統計學概要（統計組） 申論題歷屆試題與參考架構
普通考試，民國 103～115 年共 12 份試卷、51 題，其中 30 題附參考答題架構。考這一科的類科：統計。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
2026 年金融市場見證了比特幣角色的重大轉變。隨美伊衝突升溫，黃金發揮避險功能大幅飆升，比特幣卻因其高風險係數屬性隨流動性收縮而下跌。研究員欲探討比特幣月收益率（以變數 Y 表示，%）與黃金月收益率（以變數 X 表示，%）的關係，隨機抽取 18 個月份的數據做分析。（每小題 10 分，共 30 分）
（一）若用最小平方法，以黃金月收益率（ X ）為自變數，比特幣月收益率（ Y ）為應變數，建立簡單直線迴歸模型，得 Yˆ 10 2 X ，判定係數為R 2 0.36，且已知這 18 個月黃金月平均收益率為 8。請以 Y 為自變數，X 為應變數，用最小平方法建立簡單直線迴歸模型。
（二）續題（一），若考慮簡單直線迴歸模型 Yi 0 1 X i ， i i 1,2,...,18，且假設誤差 1 , 2 , ..., 18 彼此相互獨立且服從平均數為 0，變異數為 2 之常態分配，求檢定虛無假設 H0 : 1 0 之 t 檢定統計量之值。
（三）續題（一），若研究員因研究之需求，將變數進行線性轉換，定義新變數Di 2 X i 及 Ei 3Yi 5，i 1,2,...,18。請以 Di 為自變數， Ei 為應變數，用最小平方法建立新的簡單直線迴歸模型。
（30 分）
參考架構・破題
本題考簡單直線迴歸的三個核心性質：兩條迴歸線斜率與判定係數的關係、斜率 t 檢定可由 R² 直接算出、變數線性轉換對迴歸係數的影響。關鍵是抓住 r²＝b_YX·b_XY，以及迴歸線必通過（x̄, ȳ）。
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- 2
AI 正從螢幕虛擬層面跨足實體世界。亞馬遜與寶馬等巨頭透過 AI 調度物流機器人，實現倉儲與生產線的自主作業，大幅優化生產效率與精確度。在某自動化智慧倉儲中，大量物流機器人負責搬運貨物。根據大數據監控，每台機器人在執行單次精密對接任務時，成功的機率為 p，且已知每次任務成功與否彼此相互獨立。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）令變數 R 為該機器人「直到第一次對接失敗為止，所需對接次數」 。假設有 n 台獨立運作的機器人，其直到第一次對接失敗為止所需對接次數，分別定義為 R1 , R2 ,..., Rn。請利用隨機樣本 R1 , R2 ,..., Rn，求出該機器人能連續穩定運作了 50 次任務而未出錯之下，但在接下來的 2 次任務內會出錯的條件機率 P[ R 52 | R 50] 的動差法估計量（method of moments estimator）。
（二）令變數W 為該機器人「直到發生第二次對接成功時，期間所累積的失敗次數」 ，求出W 之期望值。
（20 分）
參考架構・破題
本題考幾何分配的無記憶性與動差估計，以及負二項分配的期望值。先把「成功」「失敗」定義清楚：每次對接成功機率 p、失敗機率 1－p，R 是直到第一次失敗的次數，所以 R 是以 1－p 為「事件機率」的幾何分配。
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- 3
當前全球進入半導體軍備競賽，先進製程與 AI 晶片已成為決定科技霸權的戰略制高點。某跨國晶圓代工巨頭為評估海外新設「AI 先進製程晶圓廠」的曝光機之設備穩定度，針對極紫外光曝光後晶圓特定關鍵區域上的微粒缺陷數進行抽樣檢測。根據歷史數據顯示，該區域的微粒缺陷數（以變數 X 表示）服從下列之機率分配：0.3, x 0 （極佳） f ( x) 0.4, x 1 （合格）0.3, x 2 （瑕疵）現製程良率工程師隨機檢測 2 片晶圓並觀測該特定關鍵區域的微粒數，X X記 為 隨機 樣 本 X1 , X 2 ， 並 計 算其 樣本 平 均數 X 1 2 2 與 樣 本 標 準差S ( X1 X ) 2(1X 2 X ) 。假設 X1 與 X 2 彼此相互獨立。（每小題 10 分，共 50 分）2 2
（一）求樣本標準差 S 之機率密度函數。
（二）求樣本平均數 X 與樣本標準差 S 之間的共變異數 cov( X , S ) 。
（三）求 X 1之下，樣本標準差 S 之條件期望值 E(S | X 1) 。
（四）根據歷史數據顯示，該極紫外光曝光機在對每片晶圓進行曝光時，特定關鍵區域「無微粒缺陷」 （即完全達標合格）的機率為 0.3，且每片晶圓的檢測結果彼此相互獨立。若該區域出現微粒缺陷，則視為一次「出錯或失敗」 。工程師為了進行設備耐受度測試，設定曝光機必須直到累積發生第 2 次「無微粒缺陷」 （合格）時才停止測試。令隨機變數W 表示在此期間該曝光機所累積的「出錯（失敗）次數」 。請寫出 W的機率密度函數。
（五）續題（四），品管團隊關心曝光機的連續穩定運作能力。令隨機變數 R 為該曝光機檢測「直到第一次發生微粒缺陷（出錯） 」為止，所累積的總曝光晶圓次數（含出錯的那一次） 。求該曝光機在連續穩定運作了 100次任務而未出錯的條件下，在接下來的 1 次任務內（即第 101 次）也不會出錯的條件機率 P[ R 101| R 100] 。
