電磁學 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 102～115 年共 14 份試卷、62 題，其中 42 題附參考答題架構。考這一科的類科：電信工程、電子工程。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一平行板電容器，上板面及下板面平行 YZ 平面，其中上板 x L 電位為3 伏特，下板為 x 0 接地，設兩板之間隔為 L ，假設 L 夠小，電位函數僅隨座標 而變且平板面積夠大使得邊緣效應可以忽略。
（一）由拉卜拉斯方程式（Laplace’s equation），求其間之電位函數。（15 分）
（二）求電場強度。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是一維拉卜拉斯方程式的邊界值問題：兩板間無自由電荷，電位只隨 x 變化，解出線性電位後再由 E = −∇V 求電場。重點在把「解微分方程＋代入邊界條件」的過程完整寫出。
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- 2
設一螺線環之內半徑和外半徑於 XY 上平面分別為 c 及 d ，截面為長方形，其高度為 L ，若纏繞之導線匣數為 N ，所通之電流為 I 。
（一）求管子內半徑為 r 時的磁場。（10 分）
（二）求管子內的磁通量。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為靜磁學中典型的長方形截面螺線環（環形線圈）磁場與磁通量計算題。核心觀念為利用安培環路定律分析對稱封閉路徑內的封閉電流，求解磁場強度與磁通密度，進而透過截面積分求得總磁通量。
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- 3
一 條 無 損 傳 輸 線 的 單 位 長 度 電 感 L 2.5 107 H/m ， 單 位 長 度 電 容C 1010 F/m ，設終端負載阻抗等於 zl (100 j 50) 歐姆。
（一）求電壓反射係數。 （15 分）
（二）求電壓駐波比。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
先由單位長度 L、C 求出無損傳輸線的特性阻抗 Z0 = √(L/C)，再用反射係數公式 Γ = (ZL − Z0)/(ZL + Z0) 與 VSWR = (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) 計算。本題數字設計成 Z0 = 50 Ω，計算量不大，重在過程與複數運算正確。
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- 4
在 笛 卡 兒 座 標 系 中 ， 假 設 電 磁 場 在 真 空 的 電 場 強 度 為 E ( x, t ) ˆyA cos(2 ft kx) ，其中峰值 A 、頻率 f 、角波數 均為定值。
（一）證明此電場為波方程式之解。（15 分）
（二）求該電磁場的平均坡印亭向量（Poynting vector）。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
給定 E(x,t) = ŷ A cos(2πft − kx)，是沿 +x 方向傳播、y 方向極化的均勻平面波。第一小題把它代入真空中的波方程式，得到 k 與 ω 必須滿足的色散關係；第二小題由 E 求 H，再取時間平均得平均坡印亭向量。
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114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
在自由空間中，有兩條無窮長且均勻的線電荷，其線電荷密度為。如圖一(a)所示，兩根半徑為 a 的圓形截面、對稱且平行的導線，其軸心間距為 d，兩導線上帶有大小相等、方向相反的電荷。假設導線的半徑 a 遠小於導線軸心的距離 d（即 d ≫a）。請計算： （每小題 8 分，共 16 分）
（一）此兩條導線的單位長度電容值（capacitance per unit length）。
（二）根據上述結果，請求出圖一(b)所示結構的單位長度電容值。該結構為一根半徑為 a 的細導線，平行放置於一塊接地的導體平板。介質為空氣，導線軸心與導體平板的垂直距離為 h（且 h ≫a）。圖一(a) 圖一(b)
（16 分）
參考架構・破題
本題先用兩條等量異號線電荷的電場疊加求平行雙線間電位差，得 C' = λ/V；第二小題用鏡像法把「導線對接地平板」化成「導線與其鏡像」，再利用第一小題結果，注意電容只計導線到平板（半個系統）。
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- 2
在三維直角座標軸 x, y, z 中，一根導電率為 σ 的金屬棒，其被彎成一個平坦的 90°圓形，其內半徑為 a、外半徑為 b，厚度為 t，如圖二所示。請計算此金屬棒在內半徑為 a 與外半徑為 b 處的兩個垂直表面之間的電阻值。（16 分）z a t y b x圖二
（16 分）
參考架構・破題
依題意，兩個電極面是內半徑 r = a 與外半徑 r = b 處的兩個圓弧形垂直表面，電流沿徑向流動。導體截面積隨 r 變化，不能直接用 R = l/(σA)，要用圓柱座標把無窮小薄殼的電阻 dR = dr/(σA(r)) 積分。
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- 3
一個電流迴路呈現為三角形，其型狀為邊長 a 的正方形的一半，如圖三所示。該迴路中有穩定的電流 I 流動，周圍介質為空氣。請計算在正方形第四個頂點處（點 P）的磁通密度向量 ⃗，包含大小與方向（流出紙面或進入紙面）。（20 分）圖三
（20 分）
參考架構・破題
三角形迴路由三段有限長直導線組成，P 點的磁場等於三段直線電流（畢歐－沙伐定律有限長導線公式）的疊加。關鍵在求 P 到各段的垂直距離、端點夾角與方向（進出紙面），最後相減得淨值。
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- 4
