統計學（經建行政組） 申論題歷屆試題與參考架構
高考三級，民國 102～115 年共 14 份試卷、69 題，其中 50 題附參考答題架構。考這一科的類科：交通技術、工業行政、經建行政、農業行政。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某工業區的工安意外數為每月平均 次的獨立卜瓦松（poisson）分配，（每小題 10 分，共 30 分）
（一）根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過 5 次，請問 接近那個整數？（參考附表卜瓦松分配）
（二）採（一）對 的估計，求連 2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。
（三）求 3 個月內至少 2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。
（30 分）
參考架構・破題
本題考卜瓦松分配的累積機率查表、卜瓦松過程的可加性（獨立月份合併），以及「每月是否零工安」這個伯努利事件延伸成二項分配。三小題環環相扣，(一) 的 μ 一定要先估對。
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- 2
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和 AI (Y)的計算速度。設 、分別為 AI (X)和 AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著水準 = 0.05下檢定：: ≤ +1 : > +1
（一）選 16 個計算題，隨機各分 8 題給 AI (X)和 AI (Y)，皆算得正確答案，而所花時間（ , … , 與 , … , ）之平均及變異量為：‾ = 12, =8 ‾ = 9, =8請對上述假說進行檢定。（15 分）
（二）選 8 個計算題給 AI (X)和 AI (Y)計算，皆算得正確答案，而 與（i=1～8）分別為 AI (X)和 AI (Y)解第 i 題所花時間，其平均及變異量為：‾ = 12, =8 ‾ = 9, =8且 ,…, 與 ,…, 的相關係數為 = 0.5。對上述假說進行檢定。（15 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題用同一組數字考「兩獨立樣本」與「成對樣本」的差別：虛無假設帶了常數 1，檢定量的分子固定是 (x̄−ȳ)−1，勝負全在分母的標準誤怎麼算。相關係數 0.5 會讓成對設計的差異變異數縮小一半，兩小題結論因此相反。
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- 3
根據機場通關檢驗之經驗，行李箱有攜帶肉類違禁品的機率是千分之0.5。程序上，先由檢疫犬憑嗅覺判別，嗅出可能是有違禁肉品才詳細開箱檢查。已知檢疫犬嗅覺「將正常行李箱誤判為有違禁肉品」的機率是1/10；另外，「把有違禁肉品者誤判為正常行李箱」的機率是 10-5。今甲的某件行李被檢疫犬嗅出認為有肉類違禁品，請問他實際上真的有肉類違禁品的機率大約是多少？（答案小數點以下 3 位即可）（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
典型的貝氏定理（後驗機率）題，考點是「偽陽性率高、事前機率極低」時，檢出為陽性的正確率其實很低。先把題目三個機率翻譯成條件機率符號，再套全機率定理與貝氏公式。
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- 4
某地方政府推動「青年創業補助政策」 ，為了解補助資源分配情形，研究人員隨機抽取 27 位申請者，記錄其申請補助金額（單位：千元）如下：322 339 340 343 356 364 391 417 476 261 269 271 274 279 280 283 283 286 287 292 293 296 300 304 305 313 321
（一）求整體申請者補助金額的第 25 百分位數（25th percentile） . 的點估計值。（10 分）
（二）求申請者補助金額的 IQR（Inter-Quartitle Range，四分位距）。（10 分）附表1 卜瓦松分布累積機率表附表2 常態分配表z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990 3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993 3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995 3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997 3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998 3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998
（20 分）
參考架構・破題
本題考敘述統計的位置量數：先把 27 筆資料由小到大排序，再依百分位數的定位公式找第 25、第 75 百分位數，最後求四分位距 IQR＝Q3−Q1。關鍵是寫清楚採用哪一種定位公式。
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114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設 X 與 Y 的二元機率密度函數為（每小題 4 分，共 20 分）f(x, y)= C(x+2y) 0≦ x ≦ 1; 0 ≦ y ≦ 1 =0 其他
（一）計算 C 值。
（二）計算 X 的期望值。
（三）計算機率 P(X>0.5)。
（四）計算 Y 的期望值。
（五）計算 Y 大於 1/3 的機率。
（20 分）
- 2
三家 A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取 400、600 和 800 人，調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下：意願\品牌 A B C願意 100 300 600不願意 300 300 200總和 400 600 800
（一）請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。