（50 分）
參考架構・破題
本題用一個三點離散分配、樣本數 2 的情境，考樣本統計量的抽樣分配、共變異數、條件期望，最後接上負二項與幾何分配。前三小題的關鍵是把 (X1,X2) 九種組合全部列出；n＝2 時 S＝|X1－X2|／√2。
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114 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
甲市警察局研究酒駕年齡之分布，已知其平均數為 42 歲。 （每小題 10分，共 20 分）
（一）若酒駕年齡服從常態分配，且介於 34 至 50 歲者占五成，試問酒駕者中 60 歲以上者占多少比例？
（二）若酒駕年齡之分配未知，試問酒駕者中 60 歲以上者占多少比例？
（20 分）
- 2
甲廠商宣稱其開發之 A 型燈泡之平均壽命高於 100 天。隨機抽取 50顆進行測試，得到其樣本平均數與樣本標準差分別為 104 天與 12 天。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）在顯著水準為 0.01 之下，試檢定廠商之宣稱是否成立？
（二）若燈泡一出廠就有瑕疵而無法使用的機率為 0.005，而其餘燈泡之壽命服從平均數為 105 天之指數分配。試問壽命低於 5 天之機率為何？
（20 分）
- 3
健康單位提供各式抽獎獎項鼓勵 40 歲以上民眾接受癌症篩檢，民眾可以選擇一種獎項參與抽獎。以下是不同年齡層之篩檢人次及選擇抽獎獎項之統計資料：40-50 50-60 60-70 70+演唱會門票 70 60 50 30 Xbox360 80 30 30 20登山踏步健身機 80 80 70 60
（一）在顯著水準為 0.05 之下，試檢定年齡層與獎項是否相關？（10 分）
（二）在顯著水準為 0.05 之下，試檢定各年齡層之篩檢人次是否相同？並檢定各式獎項之篩檢人次是否相同？（20 分）
（30 分）
- 4
甲、乙、丙三種疾病第四期病人之存活年數統計資料如下，在顯著水準為 0.1 之下，試問三種疾病存活年數之分布是否相同？（10 分）<1 1-2 2-3 3-4 >4甲 8 10 11 4 2乙 30 15 8 3 1丙 16 9 3 2 0
（10 分）
- 5
假設手機的應用程式之生命週期（y） （單位：年）與其發布後半年內的下載次數（x）服從線性模型， y x e ，其中 e 服從 N (0, 2 ) 。若隨機取樣 12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據： x 6345, x 4050445, y 39.64, y 152.7, xy 24708，2 2且判定係數為 0.9288。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）試求回歸方程式與 β 的 95%信賴區間。
（二）若一新款應用程式發布後半年內被下載 500 次，試求其生命週期的95%預測區間。附表一：z 表Example: If z=1.96, then (0 to z)=0.4750附表二：t 表Example: With df =9 and .10 area in the upper tail, t =1.383附表三：χ2 表Example: With 17 df and a 0.02 area in the upper tail,X2=30.995附表四：F 表附表五：F 表
（20 分）
113 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
目前核融合技術的重大突破，讓未來核融合發電可望成真。已知國內某大學的實驗室有三座核融合反應爐，令變數 Ti 為第 i 座反應爐的核融合實際反應時間與目標反應時間之間的差異，i 1,2,3。假設變數 T1 , T2 , T3 彼此相互獨立，且都服從平均數為 0，變異數為 4 之常態分配。
（一）求出機率 P[T12 +T22 2] 。（10 分）
（二）令變數 S T12 T22 T32 ，請求出變數 S 之機率密度函數 f ( s ) 。（10 分）T12
（三）令變數 W T T ，請求出變數 W 之機率密度函數 f ( w) 。（10 分）
（四）求出題（三）之變數 W 的期望值 E (W ) 。（10 分）
（五）求出機率 P[ Min{Max{T1 , T2 }, T3 }<0] ，此處 Max{a , b} 代表取 a, b 之最大值， Min{a, b} 代表取 a, b 之最小值。（10 分）
（六）假設每一座反應爐每次點火成功的機率為 0.2，且假設三座反應爐點火成功與否彼此相互獨立。令 X i 為第 i 座反應爐直到第一次點火成功前，所需的點火（失敗）次數， i 1,2,3 。請求出機率 P[ X 1 X 2 ] 。 （10 分）
（60 分）
參考架構・破題
本題以獨立常態變數為核心，考標準化後的卡方分配、F 分配、順序統計量與機率計算，以及幾何分配比較。第一步一律標準化：Ti／2～N(0,1)，Ti²／4～χ²(1)。
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- 2
