自動控制 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 102～112 年共 11 份試卷、46 題，其中 23 題附參考答題架構。考這一科的類科：機械工程。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
圖一為一控制系統方塊圖，其中r(t)為輸入，y(t)為輸出。（每小題10分，共30分）圖一
（一）假設K = 1且輸入為ㄧ單位步階（unit step）函數，求解輸出y(t)。
（二）假設K = 1，求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。
（三）如欲使此系統之相位邊界（phase margin）為135°，比例控制器K值該如何設計？
（30 分）
參考架構・破題
先看清圖一：加總點兩個輸入都是「＋」，這是正回授系統。閉迴路轉移函數為 Y/R＝G/(1−G)，G＝2K/(s+1)，化簡得 Y/R＝2K/(s+1−2K)，閉迴路極點 s＝2K−1，K＞1/2 即不穩定。三小題都要從這個正回授的事實出發。
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- 2
圖二為一典型的倒單擺系統，包含台車、支桿、與一個位於支桿頂端的重物。F是施加於台車的力，倒單擺支桿與垂直地面的夾角為θ，而x表示台車的位移。圖二經過簡化後，假設此倒單擺系統的動態方程式可表示成：0.1 ̈ − 0.01 ̈ = 0.2 ̈ − 10 = ̈
（一）求解此系統之轉移函數（transfer function） ，ℒ { }/ℒ { }，其中ℒ代表拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（10分）
（二）繪出此系統（輸入為F，輸出為）之波德圖（Bode plot）以表示其之頻率響應。波德圖應包含以分貝（dB）為單位之增益（gain）圖與相位（phase）圖兩個部分。（20分）
（30 分）
參考架構・破題
題目給的簡化動態方程式為 0.1ẍ−0.01θ̈＝F、0.2θ̈−10θ＝ẍ。關鍵是消去 ẍ 得到 θ 與 F 的單一方程式，再做拉氏轉換；倒單擺有一個右半面極點，是典型不穩定系統，波德圖要特別處理不穩定極點的相位。
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- 3
考慮一單位負回授（unity negative feedback）閉迴路（closed-loop）控制系K ( s 4)( s 5)統，其開迴路（open-loop）轉移函數為 。s2 4
（一）欲使此閉迴路控制系統穩定之K值範圍為何？（5分）
（二）設定K為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot） ，並標示出極點（pole）、零點（zero） 、根軌跡與虛數軸交會之位置、根軌跡離開實數軸的位置（breakaway point）與進入實數軸的位置（re-entry point），以及各所對應之K值。 （20分）
（三）如欲使此閉迴路控制系統對於步階輸入之2%安定時間（settling time）為2秒，則K值該如何設計？且此設計下控制系統的阻尼比（damping ratio）應為何？（10分）
（四）如欲使此閉迴路控制系統對於步階輸入之穩態誤差（steady state error）為-10%，則K值又該如何設計？（5分）
（40 分）
參考架構・破題
開迴路轉移函數為 K(s+4)(s+5)/(s²−4)（轉檔遺失符號；依題目要求同時有分離點與進入點判斷分母為 s²−4，請對照原卷）。閉迴路特性方程式 (1+K)s²+9Ks+(20K−4)＝0，四小題都由這條式子展開。
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111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
對於一轉移函數， G ( s) 2 ：R( s) ( s 1)( s 3)
（一）當輸入 r (t ) 為單位脈衝函數，試推導其輸出 c(t ) 之時間函數，並說明該輸出為何會振個不停。（10 分）
（二）當輸入為 r (t ) (t ) t ，試推導其輸出 c(t ) 之時間函數，並說明該輸出為何會不振。（15 分）
（25 分）
- 2
對於如一單位負回授系統，輸入為單位步階函數（unit step function）：控制器( R(s) ( ) K(( s + E(s) z)) 5 5 ( ) C(s) s +p s + 10 100 10s − 100
（一）於 p z 時，穩定條件為何？自然振頻（natural frequency） n 為多少赫茲（Hz）？阻尼比（damping ratio） 為何？其 2%安定時間（settling time）4.5 ts 為多少秒？（10 分）n
