統計學（統計組） 申論題歷屆試題與參考架構
地方特考三等，民國 102～114 年共 12 份試卷、51 題，其中 37 題附參考答題架構。考這一科的類科：統計。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了 50 戶農家的資料，得到敘述統計量如下：產量 耕作面積 氮肥用量（千公斤） （甲） （百公斤）樣本平均 10.68 6.78 6.64樣本變異數 10.30 4.18 6.24（產量、耕作面積） ：0.71相關係數 （產量、氮肥用量） ：0.52（耕作面積、氮肥用量） ：0.68
（一）今若以簡單線性迴歸模型產量 a b 耕作面積研析產量與面積之關係，並以耕作面積為解釋變數，請問該模型中a 與 b 之估計值為何？本模式下之判定係數為何？（10 分）
（二）請寫出本模型下之變異數分析（ANOVA）表，並檢定耕作面積在95%之信心水準下是否與產量有顯著之關係。請詳列虛無以及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
（三）若將氮肥用量加入以多元線性迴歸模型產量 a b1 耕作面積 b2 氮肥用量分析結果得到 b1 及 b2 之估計值分別為 bˆ1 1.04 及 bˆ2 0.1 ，請問該 b1之估計值的解釋與（一）之簡單線性迴歸中 b 的估計值之解釋有何異同？（5 分）
（四）在（三）的多元線性迴歸模型所得之變異數分析（ANOVA）表如下：變異來源 平方和 自由度 均方 F值迴歸 256.61 2 128.305 24.291殘差 248.27 47 5.282總變異 504.88 49請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當信心水準為 95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
（35 分）
參考架構・破題
本題由敘述統計量直接推出簡單迴歸係數，再比較簡單迴歸與多元迴歸係數的意義，最後用「部分 F 檢定（額外平方和）」判斷新增變數是否有邊際貢獻。關鍵是 SST＝(n−1)Sy²，以及 R²＝r²。
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- 2
對便利商店所進行之經營狀況調查中，隨機選擇 100 家便利商店後記錄其週營業額，但因原始資料遺失，僅存次數分配資料如下：週營業額（萬元） 便利商店數20 ≤ 週營業額 < 25 35 25≤ 週營業額 < 30 30 30 ≤ 週營業額 < 35 20 35 ≤ 週營業額 < 40 10 40 ≤ 週營業額 < 45 5請根據本表推算便利商店之週營業額樣本平均、樣本變異數以及樣本中位數。（15 分）
（15 分）
- 3
為鼓勵提升生育率，評估若要對甲鎮內家戶中有 12 歲以下之家戶成員數目為 2 人或以上之家戶實施補助所需之資源，於鎮內隨機選取200 家戶，各家戶中 12 歲以下家戶成員數目如下表：12 歲以下家戶成員數 0 1 2 3 4 5家戶數 70 82 33 10 3 2
（一）請問此一未成年家戶成員數資料在 95%之信心水準下是否服從卜瓦松分配（Poisson distribution）？（15 分）
（二）請說明在 95%之信心水準下是否有顯著之證據指出甲鎮內家戶 12 歲以下未成年家戶成員數目大於或等於 2 人之比例大於 15%。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量及檢定結果。（10 分）
（25 分）
- 4
某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了 15 塊面積相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇 5 塊農地加以應用，三種灌溉方式所得產量資料整理後如下表：灌溉方式 A B C樣本平均 15.4 18.4 28.4樣本變異數 9.3 20.8 18.3經一因子變異數分析後，發現三種灌溉方式之產量確有顯著之差距，請回答下列問題：
（一）請寫出一因子變異數分析之變異數分析表（含檢定三種灌溉方式之產量是否相同之檢定統計量值）。（10 分）
（二）因為一因子變異數分析顯示三種灌溉方式之產量顯著不同，請用費雪之最小顯著差異法（Fisher’s Least Significant Difference），以單一成對比較信心水準為 95%之基準下，判斷那幾組成對之兩種灌溉方式產量比較有顯著之不同。（10 分）
（三）承（二）中之整體型一誤差機率為何（亦即產生至少一次型一誤差之機率）？若用邦佛洛尼校正法（Bonferroni correction）調整單一成對檢定之顯著水準，調整後之單一成對檢定之顯著水準以及整體型一誤差機率為何？（5 分）t 分配表F 分配表卡方分配表卜瓦松機率分配表
（25 分）
參考架構・破題
由各組平均與變異數重建一因子 ANOVA 表，再用 Fisher LSD 做成對比較，最後說明多重比較使整體型一誤差膨脹，以及 Bonferroni 如何校正。
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113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設某抗肥胖藥物可由政府補助之條件如下：條件一：有心疾者、且身高體重指數（body-mass index，簡稱 BMI）大於 28；條件二：無心疾者、且 BMI 大於 32。已知有心疾者占總人口的 10%。若有心疾者的 BMI 平均值為 25、標準差為 5；無心疾者的 BMI 平均值為 22、標準差為 4。請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）試問無心疾者中，有多少比例可獲補助？
（二）若有心疾者與無心疾者的 BMI 分別都服從常態分配，試問可獲補助者中，屬於有心疾者的比例為何？
（20 分）
- 2
