工程力學概要　申論題歷屆試題與參考架構

112 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   圖一之結構，水平力 800 N 作用於 A 點，使得 AC 桿產生1000 N 的壓力，則 AB 桿及 AC 桿之夾角 ？又 AB 桿的內力 FAB ？（25分）B 20 C  800N A圖一

   （25 分）

   參考架構・破題

   AB、AC 兩桿兩端皆為鉸接，屬二力桿，A 點為共點力系平衡問題。已知外力 800 N（水平向左）與 AC 桿壓力 1000 N（AC 與水平夾 20°），只剩 AB 的大小與方向兩個未知數，用 ΣFx＝0、ΣFy＝0 或力三角形（正弦定律）即可同時求出 θ 與 FAB。

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2. 2

   有一重量為 w 之物體掛在 E 點，如圖二所示。圖二之系統是由五條不伸長之繩索所組成，若每條繩索之最大張力為 500 N ，則此系統能支撐物體之最大重量 wmax 為多少？（25分）C A B 30 4 D 3 E 30 w圖二

   （25 分）

   參考架構・破題

   五條繩索皆只能受拉，E、B 兩點為共點力系。先由 E 點把 ED、EB 張力以 w 表示，再到 B 點求 BC、BA 張力，找出係數最大的那條繩，令其張力等於 500 N 即得 wmax。

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3. 3

   圖三之結構，均質桿件 AB 是剛體，長 L  3 m ，重 w  8 kN ；電纜（cable）AC 的截面積 A  10 mm 2，楊氏模數 E  120 GPa，柏松比（Poisson’s ratio）  0.3 。試求平衡時電纜 AC 之伸長量  AC 及其側向應變（Lateral strain） AC 。（25分）3m圖三

   （25 分）

   參考架構・破題

   先以靜力平衡求電纜 AC 的拉力，再用虎克定律算軸向應變與伸長量，最後以柏松比求側向應變。關鍵在判讀支承：A 為滾輪置於地面（只提供鉛直反力），B 套在光滑鉛直桿上（只提供水平反力），C 在 B 的正下方。

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4. 4

   圖四(a)所示之簡支梁 AB ，長 L  320 mm ，承受10 N/m 之自重，在梁中點之集中載重 P 。梁 AB 是由三片相同材料之板粘接而成的，截面如圖四(b)所示，截面對 z 軸之慣性矩 I  67,500 mm 4 。若粘接面之允許剪應力 allow  0.3 MPa ；梁之允許彎曲應力（bending stress） allow  8 MPa 。試求最大允許集中載重 Pallow 之大小。（25分）y 10 mm 10mm y P L/2 z 10mm mm B 10mm mm A x自重  10N N/m自重=10 /m 3030mm mm L 320mm L=320 （梁之截面）圖四(a) 圖四(b)

   （25 分）

   參考架構・破題

   這是組合梁的雙重控制問題：一是粘接面剪應力（剪力流公式 τ＝VQ/Ib），二是彎曲應力（σ＝Mc/I）。分別求出各自對應的 P 上限，取較小者為 Pallow；自重 10 N/m 不可省略。

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111 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   左右對稱的箱型梁斷面，若斷面積的形心位置在 x ' 軸與 y ' 軸的交點 O，如圖一所示。試求箱型梁的形心位置 y 和斷面積對 x ' 軸的慣性矩。（25 分）20 m 1m y' O 8m x' y 2m 10 m 4m 4m 12 m圖一

   （25 分）

   參考架構・破題

   組合面積求形心與慣性矩的標準題：把斷面拆成簡單矩形（實心加、挖空減），用 ȳ＝ΣAy/ΣA 求形心，再用平行軸定理 I＝Σ(Ic＋Ad²) 求對形心軸 x′ 的慣性矩。

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2. 2

   桁架承受載重如圖二所示，試求支承 A 的反力及桿件 BC、BD、AB、AD 所承受的力。（25 分）10 kN 15 kN E D C 3m 20 kN A B 4m 4m圖二

   （25 分）

   參考架構・破題

   平面靜定桁架，先找零桿與可直接解的節點，用節點法由 C→B→D→A 依序求解；E 支承只連一根水平桿 ED，其反力只能沿 ED 方向（水平），A 為鉸支提供兩向反力。