（二）於 z 1且 p 2 時，該系統之穩定條件為何？（10 分）
（三）於 z 1且 p 2 時，該控制器之名稱為何？其穩態誤差 ess (t ) 為何？（5 分）
（25 分）
- 3
對於一個單位負回授系統（negative unity feedback system） ，其開迴路轉移函s2 s數（open-loop transfer function）為 KG( s) ，且 G ( s ) 2 ，對於其閉s 7 s 12迴路極點根軌跡（root-locus）之分離／重合點（breakaway/break-in points）d的求解方程式為 G ( s ) 0 ：ds
（一）試證明該求解方程式為正確。（10 分）
（二）試求該開迴路轉移函數之極零點。 （5 分）
（三）試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分）
（四）試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。 （5 分）
（25 分）
參考架構・破題
開迴路 KG(s)，G(s)＝(s²+s)/(s²+7s+12)（轉檔遺失符號，依分離點方程式算出整齊解判斷，請對照原卷）。本題考根軌跡分離／進入點條件 dG/ds＝0 的推導與應用，先證明再計算。
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- 4
一個機械系統，經由拉式轉換（Laplace transform）後：（每小題 5 分，共 25 分）
（一）對一質量 M 施力 F ( s ) 時，試繪製該施力 F ( s ) 與質量速度 V ( s) 間之方塊圖。
（二） 一 總 合 施 力 R( s) 減 去 阻 尼 摩 擦 力 D( s) cV ( s) 等 於 對 質 量 的 施 力F ( s )， 為阻尼常數，試繪製該總合施力 R( s) 與質量速度V ( s) 間之方塊圖。
（三）試繪製如前述質量速度V ( s) 與該質量的位移 X ( s) 間之方塊圖。
（四）試繪製以輸入電壓U (s ) 之 k 倍比例得到總合施力 R( s) 輸出的方塊圖。
（五）輸入位移命令 Y ( s) 與該質量位移 X ( s) 的差異得到前述電壓U (s )，試繪製一完整由輸入位移命令 Y ( s) 至該質量位移 X ( s) 之系統方塊圖。
（25 分）
參考架構・破題
本題是由牛頓第二定律一步步組裝方塊圖：質量→阻尼內迴路→積分得位移→放大器→位置回授，最後化簡出二階位置控制系統。五小題環環相扣，每一步的方塊與訊號名稱都要標清楚。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如下圖馬達控制系統，受控馬達之轉移函數 G ( s ) ，其輸入為0.1 s 1電樞電壓，輸出為轉速。馬達角度由一可變電位計量測，其轉移函數為 Kt =2 V/rad。
（一）僅使用比例控制，設計 KP 以使系統之阻尼比為 0.5，此時系統之自然頻率為何？此系統進行定位控制與定速控制時，分別能否達到穩態誤差為零的要求？請說明其原因。（15 分）
（二）若使用者要求系統自然頻率至少須為 20 rad/sec 且阻尼比維持 0.5，試提出新的控制器設計以達其要求。（10 分）r 馬達 控制器+ KP G(s) -可變電位計Kt=2
（25 分）
參考架構・破題
馬達 G(s)＝10/(0.1s+1) 輸出轉速 ω，經積分器 1/s 得角度 θ，由電位計 Kt＝2 V/rad 負回授。先寫出閉迴路轉移函數，與二階標準式比對設計 KP；（二）要說明純比例控制無法同時調整 ζ 與 ωn，需改用 PD 控制。
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- 2
考慮下圖之控制系統，a 與 K 為待設計之控制參數，試化簡方塊圖以求Y ( s)得轉移函數 ，並判斷能使系統穩定之 a 與 K 之條件。此系統之直流R( s )增益對 K 的靈敏度為何？對 a 的靈敏度在何條件下為最高？（25 分）- Y(s) R(s) 1 + K + s+a s2 - - 1 19
（25 分）
參考架構・破題
依原卷方塊圖：R 經第一加總點（減去 Y，並減去第二加總點的輸出）→1/(s+a)→第二加總點（減去 2Y）→K/s²→Y。先列訊號方程式化簡出 Y/R，再用 Routh 判穩定，最後以直流增益求靈敏度。
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- 3
如下圖左方之控制系統架構， G ( s) ，與 H ( s ) 。s 2 6s 20 s 1
（一）為判斷系統型態，請計算系統於單位負回授下之等效轉移函數 Ge(s)，如下圖右方，並據以判定系統型態為何。（15 分）
