）
（三）利用小題（二）所得之 B-1 求出最佳解及其目標函數值。 （10 分）
（四）利用小題（二）所得之 B-1 求出各種資源之陰影價格。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
已知最佳基底（x2、x3、s3），用修正單形法的矩陣表示：寫出基底矩陣 B，以高斯-喬登法求 B⁻¹，再用 x_B＝B⁻¹b 求解、y＝c_B B⁻¹ 求陰影價格。
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- 2
某公司正在進行某產品之促銷活動，其經費足夠購買三個不同地區電視台的六個廣告時段。為了提高產品知名度，每個地區至少需購買一個廣告時段。根據行銷調查資料，各地區所能增加的銷售量與在當地的電視廣告次數有關，其估計值如下表所示：地區廣告次數1 2 3 1 21 12 18 2 30 24 27 3 42 33 39 4 51 42 45應用動態規劃決定如何分配六個廣告給三個地區，以極大化增加銷售量的估計值。（25 分）
（25 分）
- 3
考慮下表中之運輸問題。到由 供應量倉庫1 倉庫2 倉庫3工廠1 $50 $90 $100 240工廠2 $110 $60 $80 190工廠3 $120 $130 $70 170需求量 210 100 190
（一）應用 Vogel 近似法（Vogel’s Approximation Method）找出一個初始可行基解（Initial Basic Feasible Solution）。（5 分）
（二）由前（一）小題所得之初始可行基解開始，應用運輸單形法（Transportation Simplex Method）求出最佳解。（10 分）
（三）假設需求量有所變化，目前之需求量如下表所示。建構參數表（Parameter Table）以將此問題轉換成運輸問題。（10 分）倉庫1 倉庫2 倉庫3最小需求量 210 100 190最大需求量 280 130 ∞
（25 分）
參考架構・破題
總供給 240＋190＋170＝600，總需求 210＋100＋190＝500，是供過於求的不平衡運輸問題，第一步要先加一個虛擬倉庫 D（需求 100、運費 0）把表格平衡，再做 VAM、MODI 檢驗與參數表建構。這是本題最常見的失分點。
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- 4
某計程車公司的業務範圍包括臺北市、新北市及基隆市。在基隆市上車的乘客，有 60%在基隆市下車、30%在臺北市下車、10%在新北市下車。在臺北市上車的乘客，有 20%在基隆市下車、50%在臺北市下車、30%在新北市下車。在新北市上車的乘客，有 10%在基隆市下車、40%在臺北市下車、50%在新北市下車。為方便起見，假設計程車司機每次只接送一位乘客。
（一）如果某計程車司機在臺北市開始工作，他在第三位乘客下車時位於新北市的機率為何？（10 分）
（二）該司機發現在基隆市上車乘客的平均車資是 230 元，在臺北市上車乘客的平均車資是 100 元，在新北市上車的平均車資是 200 元，若該司機每天平均服務 23 位乘客，每月工作 30 天，則該司機每月的期望收入為何？（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是以上車城市為狀態的馬可夫鏈：第（一）小題求多步轉移機率，第（二）小題以穩定狀態機率乘上各城市平均車資，得到每位乘客的長期期望車資，再換算每月收入。
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108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某銀行有三個分行，其座標分別為(4, 3)、(0, -3)及(-2, 1)。該銀行準備尋找適當的地點設立第四個分行，請將此問題改寫為線性規劃模式，清楚定義決策變數、目標式、與相關限制式（不須求解） ，以使得此分行到其他三個分行的曼哈頓距離（Manhattan distance）距離之和最小。 （提示：假設第四個 分 行 之 座 標 為 (x, y) ， 則 其 與 位 於 (4, 3) 之 分 行 間 的 曼 哈 頓 距 離 是x − 4 + y − 3 。）（25 分）
（25 分）
- 2