兩段串接的無損耗傳輸線如圖四所示，分別連接至一個時變電壓源與一個複數負載阻抗。根據電路中所給的各項參數，請求出兩段傳輸線交界處的輸入阻抗（Zin1, Zin2），最後，請求出傳送至負載的實數功率。（24 分）圖四
（24 分）
參考架構・破題
兩段無損線串接，從負載往電源方向逐段用輸入阻抗公式轉換：先求第二段輸入端 Zin2，它成為第一段的負載，再求 Zin1；因線路無損，送到負載的實功率等於送入 Zin1 的實功率。關鍵是先算出各段的波長與電長度 βl。
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- 5
請寫出高斯定律、安培定律與法拉第定律的微分形式，並說明其物理意義。在上述定律的基礎上，馬克士威（Maxwell）補充一項，使電磁理論得以完整。請指出馬克士威所補充的項目，並說明為何需要加入該項。（註：自由空間中介電係數為 ，導磁係數為 ，體電荷密度為，電流密度向量為 ⃗，位移電流向量為 ⃗，電場強度與磁通密度分別以向量 ⃗與 ⃗表示，向量微分運算符號為 ⃗）（24 分）
（24 分）
參考架構・破題
本題考馬克士威方程組的微分形式與物理意義，核心是位移電流：原始安培定律 ∇×B = μ0J 與電荷守恆（連續方程式）矛盾，馬克士威加入 ∂D/∂t 使方程組自洽，並由此預言電磁波。
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113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
自由空間中沿著 z 軸無窮長均勻線電荷，其線電荷密度為 。（每小題 15 分，共 30 分）
（一）用庫侖定律，計算在點 P (1, 0, 0) m 的電場。
（二）用高斯定律，計算在點 P (1, 0, 0) m 的電場。
（30 分）
參考架構・破題
同一個無窮長線電荷電場，分別用庫侖定律（直接積分）與高斯定律（對稱性）求解，兩法答案必須一致：在 P(1,0,0) 處 E = ρl/(2πε0) x̂（V/m），ρl 為線電荷密度。重點是兩種方法的過程與適用條件。
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- 2
一個無限平面導體的電流薄片（current sheet）在 x z 平面上且其電流密度為 Js Js xˆ (A / m) 。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）以右手定則，判別磁場 H 在點 P1 (0, 2, 0) m 和點 P2 (1, 3, 0) m 的方向。
（二）已知在點 P3 (0, 5, 6) m 的磁場大小為 4 (A / m) ，求電流密度 Js 。
（20 分）
參考架構・破題
無限大面電流薄片產生的磁場大小均勻為 Js/2，方向平行薄片、垂直電流，兩側方向相反，可寫成 H = ½ Js × an（an 為由薄片指向觀察點的單位法向量）。本題薄片在 y = 0 的 x−z 平面，電流沿 +x。
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- 3
在 = 9 且 0 的無損耗介質中，電磁波的電場是 E ( z , t ) xˆ 40cos(2 1010 t kz ) (V / m) 。已知 109 (F / m) ， 0 4 107 (H / m) 。36（每小題 10 分，共 30 分）
（一）求此電磁波的波數 k 。
（二）求電場 E 的相量（phasor）表示式 E 。
（三）利用馬克斯威爾方程式，求磁場 H 的相量表示式 H 。
（30 分）
參考架構・破題
本題為無損介質中的均勻平面波：εr = 9、μr = 1，由 k = ω√(με) 求波數；把時域式改寫成相量（去掉 e^(jωt)、取實部的逆運算）；再由法拉第定律 ∇×E = −jωμH 求 H，結果應與本質阻抗 η = η0/3 一致。
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- 4
有一個金屬波導內部填充未知介電係數的介質，設其內有橫電波傳播，且其磁場 z 的分量如下：H z cos( x)cos(3 1010 t 221 z ) (A / m) 。波導 x 方向及 y 方向的尺寸為 a 3 cm, b 2 cm 。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）求此模態的號碼。
（二）求波導內部相對介電係數。
（20 分）
參考架構・破題
矩形波導中 TE 模的 Hz = H0 cos(mπx/a) cos(nπy/b)，由 Hz 中 x、y 的空間變化即可讀出模態指數 m、n；再由色散關係 β² = ω²μ0ε0εr − kc² 反求介質的相對介電係數。
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112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
空氣中有一電荷 q，距離 r 處之電位 = ，現若將另一電荷 ，從無窮遠處移至距離 r 處，則所需能量為 = = ，此能量即為保持此二電荷距離為 r 之能量，或稱該二電荷相關之靜電能 U。如圖一所示，現於空氣中有八個正電荷(1)~(8)，電荷量均為 q，分布於邊長為 a 之正立方體的八個頂點，於正立方體中心處放置一負電荷，電荷量為 Q。
（一）試推導中心處負電荷 Q 與八個正電荷 q 相關之總靜電能 。（10 分）
（二）推導八個正電荷 q 相關之總靜電能 。（10 分）
（三）由正電荷與負電荷之總靜電能 = + 觀點，寫出此九個電荷位置成穩定分布之條件式。依據此條件式，推導中心處負電荷 Q 之電荷量。（5 分）圖一
（25 分）
參考架構・破題
本題考點電荷系統的靜電能疊加：總靜電能等於所有電荷「兩兩一對」的位能和 U = Σ qᵢqⱼ/(4πε₀rᵢⱼ)。關鍵在正確數出正立方體頂點間的距離種類與對數，最後利用「平衡＝能量對尺寸的變化率為零」求 Q。
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- 2
