結構學申論題歷屆試題與參考架構（地方特考三等）

114 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
如圖一所示桁架橋，考慮一個作用在下弦桿之向下移動載重 P，該移動載重由 A 點沿水平向緩緩移動到 E 點；圖示為移動到 B 點之狀態。若所有桿件之容許張力強度為 660 kN、容許壓力強度為 450 kN，考慮由A 點移動到 E 點的整個過程，若所有桿件受力都不能超過容許強度，試求該移動載重 P 之最大容許值。（25 分）F G H 8m A E 6mB 6m C 6m D 6m P圖一
（25 分）

參考架構・破題
載重在下弦桿移動，各桿力隨載重位置改變，本題實質是「影響線」題：先求每根桿件的最大拉力與最大壓力影響線值，再分別除以容許拉力 660 kN 與容許壓力 450 kN，取最小者即為 P 的最大容許值。
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2
同第一題之桁架橋及移動載重，但假設桿件強度都足夠，桁架維持線彈性行為。此外，假設每個桿件有相同 EA，楊氏模數 E = 200 GPa，桿件斷面積 A = 0.001 m2。若移動載重 P = 300 kN，試以單位力法求整個緩緩移動過程中，橋梁中點 C 之最大向下位移。（以其他方法作答者一律不予以計分）（25 分）
（25 分）
3
如圖二所示之梁結構，假設梁全長 EI = 常數，其中 E 為楊氏模數，I 為梁斷面二次矩。取 A 點之彎矩 MA 為贅餘力，首先利用力法（變形諧合條件）試證明 MA = 300 kN-m（方向為逆時針）；其次試畫出剪力圖與彎矩圖。（25 分）80 kN 20 kN 20 kN A B C D E 5m 5m 5m 5m圖二
（25 分）

參考架構・破題
A 端固定、C 為滾支承、CE 為懸臂外伸段的一度靜不定梁。題目指定以 A 端彎矩 MA 為贅餘力，用力法：釋放 A 端轉動束制得簡支外伸梁，令 A 端總轉角為零求 MA，再以靜力平衡求反力並畫 V、M 圖。
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4
如圖三所示之門型構架，假設各構件之軸向變形很小可以忽略，並且都有相同之長度 L 及楊氏模數 E。考慮兩個結構模型，分別代表原結構及加勁結構（柱子變大），原結構相當於 a = 1（所有桿件有相同之斷面二次矩 I）；加勁結構（柱子變大）則 a > 1。試問 a =？時，加勁結構之 C 點水平側移為原結構之一半。試以傾角變位法求解。（以其他方法作答者一律不予計分）（25 分）B I, L C P aI, L aI, L A D圖三
（25 分）

參考架構・破題
兩端固定的門型剛架承受 C 點水平力 P，柱斷面二次矩為 aI、梁為 I，題目指定以傾角變位法（slope-deflection method）求側移 Δ 與 a 的關係，再令加勁結構側移為原結構之一半解出 a。
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113 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
如圖一所示之桁架，各桿件有相同 EA。試用單位力法求解節點 K 向下位移量。未依指示方法求解者不予計分。（25 分）P C D E L B O R F L A N H G M S K J I 8@L圖一
（25 分）

參考架構・破題
這是複合式桁架求節點位移的題目，指定單位力法（虛功法）：Δ＝Σ（N·n·L）/（EA），N 為實際載重 P 下的桿力，n 為在 K 點施加向下單位力下的桿力。關鍵在於利用對稱性與零桿判斷，減少需要計算的桿件。
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2
如圖二所示之梁，AC 桿件與 CE 桿件斷面撓曲剛度（flexural rigidity）分別為 EI 和 2EI。試用共軛梁法求解最大垂直位移（須標示方向）。未依指示方法求解者不予計分。（25 分）P P D A B C E L L 2L L圖二
（25 分）

