流體力學（水利工程組） 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 102～115 年共 14 份試卷、68 題，其中 40 題附參考答題架構。考這一科的類科：機械工程、水利工程、環境工程。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
有一非黏滯性流體之流場速度勢能函數表示如下： (3x 2 y y 3 )其中 x 與 y 的單位為 m， 的單位為 m2/s，此流體為水，假設此流場並無高程的改變，計算本流場中兩個位置(x, y)：(1, 2)與(4, 4)之間的水壓差。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
題目給的是速度勢 φ = 3x²y − y³（m²/s）。有速度勢就代表流場為非旋性（irrotational），柏努利方程式可以用在流場中任意兩點之間，不必限定在同一條流線上；先由 φ 求速度，再以柏努利方程式求兩點壓差。
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- 2
水在圓管中的流動若發展為完全的層流（fully developed laminar flow）系統，管壁剪應力為 90.85 N/m2，圓管直徑（D）為 0.3 m。可以使用Poiseuille’s law 計算圓管內的水壓梯度（dp/dx=Δp/L），其中 x 為沿水流方向的座標；Δp 為管長 L 的壓力差。在下列情況下，可獲得的 Δp/L 為何？（每小題 10 分，共 20 分）
（一）水平流動。
（二）垂直向上流動。提示：水平流動 Poiseuille’s law： D4 p Q 128 L其中 μ 為黏滯係數；Q 為管內體積流率。
（20 分）
參考架構・破題
完全發展的圓管層流，管段的力平衡（壓力、管壁剪力、重力）直接給出壓力梯度與管壁剪應力的關係；題目給 Poiseuille 公式是提示，但用控制體積力平衡最快，也能說明水平與垂直向上的差別在於重力分量。
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- 3
水平方向管道中流動的空氣通過噴嘴後撞擊其正面垂直向的一個木板，如圖一所示。空氣流過管道與噴嘴的截面積分別為 A1=0.01 m2，A2=0.003 m2。若此平板需要以 12 N 的水平方向作用力（F）維持於原位置，說明與計算圖中管道上之壓力計的測壓（gage pressure）為何？假設此流場為不可壓縮流與可忽略摩擦作用力。空氣密度為 1.23 kg/m3。 （20 分）圖一
（20 分）
參考架構・破題
本題結合線動量方程式與柏努利方程式：先由平板受力 F 以動量方程式反求噴嘴出口流速 V₂，再用連續方程式求管內流速 V₁，最後以柏努利方程式求管道上壓力計的錶壓。
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- 4
圖二為河川在某地點河段的斷面量測結果，某天在無風情況下，丟入河中的浮球於 10 分鐘內隨著河水往下游移動 1 公里的距離，同時測量出浮球下降 0.1 公尺的高程，假設河水為穩態等速流：
（一）使用曼寧方程式（Manning equation）推估此河段的曼寧 n 值。（15 分）
（二）說明此曼寧 n 值的單位。 （5 分）深度, m寬度, m圖二
（20 分）
參考架構・破題
均勻流（穩態等速流）時能量坡降等於渠床坡降與水面坡降，以浮球量測流速與水面坡降，再從斷面圖估算通水面積與濕周求水力半徑，代入曼寧公式反推 n。第二小題考 n 的因次與單位系統問題。
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- 5
儲水槽的水需要經由兩個幫浦自管線抽出使用，如圖三所示。抽出的流速（V）為 8 m/s，由於原本管線中第一個幫浦（pump #1）所提供 1 kW的功率無法獲得所需要的流速（=8 m/s） ，故使用第二個幫浦（pump #2） ，以達到上述的流速，故 pump #2 需要的功率為何？此管線的水頭損失（hL）與體積流率（Q）的關係為 hL=250Q2，其中 hL 及 Q 的單位分別為m 及 m3/s。圖中管線與噴嘴截面積（A 和 a）分別為 0.02 m2 及 0.01 m2，z=2 m。（20 分）Nozzle area=a Pipe area=A V Pump Pump #2 #1 Z圖三
（20 分）
參考架構・破題
以修正柏努利（能量）方程式，從儲水槽水面到噴嘴出口寫能量平衡，求出系統所需的總揚程與總功率，扣掉 pump #1 已提供的 1 kW，即為 pump #2 需補足的功率。
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114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
二維穩定流動V (V0 / l )( xiˆ yjˆ ) ，試求此流動之流線方程式。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
題目為二維穩態流 V = (V₀/l)(−x î + y ĵ)。流線處處與速度向量相切，由 dx/u = dy/v 積分即可得流線方程式；結果是一族雙曲線，代表駐點流（stagnation point flow）。
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- 2