如圖二所示，上下平板均為邊長 a 之正方形導體，上平板有非常小的傾斜角度θ，兩平板左邊之最短距離為 h，假設平板面積夠大使得邊緣效應可以忽略，試求電容 C 之大小。（25 分）圖二
（25 分）
參考架構・破題
上板以小角度 θ 傾斜，兩板間距隨位置線性變化，無法直接套 C = εA/d。作法是把電容切成許多寬 dx 的平行板小電容並聯積分，或用兩板延伸相交的「楔形」圓柱座標解拉普拉斯方程，兩法結果相同。
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- 3
有一由完全導體組成的金屬空腔，a = 4 cm，b = 2 cm，L = 6 cm，如圖三所示。
（一）計算空腔內未填充任何材料情況下的最低共振頻率。（15 分）
（二）若有一電性材料填滿整個空腔，此電性材料不導電。若測得之最低共振頻率為 3 GHz，求此電性材料之介質常數 。（10 分）z圖三
（25 分）
參考架構・破題
矩形共振腔的共振頻率 f_mnp = (1/(2√(με)))·√((m/a)² + (n/b)² + (p/L)²)。本題 b 最短，最低模態取 a、L 兩個最長邊各一個半波，即 TE₁₀₁；填入介質後頻率按 1/√εr 下降。
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- 4
一線性極化均勻橫向平面電磁波，從介質 1( , )垂直正向入射至介質2( , )，如圖四所示。其中入射平面諧波(Incident wave)之電場相量 與磁場相量 、反射平面諧波(Reflected wave)之電場相量 與磁場相量及穿透平面諧波(Transmitted wave)之電場相量 與磁場相量 。
（一）寫出入射平面諧波之電場相量 與磁場相量 、反射平面諧波之電場相量 與磁場相量 及穿透平面諧波之電場相量 與磁場相量 的表示式。（15 分）
（二）列出在兩介質交界處之電場及磁場的邊界連續條件。（5 分）
（三）求解上述邊界條件，得出反射係數Γ及穿透係數τ的表示式。 （5 分）圖四
（25 分）
參考架構・破題
均勻平面波正向入射兩介質平面交界，依圖四 E 沿 x、H 沿 y、傳播沿 z。寫出三道波的相量式後，以切向電場與切向磁場連續兩個條件解出 Γ 與 τ，結果只與兩介質的本質阻抗 η 有關。
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111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮一半徑為 R 的圓球，其球心置於原點，其外部電荷為零，內部電荷分布為 (r ) 0 (r / R) ， 0 為一常數。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）計算在 r R 處的電場。
（二）計算在 r R 處的電場。
（20 分）
參考架構・破題
電荷分布 ρ(r) = ρ₀(r/R) 只與 r 有關，具球對稱，電場必為徑向，直接以高斯定律求解：先積分求高斯球面內的電荷，再分球內、球外兩區寫電場。
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- 2
（一）考慮一條沿 z 軸擺放的細導線，其半徑為零，從 z 延伸到 z ，沿 著 細 導 線 流 通 電 流 I (amp) ， 從 z 流 向 z 。 計 算 在( x, y, z ) ( x0 ,0,0) 處的磁場。（10 分）
（二）考慮一條細導線，其半徑為零，將該細導線繞成封閉環狀，環的半徑為 a，並將該環擺放在 xy 平面上，其圓心位在原點。沿著環流通電流I (amp) ，若以右手大拇指平行 z 軸方向，則電流繞右手其餘四指方向流通。計算在 z 軸上的磁場。（10 分）
（20 分）
- 3
在 xy 平面下方 (z 0) 為介質一，介電係數及導磁係數為 (ε1 , 1 )。在 xy 平面上方 (z 0) 為介質二，介電係數及導磁係數為 (ε 2 , 2 ) 。一平面波自下方入射，其磁場表達式為 H i yH ˆ 0 e jkx x jkz z ，在介質一產生一反射波，其磁場表達式為 H r yˆ RH 0 e jkrx x jkrz z，在介質二產生一折射波，其磁場表達式為 H t yˆ TH 0 e jktx x jktz z 。
（一）推導入射波、反射波、折射波的電場表達式。（10 分）
（二）列出入射波、反射波、折射波的波數向量色散條件。（5 分）
（三）從在 z 0 的邊界條件推論相位匹配條件， k x krx ktx 。（5 分）
（四）從在 z 0 的邊界條件推出反射係數 R 和折射係數 T 的表達式。 （10 分）
（30 分）
參考架構・破題
磁場只有 ŷ 分量、入射面為 xz 平面，屬斜向入射的 TM（平行極化）波。以安培－馬克士威方程由 H 求 E，再用 z = 0 的切向場連續導出相位匹配（司乃耳定律的來源）與 R、T。
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- 4
將兩片無限大的金屬平板平行於 yz 平面擺放，使該兩片金屬板的 x 坐標分別為 x 0 及 x a 。當 TE（transverse electric）波模態在兩片金屬板間傳播時，令其電場為 E ˆyE0 sin(k x x) e jkz z 。
（一）從邊界條件推論 k x 的可能解。（5 分）
（二）推導對應的磁場表達式。 （10 分）
（三）推導對應的複數（complex）Poynting 向量 z 分量的表達式。（10 分）
（四）推導使複數（complex）Poynting 向量 z 分量為實數時的頻率條件。 （5 分）
（30 分）
參考架構・破題
兩片 x = 0、x = a 的理想導體平行板波導，電場只有 ŷ 分量（平行於導體面）。由切向電場為零得 k_x = mπ/a；以法拉第定律求 H；複數坡印廷向量 S = ½E × H* 的 z 分量是否為實數，對應傳播（高於截止）或消逝（低於截止）。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請證明馬克斯威爾方程式以及勞倫茲力公式隱含了庫倫力定律：換言之，請首先推導一個點電荷 q1 存在時所產生的電場（過程中請使用高斯定律求解），接著引入另一個點電荷 q2，計算其所受電力。 （25 分） [提示]：馬克斯威爾方程式 D v 且 D E B E 又勞倫茲力為 F qE qu B t B 0 D H J t
