統計學（統計組） 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 103～115 年共 13 份試卷、49 題，其中 33 題附參考答題架構。考這一科的類科：統計。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
2026 年國際貨幣基金組織、世界銀行與聯合國糧食計劃署聯合聲明指出，美伊最近在中東的衝突導致油價與化肥價格飆升，推高糧食價格，造成全球性系統性生存危機。假設某國際組織蒐集了 14 個低收入國家在衝突前後的化肥價格（以變數 X 表示，單位：美元／噸）及糧食價格指數（以變數 Y 表示）等相關數據，用以評估此危機之影響。 （註：答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數表示）（每小題 10 分，共 30 分）
（一） 考 慮 用 最 小 平 方 法 建 立 簡 單 直 線 迴 歸 模 型 Yi 0 1 X i i , i 1,2,...,14 ，假設誤差 1 , 2 ,...14 彼此相互獨立且服從平均數為 0，變異 數 為 2 之 常 態 分 配 。 求 在 H0 : 1 0 之 下 ， 迴 歸 之 判 定 係 數（coefficient of determination） R 2 之機率密度函數。
（二）以 14 個國家的資料及最小平方法進行估計，若以 Y 為應變數、 X 為自變數作簡單直線迴歸，得 Yˆ 40 2 X ；但若以 X 為應變數、 Y 為自變數 作 簡 單 直 線 迴 歸 ， 得 Xˆ 30 0.375Y 。 針 對 題 （一） 之 模 型Yi 0 1 X i i , i 1,2,...,14 ，請計算用以檢定迴歸模型整體顯著性之 F 檢定統計量之值。
（三）續題（二），若已知 14 ( X X )2 100，求 ̂ 的標準誤 Var ( ˆ ) 之估計值。i 1 i 1 1
（30 分）
參考架構・破題
本題考簡單線性迴歸的抽樣分配與兩條迴歸線的關係：先由 H0：β1＝0 推出 R² 服從 Beta 分配，再用「兩條迴歸斜率相乘＝r²」求 R²，進而得 F 值與 β̂1 的標準誤。
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- 2
全球低軌衛星網路已大規模部署，衛星覆蓋範圍延伸至偏遠地區與極地，提供高速且穩定的聯網服務。某低軌衛星星座由 800 枚衛星組成，每枚衛星每日可服務隨機到達的連線請求。今工程師從營運資料中抽取樣本，以評估覆蓋率與延遲表現。已知每枚衛星每小時接收到的連線請求次數服從卜瓦松（Poisson）分配，其平均發生頻率為 次／小時。 （註：答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數或自然指數 e 表示）（每小題 10 分，共 70 分）
（一）假設過去針對某枚衛星觀測到一組連線請求間隔時間的隨機樣本T1 ,T2 ,...,Tn（單位：小時），且假設 E(Ti ) 1 , i 1,2,..., n。請以隨機樣本T1 ,T2 ,...,Tn ，求出該枚衛星自某時間點起，「等候下一次連線請求的時間在 30 分鐘以內」之發生機率的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。
（二）已知某極地區域每日連線請求次數 N 服從具有平均數為 50 之 Poisson分配，另已知每次請求的資料量為彼此相互獨立，具有平均數 0.2 MB的指數分配，亦即，若令 M i 為第 i 次請求連線的資料量，則 M1 , M 2 ,...為彼此相互獨立且均具有平均數 0.2 MB 的指數分配。假設 N 與 M i 獨立。求該極地區域每日連線總資料量 S iN1M i 的變異數。
（三）衛星聯網需要與地面核心網對接。若已知有三個獨立運行的地面接收站 A、B 與 C，其系統發生「封包遺失」的次數分別符合獨立的 Poisson分配，且其遺失的頻率分別為 A 0.3 次／小時、 B 0.2 次／小時及C 0.5 次／小時。求一小時內這三個接收站合計發生至少 1 次封包遺失的機率。
（四）續題（三），若在某小時內已知這三個接收站合計發生 3 次封包遺失，求這 3 次封包遺失全部都不是由 A 接收站造成的條件機率。
（五）某低軌衛星上裝有三個獨立運作、相互備援的訊號偵測感測器，每個感測器的失效時間均服從平均數為 6（年）的指數分布。求這三個感測器中，「最後一個」失效時間的期望值。
（六）續題（五），若已知這三個感測器中，最早失效的感測器其失效時間已經超過 1 年的條件下，求它在未來 1 年內就會失效的條件機率。
（七）續題（五），令 Zi 為第 i 個感測器的失效時間，求第一個失效的感測器失效 後 ， 偵 測 系 統 還 能 存 活 的 時 間 的 期 望 值E[Max{Z1 , Z2 , Z3} Min{Z1 , Z2 , Z3}] 。
（70 分）
參考架構・破題
本題串起 Poisson 過程、指數分配、複合 Poisson、Poisson 合併與分解、指數分配的順序統計量與無記憶性，七小題都有固定解法，重點是寫清楚所用的性質。
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114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
搭乘甲鐵路對號列車，因可歸責鐵路公司致誤點達 45 分鐘以上、或是不可歸責鐵路公司的天災人禍致誤點達 2 小時以上，旅客皆可申請免費搭乘同區間同等級列車一次。假設上述可歸責與不可歸責之誤點機率分別為 3/4 與 1/4，而其對應的每年受影響旅客人數分別服從平均數為 50 與 100 之波瓦松分配。（每小題 10 分，共 30 分）
（一）試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之機率分配為何？
（二）試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之期望值與標準差。
（三）若可歸責業者與不可歸責業者之誤點時間分別服從平均數為 1 小時與 5 小時之指數分配，試問誤點對號列車中，誤點時間超過 2 小時之比例約多少？
（30 分）
- 2
育嬰津貼的實施是否提升各市鎮新生兒人數？隨機抽取 14 個市鎮，得到實施前後之新生兒人數（單位：百人）統計如下：（每小題 10 分，共 40 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14實施前 120 80 60 180 200 160 140 60 190 180 140 80 60 40實施後 124 81 65 187 203 160 143 61 189 185 139 72 59 45
