抽樣方法與迴歸分析　申論題歷屆試題與參考架構

114 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   在一地區抽樣調查 400 人，其中有 40 人使用 A 品牌手機。

   （一）試求此地區使用 A 品牌手機人數比例 p 的 95%信賴區間（註：Z 0.025  1.96 ）。（10 分）

   （二）若誤差 e  ˆp  p  0.04 ，則在 95%的信賴水準下，樣本大小 n 至少應為多少？（15 分）

   （25 分）

2. 2

   某位統計學家想估計 A 鎮居民每月生活花費。設該鎮有 N  120 鄰，此統計學家隨機抽出 n  4 鄰，再由其中抽出數戶，得資料如下：（單位：千元）每鄰戶數 M i 樣本戶數 mi yi 80 8 16 47 5 30 62 6 21 39 4 45試求：

   （一）該鎮居民每月平均生活花費 Y 的比例機率兩階段估計值。（7 分）

   （二）該鎮居民每月平均生活花費 Y 的 95%近似信賴區間。（18 分）

   （25 分）

3. 3

   統計學家對某組數據，以最小平方法所配適的迴歸線為：yˆi  ˆ0  ˆ1 x1i  n S x1 y (x  x )(y  y )其中最小平方估計式 ˆ1   i 1 1i 1 i。但實際上，反應值 (x  x ) n S x1x1 2 i 1 1i 1 yi 還會受到第二個變數 x2i 影響，因此真實的迴歸線如下：E (yi )   0  1 x1i   2 x2i在此情形下，請問以最小平方估計式 ̂1 來估計 1 的偏誤量（bias）為多少？請詳細列出偏誤量的數學式及其推導過程。（25 分）

   （25 分）

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4. 4

   簡單線性迴歸模型如下：Yi   0  1Xi  εi , i  1,, n其中εi 為 iid 且服從 N(0,σ 2 ) 。今某高中老師收集 12 位學生的英文成績（X）及數學成績（Y）如下：X 65 63 68 65 66 65 68 67 72 67 70 63 Y 63 65 71 64 68 63 65 66 70 68 69 67

   （一）請以此資料配適簡單線性迴歸模型。（10 分）

   （二）以所配適的模型，預測當學生英文成績為 69 時，數學成績為何？（5 分）

   （三）請以 α  0.05 ，進行雙尾檢定 H 0 :1  0 ， H1:1  0 。請寫出詳細檢定過程與結果（註： t10,0.025  2.2281； t11,0.025  2.2010； t12,0.025  2.1788 ）。（10 分）

   （25 分）

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113 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   有母體如下：i 1 2 3 4 yi 10 30 10 50考慮以下設計於該母體中選擇兩個樣本：將母體分為（1, 2）及（3, 4）兩組。以簡單隨機抽樣選擇一個母體單元 i，觀察得 yi。若 yi>20，則以 i 所在該組之另一單元為第二個樣本單元，反之若 yi≤20，則由另一組隨機選擇第二個樣本單元。例如若第一個被選到的單元是第 1 個單元，則下一個單元則從第 3 跟第 4 個單元中隨機選擇，若第一個被選擇到的是第 4 個單元，則第二個被選單元必須是第 3 個單元。請回答下列問題：（每小題 5 分，共 20 分）

