測量平差法 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 106～112 年共 6 份試卷、26 題，其中 12 題附參考答題架構。考這一科的類科：測量製圖。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
利用一經緯儀獨立觀測一水平角8次，若其「度」和「分」的讀數相同，為36度50分，而秒之讀數分別為39"、41"、38"、42"、45"、41"、43"、6"。請計算該水平角之最或是值和最或是值之中誤差（請以二倍中誤差（2σ）剔除錯誤觀測量） 。（25分）
（25 分）
- 2
如圖一平面三角形，A、B兩點為已知坐標點，C點為未知點。利用經緯儀分別於A、B兩點設站，測量C點的水平角得α、β，並以卷尺測量AC及BC間的水平距離為S1和S2。請問欲求C點坐標至少要有幾個觀測量？在此觀測情形下多餘觀測數為多少？請以間接觀測平差法列出觀測方程式（請線性化）？計算C點坐標時應考慮那些誤差來源？（25分）
（25 分）
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- 3
觀測一平面三角形的三個內角α、β、γ各4次，假設觀測量獨立不相關，且測角中誤差均為3"。請計算三角形內角和閉合差之中誤差。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考誤差傳播定律的基本應用。三角形內角和閉合差 w = α + β + γ − 180°，每個角為 4 次觀測的平均值，先求平均值中誤差，再以獨立觀測量的線性函數傳播求 w 的中誤差。
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- 4
已知5個點的新、舊坐標如下表。假設舊坐標沒有誤差，新坐標為觀測量，等權獨立不相關，另新、舊坐標關係為x' = a•x + b•y；y' = -b•x + a•y。請利用間接觀測平差求得轉換參數（a, b） 、其中誤差、各轉換參數間的相關係數，並計算a轉換參數之95%信心區間。 （t0.05,10 = 1.812、t0.025,10 = 2.228、t0.05,9 = 1.833、t0.025,9 = 2.262、t0.05,8 = 1.860、t0.025,8 = 2.306、Z0.05 = 1.645、Z0.025 = 1.96）。 （25分）舊坐標（x,y）；單位：m 新坐標（x',y'）；單位：m 1 0 0 0.1 0 2 10 10 5.1 12.9 3 -30 20 -34.9 6.2 4 -10 -20 -1 -22.1 5 20 -10 21.8 -0.8
（25 分）
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如圖所示，等精度觀測了三角度，觀測向量為 l1 3045'20" l 4712'54" 2 l3 7758'20"已知 AOB 7758'24"，以間接觀測平差分析 AOP、POB 的最或是值。（20 分）A O l1 l3 l2 P B
（20 分）
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- 2
某一平差問題，觀測值向量 L51 為等精度獨立觀測值，已求出的法方程式如下：32.51 11.20 k1 12.20 11.20 24.65 k 9.35 0 2 試求出此平差問題中的單位權變方估值 ̂ 02 ？（20 分）
（20 分）
- 3
已知隨機變數 x、y 的標準差分別為 x 、 y ，相關係數 xy 1 ，試求函數 u x 2 ay 的變方 u2 。（20 分）
（20 分）
- 4
一平坦地區直線距離長度約為 150 m，欲以 50 m 長的捲尺分段量測之。a假設量測每一段長度之中誤差為 5 mm ，段與段相接處量測時皆會產生 ± 5 mm 的中誤差，且捲尺兩端各有 ± 3 mm 的對點中誤差，試求分成三段（每段約 50 m）作業時，總長度的中誤差。 （20 分）
（20 分）
- 5
直線方程式 y ax b ，假設 x 為真值且觀測值 y 為等權獨立不相關，試由下列表格數據依最小二乘法估計 a、b。 （20 分）x 1 2 3 4 5 y 10.3 11.2 11.8 11.7 12.0
（20 分）
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
大型測量平差可以矩陣方式處理。令矩陣型式之觀測方程式為V=AX-L，其中V、A、X、L分別為含殘差，設計係數，未知數及觀測量之矩陣（或向量）。L之協變方矩陣為Σ。
（一）列出未知數X之最小二乘解及X之協變方矩陣。（10分）