（25 分）
參考架構・破題
要證明庫倫定律可由馬克士威方程與勞倫茲力推出：靜止點電荷 q₁ 的場用高斯定律（∇·D = ρ 的積分形式）配合球對稱求出，再把 E 代入勞倫茲力 F = qE + qu × B 得 q₂ 所受的力。
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- 2
針對在+z 軸上的一點 P，原點和點 P 間的距離 d=6，請回答下列有關圓柱坐標和球坐標的問題：z 6 P O y x
（一）寫出圓柱坐標的符號表示，寫出 P 點的圓柱坐標值並說明此答案之意義。（7 分）
（二）請問點 P 處的圓柱坐標基底向量 r̂ 的方向是否確定或唯一？請詳細說明理由。（6 分）
（三）寫出球坐標的符號表示，寫出 P 點的球坐標值並說明此答案之意義。（6 分）
（四）請問點 P 處的球坐標基底向量ˆ 的方向是否確定或唯一？請詳細說明理由。（6 分）
（25 分）
參考架構・破題
點 P 位於 z 軸上 (0, 0, 6)，正好落在圓柱與球座標的座標奇異點：圓柱座標 r = 0、球座標 θ = 0，方位角 φ 無定義，導致部分基底向量在該點不唯一。
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- 3
如圖，有一個無窮大的平面電流分布（朝出紙面方向， ẑ 方向） ，其面電 I流密度為 K ˆzK s ，且 K s （單位：A/m），請利用安培定律求電流分W 布上下兩側區域（y>0 和 y<0）的磁場 H 。（5 分）I y x W 面電流分布K
（5 分）
參考架構・破題
無限大面電流 K = ẑK_s 位於 y = 0 平面（xz 平面），以安培定律與對稱性可知兩側磁場大小相等 K_s/2、方向相反且平行於面、垂直於電流，即 H = ½K × n̂。
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- 4
有關傳輸線不連續處（底下以終端負載為短路為例）的電壓反射係數的推導，如圖所示設入射波為 I o e z ，反射波為 I o e z ，則在短路負載處（z=0）的終端條件為：Vo Vo VL 0 ⑴ I o I o I L ⑵一般認為這兩個終端條件乃是基於 z=0 處的克希荷夫電壓定律以及電流定律；請證明⑴和⑵兩式直接和底下 z=0 處的電場邊界條件以及磁場邊界條件相關：E1t E2t 0 ⑶ K s nˆ ( H 1 H 2 ) ⑷ 且 H 2 0亦即，（一）請由⑶式推導出⑴式。（10 分）
（二）請由⑷式推導出⑵式。（10 分）[提示]：請利用圖及圖，想像傳輸線上的電流 I 是源自一個無窮大的平面電流中寬度為 W 的一段電流，故推導過程中可以忽略邊緣效應。I o e z ＃1,空氣 ＃2,金屬IL y=h Zo I o e z VL 短路Zo n̂ E 0, H 0 z y=0 z=-d z=0 ＃1,空氣 ＃2,金屬I y=h .W ........ I y=0
（20 分）
參考架構・破題
把傳輸線看成兩片寬 W、間距 h 的平行導體板（TEM 波，E 沿 y、H 沿 x），短路端是 z = 0 的金屬牆。電壓是 E 沿 y 的線積分，電流是板上面電流乘 W；因此 KVL、KCL 其實就是金屬牆上切向 E 為零與切向 H 對應面電流兩個邊界條件。
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- 5
如圖所示的簡單交流電路，電源 vs 8cos( t ) （volt），電阻 R1=3 Ω，電阻 R2=5 Ω，該迴路位於 xy 平面上，且迴路面積為 2 m2，請問：v1 R1 v2 R2 vs 8cos( t ) y x
（一）若不考慮法拉第感應定律，請寫出克希荷夫電壓定律（KVL）的表示式，且分別求橫跨在 R1 和 R2 上的電壓 v1 和 v2，以及電流 i。（7 分）
（二）若納入法拉第感應定律，且設前述迴路電流對應的磁通密度 B 為均勻的且 B ˆzB0 cos( t ) （Tesla），求其對應的磁通量 Φ 以及感應電動勢vemf。（4 分）
（三）承（二），重畫此時的等效電路，並重新計算電壓 v1 和 v2（納入 vemf 疊加後的貢獻） 。（10 分）
（四）承（三），請寫出此時的克希荷夫電壓定律的表示式，並比較它和（一）的差別之處。（4 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
試推導向量三重積恆等式A⃗× B⃗×C⃗ = k1 B⃗+k2 C⃗，求得k1 與k2 為何？（15分）
（15 分）
- 2
兩個半徑分別為R1和R2的球形導體以一條金屬細導線連接，假設兩個導體球相距甚遠使得球形導體上的電荷分布可以視為均勻分布。若兩個導體球的總電荷量為Q，試求：
（一）兩個球形導體上個別的電荷量。（8分）
（二）兩個球形導體表面的電場強度。（7分）
（15 分）
- 3
如圖之磁路系統，在中央分支鐵心有N = 200匝的線圈，流入 I = 3 A之穩態電流，該鐵心的橫截面積為S = 10-3 (m2 )且相對導磁係數為μr = 5000，試求：
（一）中央分支磁通量∅0 及兩邊分支磁通量∅1 。（10分）
（二）中央分支鐵心磁場強度(H0 ) 、空氣間隙磁場強度(H0 ) 及兩邊分支鐵心f g磁場強度H1 。（10分）⃗ ⃗
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
在自由空間中有一平面電磁波，其電場相量E⃗ R⃗ = E⃗0 e-jk·R 及磁場相量⃗ ⃗ H⃗ R⃗ = H⃗0 e-jk·R，E⃗0 及H⃗0 為常數向量，k⃗為波數向量，R⃗為位置向量，應用 Maxwell方 程 式 ， 證 明E⃑⊥H⃑，k⃑⊥E⃑ ，k⃑⊥H⃑ 以 及 自 由 空間 本質 阻 抗E0 μ0 η0 = = = 120π (Ω)。（25分）H0 ϵ0
（25 分）
參考架構・破題
