測量平差法 申論題歷屆試題與參考架構
地方特考三等，民國 102～112 年共 11 份試卷、45 題，其中 23 題附參考答題架構。考這一科的類科：測量製圖。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
標準誤差（Standard Error）、平均誤差（Average Error）及或然誤差（Probable Error）都可表示觀測量之精度，為何通常都採用標準誤差來表示觀測量之精度？試詳述原因。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題要說明三種誤差指標雖都能描述觀測精度，但標準誤差在統計理論、數學運算與平差應用上最完整，因此成為測量學的標準精度指標。作答應先分別界定三者，再從理論與實用面比較。
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- 2
設在測站 A 觀測如示意圖，已知∠BAC = α，設其無誤差，觀測角度 β1和 β2 之中誤差為1 2 1.4" ，協變方 12 1"2 ，試求解角度 x 的中誤差 x 。（20 分）
（20 分）
- 3
某一距離 n 次觀測之平均值為 l ，設 l =li vi，vi 稱為改正數或剩餘誤差；試證明改正數之平方和為最小。（20 分）
（20 分）
- 4
等權獨立不相關觀測平面三角形的三個內角，觀測值分別為 α = 80°00'10"、β = 75°45'20"、γ = 24°14'00"。令未知參數 x、y、z 為三個內角之最或是值，依未知數附有條件之間接觀測平差求解未知參數。 （20 分）
（20 分）
參考架構・破題
三內角之和應為 180°，觀測值之和為 180°00'30″ 的意思是閉合差 30 秒，且為等權觀測。本題採「附有條件之間接觀測平差」（附有條件的參數平差，又稱 Gauss-Helmert 之參數條件模型），未知參數 x、y、z 同時受條件 x＋y＋z－180°＝0 約束。
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- 5
某一平差問題列有以下條件方程式：v1 v2 v3 5 0 v v v 2 0 3 4 5 v5 v6 v7 3 0 v1 v4 v7 4 0設有 3 個未知參數 v1 x1、v2 x2、v7 x3 ，試將條件聯立方程式改寫成誤差方程式及列出間接觀測平差法方程式。 （20 分）
（20 分）
111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
標準偏差（Standard Deviation, STD）及均方根誤差（Root-Mean-Square Error, RMSE）是兩種常被用來分析測量結果的指標，請利用公式說明兩者之差異。並說明標準偏差和均方根誤差與精確度（Precision）和準確度（Accuracy）之關係。 （例如：標準偏差大，則精確度或準確度高還是低）（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
標準偏差描述觀測值圍繞「自己平均值」的離散程度（精密度），均方根誤差描述觀測值相對「真值」的偏離程度（同時含精密度與準確度）。作答重點在用公式指出兩者的參考基準不同。
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- 2
今利用一水準儀測量兩水準點之往返高程差，重複十次往返測量，往返高程差之合（閉合差）分別為-0.8 mm、-0.1 mm、1.4 mm、-0.6 mm、0.1 mm、0.4 mm、-1.6 mm、0.2 mm、-0.9 mm、0.3 mm。假設往返高程差之合服從常態分布，在母體變異數 2 未知，請問在顯著水準 0.05 之下，請問往返高程差之合的母體期望值 是否為零？（t10,0.05 = 1.812、t10,0.025 = 2.228、t9,0.05 = 1.833、t9,0.025 = 2.262、Z0.05 = 1.645、Z0.025 = 1.96）（25 分）
（25 分）
- 3
一經緯儀觀測角度的中誤差為 6 。在相同觀測條件，今以此經緯儀觀測一個五邊形內角，請計算該五邊形內角和之中誤差？若重複觀測某一內角角度 5 次，請計算此角平均值之中誤差？今欲使此角平均值之中誤差低於1.5 ，請問該內角至少需要重複觀測幾次？（25 分）
（25 分）
- 4