參考架構・破題
A 端固定、C 為內鉸、D 為滾支、E 為自由端的梁，屬靜定結構。先用靜力平衡畫實際彎矩圖，再建立共軛梁、以 M/EI 為載重，共軛梁的彎矩即實梁撓度，比較各候選點找出最大垂直位移。
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3
如圖三所示構架，AC 桿件與 DE 桿件斷面撓曲剛度（flexural rigidity）分別為 2EI 和 EI，BD 桿件則為剛體。試利用傾角變位法求解 E 點反力。未依指示方法求解者不予計分。（25 分）P C L D B L E 2L A 2L圖三
（25 分）

參考架構・破題
AC 柱（2EI）與 DE 柱（EI）以剛體 BD 連接，C 點受水平力 P。剛體桿兩端垂直位移受柱子軸向不變形限制，故 BD 不能轉動，B、D 節點轉角皆為零，傾角變位法的未知數只剩側移 Δ，關鍵在於看出這個束制。
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4
如圖四所示梁結構，梁斷面撓曲剛度為 EI，彈簧係數為 k。梁僅考慮撓曲變形，試利用諧合變位法求解 A 點反力與彈簧變形。未依指示方法求解者不予計分。（25 分）q A k C B L L圖四
（25 分）

參考架構・破題
A 為滾支、B 為彈簧支承、C 為固定端的連續梁，承受全跨均布載重 q，為二度靜不定。指定諧合變位法：取 A 反力 RA 與彈簧力 F 為贅餘力，基本結構為 C 端固定的懸臂梁，建立 A 點撓度為零、B 點撓度等於彈簧變形兩個諧合方程式。
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111 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
如圖一所示梁結構及受外力下之剪力圖，試求對應該剪力圖下梁所受到之外力，並畫於該梁上。此外，試畫出對應之彎矩圖。（25 分）A B C D E 3m 3m 3m 3m V (kN) 6 2 2 A B C D E -4圖一
（25 分）

參考架構・破題
已知剪力圖反推載重：剪力圖的斜率為分布載重、跳躍量為集中力，彎矩為剪力圖面積的累積。A 端固定、B 為內鉸、E 為滾支，內鉸處彎矩為零可用來求出 A 端反力矩。
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2
如圖二所示桁架，若所有受拉桿件之張力強度皆為 200 kN，所有受壓桿件之壓力強度皆為 100 kN，試求該桁架破壞時之外力 P 為何？（25 分）K 8m F G H I J 6m A B C D E 6m 6m 6m 6m P P P圖二
（25 分）

參考架構・破題
桁架破壞載重題：先判斷零桿，再求各桿以 P 表示的桿力，最大拉力桿以 200 kN、最大壓力桿以 100 kN 控制，取兩者較小的 P。拉壓強度不同，必須分開比較。
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3
如圖三所示兩根簡支梁（ AB 及 CD ）上面有一塊均質板（尺寸5 m  25 m ），該板上有兩道均布載重（方向為 Z 向），EF 線上均布載重大小為 4 kN/m，GH 線上均布載重大小為 20 kN/m。假設板重量可以忽略不計且與簡支梁之接合只能傳遞力量不能傳遞彎矩，若希望受力後整個板與梁所構成之斷面不要扭轉（對 X 軸），假設左梁與右梁材料相同，斷面都為矩形，梁寬皆為 90 cm，梁深各為 hL、hR，已知 hL = 120 cm，試求 hR。（25 分）A Q 右梁 B E F 5m X G H C Q 左梁 D 20 kN/m Y 25 m 4 kN/m俯視圖2m 2m 1m hL 板 hR 5m 右梁25 m 左梁作用於EF、GH的垂直(Z向)均布載重 Q-Q斷面剖面圖(放大示意圖)圖三
（25 分）

參考架構・破題
板只傳力不傳彎矩，可視為兩根簡支梁之間的簡支「橫向分配」：先以槓桿原理把 EF、GH 兩條線載重分配到左右梁，再要求斷面不扭轉，也就是左右梁在任一斷面的撓度相同，由撓度公式反推右梁梁深 hR。
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4
如圖四所示構架，各桿件之 EI 及 L（長度）都相同，集中力係垂直作用於桿件中點。若 L = 10 m，試以傾角變位法求取各桿件之桿端彎矩，假設桿端彎矩採順時針為正。（以其他方法作答者一律不予以計分）（25 分）30 kN-m 30 kN-m A D 24 kN 24 kN EI, L EI, L EI, L B C圖四
（25 分）

