電磁學 申論題歷屆試題與參考架構
地方特考三等，民國 102～114 年共 11 份試卷、49 題，其中 31 題附參考答題架構。考這一科的類科：電信工程、電子工程。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一傳遞高頻訊號的同軸電纜：內導體的半徑為 a，外導體的半徑為 b，兩導體的厚度可忽略；在內外導體之間，充斥介電常數 permittivity 為 ε，導磁係數 permeability 為 μ0 的介電質；同軸電纜總長度為 L。
（一）請詳細推導同軸電纜單位長度的電容大小。（15 分）
（二）請詳細推導同軸電纜單位長度的電感大小。（15 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題考查高頻傳輸線理論中同軸電纜之分佈參數推導，核心在於利用靜電場高斯定律與靜磁場安培環路定律，由幾何結構與對稱性求出電場及磁場分佈，進而透過電位差與總磁通量求得單位長度電容與電感。
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- 2
請詳述電磁場（包括電場強度、電通量密度、磁場強度、磁通量密度）在兩介質交界處的邊界條件：介質 1 為介電質 dielectric、介質 2 為介電質；介質 1 為介電質、介質 2 為完美導體。（30 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題考查馬克士威方程組在兩介質交界面之積分形式推導與邊界條件應用，核心在於透過薄型高斯盒與窄型史托克迴路，分別分析電場強度、電通量密度、磁場強度與磁通量密度在「介電質對介電質」及「介電質對完美導體」界面上之切線與法向連續特性。
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- 3
在無損耗簡單介質（相對介電常數 relative permittivity 為 4，相對導磁係數 relative permeability 為 1，導電率為 0）中，有一均勻平面波朝 z 方向傳遞，已知其磁場強度 H a y H y ，Hy 為頻率為 100 MHz 的弦波函數，當 t 0 且 z 1 / 8(m) 時有最大值104 (A/m) 。請詳細推導此均勻平面波磁場強度與電場強度的瞬時表示式。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是無損耗介質中均勻平面波的基本題：先由介質參數求相位常數 β 與本質阻抗 η，再用「t＝0、z＝1/8 m 時為最大值」定出初相位，最後由 E 與 H 的正交關係寫出電場。題目中 H＝a_y H_y，最大值應為 10⁻⁴ A/m（轉檔掉了負號與上標，以原卷為準），傳播方向一般判讀為 +z。
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- 4
有一電路，包含一個內阻為 50 Ω，能產生電壓為 10 V，頻率為 300 MHz的訊號產生器；訊號產生器連接一長度為 2 公尺，阻抗為50 的傳輸線；傳輸線末端接上一阻抗為 (30 40 j )Ω 的負載。請詳細推導此電路中的相位常數、傳輸線連接負載處的反射係數、傳輸線上電壓的表示式。以及若要讓負載端接收到最大的平均功率，其阻抗應設定為多少？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是傳輸線的綜合計算：相位常數、負載反射係數、線上電壓表示式與最大功率轉移。關鍵觀察是 300 MHz 時（線上若為空氣介質）波長 1 m，線長 2 m 恰為兩個波長，且訊號源內阻等於特性阻抗 50 Ω，使計算大幅簡化。負載依轉檔應為 30＋j40 Ω 或 30−j40 Ω，作答依原卷符號。
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113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一線性極化之均勻平面電磁波 E aˆ y E0 e z 傳播於有損介質，其導磁係數、介電係數及導電係數分別為 , ε , 。
（一）在何條件下，此一介質可視為低損耗介電材料（Low-Loss Dielectrics）？（5 分）
（二）若介質滿足低損耗介電材料（Low-Loss Dielectrics）的條件，試推導傳播常數 j ，並得出衰減常數 及相位常數 。（10 分）