ChatGPT 的問世帶動了 AI 商機的蓬勃發展，也促成了市場對 GPU 需求量的急遽增加。已知國內某生產 GPU 的工廠，所生產的 GPU 之壽命服從變異數為 之指數分配。今由此公司之生產線隨機抽檢 n 筆 GPU 樣本並測驗其壽命，令 Y1 , Y2 ,..., Yn 表此 n 筆相互獨立樣本之觀測值。令Min{Y1 , Y2 ,..., Yn } 代 表 取 Y1 , Y2 ,..., Yn 之 最 小 值 ， Max{Y1 , Y2 ,..., Yn } 代 表 取Y1 , Y2 ,..., Yn 之最大值。
（一）求出此 GPU 壽命分配之中位數的均勻最小變異不偏估計量 （uniformly minimum variance unbiased estimator）。（10 分）
（二） 求 出 機 率 P[Min{Y1 , Y2 ,..., Yn } 1] 之 最 大 概 似 估 計 量 （ maximum likelihood estimator）。（10 分）
（三）求出機率 P[ Min{Y1 , Y2 ,..., Yn } 1, Max{Y1 , Y2 ,..., Yn } 2] 。（10 分）
（四）令 F ( y ) 為變數Yi 之累積分配函數（cumulative distribution function） 。請求出機率 P[ Min{F (Y1 ), F (Y2 ),..., F (Yn )} 14 , Max{F (Y1 ), F (Y2 ),..., F (Yn )} 12 ]。（10 分）
（40 分）
參考架構・破題
本題以指數分配樣本考 UMVUE、MLE 不變性、最小值與最大值的聯合機率，以及機率積分轉換。設指數分配平均數為 μ（變異數為 μ²，題目若以變異數為參數，μ 即其平方根），樣本和 ΣYi 為完備充分統計量。
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112 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一汽車生產工廠將某日生產的309部汽車，依A、B、C、D四種缺點及大、中、小三種車型，分別檢驗並記錄其資料如下表：車型\缺點 A B C D大 15 21 45 13中 26 31 34 5小 33 17 49 20在α = 0.05下，試以卡方檢定汽車缺點與車型大小是否有關（請詳細寫出a.虛無與對立假設、b.檢定統計量公式、c.拒絕域、d.檢定值之計算過程、e.檢定結果與結論）？（25分）
（25 分）
- 2
已知函數 ( )為0 1 3 ( ) 1/3 1/2 1/6試求：（每小題5分，共25分）
（一） 驗證 ( )為一機率函數。
（二） ( ≤ 2.5| > 1)。
（三） ( )。
（四） [( + 1) ]。
（五） [( + 1) ]。
（25 分）
- 3
在簡單直線迴歸中，設自變數 為廣告費用，應變數 為銷售量，樣本數n = 10。已知：= 140, = 1300, = 21040, = 2528, = 184730
（一）用最小平方法求迴歸直線。（10分）
（二）求斜率 之95%信賴區間。（10分）
（三）求判定係數 。（5分）
（25 分）
- 4
為了測定工廠安全訓練的效率，下列資料是12家工廠於安全訓練前之年平均意外事件數（X）和安全訓練後之年平均意外事件數（Y）：50 87 37 141 59 65 24 88 25 36 50 35 41 75 35 129 60 53 26 85 29 31 48 37假設資料的差異具有常態分配。令d =X Y，請以顯著水準α = 0.05，進行單尾檢定，以檢定安全訓練的效果（請詳細寫出a.虛無與對立假設、b.檢定統計量公式、c.拒絕域、d.檢定值之計算過程、e.檢定結果與結論） 。（25分）附表一：t值表α ∞附表二：卡方分配臨界值表
（25 分）
111 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
關於事件 A、B、C，已知 P A ∩ B 0.24 ， P A ∩ B|C 0.2 ， P C 0.6 ，C 表 C 的補集。求 P A ∩ B ∩ C 。(15 分)
（15 分）
- 2
三種遺傳型態 A、B、C 在某基因模式下，出現機率分別為 / 6、 / 3、(1 / 2) ，研究者收集 120 位受測者，A、B、C 人數分別為 10、25、85 人。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）求 之最大概似估計。
（二）請問在 α 0.05 下，檢定該模式是否合適？
（20 分）
參考架構・破題
三種型態機率為 θ/6、θ/3、1−θ/2（三者相加恰為 1），觀察次數服從多項分配。先寫出概似函數求 θ 的 MLE，再用估計後的期望次數做卡方適合度檢定，自由度要扣掉估計的一個參數。
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- 3
八位受試者接受某降膽固醇藥物，接受前先測量一次，接受後再測量一次，結果如下表。下降表示該藥物有效果。請以符號檢定（Sign test）在α 0.05 顯著水準下檢定 H1：藥物對降膽固醇有效果。（20 分）受試者 1 2 3 4 5 6 7 8前 51 48 52 62 64 51 55 60後 46 45 53 48 57 55 42 50
（20 分）