參考架構・破題
B、C 為鉸支承，A、D 為側向束制的支承（只提供水平反力、可轉動），兩柱中點受 24 kN 水平力、A、D 端各受 30 kN·m 外加彎矩。結構不能側移，傾角變位法未知數為節點轉角，A、D 端的桿端彎矩須等於外加彎矩，作為邊界條件。
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110 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
試判斷以下圖示各結構系統之靜定度（determinacy）及穩定度（stability），若為靜不定（或超靜定）結構則另說明其為幾度靜不定。並請明確說明該判斷之原因。（（一）、（二）、（三）每小題 3 分，（四）、（五）、（六）、（七）每小題 4 分，共 25 分）
（一）（二）
（三）（四）（五）
（六）（七）
（25 分）

參考架構・破題
判斷靜定度與穩定度要兩件事一起做：先用公式計算未知數與方程式數的差（靜不定度），再檢查幾何是否可能發生機構運動（三鉸共線、反力平行或共點、鉸接造成的側移機構）。公式結果≥0 不代表穩定，這是本題主要考點。
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2
一均勻連續梁結構系統 ABCDEF，其中 A 端為鉸支承，C 及 E 為滾支承，B 為一中央鉸。若梁上施加各項載重如下圖所示：
（一）試繪出系統中各反力（RA、RC、RE）之影響線。（6 分）
（二）請直接應用影響線，計算圖示載重所造成之各反力數值（使用其他方法不計分）。（9 分）
（三）繪出本結構系統之剪力及彎矩圖。（10 分）1.5 t/m 6t B D F A C E 12 t-m 4m 4m 2m 3m 3m
（25 分）

參考架構・破題
本梁 B 為中央鉸，AB 段只靠 A 支承，必須「掛」在 BCDEF 上；BCDEF 則是以 C、E 兩滾支承支撐、兩端外伸的簡支梁。先拆成「被支撐段 AB」與「主體段 BF」，影響線與內力都依這個傳力路徑做，全系統為靜定。座標取 A 為 x=0，B=4、C=8、D=10、E=13、F=16 m。
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3
一外伸簡支梁 ABC，其中 A 端為鉸支承、B 為滾支承、C 端為自由端。AB、BC 分別長 6 m 及 2 m，撓曲剛度為常數 EI。全梁承受一均佈載重12 kN/m（如下圖所示）。試使用共軛梁法（the conjugate beam method）求出：
（一）鉸支承 A 端之傾角。（10 分）
（二）自由端 C 之垂直變位。（15 分）12 kN/m EI C A B 6m 2m
（25 分）

參考架構・破題
共軛梁法把實梁的 M/EI 圖當作載重加在共軛梁上，共軛梁的剪力＝實梁傾角、彎矩＝實梁撓度。本題關鍵在支承的轉換：A 鉸支承→共軛梁仍為鉸支承；B 中間滾支承→共軛梁變內部鉸；C 自由端→共軛梁變固定端。
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4
一對稱靜不定剛架系統 ABCD 以三根桿件相接，各桿長度、彎曲剛度如下圖所示。現於 BC 桿件承受一均佈載重 15 t/m，試以任意方法分析此剛架，並繪製剪力及彎矩圖。（25 分）15 t/m B C EI 3m 2.5EI 2.5EI A D 4m 4m 4m
（25 分）

參考架構・破題
剛架 A、D 為固定端，B、C 為剛接節點，斜柱 AB、CD 水平投影 4 m、高 3 m、長 5 m（2.5EI），橫梁 BC 長 4 m（EI）。結構與載重皆對稱，B、C 無平移（側移為反對稱模式，不被激發），可用撓角變位法或彎矩分配法配合對稱性只解一個未知數 θB（θC＝−θB）。
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109 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
圖1所示之梁桿件 ABCDE 中，C 點為鉸接點，在圖示載重下，求 A 點、B 點及 D 點的反力並繪此整支梁的剪力圖與彎矩圖。（25分）20 kN/m 20 kN/m A B C 6m D4 m E 10 m 4m圖1
（25 分）