如圖一所示，管道中油的比重為 0.83，如果忽略黏滯效應，流量 Q 是多少？（20 分）0.1 m水SG = 0.83 0.076 m Q 0.1 m圖一
（20 分）
參考架構・破題
圖一是插在管內收縮段、開口迎向來流的皮托管，與下游直徑 0.1 m 管段的壁面靜壓孔，以內裝水的 U 型差壓計連接。皮托管量到的是全壓（停滯壓力），沿流線全壓不變，所以差壓計讀的是 0.1 m 管段的動壓，收縮段直徑 0.076 m 對結果沒有影響。
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- 3
水流入楔形壁之間的一個小口，如圖二所示。此流動的速度勢（單位為m2 /s ）為 2ln r ，r 以公尺為單位。計算點 A 和 B 之間的壓差。（20 分） r 6 A B 0.5 m 1.0 m圖二
（20 分）
參考架構・破題
速度勢 φ = −2 ln r 為二維勢流的匯（sink）流，楔形壁（夾角 π/6）沿徑向，壁面本身即為流線，不影響流場。由速度勢求速度，A、B 位於同一壁面上，再以非旋流的柏努利方程式求壓差。
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- 4
水平、圓形截面的空氣噴流具有直徑 0.15 m，如圖三所示。噴流直接噴射到錐形的變流裝置，而將裝置固定在圖示位置的水平支撐力為 22 N，假設空氣的速度大小一直維持常數，分出射流與水平夾角為 60，試估計（ air 1.2 kg / m3 ）（20 分）噴嘴的流率（單位為 m3 /s ）。FA = 22 N 0.15 m圖三
（20 分）
參考架構・破題
空氣噴流撞上錐形變流器後分流，出射方向與水平夾 60°，速度大小不變。對控制體積寫水平方向線動量方程式，由固定所需的支撐力 22 N 反求噴流速度，再乘以噴嘴面積得流率。
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- 5
某二維流動其速度分量分別為 u 和 v，公式如下：bx by u ax 2 2 及 v ay 2 2 x y x y其中 a 及 b 為常數。試計算加速度為多少？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
題目給二維速度場 u = ax + bx/(x²y²)、v = ay + by/(x²y²)，與時間無關，屬穩態流，局部加速度為零，只要計算對流加速度 a = (V·∇)V。先化簡速度式再偏微分可避免算錯。
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113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請寫出 MLT（M：質量；L：長度；T：時間）因次系統中以下物理量的因次：（每小題 5 分，共 25 分）
（一）體積
（二）加速度 a
（三）動量 P（momentum）
（四）功 W（work）
（五）剪力 （shear stress）
（25 分）
參考架構・破題
本題測驗流體力學中基礎因次分析（Dimensional Analysis）能力，要求將常見的幾何、運動學與動力學物理量轉換為 MLT（質量-長度-時間）基本因次系統。作答關鍵在於從各物理量的基本物理定義或力學定律出發，有系統地推導各量之導出因次，並以標準的指數形式呈現。
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- 2
流體的速度場為 V=(5z−3)⃑+(x+4)⃑+4y ⃑ m/s。其中，x、y 和 z 的單位是公尺。確定以下位置的流速。 （每小題 10 分，共 20 分）
（一）在原點（x=y=z=0）。
（二）在（x=2；y=z=0）。
（20 分）
參考架構・破題
本題測驗流體運動學中尤拉描述法（Eulerian Description）下的三維速度場向量解析與特定點流速計算。作答核心在於將空間坐標代入卡氏坐標軸之三向分量函數（u, v, w），並分別精確給出流速之「向量形式」與「純量大小（速率）」，以展現對流速物理概念之全面掌握。
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- 3
將不可壓縮黏性流體置於兩個大平行板之間，如下圖所示。底板固定，上板以恆定速度 U 移動。=試求流體在兩大平行板間的：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）體積膨脹率。
（二）旋轉向量 （rotation vector）。= −
（20 分）
參考架構・破題
此為庫埃特流（Couette flow），速度分布 u = Uy/b、v = 0、w = 0（原卷圖上給出）。體積膨脹率即速度散度，旋轉向量由原卷給的 ω_z = ½(∂v/∂x − ∂u/∂y) 計算。本題重點在流體元素運動學：平移、旋轉、線變形（體積變化）、角變形。
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- 4
直徑為 D 且密度為 的球體穩定下落時，其通過密度為 且黏度為 的液體的速度。假設雷諾數（Reynolds number）Re = / 小於 1，其中 為終端速度（terminal velocity），拖曳力係數 = ，則可以根據以下公式：+ =式中 為曳引力（Drag force）， 為浮力， 為自重；試證流體黏滯性係數為= （ − ）/18 。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題測驗極低雷諾數（蠕流 Creeping Flow）條件下之司托克定律（Stokes' Law）及落球式黏度計之受力平衡理論推導。作答核心在於確立球體達到終端沉降速度時之垂直靜力平衡狀態（重力自重等於浮力與流體拖曳阻力之和），利用拖曳力係數推導出司托克阻力公式，進而移項求證流體動力黏性係數之表達式。