⑴列出虛無假設 H0 和對立假設 H1。（3 分）
⑵寫出檢定統計量及其在 H0 為真下的分配。 （5 分）
⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（3 分）
⑷計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。 （5 分）
（二）若只有 A 和 B 兩種品牌，請檢定 A 和 B 品牌用戶下次購買相同品牌的比例是否相等。
⑴列出 H0 和 H1。（3 分）
⑵請使用和（一）不同的檢定統計量，寫出其在 H0 為真下的分配。請說明何以為此分配。 （6 分）
⑶計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。 （5 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題考多組比例的齊一性檢定（卡方檢定）與兩組比例差的 Z 檢定，並要求說明兩者關係：2×2 表時 Z² 等於卡方統計量。A、B、C 的樣本願意比例分別為 0.25、0.50、0.75，差異明顯。
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- 3
工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於 240 小時。隨機抽取電池 36 件（n=36），其樣本平均值為 235 小時。假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為 12 小時。
（一）請檢定電池平均壽命是否低於 240 小時。顯著水準為 0.1。（5 分）
（二）續上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值對應之樣本平均值。 （4 分）
（三）若真實的電池壽命平均值分別為 236 和 235 小時，請分別計算他們的型 II 誤差機率及檢定力。（8 分）
（四）若只有隨機抽取的電池改為 100 件（n=100） ，其他不變。若真實的電池壽命平均值分別為 236 和 235 小時，請分別計算他們的型 II誤差機率及檢定力。顯著水準為 0.1。（8 分）
（25 分）
參考架構・破題
母體標準差已知的單尾 Z 檢定。重點在第三、四小題：型 II 誤差必須把「拒絕區的臨界樣本平均」放到對立假設的分配下再算一次機率，且樣本數改變時臨界值要重算。
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- 4
A 和 B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自 A 和 B 公司隨機抽取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。公司 膜厚(單位：mm) A 5 3 5 7 6 4 B 7 7 9 9 8 6
（一）假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量及估計值。 （6 分）
（二）請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分）
（三）續題（一），欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計方法？結論為何？顯著水準為 0.05。假設兩家膜厚皆服從常態分配。（10 分）
（四）續題（一），請估計兩家膜厚平均值差之 95%信賴區間。（5 分）附表一：Z 值表附表二：t 值表附表三：X^2 值表
（25 分）
113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
有一位理財規劃專員為客戶規劃了一個投資組合，其設計為 0.7 的比例投資 A 公司股票，0.3 的比例投資 B 公司股票。由歷年資料計算得知投資 A 報酬率的平均數為 12%，標準差為 15%；投資 B 報酬率的平均數為 5%，標準差為 8%。回答問題（一）至（四），寫出計算過程且四捨五入至小數點後第 4 位。
（一）這個投資組合報酬率的平均數為多少？（4 分）
（二）若投資 A 和投資 B 報酬率之間的相關係數為−0.3，則這個投資組合的報酬率離平均數的 1 個正、負標準差的上、下限數值各是多少？（10 分）
（三）若問題（二）得到的下限數值為不低於−0.05，理專就會建議客戶可以考慮採納此投資組合，理專是根據什麼理由採取這種建議？（5 分）
（四）為評估資金「全部投資 A」 ，或「全部投資 B」，或「採取 0.7 的比例投資 A 以及 0.3 的比例投資 B 的投資組合」三種策略的風險，請計算此三種策略的變異係數。（6 分）
（25 分）
- 2
若已知簡單線性迴歸模型為= + + , = 1,2, ⋯ , ， 假 設 為 相 互 獨 立 且 具 有 共 同 分 配N（0, ）。令 的最小平方估計值為 = + ，回答以下問題：
（一）令 = − ， = − ̅，及此變數變換後之 的最小平方估計值為= + ，其中 ̅ 和 分別表示 個 和 個 的樣本平均數。請推導出 c 和 d。（5 分）̅
（二）令 = ， = ，及此變數變換後之 的最小平方估計值為̂ = + ℎ ，其中 和 分別表示 個 和 的樣本標準差。請推導出和ℎ。（5 分）
（三）已知 的資料結構可以分成二部分，其中第一個部分的 個資料點的數值皆為 1，即 = 1, = 1,2, ⋯ , ；第二個部分的 個資料點的數值皆為 0，即 = 0, = + 1, + 2, ⋯ , ， = + 。請推導出和 。（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
三小題都在問「資料做線性變換後，最小平方估計式如何跟著變」。只要回到 b₁=Sxy/Sxx 與 b₀=ȳ−b₁x̄ 兩個公式代入即可；第三小題的 X 其實是 0／1 虛擬變數，答案會化成兩組平均數之差。
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- 3
有一個手機廠商準備推出一款新式樣的手機 A，為了解市場接受程度，進行以下所述的顧客偏好度調查：隨機選取 100 位女性及 100 位男性，對二組內的每一個人給予他們一款 A 式樣手機和一款競爭廠商的 B 式樣手機，詢問他們偏好那一款手機；結果顯示女性有 85 位偏好 A 式樣，男性有 75 位偏好 A 式樣。以 表示女性群體對 A 手機的偏好度， 表示男性群體對 A 手機的偏好度，在顯著水準為 0.05 下，回答以下問題：