一水 準網如下圖所示 ，水準 點 A、 B 為已知水準點 ，高程分別為H A 5.000 m 和 H B 7.000 m ，水準點 C、D 為高程未知點，水準觀測數據（箭頭為觀測方向）如下表所示：高程差觀測值（m） 水準路線長（km）h1 = 1.000 m 2 h2 = 1.050 m 4 h3 = 1.000 m 2 h4 = 0.950 m 4 h5 = 1.050 m 4假設直接水準測量之誤差與路線長度之平方根成正比，試計算平差水準點 C 和 D 之高程及其中誤差。（25 分）
（25 分）
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知甲、乙、丙三人觀測一水平角度的權比例為 3：4：5，若甲的觀測精度為 4，則乙和丙的觀測精度為何？又若三人觀測同一角度各一次，假設為獨立不相關觀測，請以這三個角度觀測值求該水平角度最或是值的標準差。（25 分）
（25 分）
- 2
已知水準測量標準差為 3 mm K （K 為水準路線長，以公里數計）。若往測的水準路線長為 2 公里，返測的水準路線長為 2.5 公里。假設往返測獨立不相關，試求往返測高程差平均值的標準差。（25 分）
（25 分）
- 3
試論點位誤差橢圓的意義。又已知 A、B 兩點間的相對誤差橢圓的長軸半徑為 5 cm ，短軸半徑為 1 cm，示意圖如下所示，且這兩點的距離為 250 公尺。試估計 A、B 兩點間連線方向的相對精度（請以分數形式表示）。（25 分）
（25 分）
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- 4
一水準網如下圖，水準測量高程差觀測值及水準路線長如下表。圖中，A、B、C、D 四點的高程值分別為 35.000 公尺、30.600 公尺、48.125 公尺和 42.903 公尺。假設所有觀測量獨立不相關，請以最小二乘法平差計算該水準網，並估計後驗單位權標準差、E 和 F 點的高程值和其標準差。（25 分）水準路線 高程差觀測值（公尺） 水準路線長（公里）AB -4.408 3 BE 8.632 6 AE 4.267 4 EF -0.446 1 DF -4.081 2 DC 5.241 5 FC 9.342 8
（25 分）
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
觀測一平面三角形的三個內角 l1 、l2 及 l3 ，觀測量等權不相關。若選擇兩個 內 角 l1 、 l2 為 未 知 參 數 x1 、 x2 ， 試 以 間 接 觀 測 平 差 證 明 改 正 數v1 v2 v3 (180 l1 l2 l3 ) ？若選擇三個內角 l1 、 l2 及 l3 為未知參數x1 、 x2 、 x3 ，試列出其觀測方程式並寫出此種平差模型之名稱。（25分）
（25 分）
- 2
已知三個隨機變數 X、Y、Z 的變方-協變方矩陣如下式，試求隨機變數X、Y、Z 的中誤差( X 、 Y 、 Z )與 X、Y、Z 的相關係數矩陣。（25分） 1 1.5 0.75 = 1.5 4 3 0.75 3 9
（25 分）
- 3
某測量公司為提升人員工作效率及成果品質，開設進階電腦操作與軟體教學課程，往年講解操作授課時間較長，受訓人員完成訓練時間近似常態分布。現公司設計一套人工智慧的教學課程，預期可縮短訓練時間並達到一樣的效果。公司隨機抽取16人接受此課程訓練，平均訓練天數為30天，標準差為4.4天。試問在95%信心水準（confidence level）之下，利用人工智慧的教學課程平均天數的信心區間（confidence interval）為何？若希望「估計誤差有95%的機率小於或等於2天」，試問要達到此目標至少應抽取多少樣本？( t16,0.05 1.746 、 t15,0.05 1.753 、 t16,0.025 2.120 、t15,0.025 2.131 、 Z 0.025 1.96 、 Z 0.05 1.645 )（25分）
（25 分）
- 4
三角形 ABC 中， A 與 B 已觀測，權分別為 PA 2 、 PB 1 ，試問 C的權 PC 為多少？若角 A 中誤差 A 8 ，試求角 B 中誤差 B 。（25分）
（25 分）
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知一個點位坐標 X、Y 的變方-協變方矩陣如下：σ2X σXY 0.0019 -0.0008 Σ= = (cm2 )，σXY σY -0.0008 0.0009試問需要將坐標軸旋轉多少角度，方可使得參考於新坐標軸的坐標相關係數為零？（旋轉角度必須註明順時針或逆時針旋轉。旋轉的角度值計算到度，度以下四捨五入） （25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考誤差橢圓（主軸方向）的概念：把坐標軸旋轉到誤差橢圓的主軸方向時，新坐標的協方差為零，即相關係數為零。關鍵是寫出協方差傳播後的 σX'Y' 並令其為零。