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- 5
如下圖所示，0.1 m3/s 的水和 0.3 m3/s 的酒精（SG = 0.8）在 Y 型管道中混合，假設水與酒精都不可壓縮，試求酒精和水的混合物的平均密度是多少？（15 分）Q = 0.1 m3/s Q = 0.3 m3/s
（15 分）
112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
下圖為一水深 2 m的蓄水池，有一寬度為 1 m高度為 3 m的閘門，混凝土塊與閘門間利用極細的鋼索連結，且不計閘門的重量，需最小體積為何的混凝土塊方可關閉閘門？混凝土的比重量為 23.6 kN/m3。（20分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是「平面閘門靜水壓力＋對鉸鏈取力矩」的組合題。閘門底端鉸鏈、頂端有阻擋，水壓力使閘門有繞鉸鏈轉開的趨勢，靠鋼索拉力提供反向力矩；混凝土塊浸在水中，拉力等於其水中淨重（重量扣浮力）。
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- 2
如下圖所示，U形管管徑一致且有一側封閉，若U形管以AA軸為軸心旋轉，當角速度為何時，水會開始溢出U形管？圖中的ℓ = 10 cm，大氣壓力為101 kPa。（20分）A封閉端 開口端d=ℓ 6ℓ 空氣 6ℓ水3ℓ 3ℓ 6ℓ A
（20 分）
參考架構・破題
本題是「旋轉容器（強制渦流）＋封閉氣體等溫壓縮／膨脹」的綜合題。U 形管繞封閉端那支管的軸 AA 旋轉，水被甩向外側的開口端；開口端液面升到管頂（6ℓ）即開始溢出，此時封閉端水面下降、空氣膨脹而壓力降低，需同時考慮旋轉壓力分布與氣體狀態方程。
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- 3
請說明雷諾數與福祿數為何？其物理意義又為何？（20分）
（20 分）
參考架構・破題
本題測驗流體力學與明渠水力學中最基本且重要的兩大無因次參數——雷諾數（Reynolds number）與福祿數（Froude number）。作答核心在於明確給出兩者的數學定義式、各變數之物理意義，進一步從動力學角度深入闡述其代表之力的比值，並說明其在流態判別與水工模型相似律中之工程應用。
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- 4
水由一個巨大的水櫃流出後流到停留在磅秤上的A車，如下圖所示管徑d = 10 cm、HT為5 m、H為10 m、h為0.3 m。瞬間車及車內的質量為500 Kg，此時秤的重量為何？車子的加速度為何？（20分）HT d H h A
（20 分）
參考架構・破題
本題是「白努利方程＋拋射運動＋動量方程（控制體積）」的綜合題。水由大水櫃經管口流出成自由射流，落入車內；射流垂直動量使秤讀數增加，水平動量使停在秤上的車產生加速度。
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- 5
一個斷面為正方形的管子用於運送燃油，斷面的長寬均為15 cm，燃油的運動黏滯係數（）為6 10-4 m2/s，燃油的比重為0.85。當管子的流量為0.02 m3/s時，每100 m長的管子之能量損失為多少？（20分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是「非圓形管路的管流能量損失」：用水力直徑把正方形斷面轉成等值圓管，先算雷諾數判斷流況，再用達西－韋斯巴赫公式求每 100 m 的水頭損失，並可換算成壓降或功率損失。
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111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
試利用牛頓系流體（Newtonian fluid）受剪應力與角變化率之線性關係分析動力黏滯係數 及運動黏滯係數 v 之因次。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題考牛頓黏性定律 τ＝μ du/dy 的因次分析：由剪應力與角變形率（速度梯度）的線性關係反推動力黏滯係數 μ 的因次，再由 ν＝μ／ρ 求運動黏滯係數的因次。宜同時以 MLT 與 FLT 兩種系統表示。
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- 2
寫出（不必推導）雷諾傳輸定理（R.T.T.），並解釋各項之物理意義。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題測驗流體力學中連結系統（System，拉格朗日觀點）與控制體積（Control Volume，尤拉觀點）的核心轉換數學工具——雷諾傳輸定理（Reynolds Transport Theorem, RTT）。作答方向為精準寫出 RTT 通用之三維向量積分方程式，逐項剖析各項物理意涵，並簡述其在推導質量、動量與能量守恆方程式時之基石地位。
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- 3