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3. 3

   梁長 10 m，材料剛度 EI 為常數，在支承 A 為樞接，支承 C 為滾接，承受集中載重及均佈載重如圖三所示。試求距離左支承（A 支承）x 處的剪力 V（x）和彎矩Ｍ（x）的函數，繪製梁的剪力圖和彎矩圖，並標示此梁之零彎矩的位置。 （30 分）x 30 kN 5 kN/m B D A C 3m 5m 2m圖三

   （30 分）

   參考架構・破題

   外伸梁（A 鉸支、C 滾支、CD 懸臂 2 m），全長受 5 kN/m 均佈載重、B 點受 30 kN 集中載重。先求反力，再分三段（AB、BC、CD）寫 V(x)、M(x)，畫剪力圖與彎矩圖，並解 M(x)＝0 找反曲點。

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4. 4

   板為均質等向性材料，尺寸為 450  650  20 mm。

   （一）若板承受雙軸平面應力 x  31 MPa 及  y  17 MPa 作用，其相對的應變為  x  240 106 和  y  85 106 ，求板的彈性模數 E 及柏松比（Poisson’s ratio） 。（10 分）

   （二）若板為鋼材，承受雙軸平面應力  x  67 MPa 及  y  23 MPa 作用，鋼材的彈性模數 E  200 GPa ，柏松比  0.30 ，求鋼板的面內最大剪應變  max 。（10 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   平面應力下的廣義虎克定律：εx＝(σx−νσy)/E、εy＝(σy−νσx)/E。第（一）小題由兩條方程式反求 E 與 ν；第（二）小題先求面內最大剪應力，再用剪力模數 G＝E/[2(1＋ν)] 換成最大剪應變。板的尺寸為干擾資訊。

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110 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   圖示之桁架結構，各桿件之斷面積均為 2000 mm2。試求 AE、AF 及 EG桿件之內力。（25 分）A B 3m C D E 3m 3m 4m F 40 kN 70 kN 4m G

   （25 分）

   參考架構・破題

   平面靜定桁架，先用零桿判定（B 點、C 點）簡化，再用整體平衡求支承反力，配合節點法依 D→G→E→A 求 AE、AF、EG。斷面積 2000 mm² 與求內力無關，屬干擾資訊。

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2. 2

   圖示 ACG 為剛性桿，由 A 點鉸接與兩水平鋼纜 BC 及 FG 支撐。鋼纜的斷面積為 50 mm2，彈性模數為 200 GPa。若 G 點受 300 kN 垂直載重作用，試求 G 點之垂直位移。 （25 分）F G 1.5 m 300 kN B C 45∘ 1.5 m A

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題為材料力學中典型之剛性構件受彈性纜索支撐變形分析問題，屬於一次靜不定結構系統。作答關鍵在於正確建立剛性桿繞鉸接點之微小轉動幾何相容條件，結合彈性纜索之虎克定律軸向變形公式，再代入對鉸接支承之靜力矩平衡方程式，即可聯立求解纜索內力與指定點之垂直位移。

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3. 3

   圖示 AD 梁受外力 P = Q = 500 N 作用。試求點 A、C 間的跨距 a，使得AD 梁中彎矩的絕對值盡可能小。（25 分）P Q 1.0 m 1.0 m B C A D a

   （25 分）

4. 4

   若有材料、長度與重量均相同的三支直梁，其橫斷面分別為（一）正方形

   （二）圓形（三）深度為其寬度兩倍的矩形。考慮這三個斷面受相同彎矩作用下，試求三者之最大彎曲應力比。（25 分）a h=2b a d b

   （一） （二） （三）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題為材料力學中斷面幾何性質與梁之彎曲應力分析比較題。解題核心在於由材料、長度與重量均相同之物理條件推論出三者橫斷面積相等，進而求得各斷面之形心慣性矩與斷面模數，最後應用彈性彎曲撓曲公式，導出在相同彎矩作用下三者最大彎曲應力與斷面模數之反比關係。

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109 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   如圖示，兩平行桿件AD與BC長度均為250 mm，且與鉛錘方向夾角為θ=30°水平桿件AB長度為500 mm於中點懸掛一物體重135 N，桿件不計重量且端點均為鉸接，求平衡時所需之水平拉力為何？（25分）250 mm 250 mm 250 mm

   （25 分）

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2. 2

   如圖示，長度為2L之梁，A點為鉸接B點為滾接，承受三角形分布力作用，試繪出其剪力圖與彎矩圖，並標示出最大、最小之剪力與彎矩大小及其位置。（25分）

   （25 分）

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3. 3

   圖示桁架，於點C承受一水平力P作用，已知桿件BD之斷面積為1920 mm2，楊氏係數為200 Gpa，且其伸長量不得大於0.8 mm，求最大作用力P為何？（25分）