（二）請使用漸近線（asymptote）技術繪出 Ge(s)之近似波德圖之大小增益部分（無須繪製相位圖）。 （10 分）R(s) Y(s) R(s) Y(s) G(s) Ge(s) + + - - H(s)
（25 分）
參考架構・破題
G(s)＝1/(s²+6s+20)、H(s)＝−19/(s+1)（注意 H 是負值）。先求閉迴路 T＝G/(1+GH)，再令 T＝Ge/(1+Ge) 反求等效單位回授 Ge＝T/(1−T)，由 Ge 在原點的極點數判系統型態，最後畫 Ge 的漸近波德圖。
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- 4
單位負回授之架構下，一系統之轉移函數為 G ( s) ，若欲s( s 2 4s 28)設計一 PD 控制器 C ( s ) (1 Ks ) 以進行補償，請畫出閉路系統之根針對K 值變化而產生之根軌跡，並說明為何無論 K 之值為何，此系統皆無法穩定。（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
G(s)＝32/[s(s²+4s−28)]，C(s)＝1+Ks。把特性方程式改寫成以 K 為增益的根軌跡形式，再用 Routh 判穩定。依原卷印出的數字推導，結果是 K＞9/8 時穩定，與題目「無論 K 為何皆無法穩定」的敘述不一致，作答時要誠實呈現計算並指出。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
以馬達驅動一個半徑為R的滑輪，馬達轉子與滑輪的合併慣量為J，電梯軸承的線性阻尼係數為B，電梯此時的質量為M。
（一）請推導電梯從馬達出力 τ 到電梯位置y之間的動態方程式。（10分）
（二）請推導電梯從馬達扭力Τ(s)到電梯位置Y(s)之間的轉移函數（transfer。（10分）function）J ,
（20 分）
參考架構・破題
本題是機電系統建模：把馬達轉動（扭力、角度）與電梯直線運動（力、位移）用滑輪半徑 R 連起來，先列兩個子系統的運動方程式，再消去鋼索張力，最後取拉氏轉換得到 Y(s)/T(s)。
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- 2
請推導下面方塊圖從R(s)到Y(s)的轉移函數。（20分）
（20 分）
- 3
一系統的轉移函數為 G ( s ) ，請設計一個比例控制器 Gc ( s) K p s 0.5s 1來調整系統的閉迴路響應，使得閉迴路系統的阻尼函數為0.5。（20分）
（20 分）
- 4
不穩定系統的轉移函數為 G ( s ) ，若吾人以一個PD控制器 s 1 s 2 Gc ( s) K p s 1 來控制此系統。
（一）請計算本系統穩定之Kp範圍。 （10分）
（二）當系統在穩定邊界狀態時，系統的振動頻率為何？（10分）16 s 1
（20 分）
- 5
考慮系統特徵方程式為1 K 0 ，請以羅氏分析決定可使系s 4s 4 s 4 3 2統穩定的K值範圍。（20分）
（20 分）
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
下圖為一系統方塊圖，其中 V 為輸入，D 為外來干擾（disturbance），X2為輸出， K1 、 K 2 與 K 3 為增益（gain）。X1 V K1 G1(s) K3 G2(s) X2 D sK2
（一）假設 D 為 0，解出 X 2 / V 之轉移函數（transfer function）。 （10 分）
（二）假設 V 為 0，解出 X 2 / D 之轉移函數。（5 分）1 1
（三）給定v(t ) = -1 {V (s)} 為一常數V0，G1 ( s ) = ，以及G2 ( s ) = ，s ( J1s + B ) J 2s 2 -1其中 表 示 反 拉 普 拉 斯 轉 換 （ inverse Laplace transform ）。 欲 使X 2 ( s) = 0 ，則 d (t ) = -1 {D(s)}與 x1 (t ) = -1 {X 1 (s)}應各為何？（10 分）b
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
考慮一單位負回授控制系統，其開迴路轉移函數為 。已知此系統之s−a相位邊界（phase margin）為 60°。
（一）求解此系統之增益邊界（gain margin） ，以分貝（dB）為單位。（15 分）
（二）如果已知轉移函數中參數 a 為 3，則參數 b 以及此控制系統之增益交越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分）Y (s) b
（25 分）
- 3
已知一系統之轉移函數為 = ，其中 R (s ) 與 Y (s ) 分別表示輸入R( s) s( s + a)與輸出。