某公司正在安排職員的輪值班表。該公司每天的營業時間是上午 6 點到晚上 10 點，且已知每天各時段所需之職員數量如下表所示：時段 職員需求數量上午 6 點至上午 10 點 8上午 10 點至下午 2 點 16下午 2 點至下午 6 點 20下午 6 點至晚上 10 點 12該公司可聘請全職和兼職兩種職員。全職職員每天需輪值以下三個時段之一：上午 6 點到下午 2 點、上午 10 點到下午 6 點、下午 2 點到晚上10 點，其時薪為 200 元。兼職職員則輪值上表中之任一時段，其時薪為150 元。此外，每個時段輪值的全職職員數量不得少於兼職職員數量。建構一個線性規劃模型，以找出成本最小之可行職員輪值班表。 （25 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
某出版商準備派出四位銷售員到三個學區推銷新課本，每個學區必須至少有一位銷售員，且每位銷售員只能在一個學區推銷新課本。根據估計，指派不同數量的銷售員到各個學區時的新課本銷售數量如下表所示：學區銷售員數量1 2 3 1 400 240 300 2 540 470 450 3 780 630 700 4 990 780 850該出版商想知道如何指派其銷售員到各個學區以極大化新課本之總銷售數量。使用動態規劃求解此問題。 （25 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
林先生所住社區附近有三個垃圾清運點，他固定每週在週一晚上隨機到其中一個清運點丟垃圾，其到這三個垃圾清運點丟垃圾的轉換機率如下表所示：第n+1週第n週垃圾清運點一 垃圾清運點二 垃圾清運點三垃圾清運點一 0.3 0.5 0.2垃圾清運點二 0.2 0.6 0.2垃圾清運點三 0.3 0.1 0.6如果林先生本週一晚上到垃圾清運點二丟垃圾，則其在未來第四個週一晚上到垃圾清運點二丟垃圾的機率為何？（25 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某工廠未來四個月所需之技術工人工作時數如下：第一月 第二月 第三月 第四月3,000 3,500 5,000 4,500該工廠目前已聘用 30 位技術工人，每位月薪為 10,000 元，且其每月至多可工作 160 小時。每個月底有 10%的技術工人離職，而新聘的技術工人也在此時開始上班。每位新聘的工人需要接受一個月的在職訓練，其在受訓期間的月薪只有 5,000 元，並且需要接受在職訓練 40 小時的輔導。建構一個線性規劃模型，以在成本最小的情況下滿足該工廠未來四個月對於技術工人之工作時數的需求。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題為多期人力規劃（workforce planning）問題，關鍵在建立「人數存量平衡式」與「可用工時滿足需求式」，並正確處理離職率與新進人員受訓佔用老手工時。
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- 2
考慮以下線性規劃問題：極大化 Z = 3 x1 + 4 x2 + 2 x3受限於− x1 + x2 + x3 = 4 − x1 + x2 − x3 ≤ 6 x1 ≤ 0, x2 ≥ 0
（一）建構並求解此問題之對偶問題。 （10 分）
（二）利用互補差額定理（complementary slackness theorem）求解原問題。（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
原問題含等式限制、≤ 限制、非正變數 x1 及未設限的 x3（視為自由變數），先依對偶轉換規則正確寫出對偶問題並求解，再以互補差額定理反推原問題最佳解。
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- 3
某公司將購買 5 個電視廣告時段來促銷 3 種新產品，每種產品可以使用0 到 3 個電視廣告時段。根據估計，不同數量的電視廣告時段對各種產品銷售量之影響如下表所示：電視廣 利潤（百萬元）告時段 產品數量 1 2 3 1 2 2 1 2 3 2 3 3 3 4 4建構一個整數規劃模型，幫助該公司將 5 個電視廣告時段分配給 3 種新產品，以得到最大總利潤。（20 分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
某市空氣品質變化的轉換機率如下表所示：第 n+1 日第 n 日 良 普通 差良 0.3 0.5 0.2普通 0.4 0.5 0.1差 0.2 0.6 0.2長期下來，該市空氣品質為「良」的天數所占比例為何？（20 分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 5