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- 2
有一條件平差模型如下：v1 -v3 +v4 =w1 v2 -v3 +v5 =w2其中 v1 ~v5 是觀測量改正數，其權矩陣為 P，而 w1 、w2為不符值。試將該條件平差模型化為間接觀測平差模型（GMM 平差模型），但不必求解。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
條件平差與間接平差是同一平差問題的兩種表示。n＝5 個觀測、r＝2 個條件，必要觀測數 t＝n－r＝3，故需選 3 個獨立參數，把每個觀測改正數表成參數的函數。
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- 3
變形監測時，常使用不同時期的觀測數據來進行自由網平差。假設測量網形不變，使用相同點位（含參考基準點），點位起始坐標值也相同。今有兩期的觀測數據各自進行自由網平差，但兩期的參考基準點不同。試說明如何以這兩期的自由網平差成果來判斷是否有變形發生。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
自由網平差的成果依賴所選基準（datum），兩期基準不同時坐標不能直接相減。須先用 S 轉換（相似轉換）把兩期成果轉到同一基準，再以全域一致性檢定（congruence test）判斷是否變形，並進一步定位變形點。
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- 4
兩組測量人員分別觀測同一個角度n1 次和 n2次（n1 、n2 均大於30），由此估計得到觀測標準差分別為σ1 和σ2 ，角度平均值分別為x1 和x2 。假設觀測量服從常態分配，且各觀測量等權獨立不相關，請列出虛無假設和對立假設、檢定的統計量，以及檢定程序以說明如何檢定這兩組測量人員觀測精度的優劣，以及檢定兩者的角度平均值是否相同。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題分兩個假設檢定：精度比較用兩樣本方差的 F 檢定；平均值比較因 n1、n2 皆大於 30，屬大樣本，可用常態（Z）檢定。答題須完整寫出 H0、H1、統計量、分配、臨界值與判斷。
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
A 點到 B 點實際距離為 10 公尺（正確無誤差） 。在相同觀測條件下，利用兩台不同精度測距儀，分別對 A、B 兩點距離進行 5 次觀測，觀測值為：第一台測距儀：10.012 公尺，10.002 公尺，9.985 公尺，10.008 公尺，9.992 公尺。第二台測距儀：10.102 公尺，10.105 公尺，10.095 公尺，10.104 公尺，10.096 公尺。請分別求這兩組觀測量的平均值、標準差及均方根誤差。並依據計算結果分別說明那組觀測量精密度（Precision）較高？那組觀測量精確度（Accuracy）較高？（25 分）
（25 分）
- 2
A 點坐標已知(0.000, 0.000) m 且誤差小至不計，在 A 點對 B 點進行距離 S和角度 α 觀測，其中 S = 100 m ± 0.005 m ，α = 30° ± 10' '，試求 B 點坐標和其誤差。 （25 分）
（25 分）
- 3
水準網如下圖所示（箭頭為高程上升方向） ，水準點 A 和 C 高程已知，HA=0.000 m，HC=1.000 m，B 和 D 點高程未知。為求 B 和 D 點高程進行水準測量，各高程差觀測如下表所示。試按間接觀測平差求 B 和 D 點高程及中誤差、後驗單位權中誤差、各觀測值最或是值及其中誤差。 （25 分）高程差觀測量(m) l1 =0.505 m l2 =0.498 m l3 =0.703 m l4 =0.295 m l5 =0.202 m水準路線長(km) 2 2 2 2 3水準網示意圖
（25 分）
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- 4
