自動控制　申論題歷屆試題與參考架構

112 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   如下圖控制系統，其中 K  R ，為待設計之控制增益：

   （一）試推導從輸入 R(s)到輸出 Y(s)的轉移函數，並畫出當 K 值變化時系統之根軌跡。 （15 分）

   （二）當 K 值很大時，評估閉迴路系統的三個根的實部數值，並藉以估算系統的穩定時間。（10 分）R(s) s+1 Y(s) + - s(s2 +s − 4) s+K

   （25 分）

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2. 2

   如下圖控制系統，其中 K  R ，為待設計之控制增益：

   （一）試推導從輸入 R(s)到輸出 Y(s)的轉移函數，並決定能使此系統穩定的K 之範圍。（15 分）

   （二）當調整 K 使此系統處於臨界穩定時，系統之震盪頻率為何？（10 分）- + R(s) K Y(s) s + 2 + (s+1)2 s +2 -

   （25 分）

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3. 3

   如圖所示，質量塊 M 1 置於 M 2 上方，其間具有係數為 D1 的阻尼效應，外力 F 經由一彈簧（係數 K1 ）拉動 M 1 ，M1 另一端與牆壁間透過彈簧 ( K 2 )連接，M 2 與牆壁則由一阻尼器 ( D2 ) 連接。兩物體位移量 ( x1 , x2 ) 之座標定義分別如圖所示。x

   （一）請推導以 F 為輸入、 x1 為輸出的轉移函數 1 ( s) ，並說明改變彈簧 K1 F的值是否會影響此轉移函數的極零點位置。 （15 分）

   （二）若考慮 D1 可能趨近於零或無限大，分別寫出此系統在兩種極端條件下（ D1  0 與 D1   ）時，簡化的等效轉移函數。（10 分）x1 K1 F M1 K2 D1 M2 D2 x2

   （25 分）

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4. 4

   下圖之單位負回授架構，轉移函數 G(s) 的根軌跡圖如下方所示。

   （一）若控制器 C (s )  1，判斷此系統型態，並以漸進線法繪出此開迴路系統G(s) C (s) 之波德圖。（15 分）

   （二）欲設計此系統之控制器 C (s) 請評估能否藉由 PI、PD 或 PID 控制器使系統穩定。若皆無法達成，請建議合適的控制器 C (s ) 的設計。 （10 分）R(s) Y(s) C(s) G(s) + -

   （25 分）

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111 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   考慮控制系統的輸入為 u，輸出為 y，初始條件為零，其動態方程式表示如下列（一）與（二），寫下輸入與輸出間之轉移函數為何？

   （一） ̇ = −5 + 3 , = 7 （10 分）̇ −5 0 3

   （二） = + , = [ 7 0] （10 分）̇ 0 −1 1

   （20 分）

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2. 2

   假設有一個二階控制系統，其阻尼比（damping ratio）為 0.5，自然頻率為 100 rad/s，整體系統的 DC 增益值（gain）為 1。求此系統的單位步階響應（unit step response）。（15 分）求此系統的穩態誤差為多少？（5 分）

   （20 分）

3. 3

   下列一閉迴路系統之比例控制器為 Kp。

   （一）寫出此系統輸入與輸出之間對應的微分方程式。（4 分）

   （二）求當 Kp 分別為 3 時，畫出極零點所在的位置，以及其單位步階響應。（8 分）

   （三）求當 Kp 分別為 8 時，畫出極零點所在的位置，以及其單位步階響應。（8 分）R Y＋Kp s(s + 1)(s + 2)－

   （20 分）

   參考架構・破題

   方塊圖為單位負回饋，比例控制器 Kp 串接受控廠 1/[s(s+1)(s+2)]。三小題其實是同一條主線：先寫出閉迴路轉移函數→轉成微分方程→再以 Kp=3 與 Kp=8 求極零點並判穩定性，用極點位置反推步階響應形狀。關鍵在點出這個系統有「Kp 過大就不穩定」的臨界值。