平面波相量形式為 e^(－jk⃗·R⃗)，對其取旋度、散度時可把 ∇ 換成 －jk⃗，將 Maxwell 方程式化為代數式，即可一次證明 TEM 波三向互相垂直並導出本質阻抗。
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- 5
一無損傳輸線的特徵阻抗為R0 = 50 Ω，長度為 ，連接另一條特徵阻抗為R 0 ，長度為 ，以負載阻抗ZL = 40+j10 (Ω)匹配，試求達成匹配條件所需的特徵阻抗 R 0 及長度 各為多少。（25分）
（25 分）
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知自由空間裡之球對稱電場分布為/（3 ）, < = /（3 ）, >求算
（一）分別在 < 及 > 之電位 及電荷密度 。（20 分）
（二）儲存於電場之能量 。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
題目符號在轉檔時毀損，從殘存格式判斷應為半徑 a 的均勻帶電球（體電荷密度 ρ0）：r＜a 時 E⃗＝ρ0r/(3ε0) r̂，r＞a 時 E⃗＝ρ0a³/(3ε0r²) r̂，請對照原卷確認。解法核心：由高斯定律微分式求電荷密度、由電場線積分求電位、由 (ε0/2)∫E²dv 求能量。
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- 2
關於自由空間之靜磁場
（一）磁通密度滿足∇ ∙ = 0，說明其代表之物理意義。（5 分）
（二）應用安培定律之微分式，證明克希荷夫（Kirchhoff）電流定律。（5 分）
（三）以磁位 表示，令 = ∇ × ，代入安培定律，進一步令∇ ∙ = 0，給定電流密度 時，推導 須滿足之方程式，並說明何以我們可以要求∇ ∙ = 0。（10 分）
（四）利用（三）求得之方程式，與靜電學 Poisson 方程式比較，將 表以 之積分。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
題目符號毀損，依上下文 B⃗ 為磁通密度、A⃗ 為磁向量位、J⃗ 為電流密度。本題串起靜磁學三件事：磁單極不存在、電流連續（KCL）、以庫侖規範導出向量 Poisson 方程式並類比靜電解。
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- 3
一角頻率 之均勻平面波 = 傳播於有損介質，其導磁係數、介電係數及導電係數分別為 、 、
（一）在何條件下，此一介質可視為良導體？下列子題均假設良導體成立。（5 分）
（二）推導其傳播常數 = + ，得出衰減常數、相位常數之表示式。 （10 分）
（三）以銅為例， = 5.8 × 10 S/m、 = 、 = ，求算在 3 MHz 時之本質阻抗大小、相速度。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
題目數值符號毀損，依常見題型為：銅 σ＝5.8×10⁷ S/m、μ＝μ0、ε＝ε0，頻率 3 MHz，請對照原卷。核心是損耗正切 σ/(ωε)≫1 的良導體近似，得 α＝β＝√(πfμσ)、本質阻抗相角 45°。
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- 4
有一 50 歐姆傳輸線之單位長度電阻、電感、電導、電容分別是 、 、 、 ，吾人可推導出其傳播常數滿足 = + = + + ，當/ = / 時，
（一）求算 之表示式。 （5 分）
（二）說明為何此條件下，稱為無失真傳輸線。（5 分）
（三）若 = 0.1 nF/m、 = 0.06Ω/m，求算 、波行進之相速度、及單位長度衰減 dB 數。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
題目符號毀損，依上下文為 R、L、G、C 傳輸線，傳播常數 γ＝α＋jβ＝√((R＋jωL)(G＋jωC))，條件 R/L＝G/C 即 Heaviside 無失真條件。重點是說明此時 α 與頻率無關、β 與頻率成正比，並以 Z0＝50 Ω 求出各參數。
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
總電荷 Qo 均勻地分布於一中空球體，中空球體的內徑為 a、外徑為 b、球心座標(xc, yc, zc) = (0, 0, h)。有一無窮大的接地完全導體平面放置於 z = 0，如圖一所示。G
（一）求在球心的電場 EC 。（10 分）G
（二）求在 P 點（h, 0, 0）的電場 E P 。（10 分）
（三）求在完全導體平面之總感應電荷 Qind。（5 分）z帶電中空球體 b a o P x接地的完全導體平面圖一G
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
一無窮大的面電流置放在 z = D 的平面上，其電流密度為 k = xˆKo cosω t ( A / m2 )。此面電流下方 A 區有一正方形金屬環（邊長為 a，內阻為 R），和無窮大的接地完全導體。如圖二所示。平面（在 z = 0）G
（一）求在 A 區（0 < z < D）的磁場 H A 。（5 分）G
（二）求在 B 區（D < z）的磁場 H B 。（5 分）
（三）求金屬環感應電流 Iind 之振幅峰值大小。（10 分）圖二36170 全一張36270 （背面）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
有一平面波在海水中行進，海水的介電係數為 ε = 81 ε o 、導電係數為σ = 1 S/m ，導磁係數為 μ o，ε o = 10−9 / 36π = 8.854 × 10−12 ( F / m)，μo = 4π × 10− 7 = 1.256 × 10− 6 ( H / m) 。G平面波的電場為 E = xˆ100e −αz cos( 2π 107 t − β z ) + yˆ 20e −α z sin( 2π 107 t − β z ) 。註： π = 3.14 ， log e ≈ 0.43 。
（一）求衰減係數α 。（5 分）
