流體力學與工程力學　申論題歷屆試題與參考架構

115 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   空氣與水均為牛頓流體（Newtonian fluids）的代表，其運動方程式為著名的 Navier-Stokes 方程式，若在直角座標系 ( x, y ) 上描述一個二維流場，其方程式如下： u u u  p   2u  2 u     u  v       2  2    gx  t x y  x  x y   v v v  p   2v  2v     u  v       2  2   gy  t x y  y  x y 其中 u (t , x, y ) 及 v(t , x, y ) 為 x - 與 y - 方向上的速度函數， p (t , x, y ) 為流場壓力分布，  為流體密度，  為流體黏滯係數， g x 與 g y 則為兩方向的單位質量的重力分量。

   （一）何謂牛頓流體？其剪切應力表示式為何？（4 分）

   （二）現有三個未知數，請問 Navier-Stokes 方程式足夠求解嗎？應如何處理？（4 分）

   （三）請由重力分量的因次來推導黏滯係數的因次。請以大寫 M、L、T 代表質量、長度及時間因次；若需要更多的因次，請自行定義符號。 （6 分）

   （四）請問流體在 x 方向運動時可能受到的剪切應力對應到上述方程式中的那些項次？請解釋該項次的動力學意義。（6 分）

   （20 分）

2. 2

   如圖，有一水深 H 、寬度W 之儲水槽，儲槽角落接管徑為 D、總長為 L的長細直管，向外排水；  為水密度，  為水黏滯係數。假設排水量不大，流場可近似於不可壓縮流，且排水對水深的影響暫時可忽略，因此排水近似穩態過程（steady state） ，又若管長遠大於管徑，使得直管中流動可近似於完全發展流（fully-developed flow） 。

   （一）今將座標系定義於管徑開口正中央， u ( x, y ) 及 v( x, y ) 為兩個速度分量函數， p( x, y ) 為流場壓力分布。請依流場狀況將 Navier-Stokes 方程式化減至最簡單的方程，並解流場與壓力場。 （12 分）

   （二）若沿長管於 x  L /2 處側開口設置壓力計，請討論此壓力值是否即為Navier-Stokes 方程式中的 p(t , L /2, y ) ？（3 分）W H y D x L

   （15 分）

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3. 3

   如圖所示，有一皮帶-滑輪動力系統，滑輪 A 以皮帶帶動滑輪 D，滑輪 B則以另一條皮帶帶動滑輪 C，已知滑輪 A 以角速度  A  40 rad/s ，試求滑輪 B 與 C 之角速度為何？（15 分）（假設皮帶與滑輪之間無摩擦，且滑輪 B 與 D 為剛性連接）

   （15 分）

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4. 4

   如圖所示，一質量為100 kg 之物塊 A 靜止於一平面上，該平面之動摩擦係數分為 k  0.2 ，試求下列問題（假設重力加速度為10 m/s 2 ）：

   （一）當 F 為 200 N 時，物塊 A 在 t  2 s 時的速度？（5 分）

   （二）當 F 為 (60t ) N 時，物塊 A 在 t  2 s 時的加速度為何？（10 分）

   （15 分）

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5. 5

   如圖所示，一薄壁圓筒壓力容器兩端封閉，其平均半徑為 200 mm ，筒壁厚度為10 mm ，其承受一內壓力 p  2 MPa 與一扭矩 T 。若容許工作剪應力  w  25 MPa ， 試 求 可 承 受 之 最 大 扭 矩 ？ （ 薄 壁 圓 筒 極 慣 性 矩 為J  Ar 2 ）（20 分）

   （20 分）

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6. 6

   如圖所示，一長為 2 m 的水平鋼桿固定於牆壁兩側之間，其截面積為1000 mm 2 。若此鋼桿在 20℃為無應力狀態，當溫度升至 40℃時，試求在下列情況時鋼桿所受之應力大小，並判別為拉伸或壓縮應力（已知鋼桿的楊氏模數 E  210 GPa 與熱膨脹係數  10 ppm / C ）：

   （一）牆壁固定不動。（5 分）

   （二）兩側牆壁因結構變形而遠離彼此1 mm 。（10 分）

   （15 分）

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114 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   流體本身具有黏性，而且會受環境溫度影響而變化。牛頓觀察流體的行為並提出其牛頓黏性法則，也說明剪應力在這個法則上的角色。目前量測流體的黏性通常是在定溫下，將待測流體放入兩個圓桶之間。若兩個圓桶內圈的圓筒是靜止，而外圈圓筒保持一個定轉速在轉動。請問：（每小題 5 分，共 10 分）

