誤差理論及實務　申論題歷屆試題與參考架構

114 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   請列式說明在最小二乘平差問題中，先驗單位權中誤差之數值大小與後驗單位權中誤差之數值大小的關係。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題核心在於探討最小二乘平差中「先驗單位權中誤差」與「後驗單位權中誤差」之數理定義、理論關聯及其在實務成果檢驗中的物理意涵。先驗值反映觀測前對儀器精度與觀測環境的預期設定，後驗值則是平差後由觀測殘差統計所得之樣本估計量，兩者比值是檢驗平差模型是否正確與數據是否含粗差的關鍵指標。

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2. 2

   假設函數關係 x = 2a+b  4、y = 3a  b+5，並已知隨機變數 a 與 b 之標準差均為±0.3，兩者之相關係數 ρab = 0.2，則 x、y 之標準差以及其相關係數各為何？（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題考相關觀測量的誤差傳播（廣義誤差傳播律）。原式應為 x = 2a + b − 4、y = 3a − b + 5，常數項不影響變異數；重點是 a、b 有相關（ρab = 0.2），要把共變數項算進去，再求 x、y 的共變數與相關係數。

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3. 3

   請說明最小二乘法所求得的誤差改正量，應具有那些統計特性？（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題探討最小二乘平差後所得「誤差改正量」（殘差向量）所具備的統計特性。最小二乘法依據加權殘差平方和最小化準則進行推導，解算出的誤差改正量並非各自分離的獨立量，而是受平差幾何與權重約制，具備特定的期望值、協方差矩陣、機率分佈及代數正交幾何特性。

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4. 4

   下圖水準觀測網，其中三角形點位代表已知高程點，圓形點位則為未知高程點，假設觀測所有測線間之高程差（hij 代表 i 點至 j 點之觀測高程差），則其自由度為多少？並以間接觀測平差方法列出其平差方程式、觀測值向量以及未知參數向量。（25 分）H2 h12 h2B H1 h23 HB H3 hB3 hA1 h13 h3C h34 HA h4A hC4 HC H4

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題是水準網間接觀測平差的建模題：依圖數出觀測數與未知數求自由度，再寫出觀測方程式 V = AX − L 的矩陣形式。圖中已知點為 HA、HB、HC（三角形），未知點為 H1、H2、H3、H4（圓點）。

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113 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   假設某一部全測站儀器其測距精度為  (2 mm  3 ppm) 、測角精度為10 ，若將該儀器運用於二維導線測量，則該導線之網形應以具備何條件為最佳（例如角度範圍或邊長範圍）？（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   儀器規格為測距 ±(2 mm + 3 ppm)、測角 ±10″。本題要從誤差傳播分析導線點位誤差的縱向（測距造成）與橫向（測角造成）兩分量，說明讓兩者均衡、累積誤差最小的網形條件：邊長、轉折角與導線形狀。

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2. 2

   某人欲觀測下圖中 A、B、C、D 等四個方向之夾角，已知觀測量為 L1 至L6，請說明本次測量之多餘觀測數，並列出相對應的觀測方程式。 （25 分）A L4 B L1 L6 L2 L5 C L3 D

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題為同一測站觀測多個方向夾角的平差建模。依圖判讀：L1 = ∠AOB、L2 = ∠BOC、L3 = ∠COD、L4 = ∠AOC、L5 = ∠BOD、L6 = ∠AOD。四個方向只能決定三個獨立夾角，所以多餘觀測數為 6 − 3 = 3。

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3. 3

   請計算下圖水準網之自由度（假設高程差觀測測線如圖中所示），並列式說明如何計算出 A、B 兩點之高程值。（25 分）HB HA HE HC H0 HD

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題是水準網的自由度判定與平差求高程。圖中 H0 為三角形記號的已知點，HA、HB、HC、HD、HE 為待求點；自由度 r = n − u，n 為圖上的高程差測線數，u = 5，接著以間接觀測平差求 HA、HB。

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4. 4

   請由線性化觀測方程式出發，推導間接觀測平差未知參數之估計公式，需列出完整推導過程與假設條件。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題旨在從線性化觀測方程式出發，完整推導間接觀測平差（參數平差）中未知參數改正量之估計公式。推導關鍵在於依據高斯馬可夫模型之基本假設，建立以加權殘差平方和最小為準則之目標函數，透過矩陣微積分求取極值，進而導出正規方程式並求解最佳線性不偏估計量。

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