應用數學 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 102～114 年共 12 份試卷、61 題，其中 45 題附參考答題架構。考這一科的類科：天文、氣象。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
將下列矩陣分解成上三角矩陣 L 和下三角矩陣 U 的乘積，其中 L 的對角線都是 1。（20 分）1 1 0 2 1 1 LU 3 1 1
（20 分）
參考架構・破題
本題考 Doolittle 形式的 LU 分解：A＝LU，L 為對角線全為 1 的下三角矩陣、U 為上三角矩陣（題目文字把上下寫反了，作答時依「L 對角線為 1」的慣例，L 下三角、U 上三角，並可在卷首一句話註明）。矩陣 A＝[1 1 0；2 1 −1；3 −1 −1]。
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- 2
求常微分方程式 y’’’(x)+ y’’(x)+ y’(x)+ y(x) = e-x + 4x 的通解，以實數函數表示。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題為高階常係數非齊次線性常微分方程式之求解。解題核心在於利用疊加原理，先求對應齊次方程式之特徵根以獲得實數形式齊次解，再針對非齊次項分別透過待定係數法求出特解，最後結合成完整通解。
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- 3
設曲線 C 為兩曲面 x2 + 2y2 + 2z2 = 20 與 x2 + y2 + z = 4 之交線，求 C 上一點(0,1,3) 之切線。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題考查向量微積分在空間曲線切線之幾何應用。解題核心為利用兩隱函數曲面在交點處之梯度向量分別代表其切平面法向量，交線之切線方向向量即為兩法向量之外積，最後以點向式寫出切線方程式。
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- 4
使用重積分計算單位球的表面積。（20 分）∂2 u 1 ∂u 1 ∂2 u
（20 分）
參考架構・破題
本題考查多變數微積分中利用重積分求曲面面積之計算能力。解題核心為建立曲面面積微元公式，透過投影至平面並利用極座標變換計算，或直接在球座標系下利用參數化曲面積分展開，求出單位球面面積為 4π。
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- 5
使用分離變數法求第一象限上偏微分方程 + + 2 = 0 的通解∂r2 r ∂r r ∂θ2 ( , )，其中( , )為極座標，邊界條件 ( , 0) = u(r,π/2) = 0。（20 分）提示： ( , )在原點要有定義。
（20 分）
參考架構・破題
題目為極座標 Laplace 方程 u_rr＋(1/r)u_r＋(1/r²)u_θθ＝0，定義在第一象限 0＜θ＜π/2，邊界 u(r,0)＝u(r,π/2)＝0，且 u 在原點有定義。用分離變數法把角度方向化為 Sturm–Liouville 特徵值問題、半徑方向化為 Euler（Cauchy–Euler）方程，再以原點有界條件刪去奇異解。
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112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
（一）求函數 f ( x, y ) x3 3 y 2 6 xy x 9 y 10 在點 (1, 1) 之最大方向導數（directional derivative）。（10分）
（二）求函數 f ( x, y ) x 2 y 2 2 x 2 y 12 在 x 2 y 2 4 之範圍內之最大值及最小值。（15分）1 2
（25 分）
參考架構・破題
第（一）小題考梯度與方向導數：最大方向導數等於梯度的長度，方向即梯度方向。第（二）小題是閉區域上的極值：先找區域內部的臨界點，再處理邊界（Lagrange 乘數或參數化），比較所有候選值。
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- 2
令 A ， 2 1
（一）求 P 使得 P 1 AP D ，其中 D 為一diagonal matrix。（15分） 1
（二）求初始值問題 x(t ) Ax (t ) ， x (0) 之解。（20分）1
（35 分）
參考架構・破題
A＝[1 2；2 1] 為實對稱矩陣，必可對角化。第（一）小題求特徵值與特徵向量組成 P；第（二）小題利用對角化解線性常係數微分方程組 x'＝Ax，x(0)＝(1,1)ᵀ。