（一）顯著水準為 0.05 之下，試以 t 檢定說明是否育嬰津貼實施後新生兒人數增加。
（二）若實施後各市鎮新生兒人數平均增加 360 人，試問（一）中檢定方法之型二誤差為何？
（三）試以直方圖判斷本題使用 t 檢定所需的常態假設之合理性。
（四）顯著水準為 0.05 之下，試以 Wilcoxon 無母數方法進行檢定。
（40 分）
參考架構・破題
同一市鎮前後測是成對資料，要用差值 d＝實施後−實施前做成對 t 檢定（單尾），再算型二誤差、檢查常態假設，最後改用 Wilcoxon 符號等級檢定比對。
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- 3
超過 5 成的企業預期未來幾年的 AI 人力需求將持續上升，特別是在生成式 AI 的應用下，相關產業的職缺將大幅增加。過去20 個月的資料顯示市場對於 AI 人才之需求呈線性成長趨勢，今考慮需求人數 y 對時間之簡單線性模型，得到 yi 362, iyi 4766, yi2 7975, ( yi yˆi )2 15.25 。（每小題 10 分，共 30 分）
（一）試求回歸方程式。
（二）試寫出 ANOVA 表。
（三）試寫出此模型之假設，並根據以下殘差圖說明模型假設是否合理。residual t附表一：t 表Example: With df =9 and .10 area in the upper tail, t =1.383 6 6附表二Critical Values for the Wilcoxon Rank-Sum Test附表三Critical Values for the Wilcoxon Signed-Rank Test
（30 分）
參考架構・破題
以時間 t＝1,…,20 為自變數做簡單線性迴歸，用彙總量求係數、列 ANOVA 表，再寫出 LINE 假設並從殘差圖判斷，時間序列資料的重點是殘差有無自我相關。
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113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
人工智慧的興起，帶動了市場對晶片需求量的飆升，也連帶促成相關產業的蓬勃發展。已知國內有某家公司專門生產晶片半導體製程中使用的圓形光罩。今由此公司之生產線隨機抽檢 n 筆光罩樣本並測量其半徑。若已知因某些特定原因造成該公司測量儀器不精準，測量之觀測值會有誤差，令 1 , 2 ,..., n 表其觀測誤差。假設觀測誤差 1 , 2 ,..., n 彼此相互獨立且服從平均數為 1，變異數為 2 之常態分配，並令 為此圓形光罩的真實半 徑 。 令 變 數 Y1 , Y2 ,..., Yn 為 此 n 筆 樣 本 之 半 徑 的 觀 測 值 ， 則Yi i , i 1, 2,..., n 。 令 F ( y ) 為 變 數 Yi 之 累 積 分 配 函 數 （ cumulative distribution function） 。（每小題 10 分，共 80 分）
（一）求出機率 P F (Y1 ) F (Y2 ) 1 0.5 。
（二）求出條件機率 P F (Y2 ) F (Y1 ) F (Y2 ) 0.5 。
（三）假設 和 2 皆未知，請利用觀測值 Y1 , Y2 ,..., Yn 求出此光罩半徑 之最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。
（四）假設 和 2 皆未知，請利用觀測值 Y1 , Y2 ,..., Yn 求出此光罩面積 2 之均勻最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator）。
（五）假設 和 皆未知，請求出光罩半徑 之信賴水準 100(1 )% 的信賴區間。
（六）若該公司有兩條獨立作業的生產線，且已知此兩條生產線所生產之光罩的瑕疵率皆為 。令變數 Si 為第 i 條生產線上檢測產品直到檢測出第一個瑕疵品前所需的檢測（良品）次數， i 1,2 ，請求出機率P[ S1 S 2 ] 。
（七）續題（六），令變數U Min{S1 , S 2 } 代表取 S1 , S 2 之最小值，請求出U 之機率密度函數 f (u ) 。
（八）求出題（七）之變數 U 的期望值 E (U ) 。
（80 分）
參考架構・破題
觀測值 Yi＝μ＋εi，εi ~ N(1, σ²)，故 Yi ~ N(μ＋1, σ²)。前兩小題靠「機率積分轉換：F(Yi) ~ U(0,1) 且獨立」；中段是常態母體的 MLE、UMVUE 與 t 區間；後段是幾何分配與最小值。
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- 2
臺灣量子國家隊已成軍 5 年，去年突破技術瓶頸，成功自製出 5 量子位元之超導量子電腦，象徵著臺灣的量子時代來臨。已知團隊開發的量子電腦有一個核心的元件，此核心元件是由三個電路組件串聯及並聯構成。令變數 T1 , T2 , T3 分別代表此三個電路組件的壽命，此核心元件是先由第一及第二個電路組件串聯後，再和第三個電路組件並聯而成，因此整個核心元件的壽命是 X Max{Min{T1 , T2 }, T3 }，此處 Max{a, b} 代表取 a, b 之最大值，Min{a, b} 代表取 a , b 之最小值。假設此三個電路組件的壽命彼此相互獨立，皆服從具有平均數為 2 之指數分配。 （每小題 10 分，共 20 分）
（一）求出變數 X 之機率密度函數 f ( x) 。
（二）求出變數 X 之變異數Var ( X ) 。
（20 分）
參考架構・破題
核心元件壽命 X＝max{min(T1,T2), T3}，Ti 獨立且服從平均 2 的指數分配。先用串聯取最小、並聯取最大的分配函數寫出 F(X)，微分得密度，再拆成指數密度的線性組合求變異數。
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112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
若隨機變數 | = ∼ (0, )且 ∼ (0,1)，其中 代表連續均勻分配。試求：
（一）( , )的聯合密度函數 ( , )。（5分）
（二） 的機率密度函數 ( )。（5分）
（三） ( )、 ( )、 ( )、 ( , )、 。（15分）