甲、乙兩個長期照顧居家服務中心統計其每個月的服務人次，資料如下：樣本數（月） 樣本平均數 樣本標準差甲 12 58 4乙 15 65 5假設兩母體皆服從常態分配，且變異數相同（σ21 =σ22 =σ2 ）。請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）試求σ2 的估計值，以及其 95%信賴區間。
（二）在顯著水準 0.05 之下，試檢定兩母體平均數是否相等。
（20 分）
參考架構・破題
兩獨立常態母體、變異數相同，σ² 用合併樣本變異數 Sp² 估計，其信賴區間利用 (n1＋n2−2)Sp²／σ² 服從卡方分配；平均數比較用合併變異數的雙樣本 t 檢定。
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- 3
COVID-19 疫情期間，學校關閉或改為線上課程。某教育機構評估疫情後學生在閱讀方面的能力。隨機抽取 600 名八年級學生進行滿分 100 分之閱讀測驗，記錄其成績，得樣本平均數 56 分、樣本標準差 18 分，分數分布如下：分數 [0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, 100]人數 54 144 252 120 30請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）在 0.05 顯著水準之下，試檢定此資料是否服從常態分配。
（二）若[0, 40]分為「待加強」 ，(40, 60]分為「基礎」 ，(60, 100]分為「精熟」 。已知疫情前，此三種等級之比例分別為 30%，50%，20%。在顯著水準0.05 之下，試檢定疫情前後八年級學生閱讀能力之等級分布是否相同。
（20 分）
- 4
王先生蒐集過去 12 個月甲市新成屋的交易價格，得每坪平均交易價格y1 ,y2 ,...,y12 （ 單 位 ： 萬 元 ）。 已 知 此 樣 本 之 平 均 數 與 標 準 差 分 別 為y=63,sy =12。又將每坪平均交易價格對時間做線性迴歸，得到截距項係數估計值為 50。請回答下列問題：（每小題 10 分，共 40 分）
（一）試求斜率係數估計值。
（二）試分別預測接下來兩個月的每坪平均交易價格。
（三）在 0.05 顯著水準之下，試檢定斜率係數是否為正值。
（四）接下來兩個月，若每坪平均交易價格的真實值分別為 77 萬元與 72 萬元，試計算（二）中預測結果的平均絕對誤差（mean absolute deviation）。
（40 分）
112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設 X 1、 X 2 、 X 3 為互相獨立的標準常態隨機變數。令 Y1 ( X 1 X 2 ) / 2 ，Y2 ( X 1 X 2 2 X 3 ) / 6 與 Y3 ( X 1 X 2 X 3 ) / 3 。試求：
（一） Y1 、 Y2 、 Y3 是否分別具有相同的機率密度函數，須完整求出各自的機率密度函數。（15 分）
（二）求 Y1 、 Y2 和 Y3 之聯合分配函數。 （10 分）
（25 分）
參考架構・破題
Y1、Y2、Y3 是獨立標準常態的線性組合，且係數向量構成正交矩陣（Helmert 型轉換），因此各自為標準常態、彼此不相關，在多元常態下等同獨立，聯合密度即三個標準常態密度的乘積。
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- 2
令 X 1 , , X n 為抽取自 f (x; ) e x ， x 0 之隨機樣本。求下列參數的齊一最小變異不偏估計（Uniformly Min. Variance Unbiased Estimator）：
（一） 。（10 分）
（二） 。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
指數分配 f(x;θ)＝θe^(−θx) 屬單參數指數族，T＝ΣXi 為完備充分統計量，依 Lehmann–Scheffé 定理，只要找到 T 的函數且不偏，即為 UMVUE。
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- 3
某公司須從三種退休計畫方案選擇一種方案。該公司想研究的問題為：喜愛那一種方案的員工與其工作性質有無關係？經調查得結果如下表所列，令 pij 為第 i 種方案受第 j 類員工喜愛的母體比例，i 1, 2, 3， j 1, 2, 3, 4。觀察個數方案 1 方案 2 方案 3 總和第 1 類員工 160 30 10 200第 2 類員工 140 40 20 200第 3 類員工 80 10 10 100第 4 類員工 70 20 10 100合 計 450 100 50 600
（一）試以 pij 陳述虛無與對立假設（ H 0 和 H1 ）。（8 分）
（二）試執行本題的檢定（含檢定統計量、棄卻域及結論），令顯著水準 0.05 。（17 分） 0.05, 8 15.51 、 0.05, 6 12.5916 、 0.05, 4 9.4877 2 2 0.025, 8 17.5346 、 0.025, 6 14.4494 、 0.025, 4 11.1433 2 2
（25 分）
參考架構・破題
各類員工樣本數（200、200、100、100）是事先固定的，本題屬「齊一性（同質性）卡方檢定」：檢定四類員工對三種方案的偏好比例是否相同。計算方式與獨立性檢定相同，自由度 (4−1)(3−1)＝6。
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- 4
一家消費者雜誌想要比較三個不同品牌的手電筒電池的壽命。該雜誌對三個不同品牌的電池抽取獨立隨機樣本，得出以下使用壽命（以小時為單位）。Brand A Brand B Brand C 38 32 24 36 27 25 31 28 29 42 26