（一）由二項分配觀點出發，在可以引用中央極限定理之下，以檢定統計量Z 檢定女性和男性對 A 式樣手機的偏好度有無差異。（8 分）
（二）由列聯表分析觀點出發，以卡方檢定統計量檢定「女性組內之 A 與非A 的比例」與「男性組內之 A 與非 A 的比例」有無差異。（8 分）
（三）題（二）之卡方檢定屬於「適合度檢定」、「齊一性檢定」、或「獨立性檢定」中之何種檢定，說明你的看法。（4 分）
（20 分）
參考架構・破題
同一組資料用兩種方法檢定同一件事：兩比例差的 Z 檢定與 2×2 列聯表的卡方檢定，結論必然一致（χ²=Z²）。第三小題考三種卡方檢定在抽樣設計上的差異。
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- 4
為瞭解大學畢業生投入 A 產業與 B 產業的起始月薪是否有顯著差異，有一家市場調查公司自二個產業的新進人員母體中隨機抽取了以下樣本數為 6 的 A、B 二組起始月薪樣本資料（單位：千元）：A產業 29 31 32 32 33 35 B產業 32 33 34 35 41 41假設二母體資料分配都是常態分配且二分配的變異數相等，根據這個假設，回答以下四個子問題：
（一）計算出虛無假設： 「二母體資料的平均數沒有差異」下的 t 檢定統計量的估計值，計算過程必須列出。（10 分）
（二）利用單因子變異數分析方法再次檢定「二母體資料的平均數是否有差異」 ，計算出變異數分析（ANOVA）表中的每一個數值即可，計算過程必須列出。（10 分）
（三）令 Z 表示標準常態分配，U 表示自由度 n 的卡方分配，W 表示自由度m 的卡方分配，且 Z、U、W 三者彼此相互獨立。寫出檢定統計量 t 與F 的定義，並根據這二個定義寫出這二個檢定統計量的關係表達式。（10 分）
（四）利用題（三）的結果及所附三個統計分配的右尾機率表，在顯著水準 5%之下，寫出題（二）中利用單因子變異數分析方法檢定「二母體資料的平均數是否有差異」的拒絕域及結論。 （5 分）
（35 分）
參考架構・破題
同一組資料先用兩獨立樣本 t 檢定、再用單因子變異數分析檢定同一個假設，最後要說出 t²=F(1,m) 的理論關係。四小題其實是一條線，算對離差平方和是全題的地基。
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112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
令X , ⋯ , X 表示服從指數分配（Exponential distribution）Exp( )的隨機樣本，其機率密度函數為 ( ) = , > 0。（每小題8分，共24分）
（一）計算E(X )。（E：Expectation）（須列出計算過程）
（二）令Y=∑ ， 求 隨 機 變 數 Y的動差母函數 （ moment generating，並回答Y的機率分配名稱。function） （須列出計算過程）∑
（三）令Y = ，求隨機變數Y的動差母函數（moment generating function），並回答Y的機率分配名稱。（須列出計算過程）
（24 分）
參考架構・破題
指數分配的期望值與動差母函數基本題。關鍵有三：積分要會算、mgf 必須附收斂條件、以及用「獨立隨機變數之和的 mgf 等於各 mgf 相乘」加上唯一性定理辨認出加總後的分配名稱。
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- 2
考慮簡單線性迴歸模型， = + +（0, ）， 和 分, ~別為β0與β1之最小平方估計式，計算下列各子題： （每小題10分，共20分）
（一）計算Cov( , )，其中 為反應變數Y之平均數，Cov是指共變異數（Covariance）。
（二）計算Var( +0.8 )，Var是指變異數（Variance）。
（20 分）
參考架構・破題
本題考簡單線性迴歸最小平方估計式的抽樣性質：ȳ 與 β̂1 的共變異數、β̂0 與 β̂1 的變異數與共變異數。關鍵是把估計式寫成 yi 的線性組合，再利用誤差項 iid N(0,σ²)。
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- 3
有關於汽車碳氫化合物排放量（克/英里）的研究，記錄碳氫化合物排放量Y（100克/公里） ，和相對應的累積里程數X（以1000公里為單位） 。初步整理樣本資料如下所示：n 11， in1 xi 190.2356， in1 yi 212.9375， in1 xi2 4086.6461， in1 yi 4152.344， in1 xi yi 3808.8281。使用以上資料回答下列問題，請詳細將所使用之公式及計算過程列出。（每小題9分，共36分）
（一）計算最小平方迴歸線。（計算至小數點後4位數）
（二）迴歸判定係數（ ）為何？
（三）顯著水準為0.05，檢定迴歸斜率是否顯著異於0.16。
（四）在x=25時，求對應之反應變數Y預測值的95%預測區間。（ t10,0.025 2.228，t9,0.025 2.262，t10,0.05 1.812，t9,0.05 1.833 ）
（36 分）
參考架構・破題
本題是簡單線性迴歸的完整計算題：由彙總統計量求 Sxx、Sxy、Syy，再算迴歸線、R²、斜率對特定值 0.16 的 t 檢定，以及個別值的預測區間。題目要求詳列公式與過程。
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- 4
觀察記錄某一城市在最近三個月內（90天）每天汽機車意外事故的次數，其次數分配如下所示：意外事故次數 0 1 2 3 4觀察天數 32 34 17 6 1檢定每天汽機車意外事故次數是否服從波松（Poisson）分配。
（一）寫出虛無假設與對立假設。（5分）
（二）在顯著水準α=0.05時，寫出檢定統計量、棄卻域和結論。（須列出計算過程）（15分）（ 2,0.025 7.38，3,0.025 9.35， 4,0.025 11.14 ， 2,0.05 5.99，3,0.05 7.81， 4,0.05 9.49 ）波松分配累積機率表x λ = E(X) 0.5 1.0 2.0 0 0.607 0.368 0.135 1 0.910 0.736 0.406 2 0.986 0.920 0.677 3 0.998 0.981 0.857 4 1.000 0.996 0.947 5 1.000 0.999 0.983 6 1.000 1.000 0.995 7 1.000 1.000 0.999