（一）當輸入為sin 10 t 時，系統之穩態（steady state）輸出為 2 cos(10t + 135°) 。求解系統轉移函數之參數 a 與 b 之值。（10 分）
（二）當輸入為 cos 20t 時，求解當時間趨近於無限大時，此系統之穩態輸出響應。（9 分）
（三）求解此系統之單位步階（unit step）響應。（6 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考頻率響應（正弦穩態）與時域響應。由題目殘留的式子判讀轉移函數為 G(s) = b / [s(s + a)]；先用「輸出振幅比＝|G(jω)|、相位差＝∠G(jω)」反推 a、b，再套到新頻率，最後用部分分式求步階響應。
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- 4
考慮一單位負回授（unity negative feedback）閉迴路（closed-loop）控制K系統，其開迴路（open-loop）轉移函數為 2 。( s + 2s + 2)( s + 4)
（一）欲使此閉迴路控制系統穩定之 K 值範圍為何？（10 分）
（二）設定 K 為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole） 、零點（zero） 、漸近線（asymptote） 、漸近線與實數軸交會之位置、根軌跡與虛數軸交會之位置、離開角（departure angle），以及各所對應之 K 值。（15 分）
（25 分）
參考架構・破題
開迴路 G(s) = K / [(s² + 2s + 2)(s + 4)]，三個極點、無零點。先用羅斯準則求穩定範圍，再依根軌跡繪製規則逐項標出漸近線、虛軸交點與離開角。
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
如下圖左之線性系統中，其中u(t)為輸入，c(t)為輸出，g(t)為系統轉移函數，如果系-3t統初始為靜止，而輸入u(t)=1時之系統輸出c(t)=1– e ，t ≥ 0，試問：u(t) g(t) c(t) U(s) G(s) C(s)
（一）當u(t)為任意時間函數時，其輸出為何？（8 分）
（二）如圖右實施 Laplace 轉換求解C(s)時，其中G(s)為何？ u t)的限制條件為何？（7 分）
（三）該系統微分方程式為何？（5 分）
（四）依據（一）的解，如果用數值模擬，讓 t = kT，3T≪1，寫成 c(k) = βc(k–1) +3Tu(k)，β為何？（5 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
如 下 圖 之 單 位 負 迴 授 系 統 （ unity negative feedback control system），E(s) C(s) R(s) KG(s)其 中 G(s) = s3/(s+p)3，p > 0，試問：
（一）利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益K 之範圍為何？（8 分）
（二）試繪製該系統對應不同比例增益 K 之根軌跡圖（root locus plot） ，標明所需標記之特徵的對應值。（10 分）
（三）當 R(s) = 0 而 C(s)仍有非零穩定輸出時之 K 與 s = jω 中之 ω 為何？（7 分）
（25 分）
參考架構・破題
開迴路 KG(s) = K s³/(s + p)³，極點數等於零點數（三重極點 −p、三重零點 0），無漸近線。先用羅斯準則求穩定範圍，再畫根軌跡，最後由臨界穩定（持續振盪）求 K 與 ω。
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- 3
如下圖之單位負迴授系統，其採用 PD 控制器，其中 JkP2 = 104KkD2，當輸入 R(s)=1/s時之位置穩態誤差（steady state error）ess = 0.01，試問：E(s) 1 R(s) kP +kD s C(s) Js2 +K
（一）由位置穩態誤差求取 K 與 kP 間之關聯方程式。 （5 分）
（二）繪製開迴路轉移函數 G(s) = (kP+kDs)/(Js +K)之波德圖（Bode Diagram），標明所需標記之特徵的對應值，並註記 ω = 0 時之 dB 值。（10 分）
（三）當閉迴路系統阻尼係數ξ（damping ratio）= 0.7 時，求取 kD 與 J、K 之關係。 （5 分）
（四）當增益交越頻率 ωg（gain crossover frequency）= 32 Hz 時，求取 J、K、kP、kD 間之關聯方程式。（5 分）全一張（背面）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