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- 3
令 f ( x) x 2 ， x , ，
（一）求函數 f 之傅立葉級數（Fourier series）。（15分）
（二）求初始值問題ut ( x, t ) u xx ( x, t )，x , ，t 0，u x ( , t ) u x ( , t ) 0，u ( x, 0) x 2 之解。（25分）
（40 分）
參考架構・破題
f(x)＝x² 在 [−π,π] 為偶函數，傅立葉級數只有餘弦項。第（二）小題是一維熱傳方程配 Neumann（絕熱）邊界條件，分離變數後特徵函數正是 cos(nx)，初始條件的展開係數直接借用第（一）小題的結果。
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111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
求 a、b、c 和 d 的條件使得下列線性方程組（一）有唯一解，（二）有無窮多解，
（三）無解。（20 分）2 x y dz c x z b x y 2z a y( x)
（20 分）
參考架構・破題
方程組為 2x＋y＋dz＝c、x＋z＝b、x＋y＋2z＝a。以係數行列式與增廣矩陣的秩（rank）判斷解的情形：det≠0 唯一解；det＝0 時再看相容條件決定無窮多解或無解。
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- 2
求解微分方程式 y ( x) 的非零通解。（20 分）e2 y ( x ) 2 xy ( x)
（20 分）
參考架構・破題
方程 y'(x)＝y/(e^{−2y}−2xy) 對 y 而言非線性，但把 x 視為 y 的函數，取倒數後 dx/dy＝(e^{−2y}−2xy)/y 會變成 x 的一階線性方程，再用積分因子求解。這是「互換自變數與應變數」的典型技巧。
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- 3
設 F 及 G 為 三 維 向 量 場 ， 計 算 下 列 含 梯 度 和 旋 度 的 數 學 式 (F G ) G ( F ) F ( G ) ，並化至最簡式。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
題目要化簡 ∇(F·G)−G×(∇×F)−F×(∇×G)。這是向量分析中「點積的梯度」恆等式的移項：∇(F·G)＝(F·∇)G＋(G·∇)F＋F×(∇×G)＋G×(∇×F)，因此所求結果為 (F·∇)G＋(G·∇)F。重點在完整證明這個恆等式。
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- 4
求曲面 x 2 y 2 z 1 和 y z 1平面所夾有限立體區域的體積。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
曲面 x²＋y²＋z＝1 即旋轉拋物面 z＝1−x²−y²，平面 y＋z＝1 即 z＝1−y。先求兩者交線在 xy 平面的投影區域，再以「上曲面減下曲面」做二重積分求體積。
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- 5
求帕松（Poisson）偏微分方程 u (r , ) 的所有徑向（radial）解r c2 2 u ( r ) ，其中 c 0 為常數， (r , ) 為極坐標，2 2 2 1 1 2 2 2 2 。（20 分）x y r r r r 2 2
（20 分）
參考架構・破題
題目為二維 Poisson 方程 Δu＝1/√(r²＋c²)，c＞0。求徑向解即設 u＝u(r)，角度項消失，Laplacian 化簡為 (1/r)(r u')'，變成可直接積分兩次的常微分方程。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
科學問題應用，模擬日全蝕現象（如 2020/6/21 之日全蝕），計算日全蝕過程中於日全蝕處大氣短收直接來自太陽的能量。日全蝕過程如圖，白色圓圈為太陽、灰色圓圈為月亮，兩星球視覺半徑皆為 R。假設月亮靜止不動，太陽等速直線運動（v=2R/T），t 為時間，初虧時 t=0，食甚時t=T（兩星球完全重疊），單位時間、單位面積之太陽能量強度為 S，且假設 S 為固定值。
（一）求在 t=0～T 任意時間兩球重疊處的面積 A，θ 為重疊處之夾角，A 為θ 之函數。（10 分）
（二）求初虧到食甚過程（t=0～T）中於日全蝕地點大氣所短收直接來自太陽的能量。 （20 分）（提示：能量變化 dw=dASdt）
（30 分）
參考架構・破題
本題把日全蝕簡化為兩個等半徑 R 的圓相對移動：初虧時兩圓外切（圓心距 2R）、食甚時完全重疊（圓心距 0），太陽以 v＝2R/T 等速移動。第（一）小題求兩圓重疊（透鏡形）面積，等於兩個相同弓形面積；第（二）小題把被遮蔽面積對時間積分乘上 S，得到大氣少收到的太陽直接輻射能量。
