抽樣方法與迴歸分析　申論題歷屆試題與參考架構

115 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   某市政府推動智慧便民服務計畫，希望了解各行政區的線上服務使用情形、案件處理效率、服務據點配置與行政區類型，是否會影響民眾對公共服務的滿意度。變數說明如下：變數 說明民眾公共服務滿意度，0 至 100 分每千人每月線上申辦件數平均案件處理天數每萬人服務據點數一般市區：是為 1，否為 0核心商業區：是為 1，否為 0其中，偏遠地區作為基準組，因此偏遠地區之 = 0、 = 0。

   （一）市政府先以每千人每月線上申辦件數 作為自變數，解釋民眾公共服務滿意度 。建立簡單線性迴歸模型：= + + , = 1,2, … ,10其中，誤差項 相互獨立，且服從常態分配：∼ (0, )已知 10 個行政區的摘要統計量如下：= 10, = 850, = 740, = 80500, = 56410, = 66200請以最小平方法（least squares method）求出 與 的估計值，寫出配適後的簡單線性迴歸模型，並計算判定係數 ，說明其意義。 （15 分）

   （二）延續第（一）題的簡單線性迴歸模型，請建立變異數分析表，並在顯著水準= 0.05下檢定迴歸模型是否顯著。已知臨界值為： . (1,8) = 5.32（12 分）

   （三）市政府進一步同時考慮線上申辦件數、平均案件處理天數與服務據點數對滿意度的影響，建立複迴歸模型：= + + + +其中：− 80 −6 − 10 = , = , = 20 2 4令設計矩陣（design matrix）為 ，反應變數向量（response vector）為，複迴歸模型可表示為：= +且已知：0.125 0 0 0 560 ( ′ ) = 0 0.125 0 0 40 , ′ = 0 0 0.125 0 −32 0 0 0 0.125 24請利用最小平方法估計 ，寫出複迴歸估計模型，並預測某行政區在= 100、 = 5、 = 14時的公共服務滿意度。 （13 分）

   （四）市政府為了解不同類型行政區的公共服務滿意度差異，將行政區分為三類：偏遠地區、一般市區與核心商業區。其中以「偏遠地區」作為基準組，並設定兩個屬性自變數如下：1, 一般市區 1, 核心商業區= = 0, 非一般市區 0, 非核心商業區根據資料，估計得到下列迴歸式：= 46.80 + 0.32 − 1.45 + 5.20 + 10.40請解釋 5.20 與 10.40 兩個迴歸係數的意義。在控制線上申辦件數與平均案件處理天數後，核心商業區的預測滿意度比一般市區高多少分？（10 分）

   （50 分）

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2. 2

   某政府機關希望了解員工使用生成式 AI 協助公務處理的情形。研究團隊依不同部門進行分層抽樣，調查員工每週使用生成式 AI 協助公務的時數。（每小題 10 分，共 50 分）

   （一）研究團隊完成比例配置抽樣後，得到下列樣本統計量：部門 母體人數 樣本數 樣本平均數 樣本變異數行政部門 1,200 80 7.5 36技術部門 1,800 120 9.0 81服務部門 900 60 6.0 25稽核部門 600 40 8.0 64合計 4,500 300請估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並建立全機關平均使用時數的 95% 信賴區間。

   （二）研究團隊在正式抽樣前進行前測，得到各部門員工使用生成式 AI 時數的標準差如下：部門 母體人數 前測標準差行政部門 1,200 6技術部門 1,800 9服務部門 900 5稽核部門 600 8若總樣本數為 300，請使用 Neyman allocation 計算各部門建議樣本數，並說明配置結果的意義。

   （三）正式調查後，實際回收情況如下：部門 原抽樣本數 有效回覆數 回覆者平均使用時數行政部門 80 72 7.4技術部門 120 96 9.1服務部門 60 54 6.2稽核部門 40 28 7.9若原本採比例配置，各層基本權重皆為 15，請計算各部門非回覆調整後權重，並估計非回覆調整後全機關員工每週平均使用生成式 AI 協助公務的時數，同時說明若不處理非回覆可能造成的問題。