如圖之一質量塊滑動於無摩擦平面，質量塊由一直流馬達（DC motor）轉動時規皮帶（timing belt）帶動，該馬達半徑為 r，轉速以 ω 表示，欲以負迴授控制位置 x 時，將比較命令 xcmd 與該位置 x 之差異，輸入至 PI 控制器以產生馬達電壓，達成質量塊位置控制時，試問：
（一）感測器若為光學尺（Linear scale）應安裝何處？如何安裝？（5 分）
（二）質量塊方塊圖（Block Diagram）輸入是推動質量塊之力 F(s)，輸出是速度 V(s)及位置 X(s)，其方塊圖模型為何？（5 分）
（三）馬達輸入是電樞電壓 Ua(s)，輸出是推動質量塊之力 F(s)，其方塊圖模型為何？Ra是電樞電路的電阻（Ohm），La 是電樞電路的電感（Henry），Cm 是電動機轉矩係數（Newton·meter/Ampere），Ea 是電樞反電勢，Ce 是反電勢係數（Volt/rad/sec）。（7 分）
（四）閉迴路系統轉移函數 X(s)/Xcmd (s)展開成代數分式（rational polynomial）為何？（8 分）x, v 馬達r
（25 分）
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
考慮下列的動態微分方程式••• •• • ••• •• • y + a1 y + a 2 y + a3 y = b0 u + b1 u + b2 u + b3u若定義新的狀態變數如下：x1 = y − β 0u • • • x2 = y − β 0 u − β1u = x1 − β1u •• •• • • x3 = y − β 0 u − β1 u − β 2 u = x 2 − β 2u β 0 = b0 β1 = b1 − a1β 0 β 2 = b2 − a1β1 − a2 β 0 β 3 = b3 − a1β 2 − a2 β1 − a3 β 0請將下式：••• •• • •• • y + 3 y + 4 y + 2 y = u + u + 2u表示成下列現代控制形式（modern control form）之 A3×3 , B3×1 , C1×3 • X = A3×3 X + B3×1u y = C1×3 X + β 0u其中X = [ x 1 x 2 x 3 ]T 。（25 分）
（25 分）
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- 2
考慮下列一閉迴路控制系統，假設 k 大於零。
（一）要求系統穩定時控制器 k 的條件為何？（10 分）
（二）畫出此系統根軌跡（root locus）並標註與虛數軸交點的 k 值為何？（15 分）R Y＋ kk ss−- 2 ( s +(s1+)1) ((ss ++66ss++24 24))－全一張（背面）
（25 分）
- 3
以漸近線（asymptote）方式繪出下列轉移函數（transfer function）的波德圖（bode plot）。（20 分）s( s 2 + 4s + 16)
（20 分）
參考架構・破題
分母為 s(s² + 4s + 16)：一個積分器加一組二階欠阻尼極點。漸近線波德圖的作法是把轉移函數化成標準形（常數增益 × 1/s × 1/[(s/ωn)² + 2ζ(s/ωn) + 1]），逐項畫出斜率與轉角頻率後相加。
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- 4
若一單位步階函數（unit step function） ，輸入於一個系統的轉移函數（transfer function）為 T(s) = 2 ，輸出為 y (t ) 。s + 6 s + 144
（一）求此系統在時間領域（time domain）的響應（輸出解） 。（10 分）
（二）上述的系統輸出 y (t ) 響應之穩態解為何？如果輸入系統訊號改為一脈衝函數（impulse function），則系統輸出響應之穩態解為何？（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
分母 s² + 6s + 144 是標準二階系統：ωn = 12 rad/s、ζ = 0.25（欠阻尼）。步階響應以部分分式與反拉氏轉換求得，穩態值用終值定理驗證；脈衝響應的穩態則看極點是否都在左半面。
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- 5
在一個閉迴路控制系統（closed loop control system）中，如果控制器原本只有一個正比控制器（ proportional controller ）的設計，後來多加入一個積分控制器（ integral controller）在設計中，請說明其目的為何？有何缺點？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