（二）求此平面波在海水中的波速。（5 分）
（三）說明這平面波的極化特性？（10 分）
（四）若此平面波行進了 1 m，求此平面波功率密度衰減了多少 dB？（10 分）
（30 分）
參考架構・破題
海水在 10 MHz 時損耗正切 σ/(ωε)＝1/(2π×10⁷×81ε0)≈22，屬導電性強的有損介質。依序求 α、β、波速，再由兩正交分量的振幅與相位判斷極化，最後由功率按 e^(－2αz) 衰減換算 dB。
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- 4
一矩形導波管由完全導體組成，a = 3 cm，b = 2 cm，L = 100 cm，管內是真空，如圖三。G行進波 TE10 的電場為 E y = yˆ Eo sin( k x x )e j ( 2π f o t − k z z ) 。波導管內量測到的波長是 8 cm。
（一）求 TE10 模的截止頻率 f cut 。（5 分）
（二）求 TE10 模的操作頻率 fo。（5 分）
（三）求在 y = 0 的金屬面上的感應電荷密度 ρ S 。（5 分）G
（四）求磁場強度的大小 H 。（10 分）y z x b L a圖三
（25 分）
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一邊長為 L 且中心位於原點的正立方體介質材料，其極化向量 P = P0 (a x x + a y y + a z z ) 。
（一）計算表面極化電荷密度。（8 分）
（二）計算體積極化電荷密度。（8 分）
（三）計算全部的極化電荷。（4 分）
（20 分）
參考架構・破題
介質極化後產生束縛電荷：表面 ρps＝P⃗·n̂，體積 ρpv＝－∇·P⃗。本題 P⃗＝P0(xâx＋yây＋zâz)＝P0r⃗ 具對稱性，六個面結果相同，最後驗證總極化電荷為零（電中性）。
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- 2
如圖所示，兩根半徑為 a 的圓形截面平行導線有方向相反且大小相同之電流，兩導線的軸心相距 d (d >> a) ，試求此傳輸線單位長度之電感 L 。（20 分）y I I o x d z
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
靜磁場的兩個重要公式：
（一） ∇ ⋅ B = 0 ，表示磁通密度 B 的散度為零，試申述其物理意義。（10 分）
（二） ∇ × B = μ 0 J ，其中電流密度 J 須滿足何種條件？試申述此一條件之物理意義。（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
兩式分別是靜磁場的高斯定律與安培定律微分式。前者表示不存在磁單極、磁力線封閉；後者要求 ∇·J⃗＝0，即穩定電流（電荷不累積），並由此引出時變場需加位移電流的 Maxwell 修正。
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- 4
一有損傳輸線之單位長度串聯電感為 L ，單位長度串聯電阻為 R ，單位長度並聯電容為 C ，單位長度並聯電導為 G 。
（一）試繪出一小段此傳輸線（長度為 Δ z ）之等效電路圖，並藉以推導時間諧波（time harmonic）傳輸線方程式。（10 分）
（二）求電壓相量V (z ) 及電流相量 I (z ) 之解的數學式。 （5 分）
（三）推導傳播常數 γ 及特徵阻抗 Z 0 與 R, L, G , C 的關係。（5 分）
（20 分）
參考架構・破題
以分佈參數模型將長度 Δz 的傳輸線等效成串聯 RΔz、LΔz 與並聯 GΔz、CΔz，對電壓、電流列 KVL、KCL，取 Δz→0 得電報方程式，相量化後解出前進波與反射波，並得 γ 與 Z0。
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- 5
試證明任一橢圓極化平面波可以分解為右旋圓極化平面波與左旋圓極化平面波之和。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
任一極化都可由兩正交分量的振幅與相位描述；圓極化基底（右旋、左旋）同樣構成完備基底。只要證明對任意複振幅 Ex、Ey，都能解出唯一的右旋與左旋圓極化振幅，即完成證明。
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如圖一所示，在兩片面積分別為 A 之金屬板中間插入兩片介電質，厚度分別為 h1 及h2，介電係數分別為 ε1 及 ε2。兩片金屬板分別接到一直流電壓源之兩端，電壓源之電壓為 V0，導致兩片介電質內之電場分別為 E1 及 E2。（每小題 5 分，共 25 分）
（一）列出兩片介電質交界處之電場邊界條件。
（二）兩片金屬板之間的電場線積分應與外接電壓源之電壓相等，據此列出 E1 及 E2 與V0 之關係式。
（三）根據前述（一）、（二）題之關係式求解 E1 及 E2。
（四）求解上端金屬板內側之電荷密度。
（五）求解兩片金屬板間之電容表示式。 A V0 h1 E1 ε1 h2 E2 ε2圖一
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
如圖二所示，將一金屬線纏繞在一個半徑為 a 之磁性圓柱體表面，形成一個 N 圈螺線圈，線圈高度為 h，相鄰金屬線圈之間互相絕緣且不留縫隙。將該螺線圈之兩端點分別接到一直流電流源之兩端，電流源之電流為 I0。磁性圓柱之導磁係數為 μrμ0。（每小題 5 分，共 25 分）
（一）若將螺線圈視為一無厚度之等效金屬圓筒，該圓筒上之電流密度為何？
（二）列出圓筒內側電流密度與磁場之邊界條件。
（三）解釋為何圓筒內部之磁場可視為一常數。 2a
（四）求解流經圓筒內之總磁通量。
（五）求解該螺線圈之電感。μr μ0 I0 h圖二全一張26570 （背面）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