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- 2
傅立葉級數（Fourier series）與應用：
（一）若函數 f(t)可以被展開為傅立葉級數，則 f(t)需滿足什麼條件？（10 分）
（二）若有一組觀測資料 f(t)，總共有 2N 個觀測數據，時間總長度為 T，n為特徵值，請寫出 f(t)之傅立葉級數。 （10 分）
（三）利用（二）之傅立葉級數，針對相同週期之特徵函數（特徵值為 n） ，其週期、振幅及相位各為何？（15 分）
（35 分）
參考架構・破題
本題出自氣象與天文類科之應用數學，主要測驗考生對傅立葉級數收斂條件、離散觀測資料諧波分析（調和分析）的級數表達式，以及各階特徵波分量物理量（週期、振幅、相位）的推導與定義掌握度。作答應以嚴謹的數學定義為骨架，兼顧氣象觀測資料在時序分析上的物理意涵。
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- 3
球面上兩點之間的距離：若地球半徑 R=6400 公里，在地球面上有 A、B 兩點，其經緯度各為 A（30N, 120E），B（60N, 150E） ，求在地球面上 A、B 兩點之間的距離（請寫出近似之數值） 。（15 分）提示 1：球面上兩邊夾一角求第三邊公式：cos(a) = cos(b)cos(c) + sin(b)sin(c)cos(A)提示 2：三角函數可利用泰勒級數展開得到近似值1 2
（15 分）
參考架構・破題
本題為球面三角學在大地測量與地球大圓航線距離之經典應用。解題核心在於將經緯度轉換為以北極點為頂點之球面三角形幾何參數，利用題目提供之球面餘弦定理求出兩點夾角（球心角）之餘弦值，再藉由泰勒級數展開求得弧度近似值，最後乘上地球半徑計算大圓距離。
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- 4
矩陣 A= 。2 1
（一）求 A 之特徵值（eigenvalues）及特徵向量（eigenvectors）。（10 分）
（二）將 A 對角線化（diagonalization）。（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題考查線性代數之特徵值問題與矩陣對角化。依據題面排版特徵，原試題矩陣 A 為二階實對稱矩陣，首列元素為前題末尾之「1 2」，次列元素為本題題幹之「2 1」。解題核心在於解特徵多項式求得相異特徵值與對應之特徵向量，進而構造可逆變換矩陣 P 完成相似對角化。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設a和b為實數，試求下列對稱矩陣為正定（positive definite）的充分必要條件，並證明其結果。（20分）a b b b b a b b b b a b b b b a
（20 分）
- 2
求下列微分方程系統的解。（20分）u '(t ) 2u (t ) v(t ) et v '(t ) 3u (t ) 2v(t ) et u (0) 1, v(0) 2
（20 分）
- 3
設 F 及 G 為三維向量場，證明下列散度、旋度公式。（20分） div(F G ) (curl F ) G F (curl G )
（20 分）
- 4
（一）寫出 2L 週期實函數 f ( x) 的傅立葉級數公式。（6分）L
（二）設 ( x) 為（一）中之傅立葉基底函數， ( x) 2 dx 為何？（6分）L L
（三）使用（一）計算 f ( x) 2 dx 。（8分）L
（20 分）
- 5
求下列偏微分方程的通解w。（20分） 2 2 2 2 2 2 w( x y z ) 0 2 2 2 x y z
（20 分）
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請 解 下 列 的 初 始 值 問 題 （ Please solve the following initial value problem） 。（20 分）x y ′′ + xy ′ − y = 16 x 3 , y (1) = −1, y ′(1) = 1
（20 分）
參考架構・破題
題目文字在轉檔時漏掉了次方，依題型應是柯西－尤拉（Cauchy-Euler）方程 x²y″＋xy′－y＝16x³。作法是先求齊次解，再用待定係數或參數變換法求特解，最後代入初始條件。
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- 2
請找出下列函數的傅利葉轉換（Please find the corresponding Fourier transform of the following function）。（20 分）f ( x) = kx, if a < x < b and 0 otherwise.