（20 分）
111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設隨機變數 X 的動差生成函數為 ( )= + + + 。令, ,..., 為服從此機率分配之獨立樣本，而 為其樣本平均。
（一）試求 X 之機率分配。（5 分）
（二）試估計 ≥ 2 。（10 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題考動差生成函數的唯一性：由 M(t)=1/8+(1/2)e^t+(1/4)e^(2t)+(1/8)e^(4t) 直接讀出離散分配，再求平均數與變異數，用中央極限定理近似樣本平均 X̄（n=10）的機率。
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- 2
假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服從期望值為 170、標準差為 10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期望值為 170、變異數為 10 的常態分配，而二者之相關係數為 0.6。考慮父親身高為 175 公分的這群人，試問他們兒子的平均身高為何？其中超過 175 公分之比例為何？（15 分）
（15 分）
- 3
假設 W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令 代表平均每個月的竊盜案件數、 代表過去 36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打算以 { > 20.64} 做為檢定 ： = 20 . ： > 20的拒絕域。假設這 36 個月的竊盜案件數之樣本平均數為 21、樣本標準差為 3。
（一）試求該檢定之型一錯誤（Type I error probability）為多少？（10 分）
（二）試求在 = 21.28 時之型二錯誤（Type II error probability）為多少？（10 分）
（三）承子題（二），若樣本數提高為 50，而拒絕域不變，試問型二錯誤將增加或降低？（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
給定拒絕域反推型 I、型 II 誤差的題型。標準誤用樣本標準差 3 與樣本數換算，(20.64−20)/(3/√36)=1.28 恰好對應常態表的 0.10，數字是設計好的，算出漂亮的值就表示方向對了。
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- 4
甲公司提出節能方案以減少其辦公大樓之冷氣耗電量，該節能方案實施一年後，記錄實施前後每月冷氣耗電量（1000 瓩）如下表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12實施前 5.8 6.1 5.4 6.8 8.5 9.6 7.4 6.2 5.6 4.8 4.5 3.6實施後 5.2 4.8 5.6 6.5 7.8 8.5 6.5 5.5 5.0 3.5 4.0 3.2
（一）在 0.05 顯著水準下，試檢定該節能方案是否減少冷氣耗電量。 （10 分）
（二）假設 1-3 月為春季、4-6 月為夏季、7-9 月為秋季、10-12 月為冬季，將資料依季節整理如下表。令顯著水準為 0.05，在考量實施前後可能有差異的情況下，試檢定春夏秋冬的冷氣耗電量是否相同。（15 分）春 夏 秋 冬實施前 17.3 24.9 19.2 12.9實施後 15.6 22.8 17.0 10.7
（25 分）
參考架構・破題
(一) 是同一棟大樓同月份前後成對資料，要用成對樣本 t 檢定（單尾）；(二) 把季節當處理、實施前後當區集，屬隨機化完全區集設計（二因子無交互作用變異數分析）。
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- 5
甲市鎮過去 6 年之人口數（千人）如下：（每小題 10 分，共 20 分）2016 2017 2018 2019 2020 2021 520 580 560 650 780 800
（一）試用三期移動平均法預測 2019 至 2022 年之人口數，並計算平均絕對誤差（Mean Absolute Deviation）。
（二）試以平滑係數為 0.8 之簡單指數平滑法，預測 2017 至 2022 年之人口數，並計算平均絕對誤差。
（20 分）
110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是 25%。現在抽出她某個月的業務電話通數當做樣本，並假設該資料所產生的比例的標準誤為0.0625。
（一）依據以上訊息，在那個月中 Janice 共打了多少通業務電話？（3 分）
（二）令 p 為推銷成功率的估計式，藉由 p 的抽樣分配，計算 Janice 在那個月內有 30%（含）以上成功率的機率為何？（7 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題兩小題都圍繞「樣本比例 p̂ 的抽樣分配」。第（一）小題是把比例標準誤的公式反解出樣本數 n；第（二）小題則用中央極限定理把 p̂ 標準化成 Z 後查表求機率。答題一開始就先寫出 σ(p̂)＝√(p(1−p)/n)，整題就打通了。
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- 2
2010 年 1 月汽車產業在 A 國共售出 657,000 輛車。自 2009 年 1 月的經濟衰退以來，銷售額已減少 37%。美國三大車廠－通用汽車（General Motors）、福特（Ford）及克萊斯勒（Chrysler）共售出 280,500 輛車，較 2009 年 1 月減少 48%。汽車製造商及銷售車輛類型的資料如下表，資料以千輛為單位。非美國製造商由豐田（Toyota）、本田（Honda）及日產（Nissan）領軍共售出376,500 輛車。下表的輕型卡車包括小貨卡、多功能休旅車、運動型休旅車及跨界休旅車。車型小客車 輕型卡車製造商 美國車廠 87.4 193.1非美國車廠 228.5 148.0
（一）如果某輛車是美國車廠製造，這輛車是輕型卡車的機率是多少？（5 分）
