宇宙學　申論題歷屆試題與參考架構

112 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   近六年來有許多宇宙學家獲頒諾貝爾物理獎。請分別詳述下列這幾位近年獲獎者的獲獎原因，以及其中的宇宙學原理：Rainer Weiss, Kip Thorne, Barry Barish, James Peebles, Roger Penrose, Reinhard Genzel, Andrea Ghez。（30分）

   （30 分）

   參考架構・破題

   七位學者分屬三個諾貝爾物理獎：2017 年重力波偵測（Weiss、Thorne、Barish）、2019 年物理宇宙學理論（Peebles）、2020 年黑洞（Penrose、Genzel、Ghez）。作答宜逐位說明貢獻，再連結到其所檢驗或建立的宇宙學原理。

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2. 2

   一般而言，光前進一年所經過的距離稱為一光年，但在宇宙學裡，光在宇宙中前進一年所經過的距離卻不等於一光年，請問是大於還是小於一光年？為什麼？請嘗試以宇宙理論的數學形式加以說明。（20分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   光在局部一年只走一光年；但宇宙膨脹使尺度因子 a(t) 隨時間增大，若以今日（a=1）的共動距離衡量，光在宇宙中走一年所涵蓋的距離大於一光年。作答需以 FLRW 度規說明。

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3. 3

   請詳述暗物質（Dark Matter）和暗能量（Dark Energy）的相同及相異之處，以及和壓力的關係。 （20分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   暗物質與暗能量都不發光、只由重力效應得知，但前者聚集成團、後者均勻分布並驅動加速膨脹。核心差異在物態方程 w = p/(ρc²)。

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4. 4

   請詳述哈伯參數（Hubble Parameter）和宇宙溫度之間的數學關係。（20分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   哈伯參數 H 由弗里德曼方程決定，而在各時期宇宙的能量密度又是溫度的函數，因此 H 與 T 有明確的冪次關係。作答需從弗里德曼方程出發。

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5. 5

   請詳述紅移（Redshift）的定義、它在宇宙中發生的原因，以及和時間、距離的大略關係。請嘗試以宇宙理論的數學形式加以說明。 （10分）

   （10 分）

   參考架構・破題

   紅移是光譜線波長相對於實驗室值變長的現象，宇宙學紅移來自空間膨脹使光波被拉伸，而非一般的都卜勒運動。

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111 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   我們對宇宙的認知在過去的百年來取得長足的進步，不過關於這個問題的探索在過去的幾百年來就一直吸引著天文學家們關注。

   （一）從 William Herschel 到 Jacobus Kapteyn 基本上使用的都是類似的原理。請敘述他們所使用的方法為何？他們為什麼無法得到正確的結論？（5 分）

   （二）1920 年的大辯論時，Harlow Shapley 雖然主張所謂的螺旋星雲位於銀河系內，但是他認知到太陽並不處於銀河系的中心。請問他是如何得知的？（5 分）

   （三）什麼是哈伯定律（Hubble–Lemaître law）？（10 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   本題分三小題：早期以恆星計數推估銀河結構的方法與限制、Shapley 以球狀星團判定太陽位置、哈伯定律。答題時每小題要各自成段，並注意分數配置。

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2. 2

   目前對宇宙的解釋以  CDM 為標準模型。請解釋此模型，並描述這些解釋目前觀測結果上各自的優點及缺點。 （20 分）

   （20 分）

3. 3

   天文學家對暗物質提出了微中子、黑洞、大質量緻密暈天體（massive compact halo object, MACHO）及冷暗物質（weakly interacting massive particle, WIMP）等幾種可能性。試述這幾種理論的優缺點。 （20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   四類暗物質候選各有理論動機與觀測限制：微中子為已知粒子但太輕，MACHO 與黑洞屬重子或天體類但被搜尋排除大部分，WIMP 為最受矚目的冷暗物質但至今尚未直接偵測。作答宜逐項列優缺點。

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4. 4

   在宇宙最初的溫度滿足T  100 MeV/k 後，只有 γ、e 、ν、ν 維持熱平衡，但在T  1 MeV/k 後， e 、 e 也都湮滅為光子。（每小題 10 分，共 20 分）

