近代物理 申論題歷屆試題與參考架構
地方特考三等，民國 102～108 年共 3 份試卷、14 題，其中 13 題附參考答題架構。考這一科的類科：天文。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
（一）利用德布羅意（de Broglie）物質波的關係式，推導出電子在氫原子中的角動量 L 所滿足的波爾（Bohr）條件，即 L = nh/2 π，其中 n 為正整數。（7 分）
（二）使用波爾條件推導出氫原子的電子能態公式，即 En = - mee4/8εo2h2n2。（7 分）
（三）要完全指定氫原子的量子狀態，還需要那些額外的量子數及其量化的物理量？（6 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題考波耳模型的半古典推導：以德布羅意物質波「繞軌道成駐波」導出角動量量子化，再結合庫侖力提供向心力求能階，最後補上量子力學完整描述氫原子所需的量子數。
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- 2
有一個在一維 x 空間的粒子，其運動受到位能函數 V(x)的影響，而其波動/函數（未歸一化）為 ψ(x)=e ，a 為常數。如果 V(x)在 x=0 處有極小值，試利用薛丁格方程式（Schrö dinger equation）求出：（一）此粒子運動能量的本徵值（eigenvalue）（10 分），及（二）位能函數 V(x)。（10 分）
（20 分）
- 3
有一 1.5 MeV 的伽馬（γ）射線撞擊一鉭（Ta）的薄箔，觀察到從鉭箔中跑出了動能為 0.7 MeV 的電子，這是由於光電效應（photoelectric effect ） 、 康 普 頓 散 射 （ Compton scattering ） 還 是 成 對 生 產 （ pair production）？必須分別說明這三種途徑可能或不可能的理由。假設在與鉭箔材料的初始相互作用中產生的任何電子不會進行第二次的相互作用。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
判斷 0.7 MeV 電子的來源，要分別用能量守恆檢查三種光子與物質作用：光電效應的電子能量、康普頓邊緣（最大反衝動能）、成對產生的可用動能，逐一比對 0.7 MeV 是否落在允許範圍。
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- 4
有一束動能為 140 MeV 的 π+介子，通過三個相隔 10 m 的計數器 A、B、C。如果 1,000 個 π+介子通過計數器 A，470 個 π+介子通過計數器 B。試問：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）預計在 C 中會記錄多少個 π+介子？
（二）計算 π+ 介子平均壽命。（假設 π+ 介子的靜止質量為 140 MeV/c2 ，ln(1000/470)=0.755）
（20 分）
參考架構・破題
本題結合相對論動力學與放射衰變：先由動能與靜止質量求 γ 與速度，再用指數衰減律；實驗室觀察到的壽命是時間膨脹後的 γτ，求本徵（平均）壽命要除以 γ。
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- 5
溫度為 4,000 K 的腔體有一半徑為 1.0 mm 的圓形孔洞。利用普郎克的輻射公式 uλdλ=[(8πhc/λ5) / (ehc/λkT-1)]dλ 估算：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）在可見光區域（0.4-0.7 μm）內，由孔洞所發出的輻射功率。
（二）在可見光區域每秒由孔洞發出的光子數。（毋須積分，（一）（二）皆用平均波長估算，e6.43=620, 5.5-5=2×10-4）
（20 分）
參考架構・破題
腔體小孔即理想黑體輻射源。以平均波長 0.55 μm 代入普朗克能量密度 u_λ，乘上波長寬度得可見光能量密度，再由「小孔通量 = (c/4)u」乘孔面積得功率；光子數則以功率除以單一光子能量。
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一個具有 1.4 × 104 eV 能量的光子被一個靜止的氫原子所吸收，而把氫原子的電子沿著光子行進的方向激發出來，如果氫原子的游離能為 13.6 eV，求此光電子的速度及反彈質子的動量與能量。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
光子被原子吸收而游離，必須同時滿足能量守恆與動量守恆：光子能量扣除游離能後主要給電子；但電子動量遠大於光子動量，多出來的動量要由反彈的質子承擔，因此質子反向運動。