（三）試求出在低損耗介電材料內傳播的相速度 u p 及本質阻抗 c 。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考有損介質中平面波 E＝a_y E0 e^(−γz) 的近似分析：先用損耗正切定義「低損耗」，再以二項式展開推導 γ＝α＋jβ、相速與本質阻抗。題中參數為 μ、ε、σ。
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- 2
有一均勻橫向平面電磁波，其磁場強度為 H H 0 aˆ y cos(3π 109 t 10πz ) (A/m) ，在一無窮大的介質內傳播，傳播介質的導磁係數為 0 ，介質常數為ε r ，時間單位為秒，長度單位為 m，試問：
（一）此均勻橫向平面電磁波之相速度。 （5 分）
（二）傳播方向的單位向量。（5 分）
（三）傳播介質的介質常數ε r 。（5 分）
（四）此均勻橫向平面電磁波之電場強度 E 。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
由磁場瞬時式 H＝H0 a_y cos(3π×10⁹ t ∓ 10πz) 直接讀出 ω 與 β，即可求相速、傳播方向、εr，再用平面波 E、H 關係求電場。轉檔掉了「×」與 z 項前的正負號，作答前要看原卷：z 項為「−」表示朝 +z 傳播，為「＋」表示朝 −z。
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- 3
將一個半徑為 a 的金屬球置於一個半徑為 b 的金屬球（ b a ）內部，兩球的球心重疊。假設內金屬球的電位為Vab ，內金屬球上的總電荷為 Q ，外金屬球的電位為 0，兩金屬球之間填充介電係數為ε 的介電質，試求此球形電容的表示式。 （25 分）
（25 分）
- 4
一有損雙導線傳輸線，其單位長度串聯電感為 L，單位長度串聯電阻為R，單位長度並聯電容為 C，單位長度並聯電導為 G，電壓相量為V (z ) 、電流相量為 I (z ) 。（每小題 5 分，共 25 分）
（一）試繪出該傳輸線一小段 Δz 之等效電路圖。
（二）應用克希荷夫（Kirchhoff）電壓定律及電流定律推導時間諧波（Time harmonic）傳輸線方程式。
（三）推導電壓相量V (z ) 及電流相量 I (z ) 各自滿足的波動方程式。
（四）求解電壓相量V (z ) 及電流相量 I (z ) 。
（五）推導傳播常數 及特徵阻抗 Z 0 與傳輸線分布式參數（R, L, G, C）的關係。
（25 分）
參考架構・破題
本題完整推導有損傳輸線的電報方程式：從 Δz 等效電路出發，用 KVL、KCL 得一階相量方程，再化成二階波動方程，解出前進波與反射波，最後得到 γ 與 Z0 和 R、L、G、C 的關係。
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112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
針對下圖的簡單傳輸線（長度為 l ）電路，其中電壓源 vg Vo cos(t ) ，內阻為 Ro ，傳輸線的特性阻抗 Z o Ro ，負載電阻 RL Ro ，欲求解負載電壓 vL 。
（一）若基於電路學求解 vL 時，請寫出其針對該傳輸導線的基本假設，並寫出導線上任一點（參考平面 C-C'處）的電壓 vC ，以及負載電壓 vL。 （9 分）
（二）若基於電磁學求解 vL 時，請寫出其針對傳輸導線的基本假設，並寫出導線上任一點（參考平面 C-C'處）的電壓 vC ，以及負載電壓 vL 。 （16 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題要比較「電路學（集總參數）」與「電磁學（分布參數、波動）」兩種觀點處理同一條傳輸線。圖中電源 v_g＝V_o cos(ωt) 經內阻 R_o 接在 x＝0（A-A′），長度 l 的線特性阻抗 Z_o＝R_o，x＝l（B-B′）接負載 R_L＝R_o，C-C′ 為線上任一點 x。全系統匹配，無反射。
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- 2
下列是有關向量和向量場特性的探討與證明：
（一）如果兩個向量 A 和B，針對另外一個特定向量 D 的投影滿足下列的關係： A D B D 請問這是否可以推論 A B ？（2 分）
（二）如果你在子題（一）的答案為非，設 A B C ，請找出一個 C 0 的例子（可以透過畫圖呈現） ，並說明 C 必須滿足何種特性或關係。（10 分）
（三）如果兩個向量場 A(x, y, z ) 和 B(x, y, z ) 的散度，滿足下列的關係： A B 請問這是否可以推論 A B ？（3 分）