（20 分）
參考架構・破題
函數只在區間 (a,b) 內有值 kx、其他地方為 0，傅利葉轉換的積分範圍直接縮成 a 到 b，用一次分部積分就能算完。先寫明採用哪一種轉換的定義是關鍵。
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- 3
請解下列的線性系統（Please solve the following linear system）。（20 分）⎧ 3 x − 2 y + z = 13 ⎪ ⎨− 2 x + y + 4 z = 11 ⎪ x + 4 y − 5 z = −31 ⎩
（20 分）
- 4
請解下列的偏微分方程式。（20 分）∂ 2 u ∂u = ∂x∂y ∂x
（20 分）
參考架構・破題
方程 ∂²u/∂x∂y＝∂u/∂x 只牽涉 u 對 x 的偏導數，令 v＝∂u/∂x 就降成對 y 的一階方程，把 x 當參數解，再對 x 積分回來。關鍵是「積分常數要換成任意函數」。
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- 5
請解出下列函數以 z0 為中心的所有的泰勒級數和羅蘭級數並決定其收斂半徑（Please find all Taylor and Laurent series with center z0 of the following functions and determine their associated radius of convergence）。（20 分）z8 , z0 = 0 1− z4
（20 分）
參考架構・破題
題目函數是 f(z)＝z⁸/(1−z⁴)，以 z₀＝0 為中心。奇點是 z⁴＝1 的四個根，都在單位圓上，所以要分 |z|＜1 與 |z|＞1 兩個環域，各自用幾何級數展開。
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知矩陣方程組⎧ x1 + 2 x2 − 3 x3 = −1 ⎪ ⎨ x1 + x 2 + 2 x3 = 1 求其解。⎪x − x + 4x = 1 ⎩ 1 2 3
（一）將方程組寫成矩陣形式 AX = b。（3 分）
（二）求矩陣的特徵值和所對應的特徵向量。 （12 分）
（三）求矩陣 A 的反矩陣，並且用此反矩陣求此方程組的解。（5 分）2 log x
（20 分）
- 2
求 ∫1 ∫0 ( x − 1) 1 + e 2 y dydx 。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
依原卷，這題應是 ∫₁² ∫₀^(ln x) (x−1)√(1＋e^(2y)) dy dx。√(1＋e^(2y)) 直接對 y 積分很麻煩，標準作法是交換積分次序，先對 x 積分，再用代換 u＝e^y 收尾。
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- 3
解下列微分方程式：
（一） y′′ − 2 xy′ + 2 y = 0, y (0) = − 1 。（12 分）
（二） 3(1 + x) y′ − 2 yy′ + 3 y = 1 − 2 x, y (0) = 0 。（8 分）
（20 分）
參考架構・破題
（一）是 Hermite 方程（參數 n＝1），一眼看出 y＝x 是一個解，再用降階法或冪級數求第二個解。（二）把方程整理成 M dx＋N dy＝0 後是正合方程，可直接求位勢函數。
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- 4
使用拉普拉斯轉換（Laplace Transform）的方法解微分方程式。（15 分）⎧ y′′ + y′ = e − x sin x, ⎪ ⎨ y (0) = 0, ⎪ y′(0) = 1. ⎩
（15 分）
參考架構・破題
二階常係數非齊次方程，用拉普拉斯轉換把它變成代數方程，解出 Y(s) 後做部分分式，再利用第一平移定理逆轉換。右式 e^(−x)sin x 的轉換是 1/[(s＋1)²＋1]。
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- 5
（一）已知三角形 Δ DEF 的邊是 C，其邊上的方向性是逆時針方向。其頂點分別為 D(0,0), E(1,2)和 F(0,2)。使用格林定理（Green’s Theorem）計算 ∫ C 4 x 2 ydx + 2 ydy 。（10 分）
（二）已知向量場 F = (1 + x)e x + y i + ( xe x + y − 2 z ) j − 2 yk 。求向量場 F 的電位能（ Scalar potential）。（要先驗證其守恆性，否則不給分。） （15 分）
（25 分）
106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請先將下列二階常微分方程式轉換成一階聯立方程式系統，然後解出其通解（Please find a general solution of the given equation by first converting it to a system）。（20 分）y' ' + y' −12 y = 0