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4. 4

   寫出下列轉移函數波德圖（Bode plot）的大小（magnitude）與相位（phase）之數學表示式，（6 分）並以漸近線（asymptote）的方式繪出波德圖。（14 分）(s + 1)(s + 10)

   （20 分）

   參考架構・破題

   本題考波德圖的基本功：把轉移函數改寫成時間常數（Bode）標準式，分別寫出大小（以 dB 表示）與相位的解析式，再用轉折頻率分段畫漸近線。原卷的分子在題目文字中已殘缺，僅存分母 (s+1)(s+10)，以下以 G(s)=K/[(s+1)(s+10)] 作答，並說明分子改變時圖形如何平移。

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5. 5

   畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡，其中 K 值為正值。（20 分）GH(s) = ( )( )( )

   （20 分）

110 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   飛機的爬升一般是由機翼（wing）與升降舵（elevator）所分別產生的力LW 與 LE 所造成的。而除了產生高度的變化以外，同時亦會使得飛機攻角（angle of attack） 隨之改變。假設升降舵與機身的夾角為 E，且在兩個角度 與 E 都很小的狀況下，可透過線性化將飛機的高度與攻角動態模式簡化成：LW尾翼 機翼水平線E機身升降舵 LE ℎ̈ = − ( − ) ̈ = ( − )− ̇上式中，所有系統參數 k1、k2、k3 與 k4 均為正實數。

   （一）推導出輸出為攻角 與輸入為 E 以及輸出為高度 h 與輸入為 E 之轉移函數（transfer function）。 （15 分）

   （二）假設升降舵與機身的夾角 E 給定一單位步階（unit step）函數，已知α (0) = h(0) = 0 ，求解 α (∞) 、 h(∞) 與 h(0) 。（15 分）

   （30 分）

2. 2

   下圖為一閉迴路控制系統之方塊圖，其中 R(s)與 Y(s)分別表示輸入與輸出。R(s) + −1 Y(s) (s + 2) 

   （一）欲使此閉迴路控制系統穩定之 K 值範圍為何？（5 分）

   （二）假設 K 為一正實數，繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus，並標示出極點（pole）plot） 、零點（zero）、根軌跡與虛數軸交會之位置、根軌跡離開實數軸的位置（breakaway point）與進入實數軸的位置（re-entry point），以及各所對應之 K 值。（20 分）

   （三）欲使此二階系統的阻尼比（damping ratio）為 0.707 時，K 值該如何設計？且此設計的系統自然頻率（natural frequency）為何？（15 分）

   （40 分）

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3. 3

   考慮以下之單一回授馬達速度控制之方塊圖。其中馬達之轉移函數為，輸入為電壓，輸出為轉速。s + 20電壓+ ( )轉速命令 馬達 轉速

   （一）給定控制器 Gc ( s ) = 1 ，則此馬達速度控制系統的頻寬 ω BW （單位為rad/sec）為何？（10 分）

   （二）給定控制器 Gc ( s ) = 1，轉速命令為一弦波（sinusoidal）500sin(ω BW t ) ，t 表示時間（單位為 sec） ，則馬達穩態（steady-state）轉速應為何？（10 分）

   （三）給定控制器 Gc ( s ) = K P + I ，如欲使馬達控制系統對於單位斜坡（unit K s ramp）輸入之穩態誤差（steady-state error）為 ，且 2%安定時間（settling time）為 0.2 秒。則此控制器該如何設計？（10 分）

   （30 分）

109 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   考慮一閉迴路系統，其開迴路轉移函數為：K(s+4)(s2 +48) KG(s)H(s)= s(s2 +16)