（一）檢定此三個品牌的手電筒電池的平均壽命是否有差異？須列出虛無與對立假設、建構變方分析表（ANOVA table）、棄卻域和結論。（令顯著水準 0.05 ）（10 分）f 0.05,3,9 3.8625 、 f 0.05,3,10 3.7083 、 f 0.05,3,11 3.5874 f0.05,2,9 4.2565 、 f 0.05,2,10 4.1028 、 f 0.05,2,11 3.9823
（二）試以顯著水準 0.05，執行 Tukey 的多重全距檢定（Tukey’s multiple，比較三個不同品牌的手電筒電池的平均壽命。須列出 Tukey range test）多重全距檢定的信賴區間公式，計算三對平均差之 Tukey 全距信賴區間，最後做結論。（15 分）q0.05,2,12 3.08 、 q0.05,2,11 3.11、 q0.05,2,10 3.15 、 q0.05,2,9 3.20 q0.05,3,12 3.77 、 q0.05,3,11 3.82 、 q0.05,3,10 3.88 、 q0.05,3,9 3.95
（25 分）
參考架構・破題
三組樣本數不等的一因子 ANOVA，接著用 Tukey–Kramer（不等樣本數版的 Tukey HSD）建構三對平均差的同時信賴區間。注意原卷 Brand A 有 5 筆（38、36、31、42、29），B 3 筆、C 4 筆，共 12 筆，誤差自由度 9。
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111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
下表為 1897-2014 年各月侵臺颱風合計次數表。一至月份 三月 四月 五月 六月 七月 八月 九月 十月 十一月 十二月侵臺颱風次數 0 1 14 30 99 122 94 36 8 1
（一）請估計每年侵臺颱風之平均次數。 （5 分）
（二）若每年侵臺颱風次數服從卜瓦松（Poisson）分配，依此資料之估計結果，計算一年內侵臺颱風超過兩次（含）以上的機率。（10 分）
（三）若將前述侵臺颱風次數表視為隨機的抽樣結果，且 p 代表八月發生侵臺颱風次數在總侵臺颱風次數之比例。在顯著水準為 0.05 下，檢定八月發生侵臺颱風之比例是否超過 1/4。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
先由 1897–2014 共 118 年、總次數 405 次估計卜瓦松參數 λ，再算 P(X≥2)；（三）把各月次數視為 405 次的分類結果，對八月比例做右尾單一比例 Z 檢定。
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- 2
若隨機變數 X 與 Y 的聯合機率分配如下：Y X 4 5 6 8 0.10 0.20 0.20 9 0.20 0.20 0.10
（一）計算在 X=8 的條件下，隨機變數 Y 的邊際分配、期望值與標準差。（15 分）
（二）詳細說明 X 與 Y 是否為獨立隨機變數。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
題目雖寫「邊際分配」，實為在 X＝8 條件下 Y 的條件分配：用聯合機率除以 P(X＝8)，再求條件期望值與標準差；（二）用「聯合機率是否等於邊際機率乘積」逐格檢驗獨立性。
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- 3
若 隨 機 變 數 Y 為 具 有 參 數 n 與 p 的 二 項 分 配 ， 定 義 pˆ1 Y / n 及pˆ 2 (Y 1) / ( n 2) 為 p 的兩個估計量。
（一）分別證明 p̂1 與 p̂2 是否為 p 的不偏估計量。（10 分）
（二）詳細推導 p̂1 與 p̂2 的均方誤差（mean squares error, MSE）。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
利用 E(Y)＝np、Var(Y)＝np(1−p) 計算兩估計量的期望值與變異數；MSE＝變異數＋偏誤²。p̂2 是均勻先驗下的貝氏後驗平均（Laplace 繼起法則），有偏但變異數較小，可說明偏誤與變異的取捨。
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- 4
若考慮一項二因子之實驗設計，因子 A 有 3 個水準，因子 B 有 4 個水準，每個處理皆有 3 個重複觀測值。得到以下變異數分析表（ANOVA） ：Sum of Degrees of Mean squares freedom squares F Treatment A 54.4 （B） （G） （K）Treatment B 27.6 （C） （H） （L）Interaction AB 115.4 （D） （I） （M）Error （A） （E） （J）Total 299.5 （F）
（一）寫出（A）至（M）的值，詳述其所需之公式與計算過程。（13 分）
（二）詳述（L）與（M）之檢定統計的虛無假設與對立假設；並在顯著水準為 0.05 下，說明各自檢定之結論。（12 分）t分配表tα
（25 分）
參考架構・破題
本題為二因子（3×4）完全隨機化實驗、每格重複 r=3 次的固定效果變異數分析。先由自由度與平方和的可加性補齊表格，再依交互作用優先的原則解讀 F 檢定。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
令 , 的 聯 合 機 率 密 度 函 數 （ Joint probability density function ） 為/ ( , )= ,0 < < < ∞。求 使得 ( , )符合聯合機率密度函數的要求；並求 , 的邊際機率密度函數（Marginal probability density， ( )、 ( )、以及 ( )、function） ( )。（25 分）
（25 分）
- 2
令 , = 1,2, … , 為幾何分配 ( )的隨機樣本，請證明以動差法及最大概似估計法求得之 的估計式是相同的。請定義充分統計量，並回答該估計式是否為 的充分統計量？（20 分）