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- 2
太陽的半徑為 7.0 × 108 m，其表面溫度為 5.8 × 103 K，如果將太陽視為黑體，試問：
（一）求其輻射的總功率為何？（10 分）
（二）太陽至地球的距離為 1.5 × 1011 m，地球的半徑為 6.4 × 106 m，則地球接收太陽的輻射功率為何？（5 分）
（三）太陽輻射最強的波段是在 475 nm，如果太陽的表面溫度增加 1000 K，則輻射最強的波段為何？（5 分）
（20 分）
- 3
有一列火車，其長度為 100 m，當它快速行駛，經過一長為 90 m 的月台，月台上的人觀察到火車的車頭和車尾剛好同時到達月台的兩端（車頭對齊月台的前端，車尾對齊後端）。試問：
（一）求火車的速度。（5 分）
（二）火車上的人反過來觀察月台的長度為何？（5 分）
（三）火車上的人觀察火車頭通過整個月台的時間為何？（5 分）
（四）當火車頭到達月台前端時，火車上的人再等多久，車尾才會到達月台後端？（5 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是長度收縮與同時性相對性的經典題：月台系看火車收縮成 90 m 恰好填滿月台；但在火車系，收縮的是月台，兩端「同時對齊」不再同時，第四小題正是要算出這個時間差。
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- 4
9 個電子被束縛在一個長寬高（x, y, z）皆為 L 的方形盒子，假設電子間沒有相互作用，但必須考慮電子的自旋。
（一）解出單電子的駐波解。（8 分）
（二）求這個系統的基態能量。 （7 分）
（三）如果有一 x 方向的小磁場 B 加在這個系統，則基態能量變為何？（5 分）
（20 分）
- 5
一個動能為 22.4 MeV 的質子，遇到一個高為 36.2 MeV、寬為 8.4 fm 的位障。
（一）請寫出這個質子在位障內的波函數ψ(x)。（10 分）
（二）求質子通過這個位障的機率。（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
質子能量 22.4 MeV 低於位障 36.2 MeV，古典上不能通過，量子上以穿隧效應穿透；位障內波函數為指數型，穿透機率主要由 e^(−2κL) 決定。
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102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮一邊長為 L＝0.1 米（m）的一維方盒，假設此方盒的盒壁為完全無法穿透（位能障礙無限大）。如果此盒子中有一個質量為 0.11 克（g）的粒子，其運動速率為3×10−5 米/秒（m/s）。試估算此粒子的能量量子數？（20 分）
（20 分）
- 2
假設電子為一小球，其半徑為 a：（一）如果要把電子電量 e 均勻分布於半徑為 a 的小球上，需作多少功（15 分）？（二）如果所作的功轉換為電子的靜止能，試估計電子的古典半徑（classical electron radius）（10 分）。
（25 分）
參考架構・破題
以靜電能估計電子大小：把電荷 e 一點一點從無窮遠搬到半徑 a 的球上所需的功即靜電自能，令其等於電子靜止能 m_e c²，即可估出「古典電子半徑」的量級。
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- 3
考慮一個處於能量基態的氫原子，忽略原子核運動並考慮相對論性效應。此時：
（一）其電子的德布洛波長（de Broglie wavelength）為何（10 分）？（二）其電子的動量為何（5 分）？（三）其電子的速度為何（5 分）？（四）其電子速度與光速的比值為何（5 分）？
（五）其電子的總能量為何（5 分）？已知基態氫原子電子的第一玻爾半徑（first Bohr orbit）a0 約為 5.29×10−11m。
（30 分）
參考架構・破題
本題以波耳模型的駐波條件求德布洛依波長，再由 p = h/λ 推出動量，最後用相對論能量—動量關係求速度與總能量。關鍵是說明「速度遠小於光速，相對論修正極小」，並把數量級算對。
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- 4
（一）證明自由電子不可能吸收一個光子，也就是光電效應不會發生於自由電子。（10 分）
（二）證明成對產生（pair production）不會在真空中發生，並說明成對產生可在重原子核附近發生。（15 分）
（25 分）
其他等別的「近代物理」
- 近代物理（高考三級）（25 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。