   （25 分）

4. 4

   圖示桿件ABC，AB長L，BC長H，撓曲剛度EI為常數，A端為鉸接支承，B點為滾接支承，於C點承受水平力P作用，求C點水平位移及B點轉角。（25分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題是靜定剛架（L形桿件）的變形計算，核心是先由靜力平衡求反力與彎矩圖，再用單位力法（虛功法）或共軛梁／疊加法求C點水平位移與B點轉角。以下依常見圖形假設：AB為水平段、BC自B點垂直向上，A為鉸支承、B為滾支承（僅提供垂直反力），P水平作用於C點；實際作答以原卷圖示方向為準。

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108 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   圖 1 為一不規則板塊，試求圖中斜線面積之yത 及慣性矩 Ix。（25 分）y 3m 3m 3m x 3m 6m 3m 6m（圖 1）

   （25 分）

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2. 2

   圖 2 為一桁架結構，其中 A 點為滾支承，B 點為鉸支承，外力施加方式如圖所示。已知斜桿件 a、b、c、d 僅能承受拉力而無法承受壓力，試求此桁架受力後 A 支承反力 RA、B 支承反力 RB、及 b 桿、e 桿、f 桿之內力 Sb、Se、Sf。（桿件力需說明為拉力或壓力） （25 分）f 3m e a b c d A B 10P RA RB 3m 3m 3m 3m 3m（圖 2）

   （25 分）

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3. 3

   圖 3 為一梁結構，C 點為一內鉸接無法承受彎矩，AB 段及 CD 段分別施加均佈載重 w1 = 8 t/m、w2 = 4 t/m。試求 B 點反力 RB，及 D 點反力 RD，並繪製該梁受力後之剪力圖及彎矩圖。（25 分）w1 =8t/m w2 =4t/m A B D C 20m 10m 10m（圖 3）

   （25 分）

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4. 4

   圖 4 顯示一結構，今於 B 點及 D 點分別設置具 ks 之線性彈簧，4 個線性彈簧配置方式如圖所示。若於 E 點施加一軸向壓力 P，試求此結構發生挫屈時之臨界載重 Pcr。（25 分）ks EI= ks E A P B C D ks ks d L-d L-d d（圖 4）

   （25 分）

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107 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   圖一為托架 ABCD，在 A 點為鉸支承（hinged support），D 點由繩索 DE 支承，C 點承受一集中載重 P = 500 N，如 B 點與 C 點所承受之彎矩均相同，不計托架 ABCD 及繩索 DE 自重，試回答下列問題：

   （一） B 點與 C 點間距離 a 應為何？（20 分）

   （二）繩索 DE 承受力量為何？（5 分）E 300 mm A 100 mm C D B P = 500 N a 400 mm圖一

   （25 分）

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2. 2

   圖二為直線 y = 2x 與拋物線 y = 4 x 相交於 O 點與 T 點之陰影，試求此陰影面積形心（centroid）位置為何？（25 分）y T y=4 x y = 2x x O圖二43530 全一張43830 （背面）

   （25 分）

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3. 3

   圖三為簡支撐外伸梁 ABCDEF，承受一垂直集中載重 Pf =300 kN 及均布載重 w = 180 kN/m，假設梁之 EI 值及幾何尺寸均相同，試回答下列問題：

   （一）求 A 及 C 支撐點之反力。（5 分）

   （二）繪製此梁 ABCD 之剪力圖及彎矩圖。（20 分）1m Pf = 300 kN E w = 180 kN/m F A 1m B C D 3m 5m 4m圖三

   （25 分）

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4. 4

   圖四為兩端固定之兩個不等截面圓軸 ABC，在 B 點承受集中載重 P = 60 kN，大小軸之直徑分別為 30 mm 及 15 mm，長度分別為 500 mm 及 400 mm，製作圓軸之材料彈性模數 E 為 200 GPa，假如材料自重不計，試回答下列問題：

   （一）軸 AB 及軸 BC 之應力各為何？（20 分）

   （二） B 點之位移為何？（5 分）P = 60 kN C A 15 mm B 30 mm 400 mm 500 mm圖四

   （25 分）

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106 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   圖一中之矩形版受 5 個垂直集中載重之作用，若已知此力系之合力作用點為版的中心點，且知其大小為-215 kN（亦即 215 kN 朝下），試計算未知力 F1 、 F2 、 F3 之大小及其方向。（25 分）圖一