在一觀測網中，P 點和 Q 點坐標(X,Y)平差值之變方－協變方矩陣（variance-covariance matrix）為：σXP 2 σXP YP σXP XQ σXP YQ 2.0 0.2 1.0 -0.5 σYP XP σ YP 2 σYP XQ σ YP YQ 0.2 3.0 -0.6 0.8 ∑X = = cm2 σXQXP σXQYP σXQ 2 σXQYQ 1.0 -0.6 4.0 -0.3 σYQXP σ YQ YP σYQXQ σ YQ 2 -0.5 0.8 -0.3 2.3 σ0 =1 cm。試求 P 和 Q 點誤差橢圓和 PQ 兩點相對誤差橢圓（誤差橢圓包含長、短軸半徑和長軸方位角） 。（25 分）
（25 分）
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設在測站 R，用全站儀後視點 U、前視點 S，觀測水平角 URS 為 50°06'50''；假設已知 R 及 S 的平面坐標分別為 (865 .40 m, 4527.15m) 、 ( 2432 .55m, 2047.25m) ，U 的平面坐標近似值為 (6861 .35m, 3727.59m) ；試列出角度 URS 與 U、R、S 坐標函數關係d 1 du的線性化觀測方程式。（註： tan −1 u = ）（25 分）dx 1 + u 2 dx
（25 分）
參考架構・破題
角度觀測等於兩方位角之差，∠URS＝α_RS－α_RU（後視 U、前視 S，依題意定順序）。R、S 已知，未知數只有 U 的坐標，線性化重點在對方位角函數做泰勒展開，利用 d(tan⁻¹u)/dx＝(1/(1＋u²))du/dx 求偏導數。
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- 2
利用某種型號的經緯儀 A 測量角度，由多年的測角成果分析，得知其測角中誤差為 ± 1.5''；現在用新購買的相同類型經緯儀 B 觀測某角度 9 測回，得知一測回中誤差為 ± 2.0''。在顯著性水準 α = 0.05 的情況下，試檢驗經緯儀 B 的測角精度與經緯儀 A 相比，是否存在顯著差異？（註：有關統計臨界值為 t α / 2 , 8 = 2.31、 t α , 8 = 1.86 、χ α2 / 2 , 8 = 17 .53 、 χ 1−2 α / 2 , 8 = 2.18 、 χ α2 , 8 = 15.51 、 χ 1−2 α , 8 = 2.73 ）（25 分）
（25 分）
- 3
在 A、B 兩測站擺設 GPS 接收儀，於歷元 t 同步接收 j、k、l 三顆 GPS 衛星的 L1 載波相位觀測量 Φ ( m ) ，共有 6 個觀測量 L = [Φ Aj (t ) Φ kA (t ) Φ lA (t ) Φ Bj (t ) Φ kB (t ) Φ lB (t )] T ，L的協方差矩陣為 Σ LL = 4 I ( mm 2 )，I 為 6×6 的單位矩陣。現在若以 j 衛星當作參考衛星，可以組成 2 個二次差觀測量 D = [Φ ABjk (t ) Φ ABjl (t ) ] T ，試求 D 的協方差矩陣 Σ DD ，並分析Φ ABjk (t ) 與 Φ ABjl (t ) 是否相關？（註： Φ ABjk (t ) = Φ kAB (t ) − Φ ABj (t ) ， Φ ABj (t ) = Φ Bj (t ) − Φ Aj (t ) ）（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
二次差觀測量是原始相位觀測量的線性組合 D＝CL，以協方差傳播律 Σ_DD＝C Σ_LL Cᵀ 求解；兩個二次差共用參考衛星 j 的單差，因此彼此相關。
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- 4
假 設 平 面 上 4 個 點 位 於 一 個 圓 弧 上 ， 其 平 面 坐 標 ( x, y ) 的 觀 測 値 分 別 為( 2.10, 5.20) 、 ( 2.90, 4.10) 、 (1.80, 3.20) 及 (1.10, 4.20)（x, y的單位皆為 m）。圓的方程式為 ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ，其中， (h, k ) 、r分別代表圓心坐標及半徑。欲利用上述 4個 點 的 平 面 坐 標 ( x , y ) 擬 合 一 個 圓 ， 若 ( h, k ) 、 r 的 近 似 値 已 知 ， 分 別 為(h0 , k0 ) = (1.90,4.00) 、 r0 = 1.00 ；試利用最小二乘法間接觀測平差法，求擬合圓的圓心坐標、半徑及其中誤差。（25分）