   （四）研究團隊發現，不同部門完成一份有效問卷的成本不同，資料如下：部門 母體人數 前測標準差 單位調查成本行政部門 1,200 6 1技術部門 1,800 9 2服務部門 900 5 1稽核部門 600 8 3若總調查成本限制為 500，請使用成本限制下的最適配置計算各部門建議樣本數，並說明此配置與 Neyman allocation 的差異。

   （五）若政府機關希望估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並希望在 95% 信心水準下估計誤差不超過 0.5 小時。根據前測資料，估計全體標準差為 7.5，母體總人數為 4,500。請分別計算不考慮有限母體修正與考慮有限母體修正時所需樣本數；若預估問卷回覆率為 80%，請計算原始應抽樣本數。

   （50 分）

114 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   某市政府若想估算現有樹木植栽之綠化的社區總面積（以平方公尺計） ，由於綠化面積隨社區規模大小而有很大差異，決定以社區規模先進行分層。若該市共有 280 個社區，依規模分為四類（分別為 A, B, C, D），採用比例配置（proportional allocation）法進行分層隨機抽樣得以下結果：社區規模分類（層）A B C D 96 82 62 40 16 13 10 6 183.6 383.0 590.5 772.4 1071.9 9054.8 16794.2 72376.3 N、n、i i yi與si 分別為第 i 層的母體數、樣本數、樣本平均數及樣本變異數，i=A, B, C, D。

   （一）估計該市綠化社區的總面積。（5 分）

   （二）針對小題（一）的估計結果，計算其 95%近似誤差界限。（10 分）

   （三）如果使用奈曼配置（Neyman allocation），在 5000 平方公尺的估計誤差的範圍內，求一個近似的樣本量來達到小題（二）的誤差界限。 （15 分）

   （30 分）

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2. 2

   某市政府民政局制訂抽樣計劃，藉以估算所屬某項業務的每週申辦數量。該民政局決定先對該市的 20 個行政區隨機抽出五個區，然後再自抽中的各區內的里進行隨機抽樣。此兩階段聚類樣本（two-stage cluster sample）得到以下統計結果：區 里數 抽樣里數1 45 9 102 20 2 36 4 90 16 3 22 4 69 22 4 18 4 94 26 5 28 2 120 32 yi與si2 分別為第 i 區該項業務的平均每週申辦數及樣本變異數

   （一）估算該業務平均的每週申辦數量。 （5 分）

   （二）計算 95%近似誤差界限。 （15 分）

   （20 分）

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3. 3

   某市政府工務單位欲瞭解其約聘僱人員的工作滿意度分數 Y（分數愈高滿意度愈高）之影響因素，考慮以下解釋變數：X 1 ：工作年資（年）X 2 ：薪資（千元）及學歷（分「高中及以下」 、「大專」、「研究所及以上」等三類），並定義變數如下：1 大專學歷 1 研究所及以上學歷X3   ， X4   0 其他 0 其他若蒐集 30 位約聘僱人員的資料，將 Y 對 X、 2 X 3 和X 4 進行迴歸分析，1 X、得到以下迴歸模型的估計：估計值 標準誤截距項 13.24 7.29 X1 8.69 2.56 X2 1.35 0.38 X3 4.92 2.10 X4 5.89 4.10 SST=989.7，s=4.8 SST 為總變異平方和（total sum of squares），s 為迴歸誤差之標準差的估計值。回答以下問題：

   （一）說明所建立的迴歸模型及其所需誤差的假設。（6 分）

   （二）分別說明 X 3 與 X 4 之估計的迴歸係數的意義。（6 分）

   （三）以顯著水準為 0.05，分別檢定 X 3 與 X 4 的迴歸係數之顯著性。（10 分）

   （四）寫出此配適模型的變異數分析（analysis of variance）表，並詳細說明計算過程。 （10 分）

   （五）以顯著水準為 0.05，檢定此迴歸模型之所有解釋變數的係數是否皆等於 0。（6 分）

   （六）計算調整的判定係數（adjusted coefficient of determination）。（6 分）

   （七）說明均方誤（mean squared error，MSE）的定義與意義，並計算此配適模型的 MSE 值。（6 分）附表一：α tα附表二：

   （50 分）

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• 抽樣方法與迴歸分析（地方特考三等）（8 題）