（二）殘差V之協變方矩陣可用於粗差偵測及可靠度分析。試列出V之協變方矩陣。（15分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考間接觀測平差（參數平差）的矩陣解與協變方傳播。先由最小二乘準則導出法方程式，再以誤差傳播定律推出未知數與殘差的協變方矩陣，最後說明殘差協變方在粗差偵測與可靠度分析上的用途。
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- 2
利用GPS測得兩點A、B之平面坐標(X, Y)經平移後為(0, 0) m、(50, 50) m，每個坐標分量之標準偏差為0.02 m，各坐標分量不相關。試求A、B點距離之標準偏差。 （25分）
（25 分）
- 3
A、B、C為水準點，以精密水準觀測得下列高程差數據：hAB = 10.2142 m（B高程減去A高程）hBC = 5.3191 m（C高程減去B高程）hCA = -15.5330 m（A高程減去C高程）A、B、C三點距離相同。欲以條件平差模式，平差上述高程差觀測值。
（一）列出條件平差之條件式。 （10分）
（二）解出3個高程觀測量之殘差。（15分）
（25 分）
- 4
試回答下列信心區間相關問題：
（一）何謂一平面點之誤差橢圓（error ellipse）？（12分）
（二）比較信心橢圓（confidence ellipse）與誤差橢圓。（13分）
（25 分）
參考架構・破題
平面點位精度以二維方式描述：誤差橢圓由協變方矩陣的特徵值與特徵向量決定，描述各方向的標準誤差；信心橢圓則是把誤差橢圓依指定機率放大，具有明確的統計涵蓋意義。
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108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知觀測向量 L = [x y z ] 的方差-協方差矩陣為 ∑ LL = ⎢ 0 4 0 ⎥ ，T ⎢ ⎥ ⎢⎣− 2 0 2 ⎥⎦試求 L 的函數 F = x 2 + z1 2 在 x=12、z=14 時的協方差 ∑ FF 。（25 分）
（25 分）
- 2
A、B 為地面上兩點，以直接水準測量方法，經由三條不同路線測量 A與 B 之高程差，有關觀測數據如下表所示；試求 A 與 B 間高程差之加權平均值及其標準差。（25 分）A 與 B 間高程差的觀測數據表路線 A、B 間高程差觀測值（m） 路線長（km）1 +2.612 1.61 2 +2.608 3.22 3 +2.624 4.83
（25 分）
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- 3
有一塊矩形土地在 1/2000 地圖上，測量得其長（X） 、寬（Y）及其標準差分別為 X = 50 cm ± 6 mm 、 Y = 30 cm ± 6 mm ，又用求積儀量得該土地的面積為 Z = 1535 cm 2 ± 60 mm 2 。試以最小二乘法間接觀測平差法，求該矩形土地的實際面積及其標準差。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
觀測量 X、Y、Z 共 3 個，但描述矩形只需長寬 2 個參數，有 1 個多餘觀測；以長、寬為未知數，Z = XY 為非線性需線性化，再以間接觀測平差求面積與其精度，最後換算比例尺得實地面積。
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- 4
下圖所示為一個測角的前方交會問題，圖中 A、B、C 為已知點（單位：m） ，P 為待定點；4 個角度為等權觀測，P 點的近似坐標為 xP0 = 6861.35 m 、y P0 = 3727.59 m 。經過線性化的觀測方程式為 JX=K+V：⎡ 4.507 33.800⎤ ⎡ − 0.238′′ ⎤ ⎡ vL1 ⎤ ⎢ 15.447 − 40.713⎥ ⎢ − 0.214′′ ⎥ ⎢v ⎥ ⎡ dxP ⎤ ⎥, V = ⎢ L 2 ⎥ J =⎢ ⎥, X = ⎢ ⎥ , K =⎢ ⎢− 15.447 40.713⎥ ⎣dy P ⎦ ⎢ − 0.689′′ ⎥ ⎢vL 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 25.732 − 27.788⎦ ⎣− 20.235′′⎦ ⎣v L 4 ⎦試以最小二乘法間接觀測平差法，求 P 點的坐標平差值 ( x P , y P ) 及其標準差。 （25 分）y P A角1角2 B 角3角4 C x測角的前方交會示意圖
（25 分）
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