（25 分）
- 2
已知變異數是25，平均數 未知之常態分配中取出樣本大小為 之隨機樣本 , , ⋯ , ，在顯著水準α=0.05下，檢定假設 ：μ=30 vs. ：μ<30。若希望μ=26.7時之檢定力達0.975，則需要多少樣本數？（25分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為常態母體、變異數已知（σ²＝25，σ＝5）的左尾 Z 檢定，要求在指定的對立值 μ＝26.7 下檢定力達 0.975，反推所需樣本數。核心是寫出拒絕域，再以對立假設下的分配計算 β 與檢定力。
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- 3
欲比較三種不同的植物荷爾蒙（A、B、C）對癒傷組織新芽分化的影響。每種植物荷爾蒙均重複五次實驗，分別測量所誘導出的新芽長度（cm），得到資料如下：荷爾蒙A B C 1.7 0.4 1.1 1.6 0.5 1.0 1.5 0.3 0.7 1.9 0.2 0.8 1.2 0.3 0.5
（一）試列出變異數分析（ANOVA）表及詳細計算過程。 （10分）
（二）試問3種植物荷爾蒙對誘導出的新芽長度的效果是否相等（α=0.05）？請詳細寫出a.虛無與對立假設、b.檢定統計量公式、c.拒絕域、d.檢定值之計算過程、e.檢定結果與結論。（10分）
（三）資料需符合那3個假設？（5分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是單因子完全隨機設計的變異數分析（one-way ANOVA），三組各 5 次重複，比較三種荷爾蒙對新芽長度的平均效果。作答重點是完整、正確的平方和拆解與 F 檢定流程。
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- 4
某電子公司想瞭解某電子組件之壽命，於是隨機取出樣本大小為n=10的隨機樣本 1, 2 , ⋯ , 10，其中 表示每個電子組件之壽命。若得到的樣本數據為9，3，5，7，2，3，1，4，8，4（單位：10,000小時），請使用符號檢定方法，以α=0.05來檢定電子組件之壽命的中位數是否有顯著超過2.5萬小時？（25分）附表一N(0, 1) ∅(z) α -3 -2 -1 0 1z 2 3 -3 -2 -1 0 1 zα 2 3 P(Z≤z)=∅(z)= z e w / 2 dw 2 [ ( z ) 1 ( z )] z α Zα Zα/2表二附表二：F0.05(v1, v2)值表
（25 分）
111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
隨機變數 X 服從指數分配，其機率密度函數為 f ( x) 。0, if x 0（已知自然對數值：ln(0.05)≒-3, ln(0.25)≒-1.386, ln(0.5)≒-0.693,（每小題 10 分，共 20 分）ln(0.75)≒-0.288, ln(0.95)≒-0.051）
（一）請計算其「中位數」及「期望值」 。
（二）請計算其四分位距（interquartile range）。
（20 分）
參考架構・破題
指數分配 f(x)＝λe^(−λx)（x≥0），分配函數 F(x)＝1−e^(−λx)。分位數由 F(x)＝p 反解，x_p＝−ln(1−p)/λ，再用題給的自然對數值代入。
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- 2
研究者自某未知分配之母體 A，收集了樣本 X 1 X n ；自另一母體 B，收集樣本 Y1 Ym 。
（一）請描述中央極限定理，及使其成立所需要的假設。 （14 分）
（二）若想比較母體 A 與 B 的中心點是否有差異，如何應用中央極限定理及其他機率性質？（6 分）
（20 分）
- 3
A、B、C 為三種硬幣，其正面的概率分別為 1/3, 1/2, 2/3。今隨機選了一個，拋 8 次，得到 5 次正面 3 次反面。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）以似然比（Likelihood ratio）方法估計這是那個硬幣的可能性最大。
（二）若 A 硬幣有 3 個，B 硬幣有 2 個，C 硬幣有 1 個；從這 6 個隨機選一個拋 8 次，得 5 次正面 3 次反面。以似然比方法估計這是那種硬幣。
（20 分）
參考架構・破題
本題以三種硬幣為離散參數空間，考「概似（likelihood）比較」與「加入事前機率後的判斷」。第（一）小題為最大概似估計，第（二）小題等同貝氏後驗機率（先驗依硬幣數量）。
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- 4
令 為以 10 為底的對數、ɛ為期望值 0 的誤差。 y 和 x 的關係可以下式表達： ( ) = 1 + β ∙ + ɛ。請導出β的最小平方法估計公式。（20 分）
（20 分）
- 5
以下為 A、B 兩組中風病人手術後復發的時間（以年為單位）。A 4.2, 6.5, 7.9, 13.2, 16 B 0.4, 1.2, 2.9, 5.6, 6.7以 Wilcoxon rank sum 檢定，在α = 0.05 顯著水準下檢定 H1：A 組的術後效果較好。需列計算過程，不能用逼近方法。需算出 p-value。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是兩獨立樣本的 Wilcoxon 等級和檢定（rank sum test），小樣本（n1＝n2＝5）要求以精確分配算出 p 值，不可用常態逼近。作答重點是排序、求等級和，再以組合計數求精確機率。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
令 與 為具獨立同分布、期望值1⁄ 的指數（exponential）隨機變數。令 = − 以及 = 。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）試求 與 之聯合機率密度函數。
（二）試求 之邊際機率密度函數。
（20 分）
- 2
令 , , . . . , 為一組隨機抽自常態分配 N(0, )之樣本。假設 > ，在顯著水準 0.05 下：
（一）試求檢定 ： = vs. ： = 的 最 強 力 檢 定 （ most powerful test）。（10 分）
（二）試求檢定 ： = vs. ： > 的齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）。（5 分）