（四）如果你在子題（三）的答案為非，設 A B C ，請找出一個向量場 C (x, y, z ) 0 的例子，並說明 C 必須滿足何種特性或關係。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考向量內積與散度的「不唯一性」：A·D＝B·D 只約束 A、B 在 D 方向的投影；∇·A＝∇·B 只約束向量場的源。兩者答案都是「否」，重點在舉出反例並說明差向量 C 的性質（C⊥D；C 為無散場）。
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- 3
在下圖的結構中，一對經由外部電壓源充電且充有正負電荷 Q 的 3 維立體的電容極板，在其周圍建立了電場 E ，其周圍材料的導電率 和介電係數ε 皆為常數，請問其經由材料漏電的電流 I 為多少（用 Q、 、ε 等表示）？（25 分）注意，針對此流經表面 S 向外的漏電流 I，其所帶走的電荷將由外部的電壓源（沒有畫出來）所穩定補充供應。 Hint: J E & I ds J S
（25 分）
參考架構・破題
本題是「漏電流與電荷的關係」：兩導體帶 ±Q，周圍為 σ、ε 皆為常數的均勻材料，取包圍導體 1 的閉曲面 S，用高斯定律把 ∮E·ds 換成 Q/ε，再乘 σ 即得漏電流 I＝σQ/ε，與導體形狀無關。
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- 4
考慮一個沿著 z 軸方向傳播的平面波，其電場只有 x 分量且其表達式為E x ( z ) E0 e jkz ，其中 E0 是電場的幅值， k ε 是波數。請計算其對應磁場 H 的表達式，並說明其磁場分量的幅值 H 0 與電場分量幅值 E0 之間的比值，以及磁場分量的相位 H 與電場分量相位之間的關係。 （25 分）
（25 分）
111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一球形電容器由兩同球心之金屬球面所組成，這兩金屬球之半徑分別為a 及 b，a < b，外金屬球接地，而內金屬球之電位為V ，V 為常數。試求在這兩金屬球面空間中之電位分布。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考查靜電場中拉普拉斯方程式之球座標邊界值問題，核心在於利用同心球幾何之完全球對稱性簡化偏微分方程式，透過內外導體球面之已知電位邊界條件求解特解，確切推導出兩金屬球面間介電空間之電位分佈解析函數。
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- 2
有關介電材料（dielectric）中的靜電場，試寫出並申論在線性（linear）且無方向性（isotropic）的介電材料中電場強度E⃗（electric field intensity）與電通量密度D⃗（electric flux density）之關係式。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題考查介電材料在靜電場作用下之微觀極化物理機制與巨觀本構關係，核心在於說明外加電場如何誘導介質內部產生束縛電荷分佈與電極化強度向量，進而建立電通量密度與電場強度之關係式，並深入申論線性與無方向性（各向同性）之物理本質與數學意涵。
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- 3
如下圖之靜磁迴路中，該環狀鐵心（ferromagnetic toroid core）有 N 匝線圈，該鐵心之 permeability 為μ，該環平均半徑為 ，具圓形剖面，半徑為 a，而 a<< ，及一窄小的 air gap ℓ 。今有一穩態電流（steady current）流入該線圈， 為一常數。
（一）推導在環狀鐵心中的磁通密度（magnetic flux density）B⃗ 及磁場強度（magnetic field intensity）H⃗。（12 分）
（二）推導在air gap中的磁場強度H⃗。（9分）
（三）證明在air gap的磁場強度遠大於在環狀鐵心內的磁場強度，如μ >> μ 。（4分）（註：忽略 air gap 的邊緣磁場（fringe field） ）r0 ℓ I0 I0
（25 分）
參考架構・破題
本題為帶氣隙的環形鐵心磁路：N 匝線圈通穩態電流 I0，鐵心導磁係數 μ、平均半徑 r0、圓形截面半徑 a（a ≪ r0）、氣隙長度 ℓg。用安培環路定律加上 B 法向分量連續，求鐵心與氣隙的 B、H，再證明氣隙 H 遠大於鐵心 H。
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- 4