（20 分）
- 3
假設 為二項分配 (5, )的一個隨機樣本，欲根據此隨機樣本檢定: = 0.2 vs. : = 0.8。 在α = 的顯著水準下，求最強力檢定（most powerful test）的棄卻域 G，以及真正的型一錯誤率 ( ∈ | )，並求 G 的檢定力（power）。（25 分）
（25 分）
- 4
隨機樣本 ~ ( , ), = 1, 2, 3, 4, = 1,2, … , 10。樣本觀察值的敘述性統計如下表：i 1 2 3 4平均數 7 6 11 8標準差 2.75 2.21 2.62 2.54在α = 5%的顯著水準下，請完成下列假說檢定。
（一） : = vs. : ≠ 。（20 分）
（二） : − + = 0 vs. : − + ≠ 0。（10 分）Ｆ分配臨界值表
（30 分）
參考架構・破題
本題為單因子變異數分析（k=4 組、每組 n=10），第（一）小題用 F 檢定判斷四組平均數是否相等，第（二）小題是線性對比（contrast）θ2−θ3+θ4 的 t 檢定，兩者都以合併變異數 MSE 估計 σ²。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設金牌輪胎的使用壽命（單位：月）服從韋伯（Weibull）分配，機率密度函數為( )= , ≥0其中 = 120是比例參數（scale parameter）， = 5是形狀參數（shape。廠商擬訂出一個保固期限 T（單位：月）parameter） ，使得僅有約 0.05%的輪胎之壽命低於 T。利用伽瑪（Gamma）函數的定義與性質：( )= , ( + 1) = ( )與 (0.2) = 4.59，回答以下問題：（每小題10分，共20分）
（一）試問金牌輪胎之平均壽命為幾個月？
（二）試問保固期限 T 應該訂為多少？
（20 分）
參考架構・破題
本題先辨認韋伯分配的尺度參數與形狀參數，再分別以期望值公式及累積分配函數處理平均壽命與低尾機率。計算時應把百分率 0.05% 正確換成機率 0.0005。
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- 2
某部門調查員工每人上個月上網購物消費金額。假設共有100名員工，上個月平均網購消費為3000元，標準差500元。
（一）若網購消費金額之分配近似常態，試問上個月網購介於2500元至3500元的員工大約幾人？（10分）
（二）若網購消費金額之分配近似常態，試問上個月網購高於4000元的員工大約幾人？（5分）
（三）若網購消費金額之分配為右偏，而你上個月網購消費金額為3000元，試問多數員工的網購消費金額比你高或低？為什麼？（5分）
（20 分）
- 3
林主任想分析其部門承接業務之件次是否因不同時段而有不同。根據下表業務件次資料，回答以下問題：11-12am 1-2pm 2-3pm 27 13 24
（一）在0.1的顯著水準下，檢定以上三個時段的承接件次是否相同？（10分）
（二）執行（一）之檢定時，需對母體作何假設？（5分）
（15 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
W 車輛測試中心擬研究 ABCDEF 六個不同品牌的汽車是否耗油程度有所差別。今隨機抽取此六個品牌的汽車各四輛，分別測試其使用一公升汽油所行駛之公里數，得到各品牌四輛車的平均行駛距離分別為4.6、5.3、4.4、4.7、4.8與6.2公里，誤差平方和（sum of squares for error）為2.25。
（一）試做出此實驗之變異數分析表。（10分）
（二）在0.05的顯著水準之下，檢定不同品牌汽車的耗油程度有無差別。 （5分）
（15 分）
- 5
鄭主任使用線上適性化平台來訓練其部屬的軟體操作能力，該平台依學習者能力，適性調整每個人在線上接受訓練之時間，當能力達到精熟程度時，該訓練即停止。以下是10名部屬在訓練前之能力評估分數（0～200分，分數越高代表能力越強） ，以及達到精熟程度所需要之練習時間（分鐘） 。（每小題10分，共30分）能力 181 33 13 34 47 11 20 91 74 164時間 50 135 165 138 122 184 155 80 88 52
（一）試求出「能力」 （y）對「時間」 （x）之線性迴歸方程式，並計算判定係數（coefficient of determination）。
（二）試說明對「能力」作何種轉換（指數轉換： = ，或自然對數轉換：= ），可以使轉換後之變數與「時間」之線性相關程度提高？先畫出原始資料中「能力」對「時間」之散布圖（scatter plot），並計算二者之相關係數，再與轉換後之散布圖與相關係數做比較。
（三）以轉換後之變數對「時間」作線性迴歸，得出迴歸方程式及判定係數，並說明該判定係數之意義。
（30 分）
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
新北市捷運環狀線部分路段預定在 2019 年年底完工通車，目前已進入測試階段。已知新北市捷運電聯車的液壓式摩擦煞車系統的失效時間是服從具有自由度為 2 的卡方分配。今由工程師隨機抽樣測試該系統，得到一組樣本數為二之失效時間的隨機樣本，分別以 Y1 與 Y2 表示。（每小題 10 分，共 40 分）
（一）令變數 D = Y1 − Y2 ，求出變數 D 之機率密度函數 f (d ) 。
（二）令變數 S = Y1 + Y2 ，求出變數 S 之變異數Var (S ) 。
（三）令變數 R 為全距，求出變數 R 之機率密度函數 f (r ) 。
（四）令變數U = min{Y1 , Y2 } 及V = max{Y1 , Y2 } ，求出機率 P (U < 6, V > 10) 。
（40 分）
- 2
某經濟學者長期研究國內農民的家戶所得，發現國內的農家所得是服從平均數為 µ ，變異數為 σ 2 之常態分配。針對評估農家所得分配是否不平均的狀況，此經濟學者提出了以所得分配的第 90 百分位數和第10 百分位數的差（以 θ 表示），做為評估農家所得分配是否不平均的評估指標。今由全臺灣農家隨機抽取 n 筆家戶所得的資料，得到隨機樣本 X 1 , X 2 , ..., X n 。令 F (x) 為農家所得分配之累積分配函數（cumulative distribution function） 。（每小題 10 分，共 30 分）
