應用數學　申論題歷屆試題與參考架構

108 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   假設 ( x(t ), y (t ), z (t )) 滿足以下線性系統： x = −2 x + y − z,   y = x + z , ⑴  z = 2 x − y + z. 

   （一）請求出滿足⑴之 ( x, y, z ) 的通解。 （20 分）

   （二）令 ( x p (t ), y p (t ), z p (t )) 滿足⑴及初始值 ( x p (0), y p (0), z p (0)) = ( x0 , y0 , z 0 ) 的解。試問對任何 ( x0 , y0 , z0 ) , ( x p (t ), y p (t ), z p (t )) 在 t → ∞ 是否都有界？如果不是，是否能給出適當 ( x0 , y0 , z0 ) 使得 ( x p (t ), y p (t ), z p (t )) 在 t → ∞ 維持有界。（10 分）

   （30 分）

2. 2

   利用分離變數法求解以下熱方程的初始及邊界值問題：ut = u xx − au , 0 < x < h, t > 0,  u (0, t ) = 0, u (h, t ) = 1, t > 0, u ( x, 0) = 0, 0 < x < h. （提示：設解 u ( x, t ) = v( x, t ) + φ ( x) ，利用 φ 來處理非此時 a 為一個正數。零邊界條件。不需要算出傅立葉級數的係數，只要寫出積分公式即可。）（25 分）

   （25 分）

3. 3

   定 義函數空 間 C01 ((0, 1)) = {函數 f ( x )在每點 x ∈ (0, 1)都可微分且微分 f ' ( x )在(0, 1) 是連續函數， f (0) = f (1) = 0}。假設1 1 I (v) = ∫0 [(v' ) 2 + v 2 − 2 xe x v]dx, v ∈ C01 ((0, 1)) 。請在 C01 ((0, 1)) 函數空間中找出使 I (v) 為最小的函數 v，需要說明為什麼這個 v 使 I (v) 為最小。（提示：變分法）（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題是固定端點的變分問題：先由 Euler–Lagrange 方程式求出候選函數，再用「二次泛函的凸性」證明它確實使 I(v) 最小，兩段都要寫才拿得到滿分。

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4. 4

   求 y = y (x) 滿足 x 2 y′′ + 3 xy′ + y = (ln x) / x,  y (1) = 0, lim y ( x) = 0.  x →∞試問這樣的 y (x) 是不是唯一的？（20 分）

   （20 分）

105 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   設 A 為 n× n 矩陣，證明 A 可對角線化的充要條件是 A 擁有 n 個線性獨立的特徵向量。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   「充要條件」題要兩個方向都證：可對角化 ⇒ 有 n 個線性獨立特徵向量，以及反方向。核心工具是把 AP = PD 逐行（column）拆開來看。

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2. 2

   求 f ( x, y ) = 2 xy + 1 − ( x 4 + y 2 ) / 2 之局部極大點、極小點與鞍點。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   兩變數極值標準題：先解梯度為零找臨界點，再用 Hessian 判別式 D = fxx·fyy − (fxy)² 分類。

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3. 3

   用重積分求平面 x + 2 y + z = 2 和三座標面所夾有限立體區域的體積。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   平面與三座標面圍成的是一個四面體，先找截距畫出投影區域，再寫出重積分的上下限計算。

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4. 4

   解微分方程式： xy ′( x) = y 3 ( x) 與 y (1) = 1。若 y (1) = −1，其解又為何？（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   這是可分離變數的一階非線性方程式，解出隱式解後代初值決定常數，並注意 y² 開根號時要依初值選正負號、標出解的定義區間。

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5. 5

   求 f ( x) = 3 1 + x 對原點展開的泰勒級數一般項公式，其收斂區間為何？（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   題目函數應為 f(x) = (1 + x)^(1/3)（立方根，請對照原卷排版）。這是二項級數的典型應用：寫出一般項、用比值審斂法求半徑，再個別檢查兩端點。

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102 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   已知矩陣 A = ⎢1 0 1⎥ ，求矩陣 A 的對角化後的矩陣。（15 分）⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 0⎥⎦

   （15 分）

   參考架構・破題

   題目矩陣轉檔時第一列缺漏，從殘留的兩列 (1, 0, 1)、(1, 1, 0) 推測應為對稱矩陣 A = [[0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]]（請對照原卷）。對角化標準流程：特徵多項式 → 特徵值 → 特徵向量 → 組成 P 與 D。

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2. 2

   令η = z 2 dxdy 在 R 3 空間，並令 S 是在 R 3 空間單位球的上半球體。計算 ∫∫η =？（15 分）S ⎡1 2 2 − 1⎤

   （15 分）

   參考架構・破題

   這是 2 形式在曲面上的積分：∬_S z² dx∧dy 相當於向量場 F = (0, 0, z²) 通過上半球面的通量。取外向（朝上）定向，投影到 xy 平面的單位圓盤計算即可，也可用散度定理交叉驗算。

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3. 3

   已知矩陣 A = ⎢3 6 5 0 ⎥ 。⎢ ⎥ ⎢⎣1 2 1 2 ⎥⎦（每小題 5 分，共 10 分）

   （一）求矩陣 A 的列空間的基底。

   （二）求矩陣 A 的行空間的基底。∂u ∂ 2u

   （10 分）

   參考架構・破題

   矩陣 A = [[1,2,2,−1],[3,6,5,0],[1,2,1,2]]。依臺灣用語「列」是橫的 row、「行」是直的 column。做一次列運算化成簡化列梯形，列空間取非零列，行空間取原矩陣的樞紐行。

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4. 4

   有一熱方程式 = ，其中 t > 0 且 − ∞ < x < ∞ 。已知一開始時溫度的分布是∂t ∂x 2 u ( x,0) = 1 + cos 2 x, − ∞ < x < ∞ 。求這個問題的解。（20 分）⎧ 2 x" = −6 x + 2 y ⎫

   （20 分）

   參考架構・破題

   全實數線上的熱方程式 u_t = u_xx，初值 u(x, 0) = 1 + cos 2x 由常數與單一餘弦組成。每個 Fourier 模態 cos kx 會以 e^(−k²t) 衰減，因此答案可直接構造，再驗證即可；也可用熱核卷積推導。

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5. 5

   已知有一個系統 ⎨ ⎬ ，它一開始時的條件是⎩ y" = 2 x − 2 y + 40 sin 3t ⎭ x(0) = x' (0) = y (0) = y ' (0) = 0 。求這個問題的解。（20 分）六、已知問題 y ' '+ y = tan x 和 y (0) = 1, y ' (0) = 0 。求這個問題的解。（20 分）

   （40 分）

   參考架構・破題

   此項含兩題（原卷第五、六題各 20 分）：第五題是耦合二階系統（彈簧質點型），零初值最適合用 Laplace 轉換；第六題右式為 tan x，待定係數不適用，要用參數變異法。

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