證明 time harmonic 平面電磁波 E⃗= a⃗ E e − a⃗ jE e 為一圓形極化波，更進一步證明該圓形極化波在無損耗介質中傳播時之瞬時（instantaneous）Poynting 向量為一常數，與時間及傳播距離均無關。 （25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考查簡諧平面電磁波之極化特性與波印亭功率流分析，核心在於由相量式轉換至時域瞬時電場，透過兩正交分量振幅相等且具九十度相位差證明為圓形極化波；再藉由介質固有阻抗求得瞬時磁場，經由向量叉積嚴格證明瞬時波印亭向量恆為常數，與時間及傳播距離完全無關。
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- 5
如下圖，一具有功率 P 之電磁波由傳輸線 1（Line 1）經由 a – a'節點輸，其特徵阻抗（characteristic impedance） 為 300 Ω，入傳輸線 2（Line 2）及傳輸線 3（Line 3），其特徵阻抗值為 100 Ω，試計算導入傳輸線 1 之反射功率，與導入傳輸線 2 及 3 之功率。（15 分）Z0 Z0 Z0
（15 分）
參考架構・破題
本題是傳輸線分岔（並聯接面）的功率分配。依原卷圖：Line 1 特性阻抗 100 Ω，於 a–a′ 接到 Line 2（300 Ω）與 Line 3（100 Ω）。假設 Line 2、3 為無限長或接匹配負載，從接面看進去等效為兩阻抗並聯，求反射係數後再依「電壓相同、功率與阻抗成反比」分配。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
於真空（介電係數 permittivity o ）中，二金屬球半徑為 a 36 109 Nm2及 b，以金屬細線長度為 d (d a, d b) 相連，其電荷量為 Q。
（一）推導細線上之庫倫力 F。（10 分）
（二）已知 a 1 cm, b 2 cm, d 1 m, Q 10 C，計算細線上之庫倫力 F 值。10（5 分）
（15 分）
參考架構・破題
兩金屬球以細導線相連後成為同一導體，達靜電平衡時兩球電位相等，電荷依半徑比例分配。因 d ≫ a、d ≫ b，兩球可視為點電荷，細線所受的張力即兩球之間的庫倫斥力。本題 ε₀ = (1/36π)×10⁻⁹ C²/(N·m²)，故 1/(4πε₀) = 9×10⁹。
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- 2
一同軸線其內外金屬導線半徑為 a 及 b，其間為空氣（介電係數 εo） ，已知單位長度 l 之內外金屬導線帶有電荷量 Ql 及 Ql 。
（一）推導內外金屬導線間 (a < r b) 之電場 E(r ) 大小及電位差 V Va Vb 表示式。（10 分）Q
（二）推導單位長度之電容值 Cl l 。（5 分）V
（三）若同軸線外金屬導線半徑 b 為固定，推導內金屬導線半徑 a 值，使電場 E(a) 為最小，且推導此時之單位長度電容值 Cl。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
同軸線為圓柱對稱結構，以高斯定律求內外導體間的徑向電場，再積分得電位差與單位長度電容。第（三）小題是經典的「外徑固定、電壓固定下，選內徑使內導體表面電場最小」的最佳化問題，答案為 b/a = e。
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- 3
下圖斜線表示環形鐵心線圈（toroidal coils）橫切面，含有 N 數線圈，並通有電流 I，計算此線圈之磁通量 ，已知電流 I = 1A、線圈數目 N = 2000、a = 10 cm、b = 20 cm、h = 10 cm 及導磁係數 o 4 10 H/ m 。7（20 分）h a b
（20 分）
參考架構・破題
依原卷附圖，環形線圈截面為矩形：內半徑 a、外半徑 b、高度 h，斜線區為繞線的鐵心截面。以安培環路定律求環內磁場 B(r)，再對矩形截面積分求磁通量 Φ。題目給定導磁係數為 μ₀，依題意以 μ₀ 計算。
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- 4
於真空中，一金屬圓環半徑 a，導磁係數 μo，受正弦平面波磁場入射，波長為 a 。
（一）當此金屬圓環如何相對與入射平面波磁場 B（或 H）放置，使金屬圓環產生之電動力（electromotive force）最大，並以原理或繪圖說明解釋。（10 分）