如圖三所示，一平面諧波，角頻率為 ω ，自左側介質（μ0, ε1）垂直入射至右側介質（μ0, ε2）。該入射平面諧波之電場 Ein 、反射平面諧波之電場 Ere 及穿透平面諧波之電) ) )場 Etr 可分別表示為 Ein = yE0e j (ω t −k z ) 、 Ere = yRE0e j (ω t + k1z ) 及 Etr = yTE0 e j (ω t − k2 z )，其中R 及 T 分別為反射係數及穿透係數。
（一）根據 Ampere's law： ∇ × H = jωεE 及 Faraday's law： ∇ × E = − jωμH ，分別推導 k1與（μ0, ε1）的關係式及 k2 與（μ0, ε2）的關係式。 （6 分）
（二）根據 Faraday's law： ∇ × E = − jωμH ，分別推導入射平面諧波之磁場 H in 、反射平面諧波之磁場 H re 及穿透平面諧波之磁場 H tr 的表達式。 （9 分）
（三）列出在兩介質交界處之電場及磁場的邊界連續條件。 （6 分）
（四）求解上述邊界條件，得出 R 及 T 的表達式。（4 分）y (μ0, ε1) (μ0, ε2) x z圖三
（25 分）
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- 4
如圖四所示，為一由理想導體製成之矩形導波管，內部為真空，介電係數為 ε0、導磁係數為 μ0。假設導波管內部的磁場 z 分量為 H z = H 0 f ( x) g ( y )e − jk z z ，並滿足波動方程式 (∇ 2 + k 02 ) H z = 0 ，其中 k 02 = ω 2 μ 0ε 0 ，kz 為電磁波在導波管內沿著 z 方向傳播的− jωμ 0 ∂H z jωμ0 ∂H z波數。電場的 x 分量及 y 分量可表示為 E x = 2 及 E y = 。k 0 − k z2 ∂y k02 − k z2 ∂x
（一）推出 Ex 及 Ey 的表達式，內含 f (x)及 g (y)。（6 分）
（二）列出在四片理想導體表面，電場分量須滿足的邊界條件。（4 分）
（三）求解 f (x)及 g (y)的外顯表達式，並註明可能存在的模式。 （10 分）
（四）列出可能存在模式的 kz 外顯表達式，並註明各該模式可以沿著 z 方向傳播的頻率範圍。 （5 分）a (μ0, ε0) y b x z圖四
（25 分）
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如圖一所示，在一接地導體球之右側有一電荷 Q 與球心相距 d ，導體球之半徑為 a ，− Q(d 2 − a 2 )試證明導體球感應之表面電荷密度 ρ S = 。（25 分）4πa(a 2 + d 2 − 2ad cos θ )3 / 2 ρS a θ Q O d圖一
（25 分）
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- 2
圖二為細線所繞成之螺線環形線圈，內半徑為 a ，外半徑為 b ，中空部分之截面為長方形，高度為 h ，設線圈之圈數為 N ，
（一）螺線環形線圈通過一等值電流 I ，試求中空部分任意位置之磁通密度 B 。（10 分）
（二）試求環形線圈自電感量 L 。（15 分）I I b h dr r a圖二全一張（背面）
（25 分）
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- 3
如圖三所示，考慮有限長傳輸線，其特徵阻抗為 R0 ，波傳播速度為 u ，傳輸線長度為l ，輸入端（ z = 0 ）加上直流電壓源V0 ，其內阻為 R0 ，負載端（ z = l ）加入電感性負載，電感值為 LL ，在 t = 0 時，將開關按下，試求在負載端的電壓波 vL (t ) 為何？並繪出負載端之電壓波形。（25 分）iL + R0 R0 LL vL (t) + V0 - - z=0 z=l圖三⎡ z ⎤ 1
（25 分）
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- 4
一真空入射平面波其電場為 Ei ( z, t ) = xˆEi 0 sin ⎢ω (t − )⎥ ，其中 c = ，在 z = 0 處⎣ c ⎦ μ0ε 0有一完全導體平面，入射平面波正向入射於該完全導體平面，試問：
（一）入射磁場 Hi ( z, t ) 。（5 分）
（二）反射波之電場 Er ( z, t ) 及磁場 H r ( z , t ) 。（8 分）π π 3π
（三）並繪出真空中全部電場及磁場分別於 ωt = 0, , , , π 之波形。（12 分）4 2 4
（25 分）
參考架構・破題
本題是平面波正向入射完全導體（PEC）的典型題：利用平面波 E、H 與傳播方向的右手關係求入射磁場，再用「導體表面切向電場為零」求反射波，最後把入射與反射疊加成駐波，畫出不同時刻的空間分布。
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
（一）試寫出靜電場所需滿足之微分方程式。（4 分）
（二）試寫出靜磁場所需滿足之微分方程式。（4 分）
（三）請依據（一）、（二）結果，推導出靜電場及靜磁場之邊界條件。（7 分）
（15 分）
- 2
某一半徑為 a 之電中性金屬球置於座標原點，如圖一。今在 x = 2d 及 x = -d 處分別放置帶電量為 Q 及-2Q 之電荷。試求金屬球面之電位。（20 分）y a -2Q Q x x=-d O x = 2d圖一
（20 分）
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- 3
如圖二所示為兩同軸且半徑分為 a 及 b 之空心金屬管，a < b。設金屬管為無限長且管壁厚度可不計，內管之軸向電流為 I，外管軸向電流為-I。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）求空間中每一位置之磁場強度 ，0＜ ＜∞。
（二）求此同軸金屬管單位長度之電感值。a -I I b圖二26670 全一張26770 （背面）
（20 分）
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- 4