- 4
教育當局想測試 A、B 兩區學童數學程度是否相同，A 區 250 位學童受測，及格比率 0.40，B 區 200 位學童受測，及格比率 0.37。請以 α 0.01顯著水準下檢定兩區學童數學測試及格之比例是否相同？（25 分）
（25 分）
參考架構・破題
兩獨立大樣本比例差的雙尾檢定。H0 下兩比例相等，標準誤要用合併比例（pooled proportion）估計，計算 Z 統計量後與 α=0.01 的雙尾臨界值 ±2.576 比較。
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- 5
反應變數 Y 在三組（以類別變數 X=1,2,3 表示）中的母體平均為 u1、u2、u3。為比較此三平均之差異，會將 X 轉成 2 個虛擬變數 x1、x2 ，然後配適迴歸模式 Y 0 1x1 2 x2 。假設三組樣本數相同。若虛擬變數（ x1, x2 ）的設定為：X=1 時， x1 1 ， x2 0 X=2 時， x1 0 ， x2 1 X=3 時， x1 0 ， x2 0結果顯示：1 顯著大於 0 而 2 顯著小於 0。請依此比較 u1、u2、u3 的大小。（20 分）附表一、 分配右尾百分點 ( )附表二、常態分配表
（20 分）
參考架構・破題
以第 3 組（x1=x2=0）為參考組的虛擬變數迴歸，關鍵是把每組條件期望值寫成迴歸係數：β0 是第 3 組平均，β1、β2 分別是第 1、2 組與第 3 組平均之差，再依係數正負比較大小。
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109 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
下表為108年某縣政府家庭收支調查的300個樣本戶住宅面積的分組次數分配表資料：組別 住宅面積(坪) 戶數 累積戶數1 0~20以下 18 18 2 20~40以下 177 195 3 40~60以下 57 252 4 60~80以下 32 284 5 80~100以下 11 295 6 100~120以下 5 300請根據此分組之次數分配表資料，試計算下列樣本統計量之值：（每小題10分，共30分）
（一）算術平均數
（二）標準差
（三）第10百分位數（P10）
（30 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
設 X 9 與 X 25 為分別從常態母體N( , 3)中隨機抽取9個與25個樣本的樣本平均數。今要對參數 進行檢定，而我們所設定的統計假設為H0: =0及H1: =1；若有兩個檢定規則（拒絕域）如下：規則1：若 X9 >1.6 則拒絕H0；規則2：若 X 25 >1.0 則拒絕H0。試求：
（一）請分別計算規則1與規則2之檢定力（power）為多少？（8分）
（二）請分別計算規則1與規則2之顯著水準 為多少？（8分）
（三）由（一）及（二）的結果，對所設定的統計假設，那一個檢定規則較佳？為什麼？（6分）
（22 分）
- 3
一項有關職場菸害防制的研究，想比較臺灣北部、中部及南部等三個地區職場菸害防制狀況的差異，分別在北部、中部及南部等三個地區隨機抽訪了400位、300位及300位等總共1000位職場工作者，經整理得資料如下表：地區北部 中部 南部職場菸害防制狀況全面禁菸 262 190 188有劃設吸菸區 26 14 20無禁菸規定 112 96 92合計 400 300 300試以顯著水準 = 0.05下，檢定北部、中部及南部等三個地區，職場菸害防制狀況有無差異：
（一）可以用那一種統計方法進行檢定？請寫出統計方法之名稱。（5分）
（二）承（一）所選的統計方法，完成該項檢定與結論。 （需寫出必須的檢定步驟）（15分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
某一速食店經理為瞭解其廣告促銷的效果，乃抽取20家分店做實驗，比較廣告促銷前後的銷售量效果。設Xi表示分店廣告促銷前的銷售量，而Yi表示分店廣告促銷後的銷售量。實驗結束後，經統計得相關資料如下：廣告促銷前的平均銷售量 x 1000，變異數 s X2 2500；廣告促銷後的平均銷售量 y 1200 ，變異數 sY2 3600 ；廣告促銷前後銷售量的相關係數rXY=0.8。又假設Xi與Yi呈現線性相關，其模式為 Yi X i i ，其中 i 為隨機誤差項，且 i ~ N (0, 2 ) ，i = 1, 2,…, 20。則：
（一）試根據上述資料，以最小平方法估計迴歸直線 Y X 。（10分）
（二）試求迴歸誤差之母體變異數 2 的估計值為何？（8分）0 1， H：
（三）試以顯著水準 0.05 ，檢定 H： 1 1。（10分）註1：本試題可能使用的統計表之參考值如下：t 0.025 (18) 2.101，t 0.025 (19) 2.093，t 0.025 ( 20) 2.086，t 0.05 (18) 1.734，t 0.05 (19) 1.729，t 0.05 ( 20) 1.725 ， 02.025 (4) 11.14 ， 02.025 (9) 19.02 ， 02.05 ( 4) 9.49 ， 02.05 (9) 16.92註2：標準常態機率分配表，Z ~ N(0,1)
（28 分）