（二）某輛車是由美國車廠製造或是小客車的機率是多少？（5 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題考由列聯表（交叉表）計算條件機率與聯集機率。表中合計 87.4+193.1+228.5+148.0=657.0 千輛，與題文 657,000 輛相符，美國車廠合計 280.5、非美國 376.5，也與題文一致。
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- 3
食用燕麥糠是否為一種有效降低膽固醇的方法？早期的研究指出，每日食用燕麥糠可降低 5% 到 10% 的膽固醇標準。這項研究報告導致許多新式早餐的穀類食品皆推行含有不同百分比的燕麥糠。然而，在德州休士頓某研究單位的醫學研究員懷疑燕麥糠的效果，並進行一項實驗。在那項實驗中，120 位自願者食用燕麥糠為早餐（稱為實驗組） ，而其他 120位自願者食用另一種穀類食品為早餐（稱為對照組） 。在 6 週之後，計算並蒐集兩個群組自願者膽固醇降低的百分比。實驗組的資料訊息： （平均數，標準差，人數）=（10.01, 4.43, 120）。對照組的資料訊息： （平均數，標準差，人數）=（9.12, 4.45, 120）。平均數與標準差的單位皆是百分比。對降低膽固醇而言，在 5% 的顯著水準下，我們是否能夠藉由假設檢定推論燕麥糠不同於其他早餐穀類食品？寫下假設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。採用相同變異數的檢定統計量。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
題目問「燕麥糠是否不同於其他早餐穀類食品」，兩組為互相獨立的實驗組與對照組，且題目指定採「相同變異數」的檢定統計量，所以這是標準的兩獨立樣本平均數差之 pooled t 檢定，且因為只問「是否不同」而非「是否較好」，屬雙尾檢定。答題要照題目要求把四個步驟一一寫清楚。
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- 4
學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領域的滿分為 800 分。想了解學生在 SAT 的三個領域表現是否有不同，本題考慮完整的隨機區塊設計（complete randomized block design），進行學生在 SAT 的三個領域之資料蒐集。以下是六名學生的 SAT 分數樣本：學生 關鍵性閱讀 數學 寫作1 526 534 530 2 594 590 586 3 465 464 445 4 561 566 553 5 436 478 430 6 430 458 420
（一）請說明為何考慮隨機區塊設計？何者為區塊以及何者為感興趣的因子。 （5 分）
（二）給定 SSTR=1348, SSBL=63250 and SST=65798，建構對應的 ANOVA 表（SSTR：Sum of squares for Treatment；SSBL：Sum of squares for Block；。在 5%的顯著水準下，是否有足夠證據說明SST：Total sum of squares）學生在 SAT 的三個領域表現不同？寫下假設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。 （15 分）
（20 分）
參考架構・破題
六名學生各自都考了三個領域，資料是「同一受試者重複量測」，因此要用隨機區塊設計把學生間的個別差異抽離出來。第（一）小題考觀念：誰是區塊、誰是處理；第（二）小題純粹是把 SSE 用減法求出、補完 ANOVA 表、再做 F 檢定。
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- 5
《華爾街日報》企業觀念研究 2011 年讀者之調查，詢問其對全球 250 家公司管理品質與公司聲譽之關係的評比。此調查以甚佳、良好、尚可等三種類別尺度來衡量公司的管理品質與公司聲譽。本研究 200 位受訪者之樣本資料如下：公司聲譽管理品質 甚佳 良好 尚可甚佳 40 25 5良好 35 35 10尚可 25 10 15
（一）在 5%顯著水準下，檢定公司的管理品質與公司聲譽是否獨立。寫下假設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。（15 分）
（二）請根據樣本資料並用條件機率來說明（一）的檢定結果。（5 分）
（20 分）
- 6
最近，可用性專業人士協會（UPA）針對會員進行薪水調查，採用一階多元回歸模型（first-order multiple regression model），以經驗年數（x1）、博士學位（x2 = 1 如果是博士，0 如果不是博士）和經理狀態（x3 = 1 如果是經理，x3 =0 如果不是經理）來預測薪水（y，以美元為單位） 。得到如下預測方程式：yˆ 52484 2941( x1) 16880( x2) 11108( x3)
（一）預測擁有 10 年經驗且沒有博士學位卻是經理的 UPA 成員的薪水及擁有 10 年經驗且有博士學位卻不是經理的 UPA 成員的薪水。比較這兩份薪水，說明差別的可能原因。 （6 分）
（二）說明調整後的多重決定係數，R =0.32 的實際解釋。（2 分）
（三）已知 x1 係數的 95%信賴區間為（2700, 3200），說明此結果的實際解釋。（2 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題考複迴歸的實務解讀：代入預測方程式、虛擬變數係數的意義、調整後 R² 的解釋，以及偏迴歸係數信賴區間的意義。原卷方程式為 ŷ=52484+2941(x1)+16880(x2)+11108(x3)。
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- 7
令 λ 為固定正常數，且定義如下函數f(x) = λ ，對 x≧0；f(x) = λ ，對 x < 0。
（一）若隨機變數 X 的 pdf 為 f(x)，令 t 為任意實數，試求 P(X<t)。（10 分）
（二）試求 P(|X|<t)。（5 分）
（15 分）
參考架構・破題
題目給的是一個左右對稱、以 0 為中心的雙邊指數型機率密度函數（拉普拉斯型分配）。兩小題都不必背公式：第（一）小題是「依 t 的正負分段積分」求分配函數 F(t)；第（二）小題把絕對值不等式改寫成雙邊不等式，再利用對稱性化簡。答題重點在分段討論與對稱性的運用。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