（一）假設 µ 和 σ 2 皆未知，求出上述評估指標 θ 之最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator），θˆ 。
（二）假設 σ 2 已知但 µ 未知，求出上述累積分配函數 F (x) 之不偏估計量的變異數的 Cram’er-Rao 下限（Cram’er-Rao lower bound）。
（三）假設σ 2 已知但µ 未知，求出上述F (x) 之信賴水準為100(1 − α )% 的信賴區間。
（30 分）
參考架構・破題
先把百分位距寫成常態標準差的倍數，再以常態族完整充分統計量及 Lehmann－Scheffé 思路建立最小變異不偏估計；其餘兩題則把 F(x) 視為未知平均數 μ 的單調函數。
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- 3
同時丟擲三個均勻的骰子（均勻的骰子，指骰子出現每一點的機率均等）5 次，令變數 T 代表 5 次丟擲中三個骰子出現的點數皆不同的次數，且令變數 W 代表 5 次丟擲中三個骰子出現的點數皆相同的次數。（每小題 10 分，共 30 分）
（一）求出變數 T 與 W 之聯合機率密度函數 f (t , w) 。
（二）求出給定 T = t 之下，W 之條件機率密度函數 f ( w t ) 。
（三）求出條件變異數的期望值 E[V (W T )] 。
（30 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
兩隨機變數 X, Y 的聯合機率密度函數為 f (x, y) = ax2y, 0 < x < y < 1。
（一）請算出 a 使得 f (x, y)符合聯合機率密度函數的要求。（9 分）
（二）請分別算出 X, Y 的邊際機率密度函數（marginal probability density function）fX (x), fY (y)，及條件機率密度函數（conditional probability density function） f X |Y ( x | y ), f Y | X ( y | x) 。（16 分）
（25 分）
- 2
假設 X1, X2,…, Xn 為幾何分配的 Geo（p）隨機樣本。
（一）求 p 的最大概似估計（Maximum likelihood estimator） ， p̂ 。（10 分）1 1
（二）令θ = ，統計量 是否為θ 的充分統計量？是否為θ 的最小變異不偏p p̂估計量（minimum variance unbiased estimator）？（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
採幾何分配表示直到首次成功所需試驗次數，支持範圍為 1、2、……。先由概似函數求 p 的估計，再以因子分解、完整性及不偏性判斷 θ＝1／p 的估計性質。
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- 3
某校今年派出 9 名代表參加科學知識競賽，得分及敘述性統計如下：73 81 74 87 90 89 65 79 88樣本平均數= 80.67，樣本標準差= 8.6747，去年的平均成績為 75.5。欲比較今年的代表隊成績是否比去年好，在 5%顯著水準下，考慮兩種方法檢定今年成績是否有顯著進步。檢定結果應包括檢定假說、檢定統計量、臨界值以及檢定結果的詮釋。
（一）假設成績服從常態分配，請完成今年平均成績是否有顯著性進步的檢定。（10 分）
（二）假設成績不服從常態分配但大致上對稱，請以符號檢定（sign test）及符號等級檢定（signed rank test），分別完成今年的成績中位數是否有顯著性進步的檢定。 （20 分）
（30 分）
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- 4
欲比較 4 種環保材質吸管的瑕疵率，研究部門以單因子（one-way）隨機實驗各進行 5 次檢測，實驗結果的敘述性統計如下：Treat i 1 2 3 4平均數（ . ） 15.6 13.8 7.2 11.4 4 5 4 5 y..2 = 144 、 ∑ yi2. = 615.6 、 ∑ y.2j = 757.5 、 ∑ ∑ yij2 = 3,320 ，其中 yij 為第 i i =1 j =1 i =1 j =1 5 4種材質在第 j 次實驗的瑕疵率檢測值， yi. = ∑ yij / 5 、 y. j = ∑ yij / 4 、j =1 i =1 4 5 y.. = ∑ ∑ yij / 20 i =1 j =1
（一）請完成變異數分析（ANOVA）表，以適當的符號定義參數，寫出檢定 4 種材質瑕疵率有差異的假說，並在 5%顯著水準下提出你的檢定結論。 （10 分）
（二）假設第 1 種環保材質是市面上常用的材質，其他 3 種是新材質，請寫出常用材質與新材質的平均瑕疵率是否有差異，μ1 = ( μ 2 + μ3 + μ 4 ) ，的對比假說，並在 5%顯著水準下提出你的檢定結論。（10 分）附表
（20 分）
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
行政院主計總處對家戶所得與消費支出之關係，作了一些研究。將所得與消費支出分別以 X 與 Y 表示。已知(X , Y)之聯合動差母函數（joint moment generating function）{ }為 M ( X ,Y ) (t1 , t 2 ) = exp 2t1 + t 2 + 0.5t1t 2 + 2.5t12 + 2t 22 。請回答下列問題：（每小題 10 分，共 40 分）
（一）求出給定消費支出 Y = 1之下，所得 X 之條件機率密度函數。
（二）求出條件期望值 E ( X | Y ) 之變異數Var[ E ( X | Y )] 。