一 U 型管加速器中，液體之比重為 4.0。今將此加速器安裝於汽車內，其底管（長度為 30 cm）之左右兩側垂直管如下圖所示。某次汽車測試試跑時，觀測到兩垂直側管內液面高差為 8 cm，求此時汽車的加速度 a 為若干（m/s2）？U 型管之內徑為 1 cm，重力加速度以 9.81 m/s2 計。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是「等加速度直線運動容器的相對平衡」應用：U 型管加速度計隨車等加速度 a 水平前進時，液面（等壓面）傾斜，斜率 tanθ＝a／g，由兩垂直管液面高差與管距即可求出加速度。
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- 4
一 均 勻 薄 層 流 在 傾 角 為 θ 之 斜 坡 上 往 下 流 動 速 度 如 下 ：g y u y y d sin 2式中，y 表垂直坡面之座標，d 為水流斷面深度，u 為沿著坡面流下之速度，g 表重力加速度，μ 為流體之動力黏滯係數，ρ 為流體密度。求：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）單位寬度之體積流率 q V
（二）平均速度（ V ）和最大速度（ u max ）之比值，即 ？u max
（20 分）
參考架構・破題
本題是斜坡上薄層層流（重力驅動的自由液面層流）的速度剖面積分：已知 u(y)＝(ρg/μ)y(d－y/2)sinθ，對水深積分得單位寬度流率，再求平均速度並與最大速度比較。
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- 5
已 知 一 不 可 壓 縮 流 體 所 形 成 流 場 之 速 度 勢 能 函 數 x, y ax 2 bxy cy 2 dx ey f ，其中 a，b，c，d，e，f 均為常數。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）求該流場分別在 x，y 方向之速度分量 u 及 v。
（二）求該流場滿足連續方程式之條件。
（20 分）
參考架構・破題
本題考速度勢能函數（velocity potential）的定義與連續方程：由 φ(x,y)＝ax²＋bxy＋cy²＋dx＋ey＋f 微分得速度分量，再代入不可壓縮連續方程（即 φ 須滿足拉普拉斯方程）求常數間的條件。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
於一自由含水土體之地表面有穩定降雨強度 i (mm/hr)，若無地表逕流產生，給定土壤之水力傳導度 K、上游水位 h2、下游水位 h1、土體長度 L，且土體內滲流符合達西定律（Darcy’s Law）。
（一）推求土層中之地下水面線剖面 h(x)。（15 分）
（二）推求土層中之寬流量 q(x)。（10 分）i (mm/hr) y 自由含水土體h2 h(x) x h1 L不透水層
（25 分）
參考架構・破題
本題考查地下水滲流力學中達西定律結合連續方程式的經典應用。解題核心在於引進杜丕特假定（Dupuit-Forchheimer approximation），將二維自由含水層簡化為一維流動模型，並建立包含表面降雨入滲項的二階常微分方程，透過給定邊界條件積分求解水面線剖面與單寬流量。
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- 2
（一）說明自由水面及底床邊界分別為流線之條件為何？（10 分）
（二）流場之流況為穩定流或均勻流之判別方程式為何？分別以管流舉例說明穩定流而非均勻流，及均勻流而非穩定流之實際流況。 （15 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考驗流體力學之基本運動學與邊界條件觀念。前半部聚焦於流線之本質定義與固液、氣液交界面之運動學邊界條件；後半部則著重穩定流與均勻流之時空微積分定義判別式，並結合管流實務案例驗證觀念清晰度。
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- 3
二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下： u u u ( p z ) u w t x z x w w w ( p z ) u w t x z z其中 u 與 w 分別為 x（水平方向，向右為正）與 z（垂直方向，向上為正）二個方向的速度分量，t 為時間， 為流體密度，p 為壓力，（ g）為單位重，g 為重力加速度。一矩形（水平長 L，高 H）半滿油槽在固定水平加速度為 ax(>0)，及固定垂直加速度為 az(>0)作用下，並假定油槽內流體各位置之加速度皆相同。
（一）由以上公式推求油槽內液面坡度為何？（15 分）
（二）油槽內最大壓力位於何處？其值為何？（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是以尤拉方程處理「等加速度容器的相對平衡」：油槽同時有水平加速度 a_x 與垂直加速度 a_z，各點加速度相同，代入尤拉方程得壓力梯度，令自由液面 dp＝0 求坡度；再由壓力分布找最大壓力位置與大小。
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- 4
渠道中設置一寬頂堰（broad-crested weir），B 為堰之長度，已知其單寬流量為 q(m2/s)，其下游邊緣為自由跌水（free overfall），即此處渠底與空氣接觸。
（一）試求寬頂堰均勻段之臨界水深（critical depth）yc。（10 分）