   （25 分）

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2. 2

   圖二中結構系統由一桁架（truss）AB 與一構件 BC 所組成，其中 A、B、C 點均為鉸接（hinge）。試計算 A 點與 C 點之支承力及桁架結構中桿件 ED、FD、FG 之內力，桿件內力請標示拉力或壓力。（25 分）圖二全一張43430 （背面）

   （25 分）

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3. 3

   圖三所示之連續梁 ABCD 有相同之 EI 值，A 為固定端，C 為鉸接，D 為簡支承。如P = 4 kN 且 q = 2 kN/m，請計算 A 點之反力、彎矩及 D 點之反力，並繪製此連續梁之剪力圖與彎矩圖。 （25 分）圖三

   （25 分）

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4. 4

   有一懸臂梁受軸向壓力 P 如圖四所示，梁之橫斷面如圖五所示。（一）試求 e1及 e2 之值，以確定斷面形心 C 之位置，並計算慣性矩 I y 、 Iz 、 I yz（y 及 z 軸穿過斷面形心 C）。（20 分）（二）如此梁可在 yz 面任一方向挫屈，且其彈性係數 E = 20 GPa，請計算此梁之臨界挫屈載重 Pcr 。（5 分）圖四 圖五

   （25 分）

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105 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   圖一為一剛架結構，A 點為固定端，B 點為鉸接，C 點為滾支承。均佈載重 w 與集中載重 P 如圖所示。試求此外力作用下，支承 A 及 C 處反力 RA、HA、MA 及 RC 之大小及方向為何？（25 分）w C L B P RC MA L HA A 2L 2L RA圖一

   （25 分）

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2. 2

   圖二為一桁架結構，A 點為鉸支承、B 點為滾支承，於頂端 C 點施加一水平外力 8P。試求此桁架受力後 a、b、c、d、e 桿之內力 Sa、Sb、Sc、Sd、Se 為何？（各內力需說明為張力或壓力）（25 分）C 8P 3L 3L a b 3L c 3L d e B A 4L 4L圖二

   （25 分）

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3. 3

   圖三為一簡支梁，於 B 點施加一集中載重 P。試求受力後此梁之最大垂直位移 Δmax與其距離 A 點之位置為何？（25 分）P B A C L 2L/3 L/3圖三全一張43630 （背面）

   （25 分）

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4. 4

   圖四為一剛體結構，A、C 點各設置一個具 ks 之線性彈簧。如圖中所示，於 BD 桿上施加線性垂直載重 w(y)，另亦於 A、C 及 D 端點上施載，試求此剛體結構挫屈時之臨界載重 qcr 為何？（25 分）2qL D w(2L)=q qy 2L w(y) =qy w(y)= 2L 2L y A EI= C qL qL x ks B ks L 2L圖四

   （25 分）

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104 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   如圖一所示桁架受到圖示的均佈載重，試分析每根桿件所受之力，並判斷為張力或壓力。（25 分）圖一

   （25 分）

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2. 2

   簡支梁施工時需先設預拱，如圖二實線所示，以便拆模後因本身自重造成變形後恰能形成直桿，如圖二虛線所示。如簡支梁斷面慣性矩為 I，材料彈性模數為 E，單位長度重量為 w，試依圖示的 xy 座標，列出此簡支梁的預拱曲線方程式。（25 分）圖二

   （25 分）

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3. 3

   如圖三所示，AB 及 BC 二根桿件在 B 點鉸接，已知 AB 及 BC 桿件使用的材料皆為鋼（E=200 GPa），AB 桿件的斷面為直徑 5 cm 的圓形，BC 桿件的斷面為直徑2 cm 的圓形，在 P=70 kN 的水平力作用下，試求 B 點的變位。（25 分）圖三43330 全一張43630 （背面）

   （25 分）

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4. 4

   如圖四所示，均勻斷面之懸臂梁 AB 之斷面慣性矩為 I，材料彈性模數為 E，受 q 的EI均佈載重。在 B 端連接一線性彈簧，彈簧常數 K = 3 。L

   （一）試求 B 點之變位。（10 分）

   （二）試繪 AB 桿件的彎矩圖。（15 分）圖四

   （25 分）

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103 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   如圖一所示，梁的一端為固定端，另一端為自由端，並施加載重如圖所示，請問梁之固定端的反力為何？（25 分）10 2 kN 5 kN固 1定端 A C B 2m 5 kN E D 6m 2m 4m圖一