考慮以下之最大流量問題，其中源點（source）為節點 A，匯流（sink）為節點 F，各有向弧旁之數字為該弧之容量（capacity）。B D 9 2 A F 7 5 C E
（一）將此問題轉換成最小成本流量問題。（10 分）
（二）以網路單形法（network simplex method）求解小題（一）所得之最小成本流量問題。（10 分）
（20 分）
106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮下列線性規劃模式極大化 Z 3x1 2 x2 3x3受限於3x1 2 x2 24 x1 x2 x3 8 2 x1 x3 10 x1 , x2 , x3 0假設此問題是一個資源分配問題，其中限制式 1、2、3 分別代表資源 1、2、3 的限制。此問題的最佳單形表如下表所示，其中 x4，x5，x6 分別代表限制式 1、2、3 的寬鬆變數（slack variable）。BV Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS Z 1 0 1 0 0 3 0 24 x4 0 3 2 0 1 0 0 24 x3 0 1 1 1 0 1 0 8 x6 0 1 -1 0 0 -1 1 2 10 分）直接由最佳單形表中讀出對偶問題的最佳解（包括剩餘變數 surplus variable）。（8 分）1 與 2 的影子價格（shadow price）分別是多少？他們的意義為何？（6 分）2、3 的寬鬆變數值為何？他們的意義為何？（6 分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
由於線上購物的發達，某物流配送中心的經理希望在有足夠工人處理包裹的基礎上，將人力成本最小化。根據其估計，由於每天包裹量不一而足，週一到週日所需的人力分別是 18、15、20、18、22、20、21 人。受限於法令，每個工人都需要連續工作五天，且其週薪為 10,000 元，但若在週六或週日工作，則各加 1,000 元。請建立一線性規劃模型來幫助該經理，無須求解。（15 分）
（15 分）
- 3
某公司為生產三種產品 A、B、C 須分別租用不同機器生產，其租金分別為 1.5 萬元/月、2 萬元/月、1.2 萬元/月，各產品皆須使用原料 I 及原料 II，其每件之原料需求及單位利潤如下：原料 I/件 原料 II/件 利潤/件產品 A 6g 5g $200產品 B 10g 20g $250產品 C 3g 5g $150該公司每月有 3,600g 原料 I 及 4,000g 原料 II 可供使用。請建立一個數學規劃模型（無須求解）將該公司利潤最大化。（15 分）全一張（背面）等 別：三等考試
（15 分）
參考架構・破題
本題含「只要生產就必須付月租金」的固定成本，屬固定費用問題（fixed-charge problem），需引入 0-1 變數與大 M 連結限制，建立混合整數規劃。
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- 4
某經銷商正考慮是否代理某一商品，該經銷商預估若暢銷，則可賺進$1,200 萬；若滯銷，則會賠$800 萬。經銷商自己預估 60%的機率會暢銷，40%的機率會滯銷。為了謹慎起見，經銷商現在考慮是否應聘請一位相當權威的大學教授協助評估代理與否。根據私下調查發現，過去這位大學教授若評估會暢銷，則會實現的機率是 80%；若評估會滯銷，則會實現的機率是 90%。現在這位大學教授要求$200 萬的評估費用。15 分）EVPI 及 EVSI 分別是多少？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題考決策分析中的資訊價值：EVPI 為完全資訊的期望價值上限，EVSI 為教授（樣本資訊）的期望價值，比較 EVSI 與評估費 200 萬即可判斷是否聘請。
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- 5
因應所謂的新零售線上線下整合，某零售商進行開店促銷，由於價格優惠，平均每小時迎來 320 位顧客，並呈 Poisson 分配，每位顧客於排隊結帳前，在店裡選購商品的時間呈指數分配，平均花費 30 分鐘。（每小題 5 分，共 15 分）（列出算式及答案）（列出算式及答案）200 位顧客的機率是多少？（列出公式即可，不必計算數值。）
（15 分）
105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