美國職棒大聯盟的世界大賽系列賽是採7戰4勝制，即兩對戰球隊先取得4勝者為世界冠軍。因此，此系列賽最少要打4場而最多要打到7場才能決定世界冠軍。如果某年世界大賽系列賽是由球隊A對上球隊B，且給定每場比賽球隊A贏球機率及球隊B贏球機率皆為0.5，即5–5波，且每場比賽結果皆彼此獨立。如果隨機變數X代表此系列賽總售票數，且總售票數與此系列賽的總比賽場數關係為：總售票數=6400×(總比賽場數)2，例如，如果此系列賽總比賽場數為4場，則總售票數為6400 42=102400。請問本系列賽總比賽場數最可能為幾場以及算出X的期望值E(X)，即本系列賽預計的總售票數。（10分）
（10 分）
- 2
若 一 新生產機台其故障時間服從一平均值為 λ （天）的指數分配（exponential distribution）。假定 p1 為此機台連續運轉不故障超過3天的機率， p2 為給定此機台已連續運轉2天不故障情形下再連續運轉超過1天不故障的條件機率，且 log p2 -log p1 =4，其中log(a)為數字a的自然對數值。試算出此生產機台在12小時內故障的機率。（指數e 2.718 ）（10分）33880、37580
（10 分）
- 3
下列是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及最小變異不偏估計量（minimum variance unbiased estimator）的問題。
（一）考慮下列隨機變數X其機率密度函數（probability density function） ： x 1 e 2 , x 1 f1 x , x 1 2 2 f x f 2 x , x 1 1 x 1 e 8 , x 1 2 2其 中 f1 x 為 一 平 均 值 為 1 及 標 準 差 為 的 常 態 機 率 密 度 函 數（normal probability density function），而 f 2 x 為一平均值亦為1及標準差為 2 的常態機率密度函數。下列為一組服從上述機率分配所得的隨機樣本：2 5 3 0 −2 −3 7請算出 2 之最大概似估計量的值。（10分）
（二）若某一次國家考試其某考試科目共有25題單選題，隨機變數X代表考 生答對題 數， 且 X之分 配是每 題答對機 率為 p 的 二項式 分配（binomial distribution），下列是隨機取得6個考生答對題數資料：12 15 20 10 5 13根據上述資料，請算出X的標準差之最大概似估計量的值及 p 的最小變異不偏估計量的值。（10分）
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
一保險公司精算人員利用下列簡單線性迴歸模型來建立某美食外送平台，其外送員車險理賠金額（Y）與理賠請求機車騎行里程數（X）之間的關係：yi 0 1 xi εi，i 1,,20其中 yi （單位為千元）為第 i 件理賠請求的理賠金額，而 xi （單位為千公里）為第 i 件理賠請求機車之騎行里程數，共計20件理賠請求；隨機誤差 ε1 ,,ε20 為彼此獨立，期望值為0變異數皆為 2 的常態分配。根據上述20件理賠請求，且利用最小平方法（least squares method）來估計 0 及 1 ，得到下列資訊： x1 ,,x20 與 y1 ,,y20 的相關係數為0.693，y1 ,,y20 之變異數為 x1 ,,x20 之變異數的0.52倍，估計迴歸關係式為：Y 0.5 0.5 X
（一）請算出判定係數（coefficient of determination） R 2 。（2分）
（二）在顯著水準 0.05 ，利用F檢定法檢定 H 0 : 1 0 對 H1 : 1 0。（4分）
（三）在顯著水準 0.05，利用t檢定法檢定 H 0 : 1 1 對 H1 : 1 1。（4分）33880、37580
（10 分）
- 5
下列是關於母體平均以及母體比率之估計與檢定的問題：
（一）假定某地區的每日最高溫服從一平均值為 及標準差為4的常態分配。針對下列假設， H 0 : 28 對 H1 : 30 ，隨機取得16筆此地區當日最高溫資料。估計量 X 為樣本平均值。給定下列3種檢定法：檢定法A：若 X c 則拒絕 H 0 ，反之則不拒絕 H 0 ；檢定法B：若 X 30.17 則拒絕 H 0 ，反之則不拒絕 H 0 ；檢定法C：若 X 30.5 則拒絕 H 0 ，反之則不拒絕 H 0 。已知檢定法A之檢定力（power）為0.1587，且設定顯著水準為 0.015 ，請計算 的值並決定上述3個檢定法那一個或那一些符合設定並有最大檢定力。（10分）
（二）一軟體公司欲比較一新版軟體是否較舊版軟體更能有效率執行程式；假定 1 為舊版軟體執行測試程式的平均執行時間，而 2 為新版軟體執行測試程式的平均執行時間，且x1,…,x6為舊版軟體執行測試程式之執行時間的隨機資料，而y1,…,y6為新版軟體執行測試程式之執行時間的隨機資料。給定下列資訊：x1,…,x6之平均值為7且變異數為5.6，而y1,…,y6之平均值為6且變異數為2.4，x1,…,x6與y1,…, y6之相關係數為0。請分別用獨立樣本（independent samples）t檢定法，即將x1,…,x6 與y1,…,y6 視為獨立樣本，及成對樣本（paired samples or matched samples）t檢定法，即將（x1,y1） ，…， （x6,y6）視為成對樣本，在 顯 著 水 準 0.01 ， 檢 定 H 0 : 1 2 2.5 對 H1 : 1 2 2.5 。（10分）
（三）某民調機構欲比較候選人A的支持率 p1 與候選人B的支持率 p2 的差異。下列是此民調機構關於兩候選人支持度的兩份問卷：問卷 調查人數 支持此候選人人數關於候選人A的問卷 4900 2450關於候選人B的問卷 4900 n已知根據上述問卷所得 p1 p2 之95%信賴區間其長度為0.0392，以及候選人A的支持人數大於候選人B的支持人數，即n < 2450。請算出n的值，並利用上述問卷得到 p2 的95%信賴區間。 （10分）33880、37580
（30 分）
- 6
欲比較3種品牌汽車其耗油程度，給定A品牌汽車其每公升行駛平均里程數為 1，B品牌汽車其每公升行駛平均里程數為 2，而C品牌汽車其每公升行駛平均里程數為 3 。每種品牌各隨機抽測8台汽車並得到其每公升行駛里程數。下列是關於此3組樣本其相關資訊以及利用這3組樣本所做的統計分析：此3組樣本其平均值為A品牌之平均里程數最大，而B品牌之平均里程數最小，此3組樣本其標準差皆相同，檢定 H 0 : 1 2 對 H1 : 1 2 的獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為2，檢定 H 0 : 2 3 對 H1 : 2 3 的獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為1。在顯著水準 0.05，請利用單因子變異數分析法（one-way ANOVA）來檢定此3種品牌汽車其耗油程度是否一致，即檢定 H 0 : 1 2 3 對 H1 : 1、2 以及 3 並不完全相等。（10分）