108 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某藥廠想知道肝癌病人服用新藥半年後是否可以有效降低肝癌指數（GOT），自肝癌病人群中隨機抽取 8 人，記錄其服用新藥前和新藥服用半年後的 GOT。肝癌病人 GOT 如表所示。肝癌病人 1 2 3 4 5 6 7 8新藥服用前的 GOT 45 60 120 200 150 100 80 50新藥服用半年後的 GOT 30 30 80 150 120 100 20 20
（一）請問這兩群（新藥服用前的 GOT 和新藥服用半年後的 GOT）是相依還是獨立？請說明原因。（5 分）
（二）試檢定新藥服用半年後是否可以有效降低 GOT，顯著水準 0.05。（10 分）
（三）試檢定新藥服用半年後之 GOT 是否比服用新藥前之 GOT 平均至少可以減少 30，顯著水準為 0.05。（10 分）
（四）上述檢定結果若可信賴，則數據之假設條件為何？（5 分）
（30 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
令 A、B、C、D 及 E 表示五種品牌的手機，自各品牌的使用者分別隨機抽取 500 人調查其下次會再購買相同品牌的意願。資料如表所示。品牌 A B C D E會再購買相同品牌人數 450 300 250 100 50抽取人數 500 500 500 500 500
（一）請估計各品牌的使用者下次會再購買相同品牌手機的機率。（5 分）
（二）請檢定各品牌的使用者下次會再購買相同品牌手機的機率是否都相同。顯著水準 α = 0.05 。（10 分）
（三）假設只存在 A 和 E 兩品牌下，請以和子題（二）不同的檢定方法檢定A 和 E 品牌手機的使用者下次會再購買相同品牌手機的機率是否相同，並說明何以可用此方法檢定。顯著水準 α = 0.05 。（10 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 3
自 W 城市的土地所有者中隨機抽取 1,200 人，調查其土地位置（X）及土地售價（Y）。收集之資料整理如表所示。Y 1,000 萬元 1,500 萬元 2,000 萬元 人數X位置 1 60 500 40 600位置 2 40 300 60 400位置 3 50 100 50 200人數 150 900 150 1,200
（一）將表中的人數計算為機率值。（4 分）
（二）計算條件期望值 E(Y|X≤2)。（8 分）
（三）試檢定土地位置（X）及土地售價（Y）是否相關。顯著水準 0.05。（8 分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
假設(X, Y)的聯合機率密度函數（joint probability density function, pdf）為f (x, y) =c(3x + 2y), 0 ≤ x, y ≤ 1 .
（一）計算 c 值。(5 分)
（二）計算機率 P (0 ≤ X ≤ 0.5, 0 ≤ Y ≤ 0.5) 。（5 分）
（三）推導求得 X 的邊際機率密度函數（Marginal pdf of X）。（5 分）
（四）計算 X 的期望值和變異數。（10 分）Z 值表 表一N(0, 1) N(0, 1) Φ(z) Zα Zα/2 t 值表 表二The table gives the values of tα; v where Pr(Tv> tα; v) =α, with v degrees of freedom t α; v卡方分配臨界值表 表三
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
107 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某房屋仲介公司廣告宣稱營業區域內的套房市場平均售價是 250 萬元。某消費者團體為驗證該廣告的真實性，做一項 36 個樣本的市場調查，經計算得樣本平均售價 288萬元。假設售價服從具有母體標準差 60 萬元的常態分配。
（一）在顯著水準為 5%時，說明檢定統計量及其機率分配，並計算顯著性 P-值且驗證該公司廣告的真實性。 （10 分）
（二）求套房平均售價的95%信賴區間，以此說明第（一）小題中的結論，並請敘明理由。（5分）
（15 分）
參考架構・破題
本題是母體標準差已知、常態母體下的單一母體平均數 Z 檢定，再以信賴區間與雙尾檢定的對偶關係互相印證，重點在把假設、統計量、分配、P 值、結論五步驟寫完整。
完整答題架構與關鍵字：到站內看全文
- 2
在一組隨機樣本 17、15、23、7、9、13 中，已得知變異數 33.2，計算平均數、變異係數（CV），以及全距（range）與四分位距（IQR）各是多少？（12 分）
（12 分）
- 3
在某學校的月考成績中，有 40%學生數學不及格，25%學生英文不及格，10%學生數學與英文都不及格。今隨機抽取一位學生，試求：（每小題 6 分，共 18 分）
（一）若該生英文不及格，則該生數學不及格的機率。
（二）若該生數學不及格，則該生英文不及格的機率。
（三）該生英文與數學中至少有一科及格的機率。，
（18 分）
- 4
若有 400 個來自 N(60, 25)常態分配的數據（右尾 z 0.10=1.282、z 0.05=1.645、z 0.025=1.96）則有幾個數據會大於 58？（10 分）