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2
如圖2所示之桁架結構，所有桿件彈性模數 E = 200 GPa 與斷面積 A=1000 mm2，試以單位力法（Unit-load method）求圖示載重下 C 點之垂直變位及水平變位（以其他方法求解一律不予計分）。（25分）E D 3m A B C 90 kN 4m 4m圖2
（25 分）

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3
假設圖3之構架中各桿件之 EI 均相同，試以傾角變位法（Slope Deflection Method）求解各桿件之桿端彎矩及 D 點的反力（以其他方法求解一律不予計分）。（25分）A 12 m 20 kN/m D B 6m C 6m圖 3
（25 分）

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4
圖4之梁桿件 A 點為固定支承（Fixed Support），在圖示載重下（AB 桿件的中點有集中載重1000 kN 及 CD 桿件的端點 D 有集中彎矩200 kN-m），試以彎矩分配法（Moment Distribution Method）求解各桿件之桿端彎矩及繪此整支梁的剪力圖與彎矩圖，其中 AB 桿件斷面性質為 EI，BC 桿及 CD 桿件斷面性質為2EI（以其他方法求解一律不予計分）。（25分）1000 kN 200 kN-m A EI B 2EI C 2EI D 5m 5m 10 m 10 m圖4
（25 分）

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108 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
如圖一所示結構，已知支承 A 之垂直反力為零，試求水平均布載重 q、支承 A 水平反力、支承 D 水平反力及垂直反力。（25 分）20 kN 6.67 kN/m B C q 8m A D 6m 6m圖一
（25 分）

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2
如圖二所示桁架，已知桿件最大張力為 120 kN，試問外力 P 為何？又此時那支或那幾支桿件有最大壓力，其值為何？（25 分）P P P P P F 4m G 4m H 4m I 4m J 4m K 4m L 3m A E B C D圖二
（25 分）

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3
如圖三所示構架，集中力係垂直作用於桿件 BC 中點；試以傾角變位法求取各桿件之桿端彎矩，假設桿端彎矩採順時針為正。（以其他方法作答者一律不予以計分）（25 分）w=20 kN/m A B EI, 6 m P=80 kN EI, 9 m 60° 60o C圖三
（25 分）

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4
已知圖四(a)梁受垂直力 P=10 kN 作用時，C 點垂直變位為 2 mm；圖四(b)軸力桿件受水平力 N=10 kN 作用時，E 點水平變位為 0.5 mm。試問當圖四(c)之結構於 H 點受垂直力 120 kN 作用時，該點之垂直變位為何？（25 分）P A B C EI, 2L EI, 2L (a) D E N EA, 2L (b) I EA, L F G H EI, L EI, L EA, L J (c)圖四
（25 分）

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107 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
如圖所示桁架（Truss），試計算每根桿件之內力。（25 分）5t 5t B 4 D F 6m A G C 8m 8m
（25 分）

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2
如圖所示構架（Frame），若每根柱之斷面尺寸皆相同，試利用懸臂梁近似法（Cantilever method）計算每根桿件兩端之彎矩（Moment）。（25 分）C F I 10 t 4m B E H 10 t 4m A D G 9m 6m
（25 分）

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3
如圖所示連續梁，均布載重為 2 t⁄m，請計算每根梁兩端及中央之彎矩。EI令每根梁之 =1。（25 分）L ω=2 t⁄m A B C 6m 6m
（25 分）

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4
如圖所示構架，試求 C 點之垂直及水平位移。（25 分）P E,I B C L E,I A L
（25 分）

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106 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
圖一懸索受到如圖示的 10 kN/m 的均佈載重時，B 點為懸索最低點，若不考慮懸索自重，試求：
（一） y 值。（10 分）
（二）懸索所受之最大張力 Tmax。（15 分）10 kN/m C y A 0.5 m B 2m 4m圖一
（25 分）