（二）試求寬頂堰下游端之邊緣水深（brink depth）yb。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考查明渠流中寬頂堰的水力學特性及自由跌水邊緣效應。第一小題藉由比能最小原理與臨界流水力條件推導均勻段臨界水深；第二小題則著重於自由跌水端因流線急遽彎曲打破靜水壓假設，透過動量方程式與經驗理論推求邊緣水深與臨界水深之關係。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一光滑表面的球體在靜止的水中釋放沉降，該球體比重為1.02，直徑為30公分，若阻力係數（drag coefficient）為0.5。
（一）試計算球體的終端速度。 （20分）
（二）若球體表面是粗糙的，其終端速度會較光滑球面者大或小？為什麼？（5分）
（25 分）
- 2
某一大型風渦輪機擬在大型風洞中進行模型實驗，設現場風速為50 km/h，模型的幾何比例尺為1：15，因風洞尺度夠大，且為降低空氣的壓縮性效應，故用相同的原型風速來進行模型試驗。
（一）若原型風機的轉速為5 rpm，試決定試驗模型的風機轉速？（10分）
（二）若測量出模型的風機輸出功率為2.22 kW，試計算原型的風機輸出功率？（15分）
（25 分）
- 3
如下圖所示，渠道中設置一閘門，渠道寬度為4 m，上游水深維持在6 m，下游水深維持在20 cm，假設不計摩擦及能量損失，試求水流作用於該閘門的力量。（25分）閘門水
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下：p u u u ( u w ) x t x z p w w w g ( u w ) z t x z其中u與w分別表示在x與z二個方向的速度分量，g為重力加速度，p為壓力， 為流體密度，t為時間。若考慮流場為穩定流（steady）、非旋性（irrotational）且流體具不可壓縮性，試推導出柏努利方程式（Bernoulli p 1 equation）為： (u 2 w2 ) gz 常數 。（25分） 2
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
水流流經一水平管（內徑 D = 15 cm） ，若假設摩擦因子 f = 0.015，體積流率為 0.1 m3/s，試求流經 100 m 管長之壓力水頭差為多少？水之密度 ρ為 1.0 g/cm3，重力加速度 g 為 9.81 m/s2。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
水平等徑管的入口與出口高程、速度水頭相同，若忽略局部損失，兩端壓力水頭差即為沿程摩擦水頭損失，可直接用連續方程式與 Darcy–Weisbach 式計算。
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- 2
已知一壓縮性流體之速度場為 ρ V 2xy3 j e 2t，其中， ρ 表該流(3x2 yi ∂ρ體密度，x, y 表直角座標，t 表時間。請推求當 t = 1 時，通過點(1,1)之 =？∂t（20 分）
（20 分）
- 3
有一草地之噴水器示意如下圖，每一個噴嘴大小為 1.25 公分且每分鐘噴出 0.018 立方公尺之水量，若忽略摩擦力，試求：
（一）於噴嘴口相對於旋轉臂之出水速度為每秒多少公尺？（10 分）
（二）達到穩定旋轉時，旋轉臂之轉動速率 ω 為何？（10 分）ω 1.25 公分1.25 公分15 公分 20 公分
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
某二維流場之速度分布如下：u= , v =1 1+ t試求此流場
（一）在 t = 1 時通過點(1, 1)之流線方程式。（10 分）
（二）在 t = 1 時通過點(1, 1)之蹟線（或稱煙線）方程式。（10 分）
（20 分）
- 5
一 均 勻 流 以 層 流 方 式 流 經 一 光 滑 水 平 平 板 ， 其 流 速 分 布 為⎡ 3 y 1 ⎛ y ⎞3 ⎤ u( y) = U ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ，式中，U 表接近速度、δ 表邊界層厚度、y 為縱⎣ 2 δ 2 ⎝δ ⎠ ⎦座標。試求： （答案以 δ 之函數表示）
（一）位移厚度。 （10 分）
（二）動量厚度。 （10 分）
（20 分）
107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如圖一所示，在壓力計中，當在管 A 的壓力增加 34.4 kPa，而在管 B 的壓力維持固定。試求左側柱水銀的高度改變值為若干？（15 分）圖一
（15 分）
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- 2
已知水從直徑 D = 0.20 m 的水槽流出，其出流口的直徑為 d = 0.01 m，如圖二所示。若水槽中的水位維持固定高度 h = 0.20 m，試求流入水槽之流量應為若干？（15 分）圖二
（15 分）
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- 3
水躍是在明渠中水深突然改變的一種現象，如圖三所示。水深由 z1 變至 z2，對應的速度由 V1 變至 V2。已知 V1 = 1.0 m/s，z1 = 0.4 m，試求發生水躍後之水深 z2 及速度V2。（15 分）圖三35260 全一張（背面）
（15 分）
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- 4