   （一）請問單元 2 之包含機率（inclusion probability），亦即在本設計下選擇之樣本組合中包含單元 2 之機率。

   （二）若以觀察值樣本平均 y 為母體平均 µ 之估計量，請問該估計量在本設計及本母體下是否不偏？

   （三）請計算 y 之均方誤（mean squared error）。

   （四）請計算 y 之變異數。

   （20 分）

2. 2

   人行道垃圾筒的設置可以方便行人處理隨身垃圾，但也會因為附近住家丟棄居家垃圾而造成髒亂，某里長為了解里民是否贊成增設人行道垃圾筒，對里民進行一項問卷調查。該里家戶共 950 戶，居住狀況可以分為獨棟別墅 10 戶，每棟 4～5 戶之舊式公寓 50 棟共 240 戶，以及集合式大樓 4 座共 700 戶三類。抽樣設計及觀察之樣本資料彙整如下：獨棟別墅之 10 戶全查。贊成比例 0.2。以簡單隨機抽樣取出不放回選擇 5 棟舊式公寓，再調查所選公寓中之全體住戶。各樣本公寓戶數及贊成之比例如下：公寓編號 公寓戶數 贊成比例15 4 1 27 4 0.5 35 5 1 39 5 0.6 47 5 0 每座集合式大樓以簡單隨機抽樣取出不放回各選擇 20 戶。各大樓戶數及贊成之樣本比例如下：大樓編號 戶數 贊成比例1 75 0.2 2 400 0.3 3 100 0.2 4 125 0.4請回答下列問題：

   （一）請問舊式公寓住戶之抽樣設計為何？並請以不偏估計推估舊式公寓住家贊成之比例，並推估該不偏估計量之變異數估計。（12 分）

   （二）請問集合式大樓住戶之抽樣設計為何？請以不偏估計推估集合式大樓住家贊成之比例，並推估該不偏估計量之變異數估計。（12 分）

   （三）請估計本里住家贊成之比例以及該估計量在 95%信心水準下之最大誤差（z0.025=1.96）。（6 分）

   （30 分）

3. 3

   教師收集 30 位學生考試成績（Y）與讀書時間（X）資料，用以了解兩者之間的關係，得到以下的數據：30 30 30 30  x  396,  y  1,644.302,  x  5,852,  y  94, 202.131, i 1 i i 1 i i 1 i i 1 i  x * y  23, 255.832 i 1 i i

   （一）以 Y 做為應變數（dependent variable），X 做為自變數（independent variable），假設簡單線性迴歸模型為 Yi  0  1 X i   i ，其中  i 為相互獨立且具常態分配 N(0,  2 ) 的隨機誤差，試以最小平方法（least squares method）求出  0 及 1 的估計值。 （8 分）x  x * yi  y

   （二）若以 xi*  i , yi  分別做為新的自變數及新的應變數（其中sx sy x , y 為原本資料的樣本平均數， sx , s y 為原本資料的樣本標準差），建立新的迴歸模型 Yi*   0*  1* X i*   i* ，試以最小平方法求出  0* 及 1* 的估計值。（8 分）

   （三）若學生的居住地區分為北、中、南三個地區，今定義三個虛擬變數（dummy variable）D1, D2, D3，其中 D1=1 代表居住北部，D1=0 代表其他；D2=1 代表居住中部，D2=0 代表其他；D3=1 代表居住南部，D3=0代表其他。如果以 Y 做為應變數，X, D1, D2, D3 做為自變數建立複迴歸模型，請問有何問題？（4 分）

   （四）如果以 Y 做為應變數，X, D1, D2 做為自變數建立的複迴歸方程式為Y  20.03  2.02 X  1.03D1  3.12 D2 ，試求以 做為應變數，X, D2, D3 做為自變數建立的複迴歸方程式為何？（5 分）

   （25 分）

   本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

4. 4

   利用 20 個樣本，計算複迴歸模型 Y  0  1 X 1   2 X 2  3 X 3   參數估計如下：估計值（estimate） 標準誤（standard error）0 20.03 10.15 1 2.02 1.05 2 -1.03 2.01 3 3.12 1.56並計算出複判定係數（coefficient of multiple determination）為 R2=0.8。

   （一） 計 算 並 解 釋 調 整 複 判 定 係 數 （ adjusted coefficient of multiple determination）。其與複判定係數的差異為何？（8 分）

   （二）在顯著水準 α=0.05 下，試檢定 H 0 : 1   2  3  0 vs. H1 : i 不全為 0, i=1, 2, 3。（10 分）

   （三）在顯著水準 α=0.05 下，試檢定 H 0 : 3  0 vs. H1 : 3  0 。（7 分）參考之查表值：F0.05(3, 16)=3.239, F0.05(3, 18)=3.160, F0.05(3, 20)=3.098 t0.05(16)=1.746, t0.05(18)=1.734, t0.05(20)=1.725 t0.025(16)=2.120, t0.025(18)=2.101, t0.025(20)=2.086

   （25 分）

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• 抽樣方法與迴歸分析（高考三級）（5 題）