如圖三，某一電磁波由真空中正向入射到一低損耗介質 ϵc = ϵ0 - jϵ'' , ϵ'' ≪ ϵ0 。入射波電場及磁場分別為：Ei z = ax Ei0 e-jk0z E Hi z = ay ηi0 e-jk0z其中k0 及η0 分別為真空中之波數（Wave number）及固有阻抗（Intrinsic impedance）。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）求介質中之複傳播常數 （Complex propagation constant）及複固有阻抗ηC 。
（二）求反射波電場 Er 及磁場 Hr。x反射波 Er Et 穿透波anr ant ⊗ ⊙ Hr Ht z Ei y入射波 ani ⊙ Hi介質 1 介質 2 , , z=0圖三
（20 分）
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- 5
特性阻抗及長度分別為（50 Ω，300 m）及（150 Ω，600 m）之兩傳輸線串接如圖四，兩傳輸線內之介質皆為空氣。現有一電壓 10 V、內阻 50 Ω 之電源在 t = 0 時接上此傳輸線結構。
（一）試畫出此電路之電壓反射圖（Voltage reflection diagram）。（10 分）
（二）畫出 t ≤ 12 μs內，負載電壓 VL 對時間之關係圖。（10 分）
（三）求 t = ∞時之負載電壓 VL。（5 分）t=0 50 Ω + 10 V Z0=50 Ω Z0=150 Ω VL 75 Ω − 300 m 600 m圖四
（25 分）
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102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如附圖，兩個帶電量為 Q1 及 Q2 之點電荷，分別位於 M 及 N 點，M 及 N 點在直角座標系中之座標分別為(0,0,d/2)及(0,0,-d/2)。此一靜電系統在真空環境中（介電常數 r r設為ε0）之電通量密度分布為 D (R,θ,φ)，電場強度分布為 E (R,θ,φ)。
（一）若 Q1=Q2=Q，以原點為中心，2d 為半徑，繪一假想球面，在此球表面考慮下列 r r r r積分式，試問 ∫∫ D ⋅ n ds=？（3 分）及 ∫∫ E ⋅ n ds=？（3 分）r
（二）若 Q1=+Q，Q2=－Q，並假設 R≧d，試將空間中之靜電場分布 E ，以球座標之方式表示出來。（15 分）r
（三）承上子題，請問∇× E =？（2 分），又請依影像原理設計一靜電系統，使此新的靜r電系統在 z>0 之分布與 E 完全相同。（2 分）zz r ⎧DrD( R , θ , (R,θ, φ ) φ) ⎨E ( E , θ , φ ) { rr M M RR ⎩ E (R,θ,φ) θθ y y φφ NN xx
（25 分）
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- 2
考慮附圖所示包含有空氣間隙長為 g（單位為 m）之磁路系統，假設電流為 I（單位為 A），線圈之圈數為 N 圈，主要磁路及空氣之介磁係數分別為μ及μ0，主要磁路之長度為 h（單位為 m），又磁路之截面積為 S（單位為 m2）：
（一）試求此磁路中之磁通量密度。（10 分）
（二）試評論此題中，若主要磁路之磁滯曲線已知時，應如何更正確求出磁路中之磁通量密度。（10 分）
（三）就磁通量密度而言，人體安全標準值為多少毫高斯？（3 分）
（四）在微波頻段利用時變磁場產生渦流來加熱，請問主要應用何定律？（2 分）電流電流 II g g（N (N圈）圈)斷面積: S截面積：S虛線長度為虛線長度為 h h 36070 全一張36170 （背面）類 科： 電子工程、電信工程
（25 分）
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- 3
一均勻平面波正向入射於兩介質介面。在第一介質中，該入射平面波電場強度（峰r對峰值）之相量表示式為 E = 10 e- jkz a y volt / m, k 為相位常數：
（一）設第一介質之介電常數為ε0，第二介質之介電常數為 9 ε0，兩區之介磁常數均為μ0。請將穿透至第二介質區平面波之電場強度用（峰對峰值）相量表示法表示出來。（8 分）
（二）承上子題，請將穿透至第二介質區平面波之磁場強度用（峰對峰值）瞬時表示法表示出來。（8 分）
（三）承第一子題，求穿透至第二區對時間平均之功率密度（含大小與方向）。（8 分）
（四）承第一子題，求出在第一區形成駐波之駐波比。（4 分）
（五）若傳輸線有損耗，其衰減常數為 0.01 NP/m，請問此值相當於每公尺衰減多少 dB？（2 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題是均勻平面波正向入射兩無損介質介面：先由介電常數求本質阻抗，算反射係數 Γ 與穿透係數 τ，再寫出穿透波電場、磁場、平均功率密度與駐波比，最後一小題考 Np 與 dB 換算。
完整答題架構與關鍵字：到站內看全文
- 4
以一增益值為 1.76 dBi 之天線接收空間（介電及介磁係數分別為ε0 及μ0）中均勻分布電場強度為 2(v/m)之 10 GHz 電磁波訊號，天線之輸入阻抗為 50 Ω，此天線連接至一阻抗為 50 Ω之負載，請問負載接收功率為何？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題考接收天線的有效面積：由增益與波長求 Ae = Gλ²/(4π)，再由電場強度求入射功率密度，相乘得接收功率；天線與負載皆 50 Ω 為共軛匹配，故可直接取最大可用功率。
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- 5
有一銅線長度為 L，半徑為 r，其電導率為σ假設與頻率無關：
（一）計算銅線在 1 GHz 及 4 GHz 時表面電阻之比值。（5 分）
（二）計算銅線在 1 GHz 及 4 GHz 時肌膚深度之比值。（5 分）（請由公式說明，無公式或公式不對但答案正確各給 2 分）
（10 分）
其他等別的「電磁學」
- 電磁學（地方特考三等）（49 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。