（三）求出消費支出為 1 之下，所得大於 2 之條件機率 P( X > 2 | Y = 1) 。
（四）令隨機變數 Z = (Y − 1) 2 ，求出 Z 之機率密度函數。
（40 分）
- 2
針對家戶之所得（以 X 表示）與消費支出（以 Y 表示）之關係，考慮建立下列廻歸模型： Yi = β1 X i + ε i , i = 1, 2, ... , n ；其中 ε 1 , ε 2 , ε 3 , ... , ε n 為相互獨立且具常態分配N (0, σ 2 ) 之隨機變數。請回答下列問題：（每小題 10 分，共 40 分）
（一）求出 β1 之最小平方估計量 β̂1 。
（二）求出題（一）中， β̂1 之變異數Var ( βˆ1 ) 。
（三）欲檢定 H 0 : β1 = 0 vs. H 1 : β1 ≠ 0 ，已收集下列資料Xi 4 9 4 16 1 Yi 2 5 2 10 1請利用收集之資料，以 0.05 之顯著水準，檢定上述之假設。（註：若令T (d ) 為具有自由度為 d 之 t 分配的隨機變數，則已知 P (T (3) < 2.353) = 0.95 , P (T (3) < 3.182) = 0.975 , P (T (4) < 2.132) = 0.95 , P (T (4) < 2.776) = 0.975
（四）若真實之廻歸模型為 Yi = β 0 + β1 X i + ε i ，請用題（一）之 β̂1 去估計真實模型中之 β1 ，求出其偏誤（bias）。
（40 分）
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- 3
為了降低流行性感冒對民眾造成的傷害和損失，政府從民國 106 年 10 月 1 日起開始針對特定對象，提供免費流感疫苗接種服務。假設已知臺北市某區之衛生所平均要等 10 分鐘，才會有一位民眾上門接受免費疫苗接種服務。請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）求出某日該衛生所從早上 8 點整上班到下午 5 點整下班都沒有民眾上門接種免費疫苗之機率。
（二）令變數 S 為該衛生所從早上 8 點上班後，直到等到第 100 位民眾上門接種免費疫苗所需等候時間（單位：小時），求出變數 S 之變異數 Var (S)。
（20 分）
104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
常態分配（Normal distribution）其平均數為 0，變異數為 σ 2 ，機率密度函數為2 1 ( x) 2 f (x | σ ) = exp(− 2 ) 。從中隨機抽取 n 個隨機樣本， X 1 , X 2 , L , X n 。2πσ 2 2σ
（一） 虛 無 假 設 與 對 立 假 設 分 別 為 H 0 : σ = σ 0 和 H1 : σ > σ 0 ， 求 齊 一 最 強 檢 力 檢 定（uniformly most powerful test）。（13 分）
（二）由（一）所得的檢定，將其檢力函數以卡方分配函數呈現。（10 分）
（23 分）
參考架構・破題
母體平均數固定為零，對變異程度的資訊全部集中在平方和 T＝ΣXi²。常態尺度族的概似比對 T 具有單調性，因此右尾平方和檢定是對 σ＞σ0 的齊一最強檢力檢定。
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- 2
某投資客購買 A 股 100 張，B 股 150 張。令 X 代表 A 股的獲利而 Y 代表 B 股的獲利。假設(X, Y)的聯合分配是齊一（uniform）分布於 − 2 ≤ x ≤ 4 , − 1 ≤ y − x ≤ 1。
（一）求 X 和 Y 的邊際機率密度函數。 （12 分）
（二）求 X 和 Y 的期望值。（10 分）
（三）求投資客的獲利期望值。 （5 分）
（27 分）
參考架構・破題
先將支持區域改寫為 −2≤X≤4 且 −1≤U＝Y－X≤1；線性轉換的 Jacobian 為一，因此 X 與 U 在長方形上均勻且相互獨立，Y＝X＋U 的邊際分配可由區間重疊長度得到。
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- 3
常態分配（Normal distribution）其平均數為 μ ，變異數為σ 02 （已知），機率密度函數1 ( x − μ)2為 f ( x | μ) = exp(− 2 ) 。從中隨機抽取 n 個隨機樣本， X 1 , X 2 , L , X n ，且2 πσ 0 2σ 0假設 μ 的先驗分配（prior distribution）為常態分配而母體均數是 α 0 ，變異數為 β 0 ， α 0和 β 0 為已知的常數。試求：
（一）求 μ|x 的事後分配（posterior distribution）。（12 分）
（二）利用損失函數為誤差平方，求 μ 的貝氏估計式（Bayes estimator）。 （10 分）
（22 分）
參考架構・破題
本題是已知母體變異數下的常態—常態共軛模型。作答主軸是先把概似函數與先驗密度中所有含 μ 的二次式合併，再以配方法辨認事後常態分配；平方誤差損失下的貝氏估計量即為事後平均數。
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- 4
隨機自某公司抽取 7 個員工，他們每個月的薪水與儲蓄資料（單位：萬元）如下表所列：員工 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚薪資收入 x 8 11 9 6 6 8 7儲蓄 y 1.5 2.2 1.6 0.7 0.8 1.3 1.0
（一）迴歸係數（斜率）估計值為何？（6 分）
（二）求迴歸係數（斜率）之估計標準誤（standard error of estimate）。 （6 分）
（三）求母體迴歸係數（斜率）之 95%信賴區間。（6 分）