張家餐館全天營業。餐館服務人員須分別於早上三點、七點、十一點及下午三點、七點、十一點至餐館報到，每一服務人員皆工作八小時（即兩個四小時時段）。下表顯示每一個四小時時段最少須有的服務人員。請提出一個整數計劃模式幫助張家餐館雇用最少的服務人員以滿足營運所需。（15 分）時段 時間 營運所需的最少服務人員1 3 A.M. – 7 A.M. 3 2 7 A.M. – 11 A.M. 12 3 11 A.M. – 3 P.M. 16 4 3 P.M. – 7 P.M. 9 5 7 P.M. – 11 P.M. 11 6 11 P.M. – 3 A.M. 4
（15 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
下表顯示某單一期間商品的需求量及對應的機率。假設此商品每單位成本為$0.5 及售價為$0.65。期末未售完的商品無任何殘值。請問此商品每一期開始應準備多少份以獲取最大利潤？（10 分）需求量 機率15 0.10 16 0.15 17 0.25 18 0.20 19 0.15 20 0.10 21 0.05
（10 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
一位市長候選人欲分配四萬元於兩種競選廣告：電視與收音機。每一單位電視廣告花費五百元但可觸及七千位觀眾；每一單位收音機廣告花費二百元但可觸及三千位聽眾。這位市長候選人計畫這兩種廣告皆至少購買十個單位，且收音機廣告所購買單位不可小於電視廣告所購買單位。試擬定並求解一個線性計劃模式，幫助這位市長候選人如何分配四萬元預算於電視與收音機廣告上，以觸及最多的觀眾或聽眾。（15 分）全一張（背面）等 別：三等考試
（15 分）
- 4
針對如下的運輸問題（即供給點 1、2、3 的可供給量依序為 200、150、300，需求點1、2、3 的需求量依序為 150、250、250；另從供給點 1 至需求點 1、2、3 的單位運輸成本依序為$3、$10、$6，從供給點 2 至需求點 1、2、3 的單位運輸成本依序為$9、$5、$8，從供給點 3 至需求點 1、2、3 的單位運輸成本依序為$8、$7、$4 等）供給點\需求點 1 2 3 供給量1 $3 $10 $6 200 2 $9 $5 $8 150 3 $8 $7 $4 300需求量 150 250 250
（一）使用西北角法找到起始解，並計算此起始解的成本。 （5 分）
（二）使用階石角法（stepping-stone method）或其他方法找到最佳解，並計算此最佳解的成本。（10 分）
（15 分）
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- 5
張三正在思考生產一款嶄新的刮鬍刀。假使此刮鬍刀的市場強勁，張三可獲利$100,000，但假使此刮鬍刀的市場脆弱，張三將損失$60,000。張三估計市場強勁與脆弱的機率各為 0.5。張三另考慮在決定是否要生產此款刮鬍刀前，先付費$20,000請某行銷研究公司幫他測試此刮鬍刀的市場。根據以往資料顯示，假使市場強勁，測試能預測出此有利結果的機率為 0.8；假使市場脆弱，測試能預測出此不利結果的機率為 0.9。試繪出一個決策樹以幫助張三作最佳的決策。 （20 分）
（20 分）
- 6
試求得如下馬可夫鏈轉移機率矩陣（transition probability matrix）的極限機率（limiting probabilities）。（10 分）狀態 1 狀態 2 狀態 3狀態 1 0.6 0.3 0.1 P= 狀態 2 0.4 0.3 0.3狀態 3 0.2 0.3 0.5
（10 分）
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- 7
某百貨公司有兩個目錄訂購服務櫃台，任一櫃台平均每 12 分鐘皆有一位顧客到達，任一櫃台平均每一小時可服務 8 位顧客。假設顧客到達呈現卜瓦松（Poisson）分配，櫃台服務顧客時間呈現指數（exponential）分配。試問：（每小題 3 分，共 15 分）
（一）任一櫃台平均有多少位顧客等待服務（Lq）？
（二）任一櫃台平均有多少位顧客（L）？
（三）兩個櫃台皆沒有顧客的機率？
（四）任一顧客停留在櫃台的平均時間（W）？
（五）兩個櫃台皆忙碌的機率？
（15 分）
參考架構・破題
題目說「任一櫃台」各自有顧客到達與服務，應將每個櫃台視為獨立的 M/M/1 系統（λ=5 人/時，μ=8 人/時），再以獨立性處理「兩櫃台皆空／皆忙」的機率。
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