（三）說明檢定 ： = vs. ： ≠ 的齊一最強力檢定是否存在。 （5 分）
（20 分）
參考架構・破題
常態平均已知為 0，檢定變異數。單一對立假設用 Neyman-Pearson 引理求最強力檢定；因拒絕域不依賴 σ1²，又有單調概似比，推廣成單尾 UMP；雙尾則兩個方向的最強力檢定拒絕域相反，UMP 不存在。
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- 3
以下是( , )兩變數之觀測資料：X 11 9 14 10 12 15 7 5 13 8 6 Y 7.46 6.77 12.74 7.11 7.81 8.84 6.08 5.39 8.15 6.42 5.73以下考慮皮爾森相關係數（Pearson’s correlation coefficient ）與皮爾曼等級相關係數（Spearman’s rank correlation coefficient ）。
（一）試畫出( , )之散布圖，並試計算 與 。（10 分）
（二）試刪去本數據中之離群子後，重新計算 與 。 （5 分）
（三）試問 與 何者容易受離群子影響？（5 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題資料是 Anscombe 四組資料第三組的變形（X 全部加 1）：除一個離群點外，其餘點幾乎完全落在一直線上。要算出 r 與 rs、刪掉離群點重算，說明皮爾森相關較容易受離群值影響。
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- 4
甲公司之零件製造部門有三台機器，輪流由五名員工（ABCDE）負責操作。李主任擬研究不同機器以及不同員工之生產量是否不同。以下是隨機抽取之生產量資料：機器一 機器二 機器三員工 A 31 25 35員工 B 33 26 33員工 C 28 24 30員工 D 30 29 28員工 E 28 26 27
（一）試寫出 ANOVA 表（Analysis of Variance Table）。（5 分）
（二）在顯著水準 0.05 下，試檢定不同機器之生產量是否不同。 （5 分）
（三）在顯著水準 0.05 下，試檢定不同員工之生產量是否不同。 （5 分）
（四）試寫出模型假設。 （5 分）
（20 分）
- 5
乙公司從2018年第一季至2020年第四季之銷售量如下表所示：第一季 第二季 第三季 第四季2018 1,600 2,500 2,800 2,970 2019 2,100 3,100 3,650 3,350 2020 2,250 3,250 3,840 3,860假 設 該 公 司 近 年 第 一 至 四 季 的 季 節 指 數 分 別 為 74.720 、 103.978 、123.761、97.540。
（一）試計算去除季節因子之銷售量。（5 分）
（二）考慮簡單線性模型 = + + ，試求出去除季節因子之銷售量的趨勢估計式，並在 0.05 顯著水準下檢定斜率是否為零。（10 分）
（三）試預測 2021 年第一至四季之銷售量。（5 分）
（20 分）
109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設隨機變數X服從平均數 0 ，標準差為 的常態分配；即X~N(0, 2 )，又 X 1 , X 2 , … , X n1 , X n1 1 , X n1 2 , … , X n1 n2 為抽自X之一組大小為n1 + n2之隨機樣本，令統計量：n1 n1 n1 n1 n2 n2 X i n2 X i2 S X i / n1 ， T X 2j / 2 ，U i 1及 V i 1 n1 n2 n1 n2 i 1 j n1 1 n1 X 2 j n1 X 2j j n1 1 j 1試問：（每小題5分，共20分）
（一）S之機率分配為何？
（二）T之機率分配為何？
（三）U之機率分配為何？
（四）V之機率分配為何？
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
設隨機變數X具有如下之機率分配f(x)：x 1 2 3 f(x) 2 2 (1 ) (1 ) 2其中 為未知參數，且0< <1。又已知抽自X之一組大小為n = 3的隨機樣本資料為2, 1, 3。請根據此樣本資料： （每小題12分，共24分）
（一）試以動差法（method of moments estimation）求 之點估計值ˆ =？
（二）試以最大概似法（method of maximum likelihood estimation）求 之點估計值ˆ =？
（24 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
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甲公司A廠為日產500個小型變壓器的工廠，該廠品管經理隨機抽出10天的生產資料，並記錄其不良品數如下表：天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10不良品數 15 18 13 22 12 8 16 15 16 25根據此樣本資料，是否顯示該廠每日產品的不良品數中位數（M）為20？試取顯著水準 = 0.05，以符號檢定法檢定之。 （12分）
（12 分）
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- 4
某公司先後引進3部機器生產甲產品，公司管理部門想了解其生產效率之差異，找了4位操作員分別在這3部機器上操作5次，這4位操作員在3部機器上的操作順序完全隨機安排，今紀錄操作員完成生產的工作時間，共得到60筆資料。若資料適合做變異數分析，且經電腦分析得到下列ANOVA表：變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F值 F0.05(v1, v2)操作員(A) 16.80 3 5.60 5.83 2.81機器(B) 6.22 2 3.11 3.24 3.20 A×B交互作用 3.66 6 0.61 0.64 2.30誤差 46.08 48 0.96總變異 72.76 59在給定顯著水準 = 0.05下，則：
（一）操作員和機器間有無交互作用？請說明依據。（6分）
（二）若不考慮交互作用，而將機器當做集區（Block），再做變異數分析。在此模式下，請寫出其ANOVA表，並試問操作員之平均操作時間是否有顯著差異？請說明依據。（10分）