   （一）試繪製其閉迴路極點於實軸之根軌跡（Root Locus）。 （5分）

   （二）決定一條根軌跡之離開角（Departure Angle）與到達角（Arrival Angle），須註明極點與零點位置及 的正負號條件。（5分）

   （三）試繪製包含 可為正負值之完整根軌跡。（10分）

   （四）由羅斯表（Routh Table）決定 形成該閉迴路 BIBO 之穩定條件。 （5分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   開迴路 KG(s)H(s)=K(s+4)(s²+48)/[s(s²+16)]，極點 0、±j4，零點 -4、±j4√3（約 ±j6.93），極點數等於零點數（n=m=3），沒有漸近線。題目要依 K 正負分開畫根軌跡，最後用羅斯表驗證穩定範圍，並與根軌跡互相對照。

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2. 2

   一個不具有零點之二階系統的單位步階響應（Unit Step Response）如下圖所示：

   （一）試找出該二階系統之拉普拉斯轉換（Laplace Transform），須說明決定該拉普拉斯轉換的理由。（15分）

   （二）試決定該二階系統之單位斜坡響應（Unit Ramp Response）之時間函數。（10分）0 2 4 6 8 10 Time (second)

   （25 分）

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3. 3

   如下圖所示，有兩個質量滑塊滑行於無摩擦力平面上，兩質量滑塊間有一彈簧牽住，第一個質量滑塊與牆壁間亦有一彈簧，各滑塊係於各彈簧無預力時之初始位置，其中第一個質量滑塊被其下方之線性馬達驅動滑行，其位置命令為x1,cmd，並以單位負回授方式比較與實際位移x1 間之差異，再以比例控制增益 K 調整該線性馬達出力 F。

   （一）試繪製x1,cmd 為輸入且x1 為輸出時之方塊圖。（10分）

   （二）試推導x1,cmd 為單位步階函數時之穩態誤差。（15分）線性馬達

   （25 分）

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4. 4

   考慮一閉迴路系統，其開迴路轉移函數為：-(20+j10ω) G ( jω)H( jω)= 3+ω2 +2jω

   （一）試繪製波德圖（Bode Plot） 。（10分）

   （二）試繪製奈氏圖（Nyquist Plot）。 （15分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   題目的分母印成「3+ω²+2jω」，以 s 表示應是 s²+2s+3（代入 s=jω 為 3-ω²+2jω），即 GH(s)=-10(s+2)/(s²+2s+3)。關鍵是負號：它在所有頻率都多貢獻 ±180° 相位，奈氏圖會因此包圍 -1。

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108 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   考慮一個系統是由 3 y(t ) + 2 y (t ) + 2 y (t ) = u (t ) 所描述，請以方塊圖（block diagram）中的積分方塊 ( ) 來表示此系統中 u (t ) 、 y(t ) 、 y (t ) 、 y(t ) 之間s的關係，將系統的方塊圖畫出來。（20 分）

   （20 分）

2. 2

   使用一個用來揚升重物的滑輪如下圖(a)，若滑輪與轉軸的轉動慣量為J，滑輪的半徑為 R，軸承的阻尼係數為 B。

   （一）請推導本系統從輸入扭力τ (t ) 到輸出角度θ (t ) 之間的動態方程式。（10 分）

   （二）若將此滑輪用來揚升一個質量為 M 的重物如下圖(b)所示，在絞索的質量可忽略且無長度之延展性下，請推導此系統從輸入扭力τ (t ) 到輸出位置 y(t ) 之間的動態方程式。（10 分）B θ (t ) J τ (t ) B θ (t ) J y (t ) M τ (t ) (a) (b)

   （20 分）

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3. 3

   請用近似曲線描繪系統10( s + 1) G(s) = 10 1 21 1 2 1 ( s 2 + s + 1)( s + s + 1) 20 20 1600 400的波德圖（Bode plot）。（20 分）

   （20 分）

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4. 4

   下圖之系統中，G ( s) = s (3s 2 + 7 s + 2)請描繪其受控系統的奈氏圖（Nyquist plot），並藉以分析維持系統穩定的 K 值之範圍。（20 分）1 K 1 3 0 .2 2 1 s + s +s y(t) u(t) 100 10