以圖解法並利用對偶性質求解下列問題： （25 分）Min Z = 3x1 +7x2 +2x3 +4x4 S.t. 4x1 +2x2 +2x3 +6x4 ≥ 5 x1 +3x2 -2x3 -x4 ≤ -2 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
（25 分）
- 2
某物流公司在未來四個月需要租借倉庫堆放貨物，已知未來四個月所需之坪數如下：月份 1 2 3 4所需坪數 500 420 600 520倉庫租賃費用，因租用時間越長，享受的折扣越大。具體訊息如下：租用期限 1 個月 2 個月 3 個月 4 個月每坪每月租金($) 650 600 550 500租約合同於每月初辦理，每份合同均具體明列租用面積及期限。該公司可根據需要，在任何一個月月初辦理租約合同，且每次辦理，可簽一份或若干份租用面積及期限不同的合約。請依此為該物流公司建立一個租金最小方案的線性規劃模型，無需解出。（20 分）
（20 分）
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- 3
某公司有三個代工廠以及四個配銷中心，各代工廠每個月的產能、各配銷中心每個月的需求、以及代工廠與配銷中心之間的距離（單位：公里） 、營運費用（含固定成本及變動成本）如下表所示。每公里的單位運輸成本為$200。各代工廠應分別運送多少數量至各配銷中心，才能使得總成本（包括代工廠營運成本及運輸成本）最低？請建立數學規劃模型，無需解出。（20 分）配銷中心代工廠 W1 W2 W3 W4 供給產能 固定成本 單位變動成本P1 80 120 70 50 150 160000 50 P2 90 150 240 35 120 150000 40 P3 310 85 125 210 100 200000 35需求 30 40 25 35全一張（背面）等 別：三等考試
（20 分）
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- 4
臺灣某地將開設一遊樂場，共有 8 個遊樂設施，其相連道路圖如下所示，其中 v1，v2，…，v8 表示 8 個設施點，圖中的邊線為道路，邊上的數字為長度，單位百公尺。因考慮參觀人的方便性，園方擬將部分道路改成電動步道連接所有設施，並使總電動步道長度最短，請代為設計之。 （20 分）v2 5 v6 4 3 v1 2 v7 v3 2 v5 5 2 6 v8 v4
（20 分）
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- 5
A 公司為慶祝春節，打算在臺北、臺中及高雄三地選擇一處辦促銷會。其獲利情況除與所選擇地點有關外，天氣狀況亦是影響因素。如果天氣分為晴天、陰天及雨天三種（分別以 S1、S2、S3 表示）。通過天氣預報，估計三種天氣情況發生的機率分別為 0.25、0.50、0.25。其收益情況如下表，單位為百萬。機率 自然狀態S1 S2 S3收益 0.25 0.50 0.25臺北 4 6 1臺中 5 4 1.5高雄 6 2 1.2
（一）請用期望值法決定其地點。 （8 分）
（二） A 公司想找一坊間氣象公司利用大數據分析進行精確預測，則 A 公司付出的顧問費最多為多少？（7 分）
（15 分）
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
有兩個產品，其中產品 1 的單位利潤（$）c1 = 4，產品 2 的單位利潤（$）c2 = 2。生產它們要消耗三種資源（資源 1、資源 2、資源 3）。產品 1 只消耗資源 1 與資源 2，產品 2只消耗資源 2 與資源 3。資源 1 的總量 b1 = 20，資源 2 的總量 b2 = 17，資源 3 的總量b3 = 8。每生產 1 個產品 1 需消耗 2 單位的資源 1 與 1 單位的資源 2，每生產 1 個產品 2 需消耗 2 單位的資源 2 與 1 單位的資源 3。在受限於資源的限制下，現在要決定兩個產品的生產量而使利潤最大。令產品 1 的生產量為 x1，產品 2 的生產量為 x2。（每小題 5 分，共 30 分）請寫出在考慮資源的限制下，最大化利潤的線性規劃問題以決定最佳生產量。請使用 simplex method 找到最佳解。c1、c2 個別的允許範圍（allowable range）為多少？（註：允許範圍是該參數的範圍但仍保持原來最佳解中的基變數(basic variable)的基底(basis)）假設在最佳解的情況下，產品 2 的單位利潤變成 7，你是否會考慮增加產品 2 的產量？為什麼？每一個資源的 shadow prices 為多少？假設在最佳解的情況下，市場有人要賣 1 單位資源 1 並開價$2，你是否會購買這1 單位資源 1？為什麼？