（三）若不考慮機器間的差異，只討論操作員的單一因子的變異數分析。則在此模式下，請寫出其ANOVA表，並試問操作員之平均操作時間是否有顯著差異？請說明依據。（10分）
（26 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 5
桃園國際機場在106～108年各季之入境來臺外國旅客人數（單位：萬人）統計如下表：季年 1 2 3 4 106 238 242 243 289 107 262 242 251 297 108 270 282 267 289交通部統計單位根據上述資料，以移動平均法求算得到桃園國際機場在106～108年各季之入境來臺外國旅客人數季節指數（單位：%）如下表：季 1 2 3 4季節指數( Si ) 98.67 96.47 94.57 110.29
（一）試求經季節調整後之108年第4季在桃園國際機場入境來臺外國旅客人數 y108.4 ？（5分）
（二）試以最小平方法求經季節調整後，在桃園國際機場入境來臺外國旅客人數之長期趨勢方程式。（8分）
（三）請根據（二）之結果，試預測經季節調整後之109年第2季在桃園國際機場入境來臺外國旅客人數 y109.2 ？（5分）註1：本試題可能使用的統計表之參考值如下：F0.025(2, 40) 4.05 ， F0.025(3, 40) 3.46 ， F0.025(6, 40) 2.74 ， F0.025(2, 60) 3.93 ，F0.025(3, 60) 3.34 ， F0.025 (6, 60) 2.63 ， F0.05 ( 2, 40) 3.23 ， F0.05 ( 3, 40 ) 2 .84 ，F0.05 (6, 40) 2.34 ， F0.05 ( 2, 60 ) 3.15 ， F0.05 (3, 60) 2.76 ， F0.05 (6, 60) 2.25註2：標準常態機率分配表，Z~N(0,1)
（18 分）
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108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設 X 和 Z 為獨立的隨機變數，其 X 的機率密度函數（probability d e n s i t y f u n c t i o n ( p d f ) ） 為 f x ( x) = 2e −2 x ， x ≥ 0 ， Z 的 p d f 為f z ( z ) = 3e −3 z ， z ≥ 0 。設 Y=minimum(X, Z)（即 X 和 Z 的最小值）， U = E(Y) + 2 V(Y) 且L = E(Y) − 2 V(Y) ，其中 E(Y)為 Y 的期望值，V(Y)為 Y 的變異數。
（一）請推導出 Y 的 pdf。（7 分）
（二）若 L<Y<U 則判為正常；否則為異常。試計算正常的機率（即P(L<Y<U)）。（5 分）
（三）承（二）子題，若自 Y 的分配隨機抽取樣本大小為 5 的一個樣本組。試問有 3 個正常和 2 個異常的機率。（8 分）
（20 分）
- 2
假設(X, Y)的聯合機率密度函數（joint probability density function (joint pdf)）為f ( x, y ) = 0.5dxy, 0 ≤ x, y ≤ 1, x + y ≤ 1.
（一）計算 d 值。（5 分）
（二）推導求得 X 的邊際機率密度函數（Marginal pdf of X）和計算機率P(X ≤ 0.25) 。(10 分)
（三）計算 3X 的期望值（E(3X)）。（5 分）
（四）計算 5+2XY 的期望值（E(5+2XY)）。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
聯合密度定義在三角形區域 0≤x,y、x+y≤1 上，積分上下限的設定是整題關鍵；先由總機率為 1 求 d，再積出邊際密度與期望值，可善用 Beta 函數簡化計算。
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- 3
下列數值為用簡單隨機抽樣法抽取的 A 公司 32 位銷售人員在 2010年的汽車銷售數量：15 20 25 25 30 35 35 35 40 40 40 45 45 45 45 50 50 50 50 55 55 55 55 60 60 60 60 65 65 65 70 70請檢定 A 公司所有銷售人員在 2010 年的銷售數量是否為常態分配？顯著水準為 0.1。（檢定時請將常態分配下的銷售數量分成 4 個區間，使得每個區間的次數為 8，寫出⑴虛無假設（H0）和對立假設（H1），
⑵檢定統計量在 H0 為真下的分配和自由度，及⑶分別以 p 值（p value）和拒絕區的臨界值說明檢定結果）（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為卡方適合度檢定，母體平均數與標準差未知須以樣本估計，依題意切成四個等機率區間（期望次數各 8），重點在區間切點、自由度扣除估計參數，以及 p 值與臨界值兩種判斷。
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- 4
牙醫師想知道假牙材質供應商提供的 3 種不同品牌材質（A、B、C）是否影響假牙的使用壽命，經由統計實驗設計方法收集的各品牌下病人假牙的使用壽命數據如下：品牌 壽命（單位：年）A 8 8 8 9 9 B 10 12 11 12 10 C 7 8 7 6 7假設參與實驗的 15 位病人是隨機抽取自每個人的體質、習慣和牙齒完全無差異的母體（即假設實驗單位是一致的）。
（一）請說明這些壽命數據（觀測值）是使用何種統計實驗設計方法收集的，並說明實驗如何執行？（6 分）
（二）欲檢定品牌材質是否影響假牙的使用壽命，請寫出子題（一）觀測值的效應模式（effects model）及假設條件。（6 分）
（三）請依據子題（二），寫出檢定的虛無假設（H0）和對立假設（H1），寫出檢定統計量在 H0 為真下的分配和自由度，並列出變異數分析表以說明檢定結果。顯著水準為 0.05。（10 分）
（四）請依據子題（三）的檢定結果，以 Fisher’s Least Significant Difference（LSD）方法兩兩檢定品牌下的平均壽命是否相等，並決定出那種品牌材質的使用壽命最長。顯著水準為 0.05。（寫出檢定的虛無假設（H0）和對立假設（H1），檢定統計量在 H0 為真下的分配和自由度，並說明檢定結果）（8 分）表一附表：Z 值表N(0, 1) N(0, 1) Φ(z) Zα Zα/2表二附表：t 值表The table gives the values of tα; v where Pr(Tv> tα; v) =α, with v degrees of freedom tα; v表三附表：卡方分配臨界值表表四附表：F0.05(v1, v2)值表