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2
試分別繪出圖二桁架中，桿件 FG、桿件 CF 及桿件 EF 的影響線；假設移動載重位於下弦桿。（25 分）3m 6m 6m B C D 4m A E G F 6m 6m 6m圖二全一張（背面）等別：三等考試
（25 分）

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3
圖三桿件 ABCDE 中，C 點為鉸接點，已知 EI = 常數。在圖示載重下，試以共軛梁法求 D 點的反力。（25 分）（限採共軛梁法，採其他方法不計分）。P 2P A B C D E L L 2L 2L L L圖三
（25 分）

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4
試求圖四桁架在圖示的載重下，A 點及 E 點的反力。（25 分）2m 2m C B 1.5 m P D 3m A E 1.5 m F P圖四
（25 分）

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105 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
如圖一所示之桁架，腹桿（直或斜）那一根或那幾根受力最大？上弦桿那一根或那幾根受力最大？下弦桿那一根或那幾根受力最大？以上答案需註明力的大小及張或壓。（25 分）10@6 m=60 m圖一
（25 分）

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2
如圖二所示之結構，兩根懸臂梁以二力桿件結合一起，已知懸臂梁 AB 之垂直勁度=3EIAB/(LAB)3=k1=20 kN/mm，懸臂梁 CD 之垂直勁度=3EICD/(LCD)3=k2=10 kN/mm，二力桿件 BC 之軸向勁度=EA/L=k0=50 kN/mm。若二力桿件 BC 有製作誤差過長17 mm，試問 C 點之垂直向下位移為何？又 BC 桿件之軸力為何？（25 分）圖二
（25 分）

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3
假設各桿件之 EI 相同，試以傾角變位法求解圖三所示構架各桿件之桿端彎矩（以其他方法求解一律不予計分）。（25 分）1m 2m 4m 6m 6m圖三全一張（背面）等別：三等考試
（25 分）

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4
如圖四(a)受水平側力之剛構架，近似分析時假設柱及梁的反曲點在各桿件中間，若分析得柱之彎矩圖如圖四(b)所示（單位 kN-m）。試求水平側力 P1 及 P2 並畫出梁之彎矩圖。（25 分）5m 5m 4m 3m圖四(a)圖四(b)
（25 分）

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104 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
如圖一所示桁架，垂直載重 P 於 E 點，各桿件截面積 A、彈性係數 E。利用單位力法求解 N 與 K 點垂直位移。（20 分）（註：本題若使用其他方法，整題以零分計。）P E D F C G M L [email protected] B H A I O N K J L L 2L L L圖一
（20 分）

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2
如圖二所示連續梁，其長 2L（ AB = BC = L ）、慣性矩 I、彈性係數 E。支承 B 與 C 2Δ分別沉陷 Δ 及。利用傾角變位法（slope-deflection method）求解沉陷所造成之反力。（20 分）（註：本題若使用其他方法，整題以零分計。）A BB C圖二
（20 分）

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3
如圖三(a)所示桁架，各桿件長 L，桿件 AD 與 CD 之截面積 A，桿件 BD 之截面積A / 3，∠ADB =∠BDC = θ = 60°。各桿件之應力－應變關係如圖三(b)所示，OF 與 GH之斜率分別為 E 與 E'（且 E'/E = 0.2），εh = 3εy；當應變達 2εh，桿件斷裂。在位移控制下，求外載 P 與 D 點位移關係；忽略θ 在變形中之改變。（30 分）σ B H θ θ F G A C σy D εh ε P O εy圖三(a) 圖三(b)全一張（背面）等別：三等考試
（30 分）