比例（P）控制加入積分（I）成為 PI 控制，核心目的在於消除（或降低）穩態誤差，代價是相位落後、穩定度與暫態表現變差。答題要從系統型別、頻域與時域三個角度說明優缺點。
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某機電系統如下圖所示，其中質量塊 M = 1.0 kg，輸出軸之阻尼係數 D = 4 N-m-s/rad，齒輪齒數 N1 = 10、N2 = 20，其他參數如圖中所示。+ Input ea(t) N1 = 10－ Motor D N2 = 20 Radius = 2 m 2 Ideal gear 1:1 J = 1 kg-m M For the motor: x(t) Ja = 1 kg-m2 fv = 1 N-s/m Da = 1 N-m-s/rad Ra = 1 Ω Kb = 1 V-s/rad Kt = 1 N-m/A X (s)
（一）試推導出開迴路轉移函數 G ( s ) = 。（15 分）Ea ( s )
（二）利用（一）之轉移函數設計一個串聯（cascade）之 PD 控制器，使此閉迴路伺服系統之線性運動 x(t)的暫態響應有 16.3% 之最大超越量（overshoot），及穩態收斂時間為 Ts = 2 秒之性能時，試求 Kp 及 Kd 之值。（10 分）K
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
下圖之單位負回授（unit negative feedback）系統中， G ( s) = 。s( s + 6)(s + 9) R(s) + C(s) G(s)－
（一）先計算出分離點、漸進線角度及其與實數軸之交叉點，再畫出此系統之根軌跡（Root Locus）圖。（10 分）
（二）以羅斯-赫維茲穩定性（Routh-Hurwitz stability）準則，計算可使此閉迴路系統穩定之增益 K 值的範圍，根軌跡在臨界穩定時與 jω 虛軸之交點，以及 K = 40 時之系統阻尼比與無阻尼自然頻率。 （15 分）全一張（背面）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
某系統之大小頻率響應圖，亦稱波德圖（Bode plot），如下圖所示。
（一）試依據此頻域之大小近似圖的所有轉折點，說明該系統有極點與零點位置所在，KB( s)並寫出其開迴路轉移函數 G ( s) = 。（15 分）A( s)
（二）若此時與相位圖為－180°處頻率之對應增益邊際（gain margin）為 5 dB，請說明如何調整設計系統之增益值 K，以達成該頻率處有增益邊際 25 dB 之穩定度要求。（10 分）dB－20 dB/dec－40 dB/dec－60 dB/dec rad/sec 0.1 1 2 5 10 －40 dB/dec 5( s + 4)
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
某系統之轉移函數為 G ( s) = 。s( s + 2)( s + 8)
（一）試利用相變數（phase-variable）型式寫出其閉迴路控制系統之狀態方程式。（10 分）X& = AX + BU Y = CX
（二）設計相變數狀態回饋控制器，使其滿足閉迴路伺服系統之暫態響應有 16.3% 之超越量（overshoot），及穩態收斂時間為 Ts = 1 秒之性能時，試求其狀態回饋增益值K1、K2 及 K3 之值以及閉迴路轉移函數。（15 分）[Hint：如所指定之特徵根實數靠近現有之零點位置，可採用 Pole-zero 消去法設計第三個閉迴路極點。]
（25 分）
參考架構・破題
本題考狀態空間的極點配置：先把 G(s) 寫成相變數（可控標準）形式，再由規格（超越量 16.3%、安定時間 1 秒）求出期望主極點，第三極點依提示放在零點上做極零點對消，最後比對特性多項式求 K1、K2、K3。
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知下列單位回饋系統Ｒ(s) K Y(s) Σ Gc(s) s(s+2) - K
（一）繪製開路系統（open loop）根軌跡圖 ， K > 0 。（5 分）s ( s + 2)
（二）假設閉路系統的主根在 − 2 ± j 2 3 ，求不足的角度（angle deficiency）是多少？（5 分）
（三）設計 PD 控制器 Gc ( s ) = s + z 。求 K 及 z。（10 分）
（四）畫補償後系統（compensated system）的零點，極點，主根等示意圖在 2D(σ , ω )平面上，並連線之。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是根軌跡法設計 PD 補償器：原系統 K/[s(s + 2)] 的根軌跡到不了指定主根 −2 ± j2√3，先用角度條件算出不足的角度，再讓 PD 零點補足，最後用大小條件求 K。