（25 分）
參考架構・破題
圓擬合是非線性問題：以 (h, k, r) 為參數，將每點到圓心距離與半徑之差視為觀測方程式，在近似值處泰勒展開，用間接平差求改正數並迭代；4 點、3 參數，自由度 1。
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
Gauss Markov Model（GMM）的最小二乘解是 X = A T PA A T PL ，其中 A 是設計矩陣，P 是權重矩陣，L 是觀測向量。L 的協方差矩陣（covariance matrix）是 Σ。定義新的隨機向量 S 和 R 為：S = AX 、R = PL 。試求 S 和 R 之間的協方差矩陣。 （25 分）⎡15 2 1 ⎤ ⎡20 21 1 ⎤
（25 分）
- 2
定義矩陣 A = ⎢ 3 2 1 ⎥，B = ⎢ 3 12 1 ⎥，C = AB T。試計算矩陣 C 的跡（trace）。⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 10⎥⎦ ⎢⎣ 2 1 13⎥⎦（25 分）
（25 分）
- 3
試解釋及舉例平差中，最小約束解（minimum constrained solution）的原理。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
最小約束解是處理網形「基準虧秩（datum defect）」的方法：只加入恰好足以定義基準的約束，使法方程式可解，而不讓約束本身扭曲觀測量。作答要講清楚「為什麼需要約束、要幾個、加了之後什麼會變什麼不會變」，再舉實例。
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- 4
點 A 和 B 之間的距離被一 EDM 測量 10 次。10 次之平均值和平均值之標準誤差為S = 100.231m 、σ S = 0.006 m
（一） 計 算 該 距 離 的 95% 信 心 區 間 （ confidence interval ）， 使 用 t 分 佈 的 臨 界 值t0.025(9) = 2.26。（12 分）
（二） A 和 B 之間的距離由另一個 EDM 測定為 S = 100.236 m ，σ S = 0.008 m統計而言，從兩個 EDM 測定的距離是否相同（假設 A 和 B 之間沒有變動；95%信心水平）？（13 分）
（25 分）
104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設 xi , i = 1,2, L ,6 為 6 個等精度且互相獨立的觀測量，每一個觀測量的精度皆為σ = ±2 mm 。若 y1 = x1 − x2 − x4 + x5 ， y2 = x1 − x3 − x4 + x6 ，試計算 y1 的中誤差、 y2 的中誤差、 y1 與 y2 的相關係數。（25 分）
（25 分）
- 2
欲測量水平角 ∠ABC 的角度，利用儀器分成三天觀測，每天的觀測值平均值及其中誤差分別為：120°21′ 15′′ ± 2.0′′ 、120°21′ 18′′ ± 4.0′′ 、120°21′ 20′′ ± 1.0′′，現在取 2.0′′ 作為單位權的中誤差，試按權的定義算出三天觀測值的權值，再計算 ∠ABC 的加權平均值及其中誤差。（25 分）
（25 分）
- 3
C、D 兩點為地表上的兩個測站，CD 間的斜距(S)為 568.138 m ± 0.015 m ，C 點測到 D點的垂直角(El)為- 02°14′25′′ ± 06′′ ，CD 線段的方位角(Az)為 40°36′23′′ ± 12′′ 。若以 C點為原點建立站心地平坐標系 (n, e, u)，試計算 D 點的地平坐標 (n, e, u) 及其變方-協變方矩陣（variance-covariance matrix）。（25 分）「備註：地平坐標 (n, e, u) 與 S 、 El 及 Az 之間的關係如後， n = S cos(El ) cos( Az), e = S cos(El ) sin( Az), u = S sin(El ) 。」
（25 分）
參考架構・破題
本題是非線性函數的誤差傳播：先由斜距、垂直角、方位角算出站心地平坐標，再以 Jacobian 矩陣 J 做 Σnn＝JΣJᵀ。關鍵是角度誤差須換成弧度。
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- 4