   （20 分）

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5. 5

   考慮系統轉移函數為G ( s) = s ( s + 50)吾人以一個領先補償器（lead compensator）s+5 C ( s) = K s+2來改變系統的動態，請描繪該系統的根軌跡圖（root locus plot），計算其根軌跡有幾條分支？分離點（breakaway point）在那裡（其中一個分離點在–10）？並分析使閉迴路系統維持穩定的 K 值範圍，當 K 值逐漸趨近極大的時候閉迴路系統的主要動態會如何表現？（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   題目印刷有缺字，依「分離點之一在 -10」反推，開迴路應為 L(s)=K(s+5)/[s(s+50)(s+2)]（G=1/[s(s+50)]，補償器零點 -5、極點 -2）。作答依序算分支數、實軸段、漸近線、分離點、羅斯穩定範圍，最後討論 K→∞ 的極點位置。

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107 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   對於如下圖之單位負迴授系統，且 K ≤ 0，E(s) s (s2 + 2s + 2) ( + 1) C(s) R(s) a K (0.5s2 + s)當 a → ∞ 時，

   （一）靜態速度誤差係數（static velocity error coefficient）為何？（5 分）

   （二）根軌跡圖之離開角（departure angle）或進入角（arrival angle）為何？（5 分）

   （三）試繪製該閉迴路系統之根軌跡圖（root locus plot） ，該根軌跡圖與虛軸是否有交點。 （5 分）

   （四）依據羅氏穩定性法則（Routh stability criterion） ，該迴授系統為穩定之K 值範圍為何？（5 分）

   （五）當 a 為有限負實數，是否可經由調整 a 獲得 BIBO 穩定之閉迴路響應，並請說明理由。（5 分）

   （25 分）

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2. 2

   如圖所示之電動車用之輪轂直流馬達（Hub motor）車輪，欲達成速度控制時：

   （一）試推導其輸入電樞電壓 Ua（Volt） 、反電動勢 Ea（Volt）與輸出電樞電流 Ia （ Ampere ） 間 之 轉 移 函 數 方 塊 圖 （ Transfer Function Block Diagram）。（5 分）

   （二）試說明在僅有拆卸工具、重量計與量尺的條件下，如何量測該輪轂馬達車輪之慣性矩 Jm（moment of inertia）。 （5 分）

   （三）試說明在僅有轉速計與計時器的條件下，如何求取無馬達作用時之車輪時間常數 Tm（Time constant）。（5 分）

   （四）試推導其輸入速度命令（m/sec）與輸出車輪轉速（rpm）間之轉移函數方塊圖。（10 分）

   （25 分）

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3. 3

   對於如下圖之單位負迴授系統，4000(5s + 1) C(s) R(s) ( s + 2)( s − 100)( s + 2000)

   （一）試說明轉移函數 G(s) 之直流增益（DC gain） 。（5 分）

   （二）試 繪 製 轉 移 函 數 G(s) 之 波 德 圖 （ Bode Diagram ）， 頻 率 範 圍 為10-1~104 radian/sec。（10 分）

   （三）試依據奈氏（Nyquist）穩定性法則，說明該單位負迴授系統之穩定性。（10 分）

   （25 分）

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4. 4

   當一系統被假設為一線性非時變系統（Linear time-invariant system） ，於t = 0 時提供一個單位脈衝輸入（Unit impulse input）r1(t)後，獲得一輸出c1(t)，其中－T ≤ t ≤ T 且 T = 100 sec，試說明：

   （一）單位脈衝函數 δ(t)（unit impulse function）之定義。（5 分）

   （二）如何由拉式轉換（Laplace Transform）證明兩個單位步階函數 us(t)（unit step function）可組成一單位脈衝 δ(t)。（10 分）

   （三）若系統屬一線性非時變系統，則對於一任意輸入 r(t)，如何計算其輸出 c(t)？（5 分）

   （四）若系統屬一線性非時變系統，可由該單次實驗所計算輸出 c(t)之限制條件為何？（5 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題考線性非時變系統的核心觀念：脈衝響應 g(t) 完整描述系統，任意輸入的輸出就是輸入與 g(t) 的摺積。最後一小題要點出「只量了 -T～T 的資料」與實驗假設所帶來的限制。