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4
（一）利用求解側向位移之控制方程（Euler-Bernoulli 方程），推導無外力下之傾角變位法（slope-deflection method）公式。（15 分）（註：本題若使用其他方法，以零分計。）
（二）Euler-Bernoulli 方程是依何變形假設而得？（5 分）
（三）忽略軸向變形，利用傾角變位法求解圖四中 C 點轉角與 A 和 B 點反作用力，其中AC 桿件長 L1、慣性矩 I1、彈性係數 E1，BC 桿件長 L2、慣性矩 I2、彈性係數 E2，φ1 + φ2 = 90°。（10 分）（註：本題若使用其他方法，以零分計。）C M0 A φ1 φ2 B圖四
（30 分）

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103 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
圖示之桁架，各桿 E=20,000 kN/cm 2 ，各桿 L/A= 2 m/cm 2 ，各桿熱膨脹係數α = 1.0 × 10-5 /℃。若 bc 桿溫度上升 20℃，其他桿件溫度不變，且節點 c 承受載重如圖示，試求解 c 點垂直位移；（15 分）c 點水平位移。（10 分）L 為桿件長度，A 為桿件斷面積，E 為桿件楊氏係數。e f 4m b c d a 3@3m=9m 60kN
（25 分）

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2
圖示之梁，當 1 單位垂直力在 AC 之間移動時，試每隔 2 m，繪出 B 處彎矩之影響線圖（influence line）。（25 分）A C B EI 2EI 4m 6m全一張（背面）等別：三等考試
（25 分）

參考架構・破題
本題是靜不定梁（AB 段 EI、BC 段 2EI）的影響線問題，關鍵在用穆勒－布雷斯勞原理（Müller-Breslau principle）或力法求出單位力在各位置時 B 點彎矩，再每隔 2 m 列表描點；靜不定結構的影響線是曲線，不是折線。
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3
圖示之剛架（rigid frame），各桿 EI 相同，試求解各桿端彎矩，（18 分）並繪其彎矩圖。（7 分）（本題可視為對稱及反對稱之合成）20kN/m 100kN B C 6m A D 4.5m 6m 4.5m
（25 分）

參考架構・破題
本題為對稱剛架受非對稱載重（分布載重與集中力），題目已提示可拆成對稱與反對稱兩組載重合成；對稱部分無側移、反對稱部分有側移，分別以傾角變位法或彎矩分配法解出桿端彎矩後疊加，再繪彎矩圖。
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4
圖示之結構，若 EI = 10,000 kNm2，且 b 處彈簧之勁度 k = 1,200 kN/m，限以直接勁度法，建立此梁系統的勁度矩陣，（10 分）試求 b 處之垂直位移及轉角，（10 分）求 a 處之彎矩，需標示方向。（5 分）60kN 18kN/m a b EI c 2EI k = 1,200kN/m 5m 5m元素勁度矩陣如下，本題若使用其他方法，整題以零分計。y 1 x 3 12 / L2  6 / L  12 / L2  6 / L   EI  4 6/ L 2  2 EI 4 L  sym. 12 / L2 6/ L    L  4 
（25 分）

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102 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1
桁架如圖，桿件之設計長度均為 l ，但 ab 桿件製造失誤，短了 Δ，請問施作後，各接點（joint）之偏移為何？桿件斷面積 A（cross-sectional area）、E（modulus of elasticity）及 I（moment of inertia）均為常數。（25 分）a b c d e
（25 分）

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桁架如圖，桿件長度均為 l ，受力 P，請問各桿件之應力為何？桿件斷面積 A（cross- sectional area）、E（modulus of elasticity）及 I（moment of inertia）均為常數。（25 分）a b P P d e c全一張（背面）等別：三等考試類科：土木工程
（25 分）

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梁 ac 如圖，a 端與 c 端彈簧支撐，其彈性係數為 k，斷面積 A（cross-sectional area）、E（modulus of elasticity）及 I（moment of inertia）均為常數，b 點施以力矩 M，求端點變位，並繪力矩圖。（25 分）l l M a b c k k
（25 分）

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梁 ab 如圖，長度 l ，a 端彈簧支撐，其彈性係數為 k，斷面積 A（cross-sectional area）、E（modulus of elasticity）及 I（moment of inertia）均為常數，求 b 點剪力影響線，並繪 b 點剪力影響線圖。（25 分）a b k
（25 分）

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