（10 分）
- 7
根據一份國人讀報偏好之報告指出，最常看A報的比率為 p1 0.25 ，B報的比率為 p2 0.2，C報的比率為 p3 0.15，D報的比率為 p4 0.15，而其他報的比率為 p5 0.25 。下列是一份關於民眾看報的問卷資料：最常看報紙 A報 B報 C報 D報 其他報人數 225 215 160 125 275在顯著水準 0.1 ，利用上述問卷資料以及卡方檢定（chi-squared test）來驗證上述報告是否可靠，即檢定：H 0 : p1 0.25、p2 0.2、p3 0.15、p4 0.15、p5 0.25 對H1 : 並非 p1 0.25、p2 0.2、p3 0.15、p4 0.15、p5 0.25 。（10分）33880、37580附表一33880、37580附表二33880、37580附表三33880、37580附表四
（10 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某班級同學同時參加微積分及管理學兩科目考試，兩科目成績平均數及標準差如下表所示：微積分 管理學平均數 56 68標準差 14 10為了比較結果，我們將微積分的分數（x）進行線性轉換（f (x)=ax+b，此處 a 及 b 為常數） ，使轉換後的分數之平均數及標準差與管理學分數的平均數及標準差相同。
（一） a 及 b 分別為何？（5 分）
（二）相對而言，此班級同學考試原始成績那一個科目分數之離散程度較高？說明理由。（10 分）
（三）某同學微積分及管理學原始分數分別為 44 分及 54 分，相對而言，此同學那一科考得比較好？為什麼？（10 分）
（25 分）
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- 2
下列兩個有關於 X 隨機變數的機率密度函數：H 0 : f ( X ) = 8X 0<X< =0 其他H a : f ( X ) = 4 − 8X 0<X< =0 其他
（一）請畫出此兩假說之機率密度函數圖。（5 分）
（二）檢定之決策法則如下：某單一 X 值被觀察到，如果此 X 值超過某一特定值 a（0 < a < ），則接受 H0；否則接受 Ha。如果已知 H0 是對的，卻接受 Ha 的機率為 ，請計算出 a 値。（10 分）
（三）承（二），計算出此題之統計檢定力。（10 分）22880、28180
（25 分）
參考架構・破題
本題是「單一觀察值的簡單假設對簡單假設檢定」，核心在把型一錯誤 α 與檢定力（1−β）用機率密度函數的積分算出來。由題意可知兩個密度的支撐區間為 0<X<1/2（8X 與 4−8X 在此區間積分皆為 1），作答前先驗證這點，再依決策法則寫出拒絕域。
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- 3
兒童福利機構想了解 10 歲兒童每週看電視時間（X）與其體重過重程度（Y）間之關係，隨機蒐集 6 位 10 歲兒童每週看電視時間及體重過重程度（實際體重減理想體重，以公斤為單位）的資料，如下表：X 34 18 38 33 29 x6 Y 6 -7 14 7 8 y6以最小平方法估計迴歸線為 Yˆ = -22.609 + 0.937 X 。然而，在存檔過程中，分析人員不小心將第 6 位兒童的資料刪除，試問：
（一）第 6 位兒童每週看電視時間（x6）及其體重過重程度（y6）各為何？（15 分）
（二）顯著水準為 0.01 情況下，檢定此迴歸模型是否具有配適能力？（10 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
下列為 10 台同品牌二手汽車車齡及賣價資料（α=0.05）：車齡 8 12 9 11 6 7 10 8 6 13賣價 23 12 24 11 26 30 24 15 24 12
（一）請計算二手汽車車齡與賣價之皮爾森相關係數（Pearson correlation coefficient）並檢定其顯著性。 （10 分）
（二）請計算二手汽車車齡與賣價之斯皮爾曼等級相關係數（Spearman's rank correlation coefficient）並檢定其顯著性。 （10 分）
（三）皮爾森相關係數與斯皮爾曼等級相關係數間之差異為何？（5 分）22880、28180 t 分配之臨界值22880、28180
（25 分）
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某國營事業單位今年準備以招聘考試招收 202 人，其中 177 人為正取人員，25 人為備取人員，今年報考人數共計 2500 人，考試滿分為 400 分，考試後得知應考人成績X 服從平均數為 μ ，標準差為σ 的常態分配，即 X～N( μ , σ )，且 μ =256 分，成績在360 分以上者共有 47 人，請依據上面之訊息，試求：（每小題 8 分，共 24 分）
（一）這 2500 位應考人成績分配之標準差為 σ =？
（二）此項考試正取人員的最低錄取分數為何？
（三）若某甲參加了這個國營事業單位的考試，而他考試的分數為 327 分，則他是否被錄取為正取？還是備取，抑或是落榜了？
（24 分）
- 2
設二維隨機變量（X ,Y）的聯合機率密度函數為⎧ 6 ⎪ , x > 0, y > 0 f ( x, y ) = ⎨ ( x + y + 1) 4 ⎪⎩ ，其他試求：（每小題 6 分，共 12 分）
（一）當 Y=y 時，X 的條件機率密度函數 f X Y ( x y ) 為何？
（二） P ( 0 ≤ X ≤ 1 Y = 1) =？
（12 分）
參考架構・破題
本題考聯合密度到條件密度的推導：先求邊際密度 fY(y)，再以 f(x,y)/fY(y) 得條件密度，最後代 y=1 積分求條件機率。由題目可知聯合密度為 f(x,y)=6/(x+y+1)^4，x>0、y>0。
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- 3