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- 2
已知下列單位回饋系統R(s) Y(s) Σ Gc(s) G(s) -其中受控體 G (s ) 的動態方程式為 &y&(t ) = u (t ) ， y (0) = y& (0) = 0 。假設有四種不同控制器（ Gc ( s ) = P ，PD，PI，PID）可供選擇。（每小題 5 分，共 20 分）
（一）要分析穩態誤差 e(∞) = r (∞) − y (∞) ，先分析那一種控制器，就可窺全貌？
（二）寫出（一）所對應的 E ( s ) = R ( s ) − Y ( s ) 。
（三）何種控制器無法研究 R( s ) = 2 的穩態誤差？s
（四）根據（三）請說明原因。
（20 分）
參考架構・破題
受控體 ÿ=u 取拉氏轉換得 G(s)=1/s²（雙積分器，型 2 開迴路）。本題考 PID 家族的一般化分析與終值定理的適用條件：先寫 PID 通式，P、PD、PI 都是令某些增益為零的特例；再用穩定性判斷哪些控制器根本不能談穩態誤差。
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- 3
已知下列常微分方程式&y&(t ) + 3 y& (t ) + y (t ) = u& (t ) + u (t ) , y (0) = 0 , y& (0) = 0 Y (s)
（一）求其轉移函數 G ( s ) = （transfer function）。（5 分）U ( s)
（二）求其狀態方程式（state space equation）。（需有推導過程，請由右至左定義系統狀態。）（15 分）全一張（背面）
（20 分）
- 4
請畫出下列轉移函數之波特圖（Bode magnitude）。只需畫直線逼近圖（high/low asymptotes），但截頻點，斜率，數值要對才給分。（每小題 5 分，共 15 分）200( s + 20) G(s) = s (2 s + 1)( s + 40) ⎛s ⎞
（一）將轉移函數化為最簡標準式（standard form）由 K，s 及 ⎜⎜ +1⎟⎟ 組成。⎝ zi ⎠
（二）化為最簡標準式的目的何在？
（三）畫 3 個極點（poles）的波特圖（Bode magnitude）。
（15 分）
- 5
考慮一非單位回饋（non-unity feedback）系統。（每小題 5 分，共 20 分）R(s) Y(s) Σ Gc(s) G(s) - H(s)
（一）求該閉路系統之轉移函數。
（二）將 該 非 單 位 回 饋 系 統 轉 成 等 效 單 位 回 饋 （ unity feedback） 系 統 如 下 ， 試 求Z (s ) 。R(s) Y(s) Σ Z(s) -
（三）求非單位回饋（non-unity feedback）系統之誤差常數（error constant） K v （寫出推導式，非數值）。
（四）如何確認（三）答案正確？
（20 分）
參考架構・破題
非單位回饋系統的誤差常數不能直接用 Gc G 求，因為 r−y 不是實際進入控制器的訊號。作法是先求閉迴路轉移函數 T(s)，再反推出等效單位回饋的開迴路 Z(s)，用 Z(s) 定義誤差常數。
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
圖一為彈簧阻尼質量系統，其中 M 為質量、 f v 為摩擦阻尼常數、K 為彈簧常數，x1 、 x2 、 x3 分別為 M1 、 M 2 、 M 3 之位移。設 x1 、 x2 、 x3 初始值均為 0， f (t ) 為力量輸入。（每小題 10 分，共 20 分）試推導本系統之微分方程式。試推導狀態方程式，設狀態變數為 z1 x1; z2 x1; z3 x2 ; z4 x2 ; z5 x3 ; z6 x3 。f v3 =1 N-s/m x3(t) f v4 =2 N-s/m M3 =2 kg f v5 =2 N-s/m f v1 =1 N-s/m f v2 =1 N-s/m M1 =4 kg M2 =2 kg f(t) K=2 N/m無摩擦力x1(t) x2(t)圖一1 s 2 02
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
控制系統如圖二所示，受控系統 G ( s) ，K 為控制器，設 m, a, 0 均m s 2 ( s 2 a 02 )大於 0。（每小題 10 分，共 20 分）試以羅斯穩定準則（Routh stability criterion）建立羅斯表（Routh table）。若 K 0 ，試以 之羅斯表，說明閉迴路極點之位置。控制器 受控系統X ( s) + Y ( s) K G( s) _圖二全一張（背面）
（20 分）