   （25 分）

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2. 2

   如圖二所示，有一塊 12m×12m 鋼板被吊車的鋼纜吊起，鋼纜有作用力 P 且方向剛好通過鋼板的重心（座標原點 O），吊車的鋼纜在 A 點有掛勾，並勾掛 3 條鋼索 AB、AC、AD，鋼索在鋼板的 B、C、D 處固定。若每根鋼索的容許拉力皆為 28 kN，請問鋼板的最大重量限制為何？（25 分）P掛勾A鋼索10m 12m C z 2m D y 4m O x B 6m 2m 6m 6m圖二43330 全一張103年 公 務人員 普通考 試試 題 代號：43630 （背面）

   （25 分）

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3. 3

   矩形混凝土橋墩的高度 20m，斷面 1.2m×0.5m，混凝土的彈性模數 E=28GPa。若不考慮橋墩自重，在橋墩上施加 400kN 載重於斷面形心時，橋墩的高度會縮短多少距離？（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題是軸向受力桿件的變形計算，載重作用於斷面形心，故橋墩僅受均勻軸向壓力、無彎曲，直接套用虎克定律與軸向變形公式 δ＝PL／(EA) 即可。重點在單位換算與計算過程的完整呈現。

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4. 4

   建築物施工時需要使用施工架及三角托架，如圖三所示，鋼製三角托架利用兩根 6分螺栓鎖固在建築物的外牆上，螺栓間距 30cm，三角托架支撐施工架，且施工架之兩根鋼管立柱底部作用在三角托架的上方，鋼管立柱距離牆面分別為 20cm 和100cm。已知三角托架的總截面積 As=20cm2 ，平均截面模數（section modulus）S=I/c = 200cm3，施工架立柱載重 P = 250kgf，請問：彎矩為何？（5 分）應力為何？（5 分）三角托架的剪應力為何？（5 分）上層螺栓承受的拉力為何？（10 分）立 立柱 柱建築物外牆 P P螺栓40cm 30cm三角托架20cm 80cm 30cm圖三

   （25 分）

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102 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   如圖一桁架，其中 P = 4 kN，試求每一桿件之軸力？（25 分）1m 1m 1m 1m P C B D 1.5 m A E G F圖一

   （25 分）

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2. 2

   如圖二所示之梁，AB、BC 及 CD 段各長 L 且有相同之 EI 值， B 處為一鉸接，C處為一可傳遞彎矩但不傳剪力之滑軌，點荷重 P 作用於 BC 段中點，均佈荷重作用於 AB 段◦ 試繪此梁之剪力與彎矩圖，需列必要方程式◦（25 分）P q B A C D圖二43030 全一張102年 公 務 人 員 普 通 考 試 試 題 代號：43330 （背面）類 科： 土木工程、建築工程

   （25 分）

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3. 3

   DEF 為一剛性桿件（rigid bar）且由一桁架系統支撐（如圖三）。若桁架中各桿件之剪彈性模數（shear modulus） G = 77.2 GPa，柏松比（Poisson’s ratio）ν = 0.3，且容許正向應力（allowable normal stress）為 120 MPa。（一）請求出點 A 及 G 之反力 。（5 分）（二）請問在考慮容許正向應力條件下，BG 桿之最小斷面積。（10 分）（三）若 FG 為直徑 40 mm 之實心桿件，請問 FG 桿之變形量？（10 分）30 kN D 1.6 m E 15 kN C 1.6 m B F 1.6 m A G 1.2 m圖三

   （25 分）

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4. 4

   一鋼柱（一端為固定端，另一端為自由端）其斷面如圖四所示，楊氏模數 E＝200 GPa。假設該柱於自由端承受一偏心 20 mm 之軸力 P。（一）請問該鋼柱之有效長度（effective length）Le。（5 分）（二）在考慮挫屈（buckling）狀況下，求該柱之極限載重 Pcr。（10 分）（三）若欲讓自由端產生 40 mm 之水平位移，求所需之偏心軸力 P。（10 分）P 20 mm 20 mm 24 mm P A A 250 mm 3.0 m 22 mm 24 mm 90 mm A-A 斷面圖四

   （25 分）

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