（30 分）
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
（一）令 Z1, Z2,…,Z n 為標準常態分配的隨機樣本，說明隨機變數 W 的機率分配（不需證明）。（9 分）1.W= Z12 + Z 22 + Z 32 + Z 42 + Z 52 2.W= Z 5 / X / 5 ，其中 X = Z12 + Z 22 + Z 32 + Z 42 + Z 52 Y /2 3.W= ，其中 Y = Z 82 + Z 92 ， X = Z12 + Z 22 + Z 32 + Z 42 + Z 52 X /5
（二）令 Z=Y+X，Y 為卡方分配自由度 ν1 分配、Z 為卡方分配自由度 ν3 分配，且 Y 與 X 相互獨立，以動差生成函數（moment generating function）推論 X 的機率分配。 （9 分）
（18 分）
- 2
某製造公司設計一項試驗，以決定生產所需原料是以人工或自動方式裝填是否存在差異，以及兩台機器所生產之瑕疵品數目是否會影響瑕疵品數量。下表為生產的瑕疵品數量，已計算得知總平方和 SST=151.5。在顯著水準α＝5%下（右尾：Ｆ0.05(1,4)=7.71、Ｆ0.05(1,5)=6.61、Ｆ0.05(1,6)=5.99）：裝填方式人工 自動30 30機器 1 34 26 20 24機器 2 22 28
（一）檢定機器、裝填方式及他們的交互作用是否存在顯著效果？（15 分）
（二）設若在此試驗設計中，兩台機器是設定為集區變數（Block），則裝填方式是否仍存在顯著效果？（10 分）
（25 分）
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- 3
一隨機變數Ｙ=-2logX，其中隨機變數 X 具有混合型的機率密度函數如下：f (x)=0.8 0<x<1，f (x)=0.2 x=1
（一）求隨機變數Ｙ的機率密度函數，並計算Ｙ的中位數。 （10 分）
（二）求隨機變數Ｙ的動差生成函數，並計算Ｙ的平均數。 （15 分）
（25 分）
參考架構・破題
X 為混合型分配：在 (0,1) 上連續密度 0.8，另在 x=1 有 0.2 的點質量。轉換 Y=-2logX 後，x=1 對應 Y=0 的點質量，連續部分變成縮放後的指數分配，因此 Y 也是混合型分配。
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- 4
設 X1, X 2 ,K, X n 為一組隨機樣本服從母體 X 具機率密度函數 f ( x; θ ) = θe −θx ，x >0。n
（一）證明 T = ∑ X i 是參數θ 的一個充分統計量。（10 分）i =1
（二）試求參數θ 的最大概似估計量 MLE（Maximum Likelihood Estimator）。（10 分）
（三）若要檢定Ｈ0：θ =1 對應Ｈ1：θ =2，依據 Neyman-Pearson Lemma，試求檢定統計量及其顯著水準α。（12 分）
（32 分）
參考架構・破題
指數分配族的標準題型：用分解定理證明充分統計量、對數概似求 MLE，再以 Neyman-Pearson 引理建構簡單對簡單假設的最強力檢定，並以 Gamma 或卡方分配表示顯著水準。
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設兩獨立樣本分別取自兩個常態母體，其母體變異數分別為σ12 和σ 22。令( S12 , n1 ) 和( S22 , n2 )分別為兩組樣本的樣本變異數和樣本大小（sample size） 。
（一）請分別推導求得兩母體變異數比（σ12 / σ 22 ）與兩母體標準差比（σ1 / σ 2 ）之 100（1 − α ）%信賴區間（confidence interval）估計式。α 為顯著水準（the level of significance）。（14 分）
（二）分別自兩個不同廠牌的汽水罐裝填機器隨機抽取樣本並測量其汽水罐容量（單位：ml） 。樣本大小分別為（ n1 = 15 ，n2 = 17 ） ，計算得樣本容量變異數分別為（ S12 = 2， S 22 = 4） 。請分別計算σ1 / σ 2 與σ1 / σ 2 之 90%信賴區間估計值。假設汽水容量呈常態分配。2 2（6 分）
（20 分）
- 2
令隨機變數 X 和 Y 為獨立的卜瓦松分配（Poisson distribution），其參數各為 λ1 和 λ2 。令 Z=X+Y。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）推導求得隨機變數 Z 的機率分配（probability distribution）。
（二）若 λ1 =3 和 λ2 =5，試求隨機變數 Z 之變異數（variance）與 Z<3 的機率（P(Z<3)=？）。
（20 分）
- 3
假設隨機變數 Xj，j=1, 2, 3, 4，為互相獨立的同分配，期望值為μ，且變異數為σ2。令 Y1 = ( X 2 − X1 )，Y2 = ( X 4 − X 3)2 。
（一）推導求得 Yi 之期望值（E(Yi)），i=1, 2。（10 分）
（二）若 Yi > E(Yi ) 則令 Ii=1；否則 Ii=0。令 M = ∑ I i ，推導求得 M 之分配。（5 分）i =1
（三）若Xj 為常態分配，推導求得Yi > E(Yi ) 之機率（列出計算的過程即可，不必寫出機率值）。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
Yi 是兩個獨立同分配變數差的平方（原卷 Y1 的平方符號在轉檔中可能遺失，依題意兩者應同型），期望值為 2σ²；指標變數之和為二項分配；常態下 (X2-X1)²/(2σ²) 服從自由度 1 的卡方。
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- 4
一個完全隨機設計之二因子實驗之因子、因子水準和 8 個反應值如表所示：X1 X2 反應值（y）-1 -1 20 30 -1 1 40 50 1 -1 50 60 1 1 12 16
（一） 8 個實驗之實驗順序如何決定？（3 分）