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- 3
控制系統如圖三所示，受控系統 G ( s) ， D(s) 為控制器：s 2 12s 35設 D( s) K ，試求 K 值使閉迴路系統之阻尼係數 0.6 。（5 分）以 求出之 K 值，試求單位步階輸入之穩態誤差。（5 分）試以增加系統型式（type of system）之方式設計控制器 D(s) ，使步階輸入之穩態誤差為 0。（5 分）繪出 之根軌跡， K 0 。（10 分）求 之根軌跡中，使系統穩定之 K 值範圍。（5 分）控制器 受控系統X ( s) + Y ( s) D( s) G( s) _圖三10( s 1)
（30 分）
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- 4
有一單位負回授之閉迴路控制系統如圖四，其閉迴路轉移函數為T ( s) ：s 2 9s 10試求其開迴路（open loop）轉移函數 G (s) 。（5 分）請繪出開迴路系統 G (s) 之波德圖（Bode plot）的漸進線（asymptote），包含大小圖（20log | G( jw) | ~w）及相位角圖（∠G( jw) ~ w）。（10 分）試推導開迴路系統 G (s) 之增益邊際（gain margin）、相位邊際（phase margin）及其對應之頻率。（10 分）試以 之結果說明 G (s) 是否穩定。（5 分）X ( s) + Y ( s) G ( s) _圖四
（30 分）
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102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
求出下圖機械系統的轉移函數 Y ( s) R( s) 。（15 分）畫出該機械系統的等效 RC 電路。（10 分）r k1 b1 b：阻尼k：彈簧b2 y z k2
（25 分）
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- 2
對於下圖回授控制系統：d＋＋ ＋r C(s) P(s) y－ 控制器 d：干擾＋ n：量測雜訊H(s)＋n決定降低量測雜訊影響的控制策略。（10 分）決定降低 P(s)變化靈敏度的控制策略。（10 分）兼顧以上 和 之需求的控制策略。（10 分）以上答案均需附上相關分析否則不計分。
（30 分）
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- 3
由輸入/輸出觀點視之，以下兩個方程式代表同一系統。d ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ d ⎡ x1 ⎤ ⎡0 −0.4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0.8⎤ = + = + dt ⎢⎣ x2 ⎥⎦ ⎢⎣1 −1.3⎥⎦ ⎢⎣ x2 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ u, dt ⎢⎣ x2 ⎥⎦ ⎢⎣ −0.4 −1.3⎥⎦ ⎢⎣ x2 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ u,（A） ⎡x ⎤ （B） ⎡x ⎤ y = [ 0.8 1] ⎢ 1 ⎥ y = [ 0 1] ⎢ 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎣ x2 ⎦決定系統（A）的可控制性、可觀測性。（5 分）決定系統（B）的可控制性、可觀測性。（5 分）既是同一系統，為何有特性上的差異？試解釋之。（15 分）
（25 分）
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- 4
一單位負回授系統其控制器 C ( s ) = k p + kd s ，受控體 P( s ) = ，試求：s ( s + 10)閉迴路特徵方程式。（5 分）k p 和 kd 使斜波誤差常數 k v= 1000 ，阻尼比 ζ = 0.5 。（15 分）
（20 分）
參考架構・破題
PD 控制器加上型 1 受控體，閉迴路為二階特徵方程式。用斜波誤差常數決定 kp、用阻尼比與自然頻率比對係數決定 kd。題目受控體的分子在轉檔中缺漏，以下以 P(s)=K/[s(s+10)] 推導，作答時代入原卷的 K（若分子為 1 則 K=1）。
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其他等別的「自動控制」
- 自動控制（地方特考三等）（47 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。