（20 分）
參考架構・破題
題目指定解法：先令 y₁＝y、y₂＝y′，把二階方程化成一階線性系統 Y′＝AY，再用特徵值與特徵向量求通解。直接用特徵方程解出來的答案只能當驗算，沒有化成系統就不符合題意。
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- 2
找 出 下 列 Sturm-Liouville 問 題 的 特 徵 值 與 特 徵 函 數 （ Please find eigenvalues and（提示：令 x = e ）（20 分）t eigenfunctions of the following Sturm-Liouville problem）。(y' /x)' +(λ + 1)y/x = 0 ， y(1) = 0 ， y(e ) = 0 3 π
（20 分）
參考架構・破題
依原卷，題目應是 (y′/x)′＋(λ＋1)y/x³＝0，y(1)＝0、y(e^π)＝0。展開後是尤拉方程，照提示令 x＝e^t 化成常係數方程，再依 λ 的正負分三種情況討論，只有 λ＞0 有非零解。
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- 3
請解出下列矩陣的行列式和反矩陣（Please find the determinant and the inverse of the following matrix）。（20 分）⎡- 1 1 2 ⎤ A = ⎢ 3 -1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ - 1 3 4 ⎥⎦
（20 分）
- 4
請解下列邊界值問題（Please solve the following boundary value problem）。（20 分）∂u 2 ∂ u =c ， u x (0, t ) = u x ( L, t ) = 0 ， u ( x,0) = f ( x) 。∂t ∂x 2其中 c 是常數而 u x = ∂u / ∂x 。
（20 分）
參考架構・破題
本題是一維熱傳導方程式 u_t = c²u_xx 配合兩端絕熱（Neumann）邊界條件，標準解法為分離變數法，結果是傅立葉餘弦級數，且含一常數項（n = 0 模態）。
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- 5
請利用divergence定理來計算下列的面積分（Please evaluate the following surface。（20 分）integral by the divergence theorem）∫∫ F．ndA ，其中 F = [x 0 z ]而 S 是由 x ≤ 1， y ≤ 3 和 0 ≤ z ≤ 2 所組成的區域的2 2 S表面。
（20 分）
參考架構・破題
本題要用散度定理（Gauss 定理）把封閉曲面的通量積分轉成體積分，對長方體區域而言體積分遠比六個面逐一計算簡單。依題目所給，F = [x², 0, z²]，區域為 |x| ≤ 1、|y| ≤ 3、0 ≤ z ≤ 2 的長方體。
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
當正數α 與 β 都極小時，請求出下列近似式。（10 分）1 β 2 α 2β 2 (1 − cos β ) ≅ + cosα 2 4
（10 分）
- 2
求出下列積分。（每小題 5 分，共 20 分）2 1
（一） ∫ (3 x 4 + x + e3 x )dx π ∫
（二） cos(3x)dx π ∫π
（三） cos3 ( x) sin( x)dx 2 1
（四） ∫ ( 2x )dx
（20 分）
- 3
一個半徑為 R 且球心在原點的球面可利用兩個變數 φ 和θ 來進行參數化表示，其中0 ≤ θ ≤ 2π ，為方位角，由正東（ + x 軸）開始往逆時針方向增加，0 ≤ φ ≤ π 為天頂角，朝正上方為 0 度，水平為 90 度，朝正下方為 180 度。v v v v此外： F = xi + yj − zk
（一）寫出 Cartesian coordinate 中的 x, y, z 與φ ,θ 的對應關係。（5 分）v
（二）求出此球面上法線向量 N 的表示式，以及在（0,R,0）這個點的法線向量。 （10 分）
（三）用此設定驗證 Gauss theorem。（10 分）sin n −1 ax cos ax n − 1（注意： ∫ sin axdx = − n + ∫ sin n − 2 axdx ，其中 a 為一正整數）na n v v v
（25 分）
參考架構・破題
本題以球座標參數化球面，求法向量，再以 F = x i + y j − z k 分別計算曲面通量與體積分，驗證 Gauss 散度定理兩邊相等（皆為 4πR³/3）。
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- 4
在二維 x-y 平面上給定向量場 F ( x, y ) = x 3i + y 3 j 。v
（一）在二維 x-y 平面上的每個象限都至少挑選一個點，繪出 F 大致的空間分布。 （5 分）v