（30 分）
參考架構・破題
本題是標準的兩變數線性規劃，考建模、單形法求解與敏感度分析（目標係數允許範圍、影子價格）的經濟意義，六小題環環相扣，前面算錯會一路錯，務必先把模型與最佳解算對。
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- 2
廠區用電動車製造商預測明年第一季 1 月、2 月與 3 月的需求分別為 10、10 以及20 輛車。生產成本因月而不同：1 月每一輛 80 萬，2 月每一輛 75 萬，3 月每一輛85 萬。但每月的產能有上限：1 月最多可生產 15 輛，2 月最多可生產 12 輛，3 月最多可生產 25 輛。每輛完成車在 1 月結束時沒交貨要多付 2 萬的庫存成本（如維護費，資金的利息等），該庫存會流至 2 月；每輛完成車在 2 月結束時沒交貨要多付 1.5 萬的庫存成本，該庫存會流至 3 月。該製造商要決定明年第一季 1 月、2 月與 3 月每月的生產量以最小化成本。請將此問題寫成最低成本流量問題（minimal cost flow problem）（註：有 4 個節點(node)，節點 i = 0、1、2、3。節點 i 表示 i 月，i = 1、2、3，節點 0 為一個虛設節點其供給量(supply)為 40。其中 xoi 為節點 0 到節點 i 的流量，在此表示第 i月的生產量，xi, i+1 為 i 月庫存(會流至 i+1 月)，i = 1、2。）（10 分）給定最初解為 1 月生產 10 輛，2 月生產 10 輛，3 月生產 20 輛，請利用網路單體法（network simplex method）求解最佳解。（20 分）（背面）等 別： 三等考試
（30 分）
參考架構・破題
本題把多期生產排程轉成最低成本流量問題：生產弧代表各月產量、庫存弧代表跨月存貨，再以容量上界的網路單體法改善初始解。重點在網路圖、節點流量平衡與對偶變數（節點勢能）的計算。
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- 3
考慮線性規劃問題：Max Z = x1 + x2 + 2x3 st. x1 + x2 + 2x3 12 2x1 + x2 20 x1,x2,x3 0請寫出它的對偶問題（dual problem）。（5 分）已知該問題的最佳解中基變數（basic variable）為 x1、x3。請利用對偶理論寫出對偶問題的最佳解。（5 分）
（10 分）
- 4
工廠有五台機器同時運作，運作到需要保養停機的時間服從指數分布（exponential distribution）而平均為 1 個月。有位師傅負責保養機器，保養一台的時間服從指數分布（exponential distribution）而平均為 1/5 個月。保養後的機器立刻恢復正常運作。師傅負責保養機器以先到先服務的方式保養。機器間的運作時間是相互獨立，師傅保養機器的時間也相互獨立且與機器運作時間獨立。請利用連續時間馬可夫鏈（continuous time Markov chain）分析這些機器運作的情形。定義狀態（state）為等候保養以及正在保養的機器數。畫出轉移率（transition rate）圖以及寫出轉移率矩陣。（10 分）求出極限（穩態）機率。（5 分）（utilization）為何？（5 分）？（5 分）假設每台機器運作時每月可產生 30 萬的收益，該工廠每月的平均收益是多少？假設每台機器花了 500 萬元購入且五台同時購入，平均需要經過多少個月該工廠才會平衡買那五台機器的開銷？（5 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題是有限來源的機器修理模型（M/M/1//5），以生死過程的連續時間馬可夫鏈分析：狀態 n 為故障（等候與保養中）機器數，關鍵是到達率隨 n 遞減 λn = (5 − n)λ。
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102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
每天某警局的工作人員必須輪值工作兩個 6 小時的勤務，這兩個 6 小時的勤務可以由四個時段中選擇：時段一（下午 10 點到早上 4 點），時段二（早上 4 點到早上 10點），時段三（早上 10 點到下午 4 點）與時段四（下午 4 點到下午 10 點）。而在這四個時段中工作人員的需求人數為時段一 15 人，時段二 5 人，時段三 12 人，時段四 6 人。如果工作人員兩時段是連續的，每小時付薪資$120 元，如果兩時段是不連續的，每小時付薪資$180 元。請為該警局建立一個線性規劃模型，使得該警局能在滿足人員需求的前提下，使整天的薪資成本最低。（只需要建構模式不需要求解）（20 分）