（二）寫出變異數分析的固定效應模式（fixed effects model）（須考慮因子之交互作用）及其假設。假設因子是固定的（fixed factors）。 （10 分）
（三）列出變異數分析表並檢定 X1、X2 和 X1X2（交互作用）之效應是否顯著。顯著水準皆為 0.05。（寫出虛無假設和對立假設，並說明檢定統計量之分配。） （10 分）
（四）請依（三）之檢定結果，寫出此因子實驗之配適後迴歸模型或反應曲面（response。假設 − 1 ≤ X1, X 2 ≤ 1。（12 分）surface）（請接第二頁）全三頁第二頁附表f(F) A F 0 FA（請接第三頁）全三頁第三頁附表χ 2分配右尾百分點 χα2 (df )
（35 分）
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設 x1 , x 2 ,L, x n 為一組抽自平均數為 μ ，標準差為 σ 的常態分配之隨機樣本，又1 n X = ∑ X i 為樣本平均數，令隨機變數 Yi = X i − X , i = 1,2,L, n ，則：n i =1
（一）試求 Yi 的變異數 V(Yi ) = ？（8 分）
（二）試求 Y1 ， Y2 的共變異數（Covariance） Cov(Y1, Y2 ) = ？（8 分）
（三）若使 K ⋅ (Y1 + Y2 ) 2 為 σ 2 之不偏估計量，則常數 K=？（8 分）⎧(θ + 1) xθ ,0 < x < 1
（24 分）
參考架構・破題
離差 Yi=Xi-X̄ 是常態樣本的基本性質題，關鍵是 Cov(Xi,X̄)=σ²/n；求出變異數與共變異數後，再用 E(W²)=Var(W)+[E(W)]² 找出不偏估計量的常數。
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- 2
已知隨機變數 X 的機率密度函數為 f ( x) = ⎨ ，其中未知參數θ > −1。⎩0 , 其他又令 x1 , x 2 ,L, x n 為抽自 X 之一組大小為 n 的隨機樣本，則：
（一）試以動差法（method of moments）求θ 之點估計量。（12 分）
（二）試以最大概似法（method of maximum likelihood）求θ 之點估計量。（12 分）
（24 分）
參考架構・破題
密度 f(x)=(θ+1)x^θ，0<x<1，屬 Beta(θ+1,1) 分配；動差法以母體平均數等於樣本平均數解 θ，最大概似法對數概似微分求解，兩者結果不同。
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- 3
設 x1 , x 2 , … , x n 為一組抽自平均數為 μ，變異數為σ 2 = 100 的常態母體之隨機樣本，μ為未知參數。
（一）試求（導出）檢定問題 H 0：μ = 80 vs. H 1：μ = 86 的最強力檢定（most powerful test）之最佳拒絕域 R 為何？（8 分）
（二） 對 於 （一） 之 檢 定 問 題 ， 試 求 滿 足 P(( x1 , x 2 , L , x n ) ∈ R H 0 ) = P( X ≥ k H 0 ) = 0 .05 及P((x1, x2,L, xn ) ∈R H1) = P(X ≥ k H1) = 0.95要求下之樣本大小 n = ？及最佳拒絕域 R 之臨界值 k = ？（10 分）
（三）若檢定問題為 H 0：μ = 80 vs. H1 : μ > 80，且樣本大小為 n = 25，試求在α = 0.05 下，此檢定問題之齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）之最佳拒絕域 R 為何？（8 分）全一張（背面）
（26 分）
參考架構・破題
已知變異數的常態平均數檢定：先用 Neyman-Pearson 引理得出最強力檢定拒絕域為 X̄≥k，再以兩個機率條件聯立求樣本數與臨界值；最後因拒絕域與 μ1 無關，推廣為單尾 UMP 檢定。
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- 4
設因變數 Y 與自變數 X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 做複迴歸，模式為：Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 4 X 4 + β 5 X 5 L(1)蒐集樣本資料後，經資料分析，得到下列部分變異數分析（ANOVA）表：平方和 自由度 均方和變異來源SS DF MS F迴歸 ① ② ④ ⑥殘差 200 ③ ⑤總變異 250 45
（一）請完成上面的變異數分析表，即在試卷上填答①～⑥之値。 （6 分）
（二）試求複判定係數（coefficient of multiple determination） R 2 =？（6 分）
（三）試問在 α = 0.05 下，檢定 H 0 ： β1 = β 2 = β3 = β 4 = β5 = 0 是否顯著？（7 分）
（四）若 Y 對自變數 X 2 , X 3 , X 4 , X 5 做複迴歸，得殘差平方和為 SSE = 210，試問對模式(1)中檢定 H 0 ： β1 = 0 是否顯著？（取α = 0.05 ）（7 分）
（26 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某一汽車經銷商計算其每賣一部新車的獲利（以十萬元為單位）為 Y = X 2 ，若 X 的機率密度函數如下：⎧c(1 − x) 0 < x <1 g ( x) = ⎨ ⎩ 0 其他
（一）請計算求得 c 值。（5 分）
（二）推導求得 Y 之機率密度函數 f ( y ) 。（10 分）
（三）請計算該經銷商在賣下一部新車時，其獲利小於一萬元的機率。（5 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題考連續隨機變數的機率密度函數性質與單調變數變換（Jacobian 法／累積分配函數法），三小題環環相扣，先求常數 c，再求 Y = X² 的密度，最後換算單位求機率。
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- 2