下圖所示，為一個由 ABC 三點構成的 GPS 測量網形略圖（假設每次僅使用兩部接收儀，以靜態測量方式測量一條基線；而且每條基線分量皆為等精度觀測，其權矩陣為單位矩陣） ，A 及 B 為已知點（假設其坐標無誤差），C 為待求點；A 及 B 的空間直角坐標(X, Y, Z)分別為(1161510.502, -4667575.568, 4175209.562)及(1171820.592, -4640316.729, 4202588.113) ； AC 及 BC 基 線 的 三 個 分 量 (ΔX, ΔY, ΔZ) 分 別 為(-13024.970, 14982.005, 20159.364)及(-23335.070, -12276.803, -7219.168)（上述(X, Y, Z)及 (ΔX, ΔY, ΔZ) 的單位皆為 m） 。試利用間接觀測平差法，計算 C 點的(X, Y, Z)及其中誤差。 （25 分）A C B GPS 測量網形略圖
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
間接觀測平差為常見之平差解算模式，請證明在此模式下平差後未知參數之後驗權係數矩陣可寫為 Qxx = ( AT PA) −1 ，其中 A 為設計矩陣（未知參數之係數矩陣）， P 為觀測量之權矩陣。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題要證明間接觀測平差未知參數的協因數矩陣 Qxx＝(AᵀPA)⁻¹。思路：先由最小二乘導出 x̂ 為觀測量的線性函數，再套協因數傳播律，並利用 P＝Qll⁻¹ 化簡。
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- 2
一般實務應用上所遇到的問題通常無法以簡單線性模式加以分析，因此需仰賴非線性模式進行解算。請說明非線性與線性模式之平差解算過程之主要差異，並舉出至少兩種方式可用來判斷非線性模式之平差解算過程是否獲得穩定的解算結果。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
非線性模式須先以泰勒級數在近似值處線性化，再反覆迭代修正，直到收斂；線性模式則一次解出。作答分兩部分：比較兩者解算流程差異，再列出判斷迭代穩定收斂的準則。
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- 3
某隨機變量 x1 = 3 與其標準差 σ x1 = ±2 ，假設 2 x1 + x2 = 4 以及 ρ x1x2 = 0.02 ，且存在下列關係式： z = 2 x1 + x2 + 3 ， w1 = 4 x12 + 5 x2 + z ， w2 = 3x1 − z + w1 ， w = {w1 w2} ，試求⎡ σ w2 σ w1w2 ⎤ ⎡σ w1z ⎤ σ z 、 ∑ ww = ⎢ 2 1 ⎥ 以及 ∑ = wz ⎢ ⎥ 之值各為何？（25 分）σ ⎢⎣ w1w2 σ 2 w2 ⎥ σ ⎣ w2 z ⎦ ⎦
（25 分）
- 4
某一簡單水準網如下圖所示，其中 A、B 為兩個高程參考點，其已知高程分別為hA = 2.300 m、hB = 1.280 m，經觀測得高程差值 ΔhAX = −0.777 m、ΔhBX = 0.212 m，並假定觀測量先驗精度 σ ΔhAX = ±3 mm、 σ ΔhBX = ±2 mm，且觀測量彼此獨立不相關。
（一）請計算 X 點高程之最或是值及其後驗標準差。（10 分）
（二）假定已知高程點本身並非無誤差，其先驗精度分別為σ h A = ±1 mm、σ hB = ±5 mm，在此條件下請計算 X 點高程之最或是值及其後驗標準差。（15 分）Δh AX A X ΔhBX B
（25 分）
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102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
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在圖 1 中，A、B 為已知水準點，高程為 H A 、 H B ，設為無誤差；P1 及 P2 為兩個待測點，箭頭指示水準路線行進方向；各水準路線觀測高程差 h1～h4 的標準差分別為： σ1 = ±0.006 m 、 σ 2 = ±0.003 m 、 σ3 = ±0.002 m 及 σ 4 = ±0.008 m 。經過間接觀測平差後，假設已求得單位權標準差 σ 0 = ±0.658 m 。求對應 h1～h4 的權矩陣、P1及 P2 兩點高程的標準差。（25 分）圖 1、水準測量路線示意圖