（二）求出此向量場的輻合輻散場 D，即 D = ∇ ⋅ F ，並繪出 D 大致的空間分布。（6 分）
（三）求出 D 的梯度場，即 ∇ D ，並繪出此梯度場大致的空間分布。（6 分）
（四）說明該梯度場與 D = 常數所構成之等值線呈現何種關係。（3 分）全一張（背面）
（20 分）
參考架構・破題
本題給二維向量場 F = x³ i + y³ j，依序求散度 D、D 的梯度，並以草圖說明向量場、純量場與梯度場的空間分布，最後說明梯度與等值線正交的性質。
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- 5
求解下列微分方程式。（每小題 5 分，共 10 分）dy
（一） e x+2 y = 5x dx dy 2 x 3 − y cos(2 x)
（二） = dx 0.5 sin( 2 x)
（10 分）
- 6
給定矩陣為：⎡1 2⎤ A=⎢ ⎥ ⎣9 4⎦
（一）求出其特徵值（eigenvalues）。（2 分）⎛V ⎞
（二）設其特徵向量（eigenvectors）為 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ，求 V1 之值。（3 分）⎝1⎠
（三）請將此矩陣對角化（diagonalization）。（10 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題給 2×2 矩陣 A = [[1, 2], [9, 4]]，依序求特徵值、特徵向量（第二分量固定為 1），再以特徵向量組成 P 將 A 對角化，寫出 P⁻¹AP = D。
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
令 A = ⎢ 1 0 1 ⎥ ， B = ⎢− 1 0 − 1 ⎥ ， u = ⎢ 0⎥ ， v = ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 2 1 − 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 − 2⎥⎦ ⎢⎣− 1⎥⎦ ⎢⎣ − 1 ⎥⎦請計算出 AB, BA, vTBv, det (A2)。（20 分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
請找出下列微分方程系統的通解並決定其臨界點的型態和穩定度。（20 分）⎧ y1′ = −3 y1 − 2 y 2 ⎨ ⎩ y 2′ = −2 y1 − 3 y 2
（20 分）
參考架構・破題
本題是常係數線性齊次微分方程組 y′ = Ay，A = [[−3, −2], [−2, −3]]。以特徵值法求通解，再由特徵值的性質（或跡、行列式、判別式）判斷臨界點（原點）的型態與穩定度。
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- 3
請解下列初始值問題：y′′ + 4 y = 8 x 2 , y (0) = −3 , y′(0) = 0 。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題是二階常係數非齊次線性方程 y″ + 4y = 8x² 的初值問題：先求齊次解，再以未定係數法求特解，最後代入初始條件定常數（亦可用 Laplace 轉換）。
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- 4
請 證 明 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,L, cos nx, sin nx,L ， 這 些 三 角 函 數 （ trigonometric functions）在 − π < x < π 之間是彼此正交的（orthogonal）。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題要證明三角函數系 {1, cos nx, sin nx} 在 (−π, π) 上兩兩正交，即任兩相異函數乘積在 −π 到 π 的積分為 0。方法是用積化和差公式，搭配 sin、cos 在整數倍週期上的積分性質，分情況證明。
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- 5
請定義和解釋單位步階函數（Unit Step Function），並推導出它的拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（10 分）
（10 分）
- 6
請解下列邊界值問題：⎛∂ ∂ ⎞⎛ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ⎞ ∂ψ ∂ψ ⎜ + u ⎟⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ + β = 0， = 0 at y = ±1 and ψ (0, y ) = ψ ( L, y ) 其中 u ⎝ ∂t ∂x ⎠⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x ∂x和 β 都是常數。（20 分）