（四）檢定 β 0 + 6 β1 = 1 之說法並解釋 β 0 + 6 β1 = 1 之意義。（α = 0.05 ）（10 分）全一張（背面）等 別：三等考試附t表Critical Values of the Student t Distribution A tA
（28 分）
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一電阻能消耗的電力（W）與電壓（V）的平方成比例，即 W=3V2。若通過電阻之電壓 V 呈平均值為 6，變異數為 1 之常態分布。W 之期望值，E(W)。（5 分）W 在 120 以上之機率。（10 分）
（15 分）
- 2
在一很大的母體中，已知某族群所占的比例介於(0.2,0.35)間，若要求抽樣結果該比例之估計誤差在 1%內，而信賴度（confidence level）為 95%，試求所需的最小樣本數。（10 分）
（10 分）
- 3
資料 23 39 19 43 33 29 28 42 18 33 23 34 33 20 31 40 為隨機抽取的一組樣本，試檢定其母體四分位數（quartile）是否為 21，求其 p-value。（答案不須乘開，寫出公式即可。）（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題應用分位數的無母數符號檢定。把「母體第一四分位數為21」轉成每一觀測值落在21以下的機率為0.25，再以二項分配計算雙側 p-value；此法不需假設母體分配型態。
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- 4
若 Y1, Y2,…, Yn 為獨立同分布之常態隨機變數，其期望值為 μ，變異數為 σ2；μ 和σ2 皆未知。試求信賴水準為(1-α)100%時，期望值 μ 之信賴區間長度的期望值。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
母體變異數未知時，μ 的信賴區間使用 t 樞紐量，區間長度因含樣本標準差 S 而為隨機變數。本題關鍵不是只寫區間長度，而是利用卡方分配求 E(S)，再取其期望。
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- 5
下表分別為十位參加減重班的學員參加前與參加後的體重紀錄（Kg）：參加減重班前 70 73 95 80 60 86 65 90 78 66參加減重班後 65 71 89 82 60 83 66 86 75 65若體重皆符合常態分配，試根據上述資料檢定該減重班是否具有顯著的減重功效？(α=5%)（10 分）
（10 分）
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- 6
下表是投擲一骰子 300 次所得各點數出現的次數。點數 1 2 3 4 5 6次數 35 60 52 65 55 33在顯著水準 α=5%下，請檢定該骰子是否為公平的骰子。（10 分）
（10 分）
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- 7
在一項實驗中，欲研究使用一種藥性貼布是否有助於紓緩疼痛。實驗過程中隨機安排患者使用外型相同的藥性貼布或無藥貼布，實驗結束時得數據如下：紓緩疼痛 未紓緩 合計使用藥性貼布 25 31 56使用無藥貼布 10 40 50試問實驗數據是否證實該藥性貼布可以顯著達到紓緩疼痛的效果？試以 p-value 做結論。（15 分）全一張（背面）等 別： 三等考試
（15 分）
參考架構・破題
本題比較隨機分派下兩組疼痛緩解比例，方向性問題是藥性貼布是否「較有效」，故設定單尾兩母體比例檢定。樣本數與各格期望次數足以採合併比例的常態近似，並以 p-value 判斷。
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- 8
若已知獨立資料(xi,yi), i=1,…, 5，分別為(-2,0), (-1,0), (0,1), (1,1), (2,3)，且滿足線性模型 yi = 1＋βxi＋εi，其中 εi 為獨立同分布之 N(0,σ2)隨機變數，i= 1,…, 5。（每小題 10 分，共 20 分）試求斜率 β 之最小平方估計（Least Squares Estimate）。試檢定上述迴歸模型是否顯著，並寫出檢定統計量之分布。表一：常態分布：內為大於 z 之右尾機率 P(Z z)=1-Φ(z)。z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183 2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036表二：T 分布：右尾機率為 α 之臨界值 Tdf;α。α .20 .10 .05 .025 .01 .005 df 3 0.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 0.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 0.920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 0.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 0.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 0.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 0.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 0.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 0.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106表三：卡方（Chi-square）分布：右尾機率為 α 之臨界值 χ df ; 。