   （一）請說明何以在 e 湮滅之前內部自由度（internal degree of freedom）的總和值 g total 為 10.75？這個數值基於微中子只有 3 種 flavors；若微中子的 flavors 有 4 種，則數值應改為多少？

   （二）承（一）題，請解釋為何在T  0.1 MeV/k 時，g 的值降為 3.36？

   （20 分）

5. 5

   隨著溫度下降 e  p  n  ν e 無法發生，此時中子的豐度（mass fraction）將“freeze-out”，並以 X n,F 表示。若由數值計算推估 X n,F  0.1640 ，且中子的 豐 度 還 會 因 為 β 衰 變 而 減 少 ， 其 半 衰 期 t½ 約 為 610.1s ， 亦 即τ n  879.6 s 。（每小題 10 分，共 20 分）

   （一）若 p  n ⇌d  γ 反應的平衡隨著溫度降低而於宇宙年齡約 3 分鐘時不復存在；亦即此時中子與質子將迅速地結合為氘，並再進一步合成氦。請估計氦的豐度 X  約為多少？

   （二）中子的半衰期及宇宙的重子平均豐度B 勢必都會影響氦的豐度。請分別說明它們對氦豐度的影響。 （例如：中子的半衰期如果比實際的數值長，氦的豐度會比我們所觀測的數量大或小？為什麼？）

   （20 分）

106 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   目前宇宙學的觀測認為宇宙是平坦的，而宇宙中最主要的構成物質為黑暗能量（dark，約佔了宇宙總質量的 70%。試問：energy）

   （一）黑暗能量是否具有互相吸引的萬有引力？（5 分）

   （二）如果哈伯常數 H0 = 70 km sec-1 Mpc-1，重力常數 G = 6.67×10-8 cm2 g-1 s-2，請問黑暗能量的質量密度為何？（10 分）（1 秒差距（pc）=3×1018cm）

   （三）請說明為何黑暗能量能讓宇宙加速膨脹？（5 分）

   （四）黑暗能量的狀態方程式需滿足什麼條件？（5 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題考暗能量的基本性質：重力效應由「能量密度＋壓力」決定，暗能量具負壓，因此產生等效斥力；密度則由平坦宇宙的臨界密度乘上 70% 求得。

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2. 2

   目前認為星系團是宇宙中最大的重力束縳態。請提出至少三種方法和觀測，可以用來估計星系團中包含黑暗物質在內的所有物質的總質量。（30 分）

   （30 分）

   參考架構・破題

   星系團總質量可從「成員星系動力學」「熱氣體 X 光」「重力透鏡」三條獨立途徑估算，比較結果都遠大於可見物質，即為暗物質的證據。答題應每種方法寫出原理、觀測量、公式與限制。

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3. 3

   宇宙中的氫在最後一次復合（recombination），並發出我們今天所看到的宇宙背景輻射後，應該都已經成為中性氫原子了。但為何在低紅移的星系之間的宇宙空間中，大部分的氫卻都是呈現游離態？請解釋該現象及其成因。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   宇宙在復合（z ≈ 1100）後成為中性，進入黑暗時期；之後第一代天體的紫外光把星系際介質再次游離，稱為再游離（reionization），並因星系際介質稀薄、持續受紫外背景照射而維持游離至今。

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4. 4

   哈伯發現愈遠的星系其退行速度愈快，試問：

   （一）依照哈伯定律，星系距離我們多遠的時候，其退行速度會等於光速？假設哈伯常數 H0 = 70 km sec-1 Mpc-1。（5 分）

   （二）這距離是指星系現在跟我們的距離？還是該星系輻射出所觀測到的光線時與我們的距離？（5 分）

   （三）我們可能觀察到比這個距離更遙遠的天體嗎？（5 分）

   （四）請解釋第（三）小題答案的原因。（10 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   哈伯定律 v = H0d 中的 d 是宇宙時間「現在」的固有距離，退行速度等於光速的距離稱為哈伯距離（哈伯球半徑）；因退行來自空間膨脹而非物體在空間中運動，我們確實能看到超過此距離的天體。

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