（20 分）
103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請用 Laplace 轉換求下列問題的解。（30 分） 2u 2u 2 t , x 0, t 0, t 2 x 2 u (0, t ) 0, t 0, u u ( x,0) 0, ( x,0) 0, x 0. t 4 2 2
（30 分）
- 2
已知矩陣 A 2 4 2 。 2 2 4 P 和一個對角矩陣 D，滿足 PT AP D 。（15 分）PT AP D 。（5 分）
（20 分）
- 3
已知問題 y' '2 xy'10 y 0 和 y(0) 0, y' (0) 1。求這個問題的解。（25 分） 2
（25 分）
- 4
以下列問題為例，證明 Stokes 的定理。其中向量函數為 V z i 2 xj y k 作用在單位球的上半球 S 上，其中單位球為 x 2 y 2 z 2 1。（15 分）e t dt ? （10 分） 2
（25 分）
- 5
求
102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
A = 3 i − j + 2 k ，B = i + j + 4 k 求出：（每小題 5 分，共 25 分）r r
（一）A + B r r
（二） A 在沿著 B 所指向方向的投影量
（三）此兩向量構成之三角形的面積
（四）此兩向量的夾角r r r r
（五）繪出 A − B 與 A 和 B 在空間中相對的幾何關係
（25 分）
參考架構・破題
本題是向量代數的基本運算：加法、純量投影、外積求面積、內積求夾角與幾何作圖。關鍵是內積與外積公式要寫清楚，每小題都要列出算式再給答案。A＝(3,−1,2)，B＝(1,1,4)。
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- 2
由(0, 0)到(3, 9)有兩條路徑，路徑 1 是 y = 3x，路徑 2 是 y = x2，現在有兩個向量場：r r r r r r F1 = (3x + y) i + (x + 2y) j 及 F2 = (x + y) i + (2x - y) j請問：（每小題 5 分，共 25 分）
（一）那一個向量場是保守的？也就是在兩點之間沿任意一條片段平滑（piecewise smooth）曲線的線積分其結果不變？請解釋你是如何判斷的？
（二）請將保守的這個向量場分別沿路徑 1 與路徑 2 由(0, 0)積分到(3, 9)，結果為何？是否合乎（一）中不受路徑影響的描述？
（三）求出該保守向量場的位勢函數（potential function）。
（四）利用此位勢函數計算（二）中的線積分，其結果為何？
（五）利用 Green’s theorem 計算由路徑 1 與路徑 2 所圍成區域的面積。
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
將下列函數在 x = 0 處進行泰勒（Taylor）級數展開，求出非零的前三項。（每小題 5 分，共 10 分）
（一） ln(1 + 2x)
（二） (1 + x )
（10 分）
參考架構・破題
本題考泰勒（馬克勞林）級數展開，在 x＝0 處展開即馬克勞林級數。可直接用 f⁽ⁿ⁾(0)/n! 求係數，或代入已知的標準級數（ln(1+u)、二項級數），後者較快且不易錯。
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- 4
求出下列積分：（每小題 5 分，共 10 分）
（一） ∫ (x + )dx x π
（二） ∫ [cos( x ) sin 2 ( x ) + e 2x ] dx全一張（背面）
（10 分）
- 5
求解下列微分方程：（每小題 5 分，共 10 分）y 3 dy
（一） =1+ x x dx dy 1 y 3 y
（二） = 3 + dx 2 x x
（10 分）
- 6
證明：r r r r ∫∫∫(∇f ⋅ F )dV = ∫∫ ( fF ⋅ n )ds − ∫∫∫ f (∇ ⋅ F )dV其中的三維積分是針對一封閉曲面所圍成的體積 V，二維的積分則是在此曲面上進r行的面積分， n 為曲面上的法向量。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題等號右邊是散度定理加上一項修正，本質就是三維的「分部積分」。只要先證明乘積法則 ∇·(fF)＝∇f·F＋f(∇·F)，再對 fF 套用高斯散度定理，移項即得。
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- 7
求出下列矩陣的反矩陣（inverse matrix），並驗證之（寫出計算過程）。（10 分）2 − 1 3 0 1 − 4 2 2 − 1
（10 分）
其他等別的「應用數學」
- 應用數學（地方特考三等）（14 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。