（10 分）
- 5
一位專家想估計一項新的減肥計畫之平均體重減量。在一個初步研究中得知體重減量的母體為標準差 15 磅的常態分配。（每小題 5 分，共 10 分）
（一）以95%信心水準的區間估計，至少需多少樣本得以估計平均體重減量與母體平均體重減量之差在2磅以內？
（二）改變標準差為 30 磅，試問所需的樣本數會是多少？
（10 分）
- 6
一完全隨機實驗中總共有三項處理（treatment），每項處理有 5 個觀察值，已知處理平方和 SSTR=520，總平方和 SST=860。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）計算均方誤差（MSE）和處理均方值（MSTR）。
（二）在顯著水準為5%時，檢定三項處理平均值是否相同，計算檢定統計量及其結論（F0.05=3.89）。
（20 分）
- 7
以 8 組隨機配對樣本進行一項產品銷售量（y）和產品不良率（x）的迴歸分析中，經計算得到下列資料： ŷ = 127 – 0.425 x，迴歸平方和 SSReg=473.65，誤差平方和 SSE = 119.21，廣告費用斜率估計的標準差 Sb1= 0.095。 （右尾 t 0.05(6)=1.943、t 0.025(6)=2.447、t 0.05(7)=1.895、t 0.025(7)=2.365）
（一）當不良率為 70 時，則銷售量的估計值為何？（5 分）
（二）在顯著水準為5%時，檢定不良率是否對銷售量有負向影響，計算檢定統計值。 （10分）（請接第二頁）全二頁第二頁標準常態右尾機率表: P(Z > 1.32)=0.0934 z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
（15 分）
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106 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
A、B 和 C 公司生產的 5.5 吋手機市佔率各為 35%、20%和 45%。A 公司所銷售的 5.5吋手機消費者不滿意率為 10%，B 公司所銷售的 5.5 吋手機消費者不滿意率為 15%，C 公司所銷售的 5.5 吋手機消費者不滿意率為 5%。
（一）消費者對買到的 5.5 吋手機滿意之機率為何？（5 分）
（二） C 公司售出的 500 件 5.5 吋手機中，消費者滿意的 5.5 吋手機個數為何？（5 分）
（三）消費者買到不滿意的 5.5 吋手機分別是由 A、B 或 C 公司生產之機率為何？（10 分）
（20 分）
- 2
工廠有兩條節能燈泡的生產線，老闆想知道這兩條生產線生產的節能燈泡之平均壽命是否有差異，於是自這兩條生產線分別隨機抽取 5 和 6 個節能燈泡並量測其壽命。兩條生產線抽取的節能燈泡壽命（單位：千小時）如表所示。假設兩條生產線的節能燈泡壽命呈常態分配。壽命燈泡 生產線 1 生產線 2 1 38 63 2 44 53 3 47 56 4 44 54 5 52 64 6 － 62
（一）檢定生產線 2 所生產的燈泡壽命之母體標準差是否超過 10（千小時）。顯著水準為 0.05。（6 分）
（二）檢定這兩條生產線生產的燈泡壽命之母體平均值是否相等。顯著水準皆為 0.1。 （14 分）（請接第二頁）全六頁第二頁
（20 分）
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- 3
三因子變異數分析表如下：變異來源 平方和 自由度 均方 F值X1 200 2 A F1 X2 10 1 B F2 X3 48 2 C F3 X1X2（交互作用） 876 D E F4誤差 F G H總和 1358 35（假設資料符合變異數分析的假設，且各因子的水準數和水準值是由實驗者指定。）
（一）請填入表格中 A、B、C、D、E、F、G 和 H 的數值。（8 分）
（二）寫出判定係數值（coefficient of determination，R2），因子 X1 和 X2 的水準數及實驗之反覆數（replicates）（或樣本大小（n）=？） 。（12 分）
（三）檢定因子 X2、X3 及 X1X2 效應是否顯著。顯著水準皆為 0.05。 （寫出虛無假設和對立假設，並說明檢定統計量之分配及檢定之結果。）（6 分）
（四）母體標準差之估計值為何？（4 分）
（30 分）
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- 4
隨機抽取六位大學男生修習統計和英語的成績如下：男學生 1 2 3 4 5 6統計 57 53 40 77 98 50英語 60 36 18 84 99 10
（一）計算統計和英語成績的皮爾遜（Pearson）相關係數（r）。（6 分）
（二）將統計和英語成績由小到大分別排序，並計算思匹爾門（Spearman）等級相關係數（rsp）。（7 分）
（三）對（二）檢定這兩科目的成績等級是否存在顯著關係。顯著水準α=0.1。（需寫出假設檢定的虛無假設和對立假設） 。（7 分）
（四）說明 r 和 rsp 使用上的差異。（10 分）（請接第三頁）全六頁第三頁附表（請接第六頁）（請接第四頁）全六頁第四頁附表Spearman 等級相關係數的臨界值 t 分配右尾百分點 tα(df )（請接第五頁）（請接第三頁）全六頁第五頁附表χ 2分配右尾百分點χ α2 (df )（請接第六頁）全六頁第六頁附表標準常態分配值（請接第三頁）