（二）推導該金屬圓環感應之電動力振幅。（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題考法拉第感應定律在小迴圈天線上的應用。因 λ ≫ a，入射波磁場在圓環範圍內可視為均勻、只隨時間正弦變化，感應電動勢等於穿過圓環磁通量的時間變化率，故圓環面法向量與 B 平行時磁通量最大、電動勢最大。
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- 5
於空氣中，一正弦平面波頻率 f，入射電場 Ei 垂直照射一金屬導體平板，其導電率（conductivity） 及導磁係數 μo。
（一）寫出金屬導體平板之表面電阻 Rs 及金屬導體平板單位面積吸收之平均功率 Ps。（5 分）
（二）已知頻率 f = 100 MHz，入射電場大小 Ei = 1 V/m，金屬導體平板之導電率 =5.8 107 S/m ，空氣o =120p （本質阻抗 intrinsic impedance），計算金屬導體平板之表面電阻 Rs 及單位面積吸收平均功率 Ps 值。 （5 分）
（三）推導金屬導體平板之衰減係數 α。（5 分）
（四）已知金屬導體平板厚度 l = 50 μm，計算該入射平面波於金屬導體平板之相對衰減量 dB 值。 （5 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題考平面波入射良導體：良導體的表面阻抗、集膚深度與歐姆損耗。核心公式為集膚深度 δ = 1/√(πfμ₀σ)、表面電阻 Rs = 1/(σδ) = √(πfμ₀/σ)、衰減常數 α = 1/δ。由於導體阻抗遠小於空氣，表面切向磁場約為入射磁場兩倍。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知向量磁位能（magnetic vector potential） A(r ) 和電流密度（current 0 J ( r ') 3 4 r r ' density）J (r ) 之關係式為 A(r )= d r '，其中 r 為場位置，r ' 為源位置， 0 為導磁係數（permeability），積分係對應於所有空間，且當 r ' 時， J (r ) 較1 r ' 趨近於零，證明以下三小題。
（一） i A(r )=0 。（8分） 0 J ( r ') (r r ') 3 4
（二） A(r )= 3 d r '。（6分）r r'
（三） 2 A(r )= 0 J (r ) 。（6分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
於 真 空 中 有 一 點 帶 正 電 荷 Q 2 108 庫 倫 及 另 一 點 帶 負 電 荷4Q 8 108 庫倫，其距離為 d 100 公分。
（一）畫出此兩點電荷於一直線上，並標示此直線上之電場為零位置，且予以說明。（8分）
（二）計算此電場為零之位置。 （12分）
（20 分）
- 3
於空氣中有一球形水滴，半徑為0.1 mm，帶有電荷，其承受電場100 V/m之電力和反承受之重力相同。
（一）計算水滴之電荷值。（10分）
（二）計算水滴電荷產生之電場值。（5分）
（三）已知空氣被打穿之電場為 3 106 V/m，此水滴是否承受此電荷？（5分）
（20 分）
- 4
以下係有關真空內之馬克士威方程組。
（一）分別寫出以積分形式及微分形式之馬克士威方程式組，於其中各微分形式方程式旁邊寫出對應之定律名稱。（8分）
（二）於（一）小題之微分形式馬克士威方程組中，可由其中兩項旋度（curl）相關方程式及連續方程式，證明另兩項散度（divergence）相關方程式。（8分）
（三）以穩態弦波及複數形式寫出於（一）小題之微分形式馬克士威方程組。（4分）
（20 分）
- 5
於真空中內有兩個正弦平面波，沿正 z 方向傳播，其入射電場以 E1i (z, t ) 及 E2 i (z , t ) 表 示 ， 入 射 方 向 相 同 kˆi ， 頻 率 及 相 位 相 同 （ 即f1 f 2 , E1i E2i ） ，此兩個正弦平面波均為圓極化，但極化方向相反。
（一）寫出各圓極化平面波之入射電場向量表示式，並畫出直角座標，標示各入射電場向量、各極化方向及入射傳播方向 kˆi 。（8分）
（二）寫出完整之入射電場向量表示式。 （2分）
（三） 若 E1i (z, t )=E2i (z, t ) 時 ， 此 完 整 之 入 射 平 面 波 極 化 為 何 ？ 若 E1i (z, t ) E2i (z , t ) 時，此完整之入射平面波極化為何？（2分）
（四）當（一）小題之兩個圓極化平面波正向垂直入射一無限大金屬面，其導電係數（conductivity） =，寫出各圓極化平面波之反射電場 E1r (z , t ) 及 E2 r (z, t ) 表示式，並於（一）小題之同一圖上畫出各反射電場向量，標示各極化方向及反射傳播方向 kˆ 。（4分） r