在一個非線性平差計算問題中，某人組成法方程式可表示為 NΔ = t ，經迭代求解並達成收斂後，得到下列數值成果，請判斷何者為明顯不合理（可複選）？需具體說明判斷依據。（25 分）⎡ 2.05 − 1.08 ⎤ ⎡ 0.0001 ⎤ ⎡ 0.00009 ⎤ ⎡ 90001.01 ⎤
（一）N = ⎢ ⎥ （二） Δ = ⎢− 0.0005 ⎥ （三） t = ⎢− 0.00006 ⎥ （四） t = ⎢ ⎥ ⎣− 1.08 − 5.23⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣− 0.00006 ⎦
（25 分）
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- 2
已知下列函數關係： y1 = 4 x12 + 2 x 2 − 9 , y 2 = 2 y1 + 3x1 − 5 x2，並已知標準差σ x = ±2 ， 1 σ x = ±1 ，相關係數 ρ x x = 0.6 , 參數值 x1 = 3 , x2 = 1 。請計算協方差矩陣 ∑ yy 以及2 1 2 ∑y x。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為非線性函數的協變方傳播：先求 y 對 x 的雅可比矩陣（注意 y2 內含 y1，要以連鎖律代入），再以 Σyy = JΣxxJᵀ、Σyx = JΣxx 計算。
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- 3
某一個水準網，具有 9 個點位，其中 1 個點之高程坐標為已知。倘若在這 9 個點之間進行測量並獲得了 15 個相互獨立的高程差觀測值，請計算本測量之自由度為何？並說明最多可寫出幾條獨立的條件平差觀測方程式以及幾條獨立的間接觀測平差方程式？（25 分）
（25 分）
- 4
假設某一平差問題可以下列方程式表示： Bv + AΔ = f ，又已知觀測量權係數矩陣為Q ，且該次測量之單位權標準差為σ 0，則平差後之未知參數精度該如何估計？（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
Bv + AΔ = f 是同時含觀測殘差與未知參數的一般模型（附有參數的條件平差，又稱 Gauss-Helmert 模型）。先在最小二乘準則下以拉格朗日乘數法導出法方程式，再由協因數傳播得到參數的協因數矩陣，乘上單位權變方即為參數精度。
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某點 P 坐標之協變方矩陣為 ⎢ 2 2⎥ = ⎢− 1 6 ⎥ (m ) ，求此點標準誤差橢圓長軸及σ ⎢⎣ xy σ y ⎥⎦ ⎣ ⎦短軸之值、長軸與 x 軸之夾角、及在方位角 − 176°43′2.17′′ 方向上的中誤差。 （20 分）
（20 分）
- 2
觀測一三角形三內角所得到的觀測量分別為： 50°35′27′′ , 69°24′33′′ , 60°0′24′′ ，其對應的權值分別為 3, 2, 1，請分別列出條件平差模型及間接平差模型，並解算三個角度的改正量。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
三角形內角和閉合差 w 只有一個多餘觀測，條件平差列一條條件式；間接平差取兩角為未知數、三個觀測方程式。兩法結果相同，改正量依權倒數（協因數）比例分配閉合差。
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- 3
請說明測量時多餘觀測量之重要性。若對一距離 D 重複等權觀測 N 次，請以最小二乘原理證明其最或是值等於算數平均值。（20 分）
（20 分）
- 4
有一水準網如圖一所示，請分別以直接觀測平差與間接觀測平差計算 D 點高程。（20 分）HA = 788.920 m 2 km 3 km HC = 750.933 m A D ΔH1 = -58.011 m ΔH 3 = 20.009 m C ΔH2 = -70.587 m 2 km HA = 801.490 m B圖一
（20 分）
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- 5
請列出線性近似（Linear approximation）所使用的公式並說明其幾何意義。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
測量觀測量與未知參數間多為非線性關係（距離、方向、角度），最小二乘平差需線性化。線性近似即以泰勒級數在近似值處展開、只保留一次項，幾何上就是用切線（切平面）代替原曲線（曲面）。
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