（25 分）
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圖 2 所示，為一塊長方形土地面積；圖中所有內角皆為 90 度；有關邊長數據如下：FH = x1 = 200.00 m, BC = x 2 = 60.00 m, HE = y1 = 40.00 m, CE = y 2 = 80.00 m ⎡0.40 0.20⎤ 2 X = ( x1 x 2 ) T , Σ = ⎢ ⎥ (m ) XX ⎣ 0. 20 0 . 40 ⎦ ⎡0.22 0.11⎤ 2 Y = ( y1 y 2 ) T , Σ = ⎢ ⎥ (m ), Σ = 0 YY ⎣ 0 . 11 0. 22 ⎦ XY求長方形土地 ABGF 的面積 Z 及其標準差 σ Z 。（25 分）A B C D E F G H圖 2、長方形土地示意圖全一張（背面）等 別： 三等考試類 科： 測量製圖
（25 分）
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以 靜 態 G P S 測 量 ， 由 A 點 測 得 B 點 之 基 線 三 個 分 量 (ΔX, ΔY, ΔZ) 為(532.883 m, − 30.265 m, − 18.656 m) ，其變方－協變方矩陣為 Σ （如下所示）。已知AB A 點的大地經緯度為 (ϕ, λ) = (24o50′30′′ N, 120o35′20′′E ) ，假設無誤差；而且，以 A點為原點，觀測 B 點的站心地平坐標 (Δn , Δe, Δu ) T 與 (s, El, Az) T 、 (ΔX, ΔY, ΔZ) T 的關係，可由下列兩個矩陣式表示之；式中，s、Az 及 El，分別代表 AB 兩點之間的距離、A 對 B 之方位角及高程角。令 U = (Δn , Δe, Δu ) T ，求 U 向量、變方－協變方矩陣 Σ 、距離 s 及其標準差 σ s 。（25 分）UU ⎡ 5.2E − 3 6.8E − 6 6.7 E − 6⎤ ⎡Δn ⎤ ⎡s cos( El) cos(Az)⎤ Σ = ⎢6.8E − 6 5.2E − 3 6.6E − 6⎥ (m 2 ) ; ⎢ Δe ⎥ = ⎢ s cos(El) sin( Az) ⎥ AB ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣6.7 E − 6 6.6E − 6 5.2E − 3⎥⎦ ⎢⎣Δu ⎥⎦ ⎢⎣ s sin( El) ⎥⎦ ⎡Δn ⎤ ⎡− sin ϕ cos λ − sin ϕ sin λ cos ϕ⎤ ⎡ΔX ⎤ ⎢ Δe ⎥ = ⎢ − sin λ cos λ 0 ⎥ ⎢ΔY ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣Δu ⎥⎦ ⎢⎣ cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ sin ϕ ⎥⎦ ⎢⎣ ΔZ ⎥⎦
（25 分）
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若以 x 2 + y 2 + 2dx + 2ey + f = 0 代表圓的方程式，圓心為 (−d, − e) ，半徑為 d 2 + e 2 − f 。如果欲利用下列 6 點的 ( x, y) 資料（單位為 m），擬合一個圓的方程式；以間接觀測平差法，求該圓的圓心、半徑及其對應之標準差。（25 分）⎡x ⎤ ⎡6.82 13.12 24.01 32.44 38.26 41.39⎤ ⎢ y⎥ = ⎢ 7.31 15.07 31.83 49.95 69.04 88.83⎥ (m) ⎣ ⎦ i ( =1,L, 6 ) ⎣ ⎦
（25 分）
參考架構・破題
圓方程式 x²＋y²＋2dx＋2ey＋f＝0 對參數 d、e、f 為線性，可把每點寫成一條觀測方程式，6 點 3 未知數、自由度 3，以最小二乘解出 d、e、f，再用非線性誤差傳播求圓心、半徑及其標準差。
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其他等別的「測量平差法」
- 測量平差法（高考三級）（26 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。