（五）寫出完整之全部（含入射及反射）電場向量表示式，此為行進波或駐波？（4分）
（20 分）
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如圖所示，將一個半徑為 a 的金屬球置於一個半徑為 b 的金屬球（ b > a ）內部，兩球的球心重疊。假設內金屬球的電位為V0 ，內金屬球上的總電荷為 Q，外金屬球的電位為 0，兩金屬球之間填充介電係數為 ε1 的介電質。
（一）推導兩金屬球間的電場分佈表示式。（5 分）
（二）推導兩金屬球間的電位分佈表示式。（5 分）
（三）將 Q 表達為V0 、 ε1 、 a 及 b 的函數。（5 分）
（四）推導外金屬球內側的電荷密度表示式。（5 分）
（五）推導兩金屬球間的電容表示式。（5 分）V0 a ε1 b
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
一片厚度為 h 之磁性材料（導磁係數為 µ1 ）置於兩片平行金屬板之間，兩片金屬板長度為 L0 、寬度為W0 ，並於 z = L0 處以第三片金屬板相連。兩片平行金屬板於 z = 0 處分別接到一直流電流源之兩端，電流源之電流為 I 0 。假定金屬板上的電流密度均勻，金屬板之間的磁場也均勻。
（一）列出兩片平行金屬板內側的電流密度表示式。（6 分）
（二）列出金屬板之間的磁場表示式。（6 分）
（三）列出金屬板之間的總磁通量表示式。（6 分）
（四）推導此一金屬板包夾磁性材料結構的電感表示式。 （7 分）W0 L0 h µ1 z x I0 y
（25 分）
- 3
如圖所示，一段長度為 ∆z 的傳輸線的等效電路，其單位長度的電容為C 、單位長度的電感為 L ，電壓分佈為V ( z , t ) 、電流分佈為 I ( z , t ) 。
（一）請應用 Kirchhoff 電壓定律及電流定律推導V ( z , t ) 及 I ( z , t ) 的一階聯立方程式。（10 分）
（二）求解上述聯立方程式推導出 V ( z , t ) 及 I ( z , t ) 各自滿足的二階波動方程式。（10 分）
（三）列出V ( z , t ) 的通解，並代入一階聯立方程式得出 I ( z , t ) 對應的表示式。（5 分）L∆z C ∆z z z + ∆z
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
如圖所示，兩片平行金屬板構成一個導波管，兩片金屬板間填充介電係數 為 ε 1 、 導 磁 係 數 為 µ0 的 介 電 質 。 假 設 導 波 管 內 部 的 電 場 為 E =yE0 e j (ω t −k0 z ) 。
（一）將電場代入 Faraday’s law，推導出導波管內部的磁場表示式。（5 分）
（二）列出電場振幅與磁場振幅的比值。 （5 分）
（三）列出兩片平行金屬板內側的電流密度表示式。（5 分）
（四）列出兩片平行金屬板內側的電荷密度表示式。（5 分）
（五）列出功率密度 S = E × H * 表示式。（5 分）( µ0 , ε1 ) y x z
（25 分）
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
（一）總電荷 Q0 均勻地分布於一球體，球體的半徑為 b，球心 C 的座標為G (xc, yc, zc) = (0, 0, h)，如圖一(a)所示。求在原點 O 的電場 E A 。（10 分）
（二）將圖一(a)的均勻電荷球體挖出一小球，球心 S 的座標為(0, 0, h-a)，半徑為 a，且將此挖出的電荷球置於原球體的上方，球心 P 的座標為1 1 (0, 0, w)， a = b ， b = h ， w = 2 h ，如圖一(b)所示。計算在原點 O 2 G 2 G EB的電場 EB ，以及 G 。（15 分）EA
（25 分）
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- 2
（一）有一直流弧形電流 I，弧半徑為 R，弧角為 φo ，如圖二(a)所示。證明G μI其在弧心（O 點）的磁場為 BA = zˆ 0 φo 。（10 分）4π R
（二）有一直流電流 I，因為佈線的需求，其電流路徑形成一多邊環路，如π圖二(b)所示，此多邊環路對稱於 y 軸， b = 2 a ， c = 4a ，θ = 。利用G 2
（一）的結果，計算在弧心（O 點）的磁場 BB 。（10 分）R 直流弧形電流x O圖二(a)
（20 分）