水庫的溢洪道寬度為 20 m（圖四），在滿水位時期的設計洩洪量為 125 m3/s，若以1：15 的比例建造一座模型用以研究溢洪道的水流動力特性，水流動力特性滿足福祿數相似（Froude number similarity）。試求：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）模型寬度與流量。
（二）相對於原型 24 小時的模型試驗時間為若干？圖四
（20 分）
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- 5
水流經平面裝置的圓弧管，如圖五所示，其管徑為 0.6 m。倘若水排出至大氣，大氣壓力 p = 101.3 kPa，管中水流的流量為 85 m3/min。在截面(1)與(2)之間的流體摩擦而產生的壓力損失為 415 kPa。試決定水流在截面(1)與(2)的水平和垂直作用力。（20 分）圖五
（20 分）
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- 6
欲求圓形砂粒之沉降速度，圓形砂粒以等速向下移動，如圖六所示。其速度係由砂粒重量 W 、水的浮力 FB 以及水作用在砂粒的拽引力（drag force）D 之間的平衡作用。假設拽引力係數 C D = 24/Re ，Re 為雷諾數（Reynolds number），其定義為Re = ρUD / μ ，μ 為水的粒性係數。假設砂粒比重為 S，粒徑為 D，水的密度為 ρ w ，( S - 1) ρ w gD 2重力加速度為 g，證明圓形砂粒的沉降速度為U = 。（15 分）18μ FB D W圖六
（15 分）
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
利用水管或壓力管導水使用為相當普遍的水力應用，流體在管內的水流特性為基本的概念。若把問題描述簡化為直角座標，則為考慮上下兩平行板之間的流動。採用水平座標為 x，垂直座標為 z，座標原點定在兩平板中間。水平流速 u 垂直流速 v，流況考慮層流（laminar flow） ，流體黏性係數 μ、壓力 p、重力常數 g，平板的間距 h：
（一）寫出描述流體運動的動量方程式（momentum equation） ，說明各項的來源和物理意義。（5 分）
（二）若考慮水流僅有 x 方向，流況為穩定（steady） 、均勻（uniform），若水平方向的壓⎡ F L2 ⎤力梯度（gradient）為-5 ⎢ ⎥ ，推導兩平板間流速分布，以及水平和垂直方向的⎣ L ⎦壓力分布（ x = 0 壓力為 p0 ），並說明結果的物理意義。（15 分）
（20 分）
參考架構・破題
先由二維不可壓縮牛頓流體的 Navier–Stokes 方程式交代慣性力、壓力力、黏滯力與重力，再利用穩定、沿 x 方向完全發展及無滑移條件，化成兩平板間的平面 Poiseuille 流。
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- 2
平面理想流流速 U 通過半徑為 a 的圓形斷面，如圖一所示。rr θθ U aa圖一其流場勢函數解析解可以表示為⎛ a2 ⎞ Φ (r,θ ) = U ⋅ r ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ cos θ ⎝ r ⎠流場勢函數與流速的關係定義為 ur = −Φ r ，uθ = − Φθ ，下標表示微分。說明（一）圓形斷r面受到的流體作用力。 （5 分）（二）若考慮流速具有時間變化，則圓形斷面受力為何？（5 分）（三）若考慮黏性流體，斷面上分離點（separation point）後方的壓力為 p w 則圓形斷面受力為何？（10 分）24860 全一張25460 （背面）
（20 分）
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- 3
如圖二所示，平面水流藉由分流板來分流。已知流量 Q0，求分流板分出的流量 Q1和 Q2，以及作用在分流板上的水平和垂直分力。（20 分）Q1 V1 Q0 V0 ρ θ Q2 V2圖二
（20 分）
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- 4
考慮一個導水器，如圖三所示，上方為直徑 d1 的圓柱體，水面高度 h1，下方為直徑 d 2的圓管， d1 >> d2 ，不考慮任何的能量損失。若為純重力式，則出水口流速為多少？若圓柱體水面上方為封閉加壓，則希望流速增加為兩倍，壓力應為多少？（20 分）d1圓柱體h1 d2 h2噴水圓管h3圖三
（20 分）
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- 5
平面管流系統如圖四所示，A 點的直徑 0.2 m 壓力106 N/m2 ，B 點的直徑 0.15 m 壓力9×106 N/m2 ，C 點的直徑 0.1 m 壓力85×104 N/m2 ，求 A、B、C 三個位置的流量。（20 分）B A A CC圖四
（20 分）
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
（一） U 型管如圖一所示，受到水平加速度 a 的作用後，則左右兩邊那邊液面較高？高多少？
（二）若此 U 型管以 ω 作等速旋轉（此時沒有水平加速度 a），則左右兩邊那邊液面較高？高多少？（每小題 10 分，共 20 分）ω l 3 l 4 4圖一
（20 分）
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- 2