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106 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   考慮一單輸入單輸出（single-input single-output）系統。

   （一）當輸入為一單位脈衝（unit impulse）時，已知其輸出響應（response）為 5e−t − 4e− 2t 。此系統之轉移函數（transfer function）為何？（10 分）

   （二）當輸入為 sin 2t 時，計算當時間趨近於無限大時的輸出響應為何？（10 分）s+K 2

   （20 分）

   參考架構・破題

   脈衝響應的拉式轉換就是轉移函數；正弦穩態響應則用頻率響應 G(jω) 的大小與相位直接寫出，前提是系統穩定。

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2. 2

   下圖為一閉迴路控制系統，其中已知 G ( s ) = 與 H (s) = 。s ( s + 2) s+5 + Y(s) R(s) G(s) - H(s)

   （一）欲使此閉迴路控制系統穩定之 K 值範圍為何？（10 分）

   （二）繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole）、零點（zero）、漸近線（asymptote）、漸近線與實數軸交會之位置、根軌跡與虛數軸交會之位置，以及根軌跡離開實數軸的位置（breakaway point）。（20 分）Y (s) 50 − s

   （30 分）

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3. 3

   已知一系統之轉移函數為 = G (s) = ，其中 R( s ) 與 Y ( s) 分別表示輸入與R(s) ( s + 5) 2輸出。

   （一）運用終值定理（final value theorem）以及初值定理（initial value theorem） ，計算出當輸入為一單位步階（unit step）函數時，輸出響應 y (t ) = ℒ 1 {Y (s)}之 y(∞)、 y ′(0) 與y ′′(0) 。其中ℒ 1 表示反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）。（15 分）

   （二）繪出當輸入為單位步階函數時之輸出響應。（10 分）

   （25 分）

4. 4

   考慮一單位負回授（unity negative feedback）控制系統，其開迴路（open loop）轉移K函數為 。( s + 1)( s + 4)

   （一）欲使此控制系統對於步階輸入之穩態誤差（steady state error）為其步階輸入值之5%，K 值應如何設計？（5 分）

   （二）欲使此控制系統之阻尼比（damping ratio）為 0.707，K 值應如何設計？（10 分）

   （三）欲使此控制系統之相位邊界（phase margin）為 45°，K 值應如何設計？（10 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   同一個開迴路 K/[(s+1)(s+4)]（零型系統）分別用穩態誤差、時域阻尼比與頻域相位邊限三種規格設計 K，三題各自獨立，重點是公式正確與計算乾淨。

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105 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   下列一閉迴路系統之比例控制器為 Kp。

   （一）寫出此系統輸入與輸出之間的轉移函數（transfer function），與其對應的微分方程式。（5 分）

   （二）求當 Kp 分別為 2、20 時，若以一個標準二階機械系統來看，其阻尼比分別為多少？（10 分）

   （三）若輸入(r(t))是一個脈衝輸入，Kp 分別為 2、20 時，其最終的響應值為何？（5 分）

   （四）若輸入(r(t))是一個單位步階輸入，Kp 分別為 2、20 時，其最終的響應值為何？（5 分）＋ 10 R Kp s + 6s + 10－ Y

   （25 分）

   參考架構・破題

   受控體 10/(s²+6s+10) 串接比例控制器 Kp、單位負回授，求閉迴路轉移函數，再以標準二階形式 ωn²/(s²+2ζωns+ωn²) 比較 Kp 對阻尼比與穩態值的影響。

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2. 2

   考慮如下圖之閉迴路控制系統

   （一）請推導出此系統從輸入 R(s)到輸出 Y(s)的轉移函數（transfer function）。（15 分）

   （二）若 KV、KP、KI 分別為 1、1、1，試問此系統暫態解其根的位置之分布如何？此系統是否穩定？（10 分）s R +- KV +- ++ KP ++ 1/s 1/s Y 1/KIs