α .20 .10 .05 .025 .01 .005 df 3 4.64 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 4 5.99 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 5 7.29 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 6 8.56 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 7 9.80 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28表四：F 分布：右尾機率為 α = 0.05 之臨界值 Fn1,n2; α。n1 1 2 3 4 5 6 n2 1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28
（20 分）
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102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設 X ~ N ( μ , σ 2 ) ，隨機抽取一樣本，樣本大小為 n。若已知σ 2 值，在顯著水準為 0.05 下，檢定 H 0 : μ = μ 0 vs. H1 : μ ≠ μ 0
（一）檢定統計量及其分配為何？（5 分）
（二）在 H 0 為真下，檢定統計量分配上的拒絕區臨界點為何？（5 分）
（三）已知檢定結果拒絕 H 0 ，若事實上 μ = μ 0 + σ ，取樣本大小 n = 9，則檢定力 (1 − β )為何？（10 分）
（四）續題（三），若（三）中之 n 未知，欲使 (1 − β ) ≥ 0.9 ，則 n 至少應為多少？（10 分）（Hint：試 n = 10, 11, 12,….）
（30 分）
參考架構・破題
本題是已知母體變異數的雙側 Z 檢定，後兩小題再由固定對立值下的非中央位移計算檢定力與反推樣本數。作答要把「以虛無值標準化的統計量在真實平均數下如何平移」寫清楚。
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- 2
一家工廠之經理認為工作人員之生產力是跟不同工作之設計有關。一個新產品之生產考慮兩種不同工作之設計，並且希望選擇其中之一。隨機抽取 6 位工作人員指派使用設計 A，8 位工作人員指派使用設計 B，各工作人員之裝配時間如下（單位：小時）：設計 A: 10, 15, 20, 15 ,25, 20設計 B: 15, 20, 25, 20, 25, 30, 15, 30假設設計 A、B 的裝配時間服從常態分配：
（一）檢定設計 A 和 B 之裝配時間變異數是否相等（顯著水準為 0.1）？（10 分）
（二）依（一）的結果，說明變異數之點估計值。（5 分）
（三）依（一）的結果，在顯著水準為 0.05 下，檢定兩種不同工作設計之平均裝配時間是否相同？（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題依序考兩常態母體的變異數同質性、共同變異數估計與兩獨立樣本平均數檢定。應先算兩組平均數及不偏樣本變異數，再讓前一小題的結論決定後續採合併變異數 t 檢定。
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- 3
研發工程師研究溫度和壓力是否影響化學產品的壽命。在指定的溫度和壓力的水準組合下，實驗各反覆執行 2 次，且所有實驗的順序是隨機的。實驗收集之數據，如表所示。（化學產品壽命之單位：小時）壓力 230 330 Total溫度 20 5, 3 5, 0 13 35 10, 8 8, 4 30 Total 26 17 43
（一）此實驗設計之名稱為何？（5 分）
（二）壓力的主要效用（main effect）之估計值為何？（10 分）
（三）已知溫度和壓力交互作用不存在，列出變異數分析表並檢定溫度是否顯著（顯著水準為 0.05）？（10 分）（請接第二頁）全五頁第二頁等 別： 三等考試類 科： 統計
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
假設 X, Y 的聯合機率密度函數為⎧d , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 f X ,Y ( x, y ) = ⎨ ⎩0, 其他（每小題 5 分，共 20 分）
（一）計算 d 值。
（二） X 的邊際機率密度函數為何？
（三）計算 XY 的期望值，即 E(XY )。
（四）計算 Y 的變異數，即 V(Y )。（請接第三頁）全五頁第三頁等 別： 三等考試類 科： 統計表一：Cumulative Standardized Normal Probabilities 0 z P(-∞ < Z < z)（請接第四頁）全五頁第四頁等 別： 三等考試類 科： 統計表二：Critical Values of the Student t Distribution Degrees of Freedom t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 A tA（請接第五頁）全五頁第五頁等 別： 三等考試類 科： 統計表三：Critical Values of the F-Distribution: A = .05 f(F) A F 0 FA v1 NUMERATOR DEGREES OF FREEDOM v2 DENOMINATOR DEGREES OF FREEDOM
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
其他等別的「統計學（統計組）」
- 統計學（統計組）（高考三級）（49 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。