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- 3
有一平面波在 A 區間中行進，正向入射於 B 區間，如圖三，A 區間的介電係數為 εd = ε0、導電係數為 σd =0 S/m、導磁係數為 μd = μ0，B 區間的介電係數為 εw = 4ε0、導電係數為 σw =100 S/m、導磁係數為 μw = μ0。ε 0 = 10 −9 36π = 8.854 × 10 −12 (F/m) 。 μ0 = 4π × 10 −7 = 1.256 × 10 −6 (H/m ) 。G入射平面波的電場為 Ein = xˆEo cos(2π 109 t − β o z ) + yˆ Eo sin( 2π 109 t − β o z ) 。
（一）求 βo。（5 分）
（二）說明入射平面波的極化特性？（5 分）G
（三）求進入 B 區間之透射平面波的電場 ET 。（20 分）G ER G G Ein ET
（30 分）
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- 4
有一微波電路是由兩顆微波晶片（晶片 1 和晶片 2）和微帶線（microstrip line）所組成，如圖四(a)所示。微帶線是一種傳輸線，其特性阻抗為 Z0，長度 L= 0.25λg，λg 是微帶線的波長。其中 Z S = 50 Ω ， Z L = 40 − j10 Ω 。
（一）求圖四(a)中，晶片 2 在 O 點所呈現的阻抗 Zin。（5 分）
（二）計算在圖四(a)微帶線上的電壓駐波比（VSWR）。（5 分）
（三）欲達成兩顆晶片的阻抗共軛匹配，在主微帶線旁接一段開路微帶線，長度為 s，特性阻抗為 Z0，稱為旁微帶線，如圖四(b)所示。請詳述如何由 ZL、ZS、Z0 和 λg 計算出 d 和 s。（15 分）L晶片1 主微帶線 d 晶片2 ZS ZL s Zin 旁微帶線z O A B圖四(b)
（25 分）
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
三個點電荷位於 z 軸上，其中負電荷-2q 位於原點，另兩個正電荷+q 分別位於 z = d及 z = -d。試求在距離原點甚遠處 P(R, θ , φ ) 之近似電位及電場強度。（20 分）
（20 分）
- 2
如圖所示，試求無窮長導線 xx′ 與直角三角形導線環 ABC 間之互感，其中 AB 平行於xx′ ，且距離為 d，BC 的長度為 h。（20 分）x A d B 60° C y x′ h r
（20 分）
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- 3
有一半徑為 b 之金屬圓盤，在均勻不變的磁通密度 B 中，以角速度 ω 旋轉，且有兩固r定電刷分別接在圓盤盤心 O 及盤邊 P 處，若磁通密度 B 的方向與盤面垂直，試求兩電刷間的開路電壓大小。（20 分）
（20 分）
- 4
一邊長為 a 之正六邊形電路，若通過電路之電流為 I，試求其中心點之磁通密度 B。（20 分）
（20 分）
- 5
矩形波導管中空橫截面的長為 3 cm，寬為 2 cm，試求單一模態的操作頻率範圍。（20 分）
（20 分）
103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一長度為 0.5 m 的圓柱導電桿，在一個水平磁場（方向以箭頭表示）中，繞著一垂直軸做逆時鐘等速率圓周運動。該圓柱導電桿以 0.05 秒的時間完成半徑為 0.1 m 圓的等速率圓周運動，磁場大小為 10 mT：試求在圓柱導電桿二端點間，感應電動勢之最大值。（5 分）試畫出以時間為橫軸（單位秒），圓柱導電桿二端點間上感應電動勢為縱軸（單位 mV）的變化曲線。（10 分）垂直軸圓柱導電桿磁場
（15 分）
- 2
一塊由四片平行導體片組成的二維矩形中空導體，其邊界條件如下，3π x V (0, y ) V (b, y ) V ( x,0) 0,V ( x, a) 10 sin ( ) b試求矩形導體中的電位分佈函數。（20 分）yy矩形導體矩形導體aa中空中空xx bb
（20 分）
- 3
一中空導體球殼，內徑為 ，外徑為 ，球中心置一正電荷 Q，試寫出：各處（ ）的電通量密度表示式。（5 分）各處（ ）的電場強度表示式。（5 分）各處（ ）的電位能表示式。（10 分）R導體b a Q全一張（背面）等 別： 三等考試
（20 分）
- 4
一在真空中的平面波，其電場為 Ｅ＝ － － ，試求頻率及波長大小。（5 分）試寫出相對的磁場強度表示式。（5 分）試寫出該電磁波其瞬間傳輸功率（instantaneous power）及時間平均功率（time average power）。（10 分）如果此平面波入射位於 的介電層（ ），試寫出其在介質中穿過的電場（transmitted electric field）表示式。（10 分）