   （25 分）

   本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

3. 3

   （一）求下列系統在輸出的穩定需求條件下，K 值的範圍，其中 K 值為正值。（5 分）

   （二）畫出根軌跡圖。（15 分）

   （三）當系統的輸出響應要求阻尼比為 0.5 的條件下，求 K 值為多少？（5 分）4K R +- G(s) = Y ( s − 2)( s + 5)

   （25 分）

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4. 4

   以漸近線（asymptote）的方式繪出下列轉移函數的波德圖（Bode plot）。（25 分）2(1 + 0.1s) s(1 + 0.01s)(1 + 0.001s)(1 + 0.0005s)

   （25 分）

   參考架構・破題

   G(s)=2(1+0.1s)/[s(1+0.01s)(1+0.001s)(1+0.0005s)]，已是時間常數形式，增益 2、一個積分器、轉角頻率 10（零點）、100、1000、2000 rad/s（極點）。依轉角頻率由低到高逐段改變斜率畫漸近線。

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104 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   下圖系統中輸入信號是傳給輪軸的扭力 T(t)，輸出是輪軸中心的位移 x(t)，輪子的質量是 mw、轉動慣量是 Iw，輪子半徑是 R，Ff(t)是地面的摩擦力。假設輪子與地面無滑差（純滾動摩擦） ，請推導從輸入 T(t)到輸出 x(t)之間的數學動態方程式。（20 分）T(t) x(t) R Ff(t) mw

   （20 分）

   本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

2. 2

   考慮下圖的質量－彈簧系統，假設輪子與地以及兩台車之間的輪子都無摩擦，請推導輸入 F(t)到輸出 y(t)= x2(t)之間的轉移函數（transfer function）。（20 分）x1(t) F(t) x2(t) m1 K m2

   （20 分）

   本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

3. 3

   有一個一階系統以 PI 控制器控制如下圖，請計算控制器的比例與積分增益 KP 與 KI，使得閉迴路系統響應的包絡線（envelope）快於 y d (t ) = e − 2t y (0) ，同時振動頻率越低越好。（20 分）U(s) 3 Y(s) + KP + - s + 100 KI s全一張（背面）等 別：三等考試

   （20 分）

   本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。

4. 4

   請估計下列波德圖（Bode Diagram）所代表的轉移函數（Transfer Function）。（20 分）Bode Diagram Magnitude (dB) -20 -40 -60 -80 Phase (deg) -45 -90 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 Frequency (rad/s)

   （20 分）

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5. 5

   高階的伺服平台常會使用氣浮軸承以致其固態運動模式（rigid body mode）極為明顯，再加上馬達驅動器的一部分電路動態就成了以下式所表示的系統：G(s) = 2 s ( s + 500)此系統有三個極點，且其中有兩個在原點處，其波德圖如下圖所示：Bode Diagram Magnitude (dB) -50 -100 -150 -200 -180 Phase (deg) -225 -270 101 102 103 104 Frequency (rad/s)請問以吾人熟悉的相位領先或相位延後控制器（lead/lag compensator）有沒有可能達成穩定的閉迴路控制？若有，請設計並計算一個可穩定的控制器。 （20 分）

   （20 分）

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103 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   考慮如下圖之閉迴路控制系統：計算從輸入 R(s)到輸出 Y(s)的轉移函數（transfer function）。（15 分）計算此系統之主極點（dominant poles）位置，以及其對應的阻尼比（damping ratio, ）與自然頻率（natural frequency, n）。（5 分）計算此系統單位步階響應（unit step response）之穩態誤差（steady state error）。（5 分）- - R(s) + + Y(s) 1 1 s + s s+1 + + 3s + - s