若考慮成對比較試驗（paired-difference experiment），每一成對觀測值 j ( j = 1,2K, n) ，分別接受處理（treatment） i ， i = 1 、2。以下模型描述此一試驗結果：Yij = μi + Pj + ε ij其中 μ i 代表處理 i 的期望反應， Pj 為第 j 個成對實驗單位的隨機效應， ε ij 為隨機誤差。對所有 i = 1,2 ， j = 1,2 K , n ，假設 Pj 為獨立的常態分配，其均數為 E ( Pj ) = 0 ，變異數 Var ( Pj ) = σ P2 ； ε ij 為獨立的常態分配， E (ε ij ) = 0 ， Var (ε ij ) = σ 2 ；且 Pj 與 ε ij互相獨立。
（一）若 Yi 為處理 i (i = 1 、 2) 的 n 個觀測值之均數，請推導求得 E (Yi ) 。（5 分）
（二）請推導求得Var (Yi ) 。（5 分）
（三）若 d j = Y1 j − Y2 j ， j = 1,2 K, n ，且 d 為其均數，s d 為標準差。推導求得E (d ) 。（5 分）
（四）推導求得Var (d ) 。（7 分）d n
（五）在虛無假設 H 0 : μ1 − μ 2 = 0 為真的情況下，請證明 服從 t 分配；並說明其自sd由度。（13 分）
（六）若將原前述模型改為Yij = μi + Pij + ε ij假設 Pij 為獨立的常態分配，其均數為 E ( Pij ) = 0 ，變異數 Var ( Pij ) = σ P2 ；其餘符號之表達及假設與前述相同。推導求得此模型下的Var (d ) ；並比較此結果與題（四）的差異。（10 分）全一張（背面）
（45 分）
參考架構・破題
本題以含區集（成對單位）隨機效應的模型，說明成對比較為何能消除單位間變異：P_j 在兩處理間共用，相減後抵銷，因此成對 t 檢定的變異只剩誤差項。第（六）小題則對照「效應不共用」時配對失去效益。
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- 3
若 Y1 , Y2 ,K , Yn 為互相獨立且其機率密度函數如下：⎧⎪ 1 − y / θ e y>0 f ( y;θ ) = ⎨θ ⎪⎩ 0 其他
（一）推導求得θ 的最大概似估計（maximum likelihood estimator）。（10 分）
（二）推導求得 P (Y ≤ 2) 的最大概似估計。（5 分）
（三）若 Y(1) = min(Y1 , Y2 ,...,Yn ) 為最小順序統計量，推導求得 Y(1) 之分配。（10 分）
（四）證明θˆ = nY 為θ 的不偏估計（unbiased estimator）。（4 分）1 (1)
（五）推導求得 MSE (θˆ1) （mean square error of θˆ1 ）。（6 分）
（35 分）
參考架構・破題
本題為均數 θ 的指數分配，綜合考最大概似估計、MLE 不變性、最小順序統計量分配與不偏性、均方誤差。關鍵在認出 Y(1) 仍是指數分配，均數變為 θ/n。
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
從一付撲克牌（共 52 張）以抽後不放回的方式隨機抽出 2 張，令 X 代表紅桃之張數，Y 代表黑色牌之張數。試求 X 與 Y 之聯合機率分配。（5 分）分別求出 X 與 Y 之邊際機率分配。（10 分）求出 Y 給定 X= 1 之下的條件機率分配。（5 分）求出 Y 給定 X= x 之下的條件機率分配。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題為抽後不放回的多變量超幾何分配：一副牌分成紅桃 13 張、黑色 26 張、方塊 13 張三類，抽 2 張，X 為紅桃數、Y 為黑色數，限制 X + Y ≤ 2。
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- 2
令 X1, X 2 ,..., X n 為一組隨機抽自均勻分配（Uniform distribution）之樣本，其機率密度函數為x 0, θ f x (x ) θ 0 其他令 X 代表樣本平均數。試以動差法求得 θ 的點估計。（5 分）試求 θ 的充分統計量。（5 分）試求 θ 的最大概似估計。（5 分）試驗證 θ 的最大概似估計並非 θ 的不偏估計。（5 分）~ ~將 θ 的最大概似估計記作 θ 。試求 c 使得 c θ 為 θ 的不偏估計。（5 分）令 中之不偏估計為 。並令 。分別求 與 的變異數。（10 分）當 n>1，說明是否 相對於 的相對效率（relative efficiency）大於 1？（5 分）全一張（背面）
（40 分）
- 3
王老師想瞭解學生在經過他所設計之聽力訓練後，英文聽力是否有進步，全班學生在訓練前與訓練後分別接受難易度相似的英聽測驗。隨機從班上抽出 20 名學生，下表是這些學生訓練前後的成績差異。其中，成績差異=訓練後的成績–訓練前的成績。11.5 15.0 8.5 3.5 -4.5 -2.5 -8.0 7.5 10.0 20.0 -4.0 -1.5 14.0 -3.0 -6.5 18.0 -7.0 13.0 12.0 19.0假設訓練前後的成績差異不是常態分配。將成績差異絕對值由小而大做排序，給予對應之排名；舉例說明，第 12 位學生成績差異的絕對值最小，所以排名為 1，第 6位學生的排名為 2，以此類推。令 W i201 (iU i ) ，其中Ui= 1 若排名 i 對應的成績差異是正數，= 0 若排名 i 對應的成績差異是負數。若該訓練對學生英聽能力並無影響，試問 Ui 服從什麼分配？（5 分）若該訓練對學生英聽能力並無影響，試求 W 的期望值與變異數。（10 分）利用統計量 W 以及 中的結果，在顯著水準 0.05 下，檢定是否學生的英聽能力有進步。（5 分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
蘭花餐廳王老闆分析該餐廳自 98 年第一季至 102 年第四季（共 20 季），每季之營業額（萬元）。首先，他算出四季之季節指數如下：第一季 第二季 第三季 第四季1.25 1.45 0.70 0.60其次，王老闆將這些營業額分別除以其對應之季節指數，得到一組去除季節因子之時間數列 y1, y2 ,..., y20 ；接下來，利用簡單線性模型，他求出去除季節因子之時間數列的長期趨勢估計式 yˆ t 21.5 0.8 t 。各季之營業額與四季平均營業額之比較如何？（5 分）預測 103 年第一季至第四季的營業額。（10 分）
（15 分）
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其他等別的「統計學（統計組）」
- 統計學（統計組）（地方特考三等）（51 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。