（30 分）
- 5
一條 60 公尺長的無耗損（lossless）傳輸線，其特性阻抗（characteristic impedance），操作頻率是 40 MHz，傳輸線另一端的負載是 ，假設電波傳輸速度是光速的 0.6 倍。試求：反射係數（reflection coefficient）Γ。（5 分）駐波比（standing wave ratio）S。（5 分）輸入阻抗（input impedance） 。（5 分）
（15 分）
102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮兩種表面電荷分布產生的電場特性：
（一）如下圖 A 的結構（金屬空氣交界面），存在一表面電荷分布，且密度為 ρs，請推導其在上半平面（空氣側）的法線電場 Ena。（8 分）
（二）如下圖 B 的結構，空氣中存在一表面電荷分布，且密度亦為 ρs，請推導其在上半平面（空氣側）的法線電場 Enb。（8 分）
（三）當從上半平面空氣側往下看，將看到同為 ρs 的表面電荷分布，請從物理的角度說明 Ena 和 Enb 相等或不相等的真正理由。（9 分）Ena ρs Enb ρs空氣 空氣金屬 空氣Enb 金屬結構 A 結構 B
（25 分）
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- 2
考慮電流和磁場的相關特性：r
（一）由奧斯特所做的穩定電流使磁針偏轉之實驗，得知電流會在其周圍產生磁場 B ，r再加上電荷守恆的特性 ∇ • J = 0 ，又基於向量分析的一些恆等特性，試證吾人可r r以推導出安培定律的數學形式 ∇ × B = μ 0 J ，其中 μ0 為一比例因子。（9 分）r
（二）由 ∇ • J = 0 證明電路學的電流定律 KCL 必須成立（亦即，在任一電路節點處，所有流出的電流總和為零）。（8 分）
（三）請進一步說明電路學的電流定律 KCL 在何種情況會失效。（8 分）[Hint]： ∇ • (φA) = ∇φ • A + φ (∇ • A) ∇ × (φA) = ∇φ × A + φ (∇ × A) I ∇ • ( A × B ) = B • (∇ × A) − A • (∇ × B ) 磁針偏轉∇ × (∇φ ) = 0 ∇ • (∇ × A) = 0全一張（背面）等 別： 三等考試類 科： 電子工程r r ∂B
（25 分）
參考架構・破題
本題串聯磁靜態安培定律、電流連續方程與電路 KCL。核心是先說明穩恒電流的無散條件如何容許旋度型磁場，再以散度定理導出節點電流守恆，最後指出時變電荷與位移電流的修正。
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- 3
右式為微分型式的法拉第定律 ∇ × E = − ，但此公式僅適用在靜止的物體或座標系∂t統。
（一）請對這個微分型式的公式進行必要的修正，使其適用於運動物體上。（18 分）
（二）並解釋修正後公式中各項的物理意義。（7 分）r NOTE：你必須考慮下述的運動系統（一個迴路 C 以速度 u 運動的情況，在 t 時迴路在 S1 處，在 t + Δ t 時迴路在 S2 處），並由積分型式的法拉第定律開始，推衍你的修正推論過程。r r n̂1 B (r , t ) C n̂0 S1 S0 r r B (r , t + Δt ) r n̂2 u = velocity of circuit C S r Closed surface S = S0+S1+S2 S uΔt
（25 分）
參考架構・破題
運動迴路的磁通變化同時來自磁場隨時間變化與邊界位移。應由移動曲面的磁通率出發，把側面掃掠所生的項化為∮（u×B）·dl，再寫成適用於運動導體的局部形式，並分清感生電場與動生電動勢。
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- 4
針對一條長 30 公分的同軸纜線，內外導體間的填充材料之相對介電係數 εr = 4。
（一）請問一電磁信號在此一纜線中傳播時所經歷的時間延遲 td 為多少？（7 分）
（二）對頻率為 10 MHz 的電磁信號，此一時間延遲的效應是否可以被忽略？請說明理由。（9 分）
（三）對頻率為 1000 MHz 的電磁信號，此一時間延遲的效應是否可以被忽略？請說明理由。（9 分）
（25 分）
其他等別的「電磁學」
- 電磁學（高考三級）（62 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。