   （25 分）

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2. 2

   考慮下列電路如圖(a)所示，兩個電容之電容值均為 2Farad（法拉）：Y ( s)計算從輸入 u 到輸出 y 的轉移函數（transfer function） G ( s )  。 （10 分）U ( s)假設此系統 G(s)將以單位回授進行控制，如下圖(b)所示，當輸入為單位斜坡函數（unit ramp function）時，計算此系統之穩態誤差。（10 分）5 分）C1 C1 2μ 2uFF R1 R1 L1 y(t) L1 r(t) uu 200Ω 200 0.5 0.5HH y G(s) - y + + + R2 R2 C2 C2 Ω 500500 2uF 2μ圖(a) 圖(b)（背面）等 別： 三等考試

   （20 分）

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3. 3

   考慮下圖的單位回授控制系統，K 與 a 均為正實數：探討能使此系統穩定之 K 與 a 的條件。（15 分）若欲改善此系統之暫態響應，使最大超越量降低，請問若只調整 K，應將 K 增加或減少？若只調整 a，應將 a 增加或減少？（5 分）請以根軌跡的分析說明，此系統無論 a 的值為何，K 趨近無限大時系統必然不穩定。（5 分）R(s) K ( s  a) 4 Y(s) + - ( s  6) s ( s  2 s  4)

   （25 分）

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4. 4

   考慮下圖的比例控制之單位回授架構，K 為比例控制器增益。以漸近線法粗略繪製開迴路系統之波德圖。（10 分）估計此系統之相位邊際（phase margin）與增益邊際（gain margin）。（5 分）若穩態誤差要求須小於 0.02（輸入為斜坡函數時），計算所需的 K 值。請判斷此時閉迴路系統是否仍為穩定。（5 分）為改善相位，控制器中若增加一右半平面極點，例如 ，將可大幅提升相位角，s 1看似對系統暫態響應有利，請指出此設計不恰當的理由。（5 分）R(s) s  10 Y(s) K + - s( s  1)( s  4)

   （25 分）

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102 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   對於下圖所示電路：

   （一）推導電路的傳遞函數（transfer function）。（10 分）

   （二）依據傳遞函數分析此電路在工程上的用途。（10 分）R1 R2 e1(t) e2(t) C

   （20 分）

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2. 2

   某控制系統補償器（compensator）之波德圖（Bode diagram）如下圖所示，隨著線段標註的數字 0, -20, 20, 0 都表示線段的斜率。

   （一）請根據該圖寫出該補償器的中文和英文名稱。（10 分）

   （二）該補償器的功用有那些？（5 分）

   （三）根據該圖寫出直流增益（DC gain）之大小。（5 分）dB 20 log a0 -20 0 ω Phase 0 ω

   （20 分）

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3. 3

   已知開路傳遞函數：K ( s + 1) G (s) = s ( s − 1)( s 2 + 4 s + 16)

   （一）繪出根軌跡圖（root locus）。（10 分）

   （二）求能使系統穩定的 K 範圍。（10 分）全一張（背面）等 別： 三等考試類 科： 機械工程

   （20 分）

   參考架構・破題

   G(s)=K(s+1)/[s(s-1)(s²+4s+16)] 是含右半面開迴路極點的條件穩定系統：K 太小時有一個極點留在右半面，太大時複數分支又跨到右半面，穩定範圍是一段區間，需用根軌跡規則加羅斯表求出。

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4. 4

   對於一控制系統，性質表示成微分方程式：d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) du (t ) + 6 2 + 11 + 6 y (t ) = + 4u (t ) dt dt dt dt其中 u 是輸入， y 是輸出：

   （一）請寫出傳遞函數（transfer function）。（10 分）

   （二）寫出狀態方程式（state equation）和輸出方程式（output equation）。（10 分）

   （20 分）

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5. 5

   對於下圖所示控制方塊圖（control block diagram）：

   （一）推導出傳遞函數（transfer function）Y(s)/T(s)的表示式。（10 分）

   （二）T(s)通常可能代表的物理意義是什麼？列舉兩個例子。（10 分）T(s) R(s) 3 1/(s+1) Y(s) 9.5

   （20 分）

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其他等別的「自動控制」

• 自動控制（高考三級）（46 題）