   （一）牛頓黏性法則中，黏性與剪應力的關係為何？請寫出完整的公式。

   （二）假設外圈的轉速固定，其切線速度為 0.1 m/s，內外圈的間隙為 0.1 mm。轉動外圈圓筒的剪應力為 10 Pa，請問流體的黏性係數大小為何？

   （10 分）

   參考架構・破題

   本題考牛頓黏性法則的定義式，以及同心圓筒（旋轉）黏度計的基本換算。重點有二：一是把「剪應力與速度梯度成正比」寫成完整公式並說明剪應力在其中的角色；二是看出間隙遠小於圓筒半徑時，環狀流場可近似為線性的庫埃特流（Couette flow），直接用 τ = μU/h 回推黏度。

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2. 2

   孔口板為一常見（Orifice）的裝置，主要用來測量管路中的流量。假設有一個圓管，內裝了一個孔口板，水平擺置。圓管的直徑為 0.05 m，孔口的直徑為 0.02 m。圓管內部是某種汽油在流動，其密度為 830 kg/m3。一般來說我們會在孔口板的上游與孔口出口兩處量測壓差。請問：（每小題 5 分，共 15 分）

   （一）我們可以用那個法則來說明壓差與流速的關係？請寫出完整的公式。

   （二）假設管內的流量為 0.01 m3/s，請問通過孔口板的平均速度是多少？

   （三）壓差為多少？

   （15 分）

   參考架構・破題

   孔口板屬差壓式流量計，原理是流束通過縮口時面積減小、流速增加，依能量守恆靜壓隨之下降，因此量到的壓差可反推流量。本題三小題依序考：所依據的法則與公式（連續方程加柏努利方程）、用連續方程求孔口平均速度、再用柏努利方程回算壓差。

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3. 3

   雷諾（Reynolds）為英國流體力學學者。他最有名的實驗為觀察圓管內的流動物理狀態。他以染料來將流場可視化，將流動型態分為層流、過渡、紊流三種。更重要的是他提出一個無因次參數來區分這三個狀態，請問：

   （一）這個無因次參數的定義為何？請寫出公式。（2 分）

   （二）假設他所觀察的圓管直徑為 0.01 ｍ，裡面流動的流體為水，其黏滯係數為 0.001 kg/m‧s，密度為 1000 kg/m3，管內流動的平均速度大小為 5 m/s。請問這個無因次參數數值為多少？管流內是層流還是紊流？（3 分）

   （三）更進一步，由於管內流動變化造成流動能量的損失，一般而言，可用摩擦因子 f 來表示，而 Moody 做了一系列實驗來量測 f，請問他實際上是量測那個物理量？如何進一步將這個物理量轉為 f？（5 分）

   （10 分）

   參考架構・破題

   三小題分別考雷諾數的定義、以數值判別流態，以及 Moody 圖背後真正量測的物理量。關鍵觀念是：摩擦因子無法直接量，實驗上量的是一段直管的壓降（或水頭損失）與流量，再透過達西–威斯巴哈（Darcy–Weisbach）公式反解成無因次的摩擦因子。

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4. 4

   將長為 1.3 m 重量為 20 N 的均質細直桿 AB 兩端分別接觸相距 1.2 m 之兩垂直牆面並保持靜置，如圖所示。假設 A 端為光滑接觸而 B 端為摩擦接觸且有足夠的摩擦力來支撐直桿以維持平衡，試求解下列問題：

   （一） A 端的反作用力。 （7 分）

   （二） B 端接觸處之最小摩擦係數。（8 分）A B 1.2 m

   （15 分）

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5. 5

   一質量為 2 公斤之擺錘以繩索連接吊掛構成一平面運動之單擺如圖所示，單擺於水平靜止狀態釋放，當擺錘到達底部時，繩索接觸並纏繞固定於 B處之光滑銷，且擺錘繼續沿著較小半徑的圓弧線運動，不計繩索質量，設重力加速度 g = 10 m/s2，試求解下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）

