誤差理論概要　申論題歷屆試題與參考架構

115 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   請說明測量平差計算的目的，以及平差計算的一般流程。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   測量觀測必含誤差，且常有多餘觀測；平差的核心是在最小二乘等準則下，由不一致的多餘觀測求得唯一、最可靠的估值並評估其精度。答題先講目的，再依流程逐步展開。

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2. 2

   野外觀測時，為了避免誤差太大或者產生粗差（錯誤），通常會對觀測量訂定一些簡單的偵錯規則。試舉例說明這些誤差限制值（或稱容許值）應如何訂定？並請說明理由。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   偵錯規則的限制值，是以誤差服從常態分配為前提，用中誤差的倍數（常取2倍或3倍）作為界線，使正常隨機誤差極少超限，超限者即視為含粗差而重測。

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3. 3

   甲、乙、丙三人測量同一段距離各數次，平均值分別為 98.228 公尺、98.235 公尺、98.240 公尺及其標準差分別為 2.0 公分、1.8 公分、2.4 公分。試以這三個平均值計算加權平均值與加權平均值的標準差。 （25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   三個平均值精度不同，應以權（與方差成反比）計算加權平均，再依權的總和求加權平均的標準差，精度較高者影響較大。

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4. 4

   觀測一個平面三角形ABC 的三個內角，觀測值分別為A=54 20 21、B=62 29 47、C=63 10 25，這三個觀測量的權比例為 3：2：1。設A、B 的真值分別為 x 和 y，請列出觀測方程式，並以最小二乘法平差計算A、B、C 的最或是值，以及 x 和 y 估計值的標準差。 （25 分）

   （25 分）

114 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   已知a  2x  3y  1 、 b  5x  6y  1 ，並已知  x  0.3 、  y  0.1，且 x與 y 無相關，則 a 以及 b 之標準差以及相關係數各為何？（25 分）

   （25 分）

2. 2

   請說明在何種條件下，重複觀測某一個物理量多次後取其平均值，該平均值之精度會隨著重複觀測數量增加而提高？（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   重複觀測取平均能提高精度，前提是各次觀測誤差相互獨立、同精度、無系統誤差與粗差。核心式：平均值中誤差＝σ／√n。

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3. 3

   在非線性平差解算問題中，應先選定適當的參數起始值進行迭代後以獲得收斂解，請說明應該如何判斷迭代是否已達收斂？請提出至少兩種方式作為迭代收斂停止條件。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   非線性平差以泰勒展開線性化後迭代求解，每次迭代得到新的參數改正量；當改正量或目標函數不再明顯變化，即可判定收斂而停止。

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4. 4

   於一直線上 a、b、c、d 四點間進行距離觀測，得觀測值分別為 L1  2.1 m、L2  3.6 m 、L3  4.5 m 、 L4  5.8 m 、L5  8.0 m 、L6  10.3 m ，請以直接觀測平差解算該四點間之距離。（25 分）L1 L2 L3 a b c d L4 L5 L6

   （25 分）

   本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

113 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   一組 16 個測量誤差如下所示：10, 16, －5, 17, 7, 19, －3, 9, 30, 3, 17, 0, 15, －2, 9, 2。試以此數據判斷此組誤差是否存在系統誤差？另若誤差大於 3 倍的標準差視為粗差（錯誤） ，請問在這組數據裡，是否存在粗差？若有粗差存在，是上述那些測量誤差？粗差刪除後，估計這些誤差的平均值、量測標準差、均方根誤差。以上均請說明之。 （註：假設測量誤差服從常態分配）（25 分）

   （25 分）

   本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

2. 2

   同一量（如一段長度、一個角度等）二次觀測之差，是為較差。較差小時，表示這些觀測量的隨機誤差（即俗稱的偶然誤差）小。請依誤差理論評論這段話的正確性。另外，導線簡易平差計算所得的位置閉合差是較差的概念，還是可用來表示導線測量之精度？試評論之。（註：假設測量誤差服從常態分配）（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   較差小固然表示重複觀測一致，即精密度高，但只是必要而非充分：它反映隨機誤差小，卻看不出系統誤差；且位置閉合差涉及多個觀測量，應視為精度的指標而非單純較差。

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3. 3

   假設水準測量往返測閉合差的限制值為12 mm K ，則水準測量每公里的精度要求為何？又一條實際的水準線往返測高程差分別為 12.536 m和 －12.552 m，水準線長分別為 10 km 和 10.8 km，試求此水準線兩端點的平均高程差為何？其閉合差是否滿足前述閉合差的限制值？請說明之。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   往返閉合差的限差12√K mm屬於路線長度的函數，可回推每公里的精度；再依往返路線長取平均高程差，並比較實際閉合差與限差。

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4. 4

   假設水平角正倒鏡觀測一測回的觀測精度為 5 秒，一個水平角正倒鏡觀測五測回，則各測回觀測值和所有測回的平均值之 95%信賴區間的較差限制值應為多少方為合理？請說明之。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   須先釐清「較差」指什麼：各測回與平均值的較差，其方差要用誤差傳播並扣除平均值與各測回的相關，再以常態分配95%信賴（約1.96倍標準差）訂限值。

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