（30 分）
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105 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設隨機變數 X 的機率分配為 隨機變數 Y 的機率分配為x 0 1 y 1 2 3 f (x) 0.4 0.6 f (y) 0.25 0.5 0.25今已知 P ( X = 1 | Y = 1) = 0.6 ， P( X = 0 | Y = 2) = 0.4 ，則：
（一）試求隨機變數 X 與 Y 之聯合機率分配 f X ,Y ( x, y ) 為何？（6 分）
（二）試求 P ( X + Y ≤ 2) = ？（6 分）
（三）試求隨機變數 X 與 Y 的相關係數 ρ X ,Y = ？（6 分）
（四）隨機變數 X 與 Y 是否獨立？請說明之。（6 分）
（24 分）
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- 2
臺北第一超市欲向梨山向陽蘋果園採購 1000 箱蘋果，向陽蘋果園出產之蘋果重量（個）為一常態分配，其平均重量為 360 公克，標準差為 30 公克。今臺北第一超市派出採購部王經理，進行蘋果品質抽樣檢驗工作。試問：
（一）王經理自向陽蘋果園隨機抽取一個蘋果，則該顆蘋果重量少於 330 公克的機率為何？（8 分）
（二）若向陽蘋果園以 50 個蘋果裝成一箱裝運，王經理自該園隨機抽取一箱檢驗，則該箱蘋果的重量在 18 ± 0.5 公斤的機率為何？（8 分）
（16 分）
- 3
設( X1, X 2 , …, X 100 )為抽自母體變異數為 100，平均數 μ 為未知的常態分配之一組大小為 n =100 之隨機樣本，今欲利用此組隨機樣本來檢定 H 0 ： μ = 75 對 H1： μ = 78 ，且訂定檢定規則（危險域）為 C = { X ≥ k} ，則：
（一）若取顯著水準為α = 0.025 ，試決定上述檢定規則（危險域）C 中之常數 k 之值為何？（8 分）
（二）試求上述（一）中所訂定之檢定規則 C 的檢定力（power）為何？（8 分）
（三）試求上述（一）中所訂定之檢定規則 C 會產生多大的型二誤差（typeⅡ error）之機率，即 β = ？（8 分）（請接第二頁）全三頁第二頁
（24 分）
- 4
以下是一項調查 1000 位學生，有關學生是否有吸菸習慣與其父母吸不吸菸的調查研究，得資料如下：父母皆吸菸 父或母親吸菸 父母皆不吸菸學生不吸菸 150 300 450學生吸菸 20 30 50
（一）試以顯著水準α = 0.05 之下，檢定學生是否吸菸與其父母吸不吸菸間是否有關？請寫出相關檢定的所有步驟與最後檢定之結果。（10 分）
（二）請說明你（妳）所用的統計檢定方法其名稱為何？（6 分）
（16 分）
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- 5
已知自三個具有相同變異數 σ 2 之常態母體，分別獨立的隨機抽出樣本，經整理得樣本資料訊息如下表所示：母體 樣本數（ ni ） 平均數（ xi ） 變異數（ si2 ）1 3 13 25 2 5 14 16 3 7 15 9
（一）試依此資料訊息，取顯著水準α = 0.05，檢定此三個母體的平均數是否全相等？假設此資料適合做變異數分析。（註：參考統計值 F0.05 (2,12) = 3.89 ， F0.05(3,12) = 3.49）（12 分）
（二）變異數 σ 2 的估計值為何？（8 分）（請接第三頁）全三頁第三頁附表1：標準常態累加機率值表0 z P(-∞＜Z＜z).附表 2：卡方分配臨界值表P( χ v2 ≥ χ v2,α ) = α 0 χ v2,α
（20 分）
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104 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一查帳員隨機自某公司 500 筆單據中抽取 20 筆單據，以下表格為每一筆單據的金額與該單據是否遵循審計法規。編號 金額（千元） 遵循法規 編號 金額（千元） 遵循法規1 278 是 11 188 否2 192 是 12 212 否3 310 是 13 92 是4 94 否 14 56 是5 86 是 15 142 是6 335 是 16 37 是7 310 否 17 186 否8 290 是 18 221 是9 221 是 19 219 否10 168 是 20 305 是
（一）估計該公司 500 筆單據的總金額。（5 分）
（二）在 95%的信心水準下，題（一）的最大可能誤差為何？（7 分）
（三）在顯著水準為 0.05 的情況下，檢定遵循法規與否的單據之平均金額是否相等。（10 分）
（四）若以單據金額為反應變數（Y），單據遵循法規與否為解數變數（X，設定「是」為 1、「否」為 0），建立一簡單線性迴歸模型，計算此迴歸線的截距與斜率。（10 分）
（五）解釋此估計的斜率在此的意義。並由題（三）結果判斷，在顯著水準為 0.05 時，此估計的斜率是否顯著異於 0。（5 分）