流體通過管徑束縮的圓管時壓力會變小，由圖二中給定的條件，推導出點⑵的速度（ V2 ）與 D1 、 D2 、 ρ 、 ρ m 及 h 的關係，假設流體為無黏性且不可壓縮。（20 分）ρ
⑴ Q ⑵ D1 D2 l h
⑶ ⑷ Density ρ m圖二
（20 分）
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- 3
有一自由射流通過重量為 G 的圓球，並使圓球懸浮不會下墜，如圖三所示。假設流體的黏滯性可忽略，且已知自由射流的入射速度為 U1 ，入射角為α1 ，則射流通過圓球後的速度 U 2 及角度α 2 應為何？假設射流通過圓球前後的斷面積皆為 A，如要使圓球不會下降，射流斷面積 A 應為多少？（20 分）U1 α2 α1 G U2圖三25460 全一張26060 （背面）
（20 分）
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- 4
在兩無限長固體邊界（分別為 y = 0 及 y = h ）間，有一穩態的（steady）、不可壓縮的黏性流場，下固體邊界以等速U 向 + x 方向移動，而上固體邊界為靜止的。兩固體邊界皆為可透水的，且垂直速度為 v = vo = 常數；試求出此流場的水平速度分布 u ( y) 為何？（20 分）（提示：Navier-Stokes 方程：∂u ∂u ∂u ∂p ∂ 2u ∂ 2u ρ ( + u + v ) = − + μ ( 2 + 2 ) + ρg x ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂v ∂v ∂v ∂p ∂ 2v ∂ 2v ρ ( + u + v ) = − + μ ( 2 + 2 ) + ρg y ）∂t ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
（20 分）
參考架構・破題
此題是具有均勻穿透流的平面 Couette 流。利用穩態、不可壓縮與沿 x 完全發展條件，水平動量方程式保留橫向對流項 v0du／dy，解得指數型速度分布；在 v0 趨近零時應回復線性 Couette 解。
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- 5
當圓管流中的流場為完全發展紊流（fully-developed turbulent flow）時，已知影響流場壓力降 Δ p 的變數有：管徑（ D ）、管長（ l ）、流體密度（ ρ ） 、黏滯係數（ μ ）、平均速度（V ）及管壁粗糙度（ ε ） 。利用 Buckingham π Theorem 求出所需之 π 參數（請列出詳細計算過程）。 （20 分）
（20 分）
104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一空心圓球初始直徑 D1=30 cm，繫於一裝有水的容器底部（如圖一所示）。容器內的空氣壓力若由初始壓力 P1=100 kPa 逐漸地增加到 400 kPa，此時作用在繫纜繩上的力量會變為多少？假設空氣壓力 P 和圓球直徑 D 的關係為 P = CD-2 ，C 為一常數，圓球和空氣的重量可忽略不計，水的密度視為常數（1000 kg/m3），重力加速度為 9.81 m/s2。（20 分）圖一
（20 分）
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- 2
一兩臂式旋轉灑水器（如圖二所示），兩旋轉臂之幾何尺寸完全相同且均在同一水平面上。10 l /s 流量的水由轉軸下方水管進入，經由兩側旋轉臂之噴嘴（噴嘴直徑 1.2 cm）噴出，不考慮任何摩擦，試求：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）灑水器轉速每分鐘多少轉（rpm）？
（二）要施多少力矩（torque）才能阻止其轉動？圖二25760 全一張26360 （背面）r r r
（20 分）
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- 3
給定流場之速度向量分布為V = (0.66 + 2.1x )i + ( −2.7 − 2.1 y ) j
（一）是否為不可壓縮流？（3 分）
（二）試求出流場中停滯點（stagnation point）的位置？（3 分）r
（三）試求出流場中加速度向量 a 的分布狀況。（4 分）
（四）求出此速度場之流線方程式。（10 分）
（20 分）
- 4
一供水並聯管路系統如圖三所示，管路 A 和 B 之管徑均為 30 cm，管路 A 之長度為1500 m，管路 B 之長度為 2500 m，兩管內流況均為完全紊流（fully turbulent flow），假設兩管內之摩擦因子 f（friction factor）相同，若管路 A 之流量為 0.4 m3/s，試求管路 B 之流量為何？（20 分）圖三
（20 分）
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- 5
假設穩態（steady）及不可壓縮（incompressible）的黏性液體在兩無限長的垂直板間平行流動如圖四所示，其流況為層流（laminar flow），兩板間距為 h，重力加速r度 g 之方向為卡氏座標之負 z 方向，液體流動純粹由重力驅動，無任何外力作用，r du r r且流場內壓力為常數，試以 Navier-Stokes 方程式 ρ = −∇p + ρg + μ∇ 2u 求得此流dt場內的速度分布。（20 分）圖四
（20 分）