（20 分）
- 2
考慮下面一個線性規劃問題：Max z = 4 x1 + x2 s.t. 3x1 + 2 x2 ≤ 6 6 x1 + 3 x2 ≤ 10 x1, x2 ≥ 0假設在解此問題中發覺最佳解表中的第 0 行（row 0）為 z + 2 x2 + s2 = 20 3 。其中 s 2為第二條限制式的鬆弛變數（slack variable），請用對偶理論（dual theory）驗證這個第 0 行式子是錯誤的。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題考最終單形表第 0 列與對偶解的對應關係：鬆弛變數的係數就是對偶變數 yi，決策變數的係數是 (A^T y)j − cj，右端值等於 b^T y。只要寫出對偶問題並檢查這三件事，就能證明題目給的第 0 列不可能是最佳表。
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- 3
買一台影印機需要$4,000，假設最多願意持有這影印機五年，估計這台影印機每年的維修費用如下：壽命為第一年時$2,000，壽命為第二年時$3,000，壽命為第三年時$4,000，壽命為第四年時$6,000，壽命為第五年時$7,000。假設現在剛買一台影印機，請問在未來六年如何決策，才會使得這六年的總採購與維修成本降到最低，假設六 年後該影印機無殘值。請用最短路徑方式求出最佳決策。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是經典設備汰換問題，將「第 i 年初買機、第 j 年初換新」視為一條弧，弧成本為購置費加持有期間的累計維修費，轉成無環網路的最短路徑問題，再以動態規劃或 Dijkstra 求解。
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- 4
有一家電腦公司以每十個為一個批量來生產記憶體，根據過去的經驗，該公司知道所有批量產出 10%不良品的機率為 0.80，產出 50%不良品的機率為 0.20。如果產出10%不良品的批量（視為好的批量），送到下一個製程將會產生$1,000 的處理成本；如果產出 50%不良品的批量（視為不好的批量），送到下一個製程將會產生$4,000的處理成本。該公司也有另外一種方案可以重做這個批量，但是要額外花費$1,000成本，然而重做後的批量將一定會是好的批量。此外，公司也可用$100 的代價由一批中抽出一顆記憶體來測試並決定該批為好或不好的批量。如果該公司希望將每批的期望總成本降到最低，請為該公司決定其最佳策略。（25 分）全一張（背面）等 別： 三等考試類 科： 工業工程
（25 分）
參考架構・破題
本題是含抽樣資訊的決策分析，以決策樹比較「不抽樣直接決策」與「花 100 元抽 1 顆測試再決策」，用貝氏定理求後驗機率，並以樣本資訊期望值（EVSI）判斷是否值得測試。
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- 5
在每一年開始時，車子可能的狀態有三種：好、普通與損壞。一部年初是“好＂的車子在下一年開始時也還是“好＂的機率為 0.85，而會是“普通＂的機率為 0.10。一部年初是“普通＂的車子在下一年開始還是“普通＂的機率為 0.70，而會變成為“損壞＂的機率為 0.30。購買一部“好＂的車要花費$6,000；而一部“普通＂的車可用$2,000 價值以舊換新換成“好＂車（trade in）；如果車子已經“損壞＂則沒有任何售出價值且必須馬上替換成一部“好＂車。此外，一部“好＂車的維護成本一年為$1,000，而一部“普通＂車的維護成本一年為$1,500。假設一部車在一年內的維護成本跟該車在該年開始時的狀態有關，請問應該在車況為“普通＂時就立即換車，還是應該開到車子達到“損壞＂時才換車？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是馬可夫決策問題，比較兩個固定策略的長期平均年成本：策略 A 車況「普通」就以舊換新，策略 B 開到「損壞」才換。分別建轉移矩陣、求穩態機率、算期望成本即可比較。
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其他等別的「作業研究」
- 作業研究（高考三級）（58 題）
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