（六）計算此一簡單線性迴歸模型的判定係數。（8 分）
（45 分）
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- 2
某單位之總務部門依據過去經驗，估計該單位之唯一一台影印機每日影印紙使用狀況如下表：（X = 每日影印紙的使用包數，一包 500 張紙）X 0 1 2 3 4 5 P（X = x） 0.05 0.25 0.35 0.15 0.15 0.05
（一）計算該單位每日使用影印紙的平均包數。（5 分）
（二）計算該單位每日使用影印紙包數的標準差。（8 分）
（三）若某日早上一上班時，該影印機備有 20 包影印紙。問當天下班工作結束時，總務部門預期影印紙會剩幾包？（3 分）
（四）續題（三），計算當天下班工作結束時，影印紙會剩幾包的標準差。（3 分）
（五）計算該單位每日使用影印紙的張數之平均與標準差。（6 分）（請接第二頁）全三頁第二頁
（25 分）
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- 3
某人力公司想瞭解勞工對於「一週工作 40 小時」與「雙週工作 80 小時」兩種工時型態的偏好，進行一項調查。依勞工所屬部門別得到以下結果（人數）：部門別工時型態行政管理 生產維修一週工作 40 小時 20 55雙週工作 80 小時 60 55若 p1 與 p2 分別代表「行政管理」及「生產維修」部門偏好「一週工作 40 小時」的母體比例。
（一）請建構 p1 − p2 的 95%信賴區間估計。（8 分）
（二）在顯著水準為 0.05 的情況下，檢定 H 0 : p1 = p2 及 H1 : p1 ≠ p2 。（10 分）
（三）在顯著水準為 0.05 的情況下，檢定「部門別」與「工時型態」之偏好是否有關？（12 分）（請接第三頁）全三頁第三頁
（30 分）
103 年（考試時間 90 分鐘） 原卷 PDF
- 1
統計學班上共 100 名學生，老師宣布期中考之平均分數 75 分，標準差 10 分。
（一）若成績不是常態分配，試問介於 55 分至 95 分的同學至少幾人？（5 分）
（二）若成績不是常態分配，試問高於 95 分的同學至多幾人？（5 分）
（三）若成績之分配為左偏，你的分數 75 分，試問多數同學的分數比你的高或低？為什麼？（5 分）
（四）從全班學生中以抽後不放回的方式隨機抽取 30 名，令 X 代表其平均成績，試求隨機變數 X 的變異數。（5 分）
（20 分）
- 2
隨機變數 X 之機率密度函數為 f ( x ) = ce − ( x + 2)，x ≥ −2 。令 x0 代表該機率分配的中位數。令 Bernoulli(p)代表成功機率為 p 之伯努利分配。假設隨機變數 Y 在給定 X 之下的條件機率分配為：Bernoulli (0.8)，若X ≥ x 0 Y 服從 。 Bernoulli ( 0 .6 ，若) X < x 0
（一）試求 c 。（5 分）
（二）試求 X 的期望值。（5 分）
（三）試求 X 的中位數。（5 分）
（四）試求 Y 的邊際機率分配。（5 分）
（五）試求 X 與 Y 的共變異數（covariance）。（5 分）
（25 分）
- 3
櫻花村於過去 40 個月內發生交通事故的資料如下：交通事故次數 0 1 2 3 4 >4月份個數 10 15 11 3 1 0
（一）試估計平均每個月發生的交通事故次數。（4 分）
（二）在顯著水準α ＝5 ％ 之下，檢定每個月發生的交通事故次數是否服從卜瓦松（Poisson）分配。（16 分）全一張103年 公 務人員 普通考 試試 題 代號：41430（背面）
（20 分）
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- 4
一 盒 中 有 四 顆 彈 珠 ， 其 中 θ 顆 為 紅 色 ， 4 − θ 顆 為 白 色 。 王 小 明 想 檢 定H 0 : θ = 2 vs. H1 : θ ≠ 2 。王小明的檢定方法是先以抽後放回的方式抽出兩顆彈珠；其次，若抽出的兩顆同色，就拒絕 H0，而若抽出的兩顆為不同色， 就不拒絕 H0。
（一）試求該檢定方法的型一誤差（Type I error probability）。（5 分）
（二）試求該檢定方法在θ ＝1時的型二誤差（Type II error probability）。（5 分）
（三）若王小明以抽後放回的方式抽 100 次，結果 60 次為紅色，40 次為白色。在顯著水準 α ＝10 ％ 之下，檢定 H 0 : θ = 2 vs. H1 : θ ≠ 2 。（10 分）
（20 分）
- 5
某餐廳過去 8 年之年營業額（萬元）如下：年 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013營業額 36 40 42 45 46 49 54 56
（一）試以迴歸模型估算此時間數列的線性趨勢。（12 分）
（二）試以（一）估算所得之線性趨勢預測 2014 年的營業額。（3 分）
（15 分）
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其他等別的「統計學概要（統計組）」
- 統計學概要（統計組）（地方特考四等）（43 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。