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
TWL 公司專門從事特殊流體之管道設計。目前，受委託之設計條件為：滿水條件下，讓 X 流體以時速 14.4 公里的速度，自內直徑為 30 公分的圓管往方形管流動，且兩種管子之銜接處需設有緩衝區，俾便使流體之流動得以順暢。已知，X 流體在此連結管道中流動時，其摩擦係數全程均為 0.025，且每單位長度的揚程損失也全程一致。請問，方形管之內徑邊長應為何？（20 分）
（20 分）
- 2
YWR 球團擬為其王牌投手 WWH 設計「類直球」變化球，以提升其主宰球場之能力。經多位專家聯手研究發現，流體流過球體表面的精確速度值，為流體流動速度（V0 ）的 1.5 倍乘以該位置（A）與 x 軸夾角角度的 sin 值得出，亦即 V =1.5V0sinθ，詳如下圖所示。已知，圓球直徑為 15 公分，流體則以每小時 158.5 公里的速度直線朝向球體流動。請問，在 A 點處其流體的加速度為何？（20 分）x軸 π θ x軸 θ A
（20 分）
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- 3
為貼近傑出科學家運用理論推導公式時的感受，請在三維直角座標系統中，運用柯西應力張量（stress tensor），由柯西方程式（Cauchy’s equation）推導納維爾-史托克斯方程式（the Navier-Stokes equations），並明確列出推導過程。（20 分）（背面）
（20 分）
參考架構・破題
推導主線是由柯西動量方程式出發，將總應力分解為等向壓力與黏滯偏應力，再代入牛頓流體的應力—變形率關係；對應力取散度後即可得到三維 Navier–Stokes 方程式。
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- 4
KCY 公司所生產的隱形膠帶占整體市場的 60%，穩居業界龍頭地位。其生產膠帶的流程是將基材以等速 V0 垂直向上拉移穿越盛裝運動黏度為 ν 的膠水之容器，以將厚度為 h 之膠水均勻的塗布於基材之上，詳如下圖所示。然而，重力的作用卻導致膠水順著基材往下流動。假設該流動可視為穩定且均勻的層流流動，請使用納維爾-史托克斯方程式（the Navier-Stokes equations）推導出被基材拖引向上之膠水薄膜內的平均速度。（20 分）h膠水V0
（20 分）
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- 5
攝氏 60 度的原油之比重為 0.8，在噴油井經泵吸取後，以每天 300 萬桶的產量，由直徑 1.2 公尺的鋼管，水平流動到達 1500 公里外的超大型儲油槽。已知，油桶體積容量為 0.12m3，鋼管的摩擦因子值為 0.015。請問，在此一系統中，泵所需的馬力（horsepower）為何？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是長距離水平輸油管的能量方程應用。先由每日桶數換算體積流率及平均流速，再以 Darcy–Weisbach 式求沿程摩擦水頭，最後將泵輸入流體的水力功率換算為馬力；因起、終點高程相同，若兩端槽面皆為大氣壓且速度可忽略，泵揚程主要用來克服管摩擦。
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102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如圖一所示，水流出一個貯水槽。如果黏滯性可以忽略，請利用貯水槽的高度 H 與比重（SG）來求出壓力計高度 h。（25 分）H h SG圖一
（25 分）
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- 2
如圖二為一流經 10 公尺長圓柱下游的速度分佈，請求出空氣在圓柱上的作用力。（25 分）32 m/s 32 m/s u ( y ) = 28 + y 2 Wake 32 m/s (a) (b)圖二35060 全一張35660 （背面）類 科： 水利工程、機械工程
（25 分）
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- 3
如圖三為一個質量為 5000 kg 的載具（Vehicle），以 900 km/h 的速度前進。其藉由降下 20 cm 寬的勺子（scoop），浸入水中的高度為 6 cm 來達到減速。如果水會因為勺子而產生 180 度的轉向，請計算出載具要減速至 100 km/h 之滑行距離。（25 分）V(t) 6 cm Vehicle Water圖三
（25 分）
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- 4
如圖四為一個含有部分空氣（Air）的倒置試管（Test tube），浮在填充水（Water）的塑膠水瓶（Plastic bottle）中，且這水瓶的蓋子被緊緊地密封住。空氣的總量經調整使倒置試管恰好可以浮起。實驗發現如輕微的擠壓塑膠水瓶將會造成試管沈入瓶底。請解釋這個現象的發生且請以公式佐證。（25 分）Air Test tube Water Plastic bottle圖四
（25 分）
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其他等別的「流體力學（水利工程組）」
- 流體力學（水利工程組）（地方特考三等）（64 題）
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