   （一）當 θ = 60°時，擺錘的速度值為多少 m/s？（10 分）

   （二）當 θ = 60°時，繩索張力為多少 N？（10 分）

   （20 分）

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6. 6

   如圖所示，一直徑為 16 mm 之實心鋼製圓桿彎折成直角彎桿 ABC 置於xz 平面上，其 A 端固定，C 端面施加外力 Fy = 80π N，材料的彈性模數E = 200 GPa，剪彈性模數 G = 80 GPa，不計桿重量，亦無應力集中，試求：

   （一）彎桿 A 端之最大剪應力 max 為多少 MPa？（8 分）

   （二）彎桿 A 端之最大拉應力max 為多少 MPa？（10 分）

   （三）彎桿 C 端向下位移量y 為多少 mm？（忽略剪力變形）（12 分）y x z L=200 mm L=200 mm 80 N

   （30 分）

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113 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   今有一金屬球因重力作用在一黏性流體中以等速沉降。假設該球之沉降速度 V 較低，使得其運動方程式中之慣性力遠小於黏性力，故 V 只受流體之動力黏滯係數（dynamic viscosity），以及金屬球之直徑 D 和單位體積淨受力（ b   l）g 影響。前式中 b 與 l 分別為金屬球和流體之質量密度，g 為重力加速度。

   （一）利用因次分析（dimensional analysis），試求沉降速度 V 與前述各參數[亦即D( b   l)g]之關係式。（15 分）

   （二）設若一鐵球之比重（specific gravity）為 7.9，直徑為 0.3 cm，且在某一比重為 1.5 之流體中以某速度等速沉降。今若將鐵球換成比重 2.7 之鋁球，且欲使鋁球在相同流體中之沉降速度與原鐵球相同，試求鋁球應有之直徑。（5 分）

   （20 分）

2. 2

   如圖 1 所示，今有一圓形截面管，其長度 L = 1.2 m，直徑 d = 0.003 m，內壁粗糙度（equivalent roughness） = 0.045 mm，同時水從一自由液面高度 H 恆定且直徑 D = 0.172 m 之容器經此圓管排出。假設圓管入口區之次要損失（minor loss）可以忽略，且管內截面平均流速 V = 2 m/s，試求容器內自由液面相對於圓管中心線之高度 H。提示：水之運動黏滯係數 = 1.12 × 106 m2/s，同時管流摩擦因子（friction factor）f 可利用下式計算：1   / d 1.11 6.9   1.8log    ，f  3.7  Re 式中 Re 為雷諾數（Reynolds number）。（15 分）圖1

   （15 分）

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3. 3

   如圖 2 所示，一根四分之一圓之懸臂梁外側面承受均勻壓力負載 p，壓力 p 以單位弧長所受的力表示。試計算該懸臂梁固定支撐點（fixed support）A 承受的正向力 N A 、剪力VA 及彎曲力矩 M A 。（15 分）圖2

   （15 分）

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4. 4

   如圖 3 所示，一丁字形角鐵由兩根相同質量 m 及長度 L 的均質圓棒銲接而成，其平面與鉛垂面平行，端點 A 銷支承（pin support）於天花板，端點 A 與質心 G 連線的水平傾角為 θ。丁字形角鐵於  0o 處靜止釋放，重力加速度以符號 g 表示。試問：

   （一）丁字形角鐵質心距 AG 及對 A 點的轉動慣量（moment of inertia of mass）。（10 分）

   （二）當  90o 時，銷支承 A 施予丁字形角鐵的水平力及鉛垂力各是多少？（15 分）圖3

   （25 分）

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5. 5

   如圖 4(a)所示，兩個尺寸、材質相同的均勻圓柱體堆疊於無摩擦地板。兩者的截面積為 A、彈性係數為 E 及單位體積的重量為    g ，此處， 為質量密度，g 為重力加速度。若兩圓柱體未受應力作用前的原始長度為 L，參考圖 4(b)所示，試問：

   （一）兩圓柱體在 x1及 x2 截面的軸向壓力 F1 ( x1 ) 與 F2 ( x2 )  ？（10 分）

   （二）兩圓柱體受重力壓縮後的長度分別減少 1 與  2  ？（15 分）du  x（提示：單軸應力、變形關係  x   ， x 、  x 與 u 為單軸應力、應dx E變及位移。）

   （25 分）

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