誤差理論概要　申論題歷屆試題與參考架構

114 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   針對系統誤差（systematic error），回答以下問題：

   （一）系統誤差有何特性？（10 分）

   （二）觀測量中若含有系統誤差，對平差會有何影響？（10 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   系統誤差（systematic error）為測量觀測中遵循特定物理或幾何規律之誤差，具規律性與累積性。平差計算通常基於觀測量僅含偶然誤差（random error）之最小二乘法假設，若未妥善消除或模型化系統誤差，將嚴重破壞平差成果之無偏性（unbiasedness）與精度評估之可靠性。

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2. 2

   成像比例尺 S = ，其中 f 為像主距，H 為物距。若像主距以及物距的誤差分別為 5% f 以及 10% H，則比例尺 S 的誤差為多少？（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題探討非線性函數之誤差傳播定律（Error Propagation Law）在航空攝影測量成像比例尺之應用。依幾何光學與航測成像原理，比例尺函數為像主距與物距之比值（S = f / H），本題核心在於透過泰勒級數一階展開偏微分或對數微分法，求取比例尺之中誤差與相對誤差。

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3. 3

   水準網，如下圖，箭頭代表高程上升方向，A 點高程為 10.000 m，B 點高程為 15.000 m，高程差觀測資料如下：∆ℎ = 2.505 m；∆ℎ = 2.495 m；∆ℎ = 1.497 m；∆ℎ = 4.005 m；∆ℎ = 0.990 m；∆ℎ = 1.003 m。若 A 點及 B 點高程無誤差，所有觀測量等權且不相關，以最小二乘法（least squares method）計算 C、D、E 點高程最或是值及所有高程差觀測量改正數。（有效位數至 mm（公厘）） （30 分）A B C D E水準網

   （30 分）

   參考架構・破題

   本題是有兩個已知點（A、B）的水準網間接觀測平差：6 個觀測、3 個未知數（HC、HD、HE），多餘觀測數 r＝3。要列觀測方程式、組法方程式解出最或是值，再回代求改正數，最後做檢核。

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4. 4

   說明多餘觀測（redundancy）與錯誤偵測（發現有錯誤）及錯誤定位（發現錯誤在那裡）之關係。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   多餘觀測（redundancy）為測量平差之核心基礎，係指觀測量總數超過求解幾何模型所需之獨立必要觀測量數。平差系統唯有具備充分且幾何分佈均勻之多餘觀測數，方能形成閉合條件以進行錯誤偵測（粗差偵測）與錯誤定位（粗差指認），本題應結合統計檢定理論（如巴爾達數據探測法）進行系統性剖析。

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113 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   試說明下列名詞的意義：（每小題 5 分，共 25 分）

   （一）精密度（precision）與準確度（accuracy）

   （二）多餘觀測（redundancy）

   （三）絕對誤差（absolute error）與相對誤差（relative error）

   （四）獨立觀測（independent observations）

   （五）標準差（standard deviation）與均方根誤差（root mean square error）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題測驗測量與統計誤差理論中最根本的核心名詞定義。作答時應以簡明扼要的數學定義與物理概念切入，並注重兩兩成對概念之間的區別與關聯，凸顯觀測品質評估與平差前置觀念的完整性。

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2. 2

   設圓周長為 L，面積為 A，現測得圓半徑 r 之最或是值及其中誤差為15.38  0.03 m ，求：

   （一）圓周長 L 之最或是值及其中誤差？（10 分）

   （二）面積 A 之最或是值及其中誤差？（15 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題考誤差傳播定律（非線性函數以偏導數線性化）：圓周長 L＝2πr、面積 A＝πr²，已知 r＝15.38 m ± 0.03 m，求函數值與其中誤差。

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3. 3

   設有觀測向量 S   S1 , S2 , S3  的變方-協變方（Variance-Covariance）矩陣為：T 0.7 0.2 0.0  DS   0.2 2.0 0.5     0.0 0.5 3.0 試計算線性函數： X  S1  10 S2  5S3  8 及 Y  3S1  8S 2  S3  5 的變方值 X2 、 Y2 及協變方值  YX 。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題考相關觀測量的線性函數之變方—協變方傳播（一般誤差傳播定律）：X＝F·S＋常數、Y＝G·S＋常數，則 Σ＝K·D_S·Kᵀ，其中 K 為兩函數係數組成的矩陣；常數項不影響變方。

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4. 4

   如 圖 所 示 的 水 準 網 （ 箭 頭 表 觀 測 方 向 ）， 已 知 A 、 B 高 程 分 別 為Ha  37.46 m 、 Hb  43.31 m ，C 為待求高程，經直接水準測量測得高程差 H 以 及 水 準 路 線 長 度 L 分 別 為 Hac  9.62 m 、 Lac  4 km ；Hbc  3.76 m 、 Lbc  2 km 。試以間接觀測平差矩陣解法求 C 點高程Hc。（25 分）B A C

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題是一個未知點 C 由兩個已知點 A、B 各測一條水準路線，屬多餘觀測數 r＝1 的間接觀測平差；水準測量的權與路線長成反比（P＝c/L），題目指定用矩陣解法 X＝(AᵀPA)⁻¹AᵀPL。

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