設由兩個常態母體 N(μ1,σ1 = 1) 及 N(μ2 ,σ2 = 2) 中分別抽出大小為 n1 及 n 2 的兩組獨立隨機樣本，且令 X 1 及 X 2 分別為此兩組隨機樣本的樣本平均數，則： （每小題 8 分，共 16 分）
（一）試以 X 1 ， X 2 估計 μ1 − μ2 的 95%的信賴區間。
（二）若為使（一）中所求的 95%信賴區間長度為最短，且 n1 + n 2 = 100 時，試問 n1 與 n 2 應為多少？
（16 分）
- 4
設隨機變數 X 服從在[θ1 ,θ 2 ]上之均等分配（uniform distribution） ，其中θ1 ,θ 2 為未知參⎧ 1 ⎪ , ∀ x ∈ [θ 1 , θ 2 ]數，即隨機變數 X 的機率密度函數為 f ( x ) = ⎨ θ 2 − θ 1 ⎪ 0 ，其他⎩又令 X 1 , X 2 ,..., X n 為抽自 X 之一組大小為 n 之隨機樣本，則： （每小題 8 分，共 24 分）
（一）隨機變數 X 之期望值 E(X)=？變異數 V(X)=？
（二）試以動差估計法（the method of moments estimation）求θ1 ,θ 2 之點估計量。
（三）試以最大概似估計法（the method of maximum likelihood estimation）求θ1 ,θ 2 之點估計量。（請接第二頁）32380、32680 全三頁32880、37580 第二頁
（24 分）
參考架構・破題
本題以均等分配 U[θ1,θ2] 比較動差法與最大概似法，重點在兩參數動差方程式的聯立求解，以及支撐區間依賴參數時 MLE 不能用微分、要用次序統計量。
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- 5
某汽車電瓶公司宣稱其所製造的小汽車電瓶之平均壽命為3年，標準差為1年。中華民國消費者文教基金會為了檢驗該公司的宣稱是否屬實，在市場上隨機抽取五個該公司所生產的小汽車電瓶做測試，結果得到電瓶壽命資料（單位：年）為1.9, 2.4, 4.2, 3.5, 3.0。假設該公司所生產的小汽車電瓶壽命具常態分配N( μ ,σ )，試根據上述資料，建立該公司所生產的小汽車電瓶壽命標準差σ 之95%信賴區間，並請根據此信賴區間的結果，判定是否有足夠的證據在顯著水準α = 0.05 下，判定是否相信該公司對電瓶壽命標準差的宣稱。 （10分）
（10 分）
- 6
為瞭解台灣彩券公司 4 星彩中獎號碼是否為隨機產生，記錄最近 30 期中獎號碼，得到下列資料：數字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9出現次數 11 12 10 9 9 10 15 14 17 13試以α = 0.05 之顯著水準，檢定最近 30 期台灣彩券公司 4 星彩中獎號碼之數字出現的次數分配可否合於均等分配（Uniform distribution）（即檢定 0,1,…,9 等 10 個數字被搖出之機率是否相等）？
（一）可使用那一統計方法？（2 分）
（二）如何利用（一）之方法進行檢定（請寫出完整的檢定步驟）？又檢定的結論為何？（12 分）（請接第三頁）32380、32680 全三頁32880、37580 第三頁附統計表：標準常態機率分配表，Z～N(0,1) χ 2 分配右尾百分點 χα2 (v) 表
（14 分）
參考架構・破題
檢驗觀察次數是否符合某一理論分配，應使用卡方適合度檢定（goodness-of-fit test），理論分配為十個數字機率皆為 1/10 的離散均等分配。
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設 X 及 Y 為兩個連續隨機變數，其聯合機率密度函數為當 0 ≤ x ≤ 2 且 0 ≤ y ≤ 2 ，則f ( x, y ) = cy 2 x(1 + x) ；否則 f ( x, y ) = 0 。試問：
（一） c 值為何？（10 分）
（二）找出 X 與 Y 的聯合累積機率密度函數（ 0 ≤ x ≤ a 及 0 ≤ y ≤ b ），a 及 b 介於 0 及 2之間。 （10 分）
（三） X 與 Y 是否獨立？（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考聯合密度的三個基本操作：歸一化求常數、積分求聯合累積分配函數、以因式分解判斷獨立性。密度 f(x,y)=c y² x(1+x)，0≤x≤2、0≤y≤2。
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- 2
你需要付出 10 元才能加入投擲一個六面均勻骰子的遊戲。如果骰子出現 2、4、5 及6 朝上，你會損失所付出的那 10 元；如果骰子出現 3，可拿回所付出的那 10 元；如果骰子出現 1，則除了拿回所付出的那 10 元外，還可多得到 20 元。試問：
（一）此遊戲玩 1 次的收益之期望值及標準差為何？（5 分）
（二）此遊戲玩 100 次的平均收益之期望值及標準差為何？（5 分）
（三）如果你玩此遊戲 100 次，平均收益少於多少以下的機率為 95%？（10 分）
（20 分）
- 3
某光電公司人資部門有三種針對組裝作業員的教育訓練方法，目的在不降低組裝品質的情況下減少作業員組裝產品所需時間。現在隨機獨立選取 25 位組裝作業員，將其分成三組分別以此三種教育訓練方法進行訓練，訓練結束後對組裝時間進行測試，所得結果如下表（單位：秒）：方法一 方法二 方法三148 82 15 75 144 106 170 32 13 59 19 60 95 114 200 276 55 41 71 62 51 85 5 347 46
（一）試問在信賴水準95%的情況下，根據以上所提供資訊，選擇適當的統計方法分析以此三種教育訓練方法訓練後，其組裝作業員每人組裝時間的分配是否相同？（15分）
（二）說明為何使用小題（一）之統計方法進行分析？（10 分）（請接第二頁）全四頁22780 第二頁
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
業務經理想瞭解其部門內業務代表每個月拜訪客戶的交通里程數（X，單位：仟公里）與每月總銷售額（Y，單位：仟元）間的關係。此業務經理蒐集 9 個月的資料，初步樣本資料的分析產生以下的資訊：n = 9 ， ∑ X = 60 ， ∑ Y = 553 ， ∑ X 2 = 582 ， ∑ Y 2 = 39653 ， ∑ XY = 4329 ，∑ ( X − X ) 2 = 182 ， ∑ (Y − Y ) 2 = 5674.2222 ， ∑ (Y − Yˆ ) = 3407.233 。使用以上資料回答下列問題，請詳細將所使用之公式及計算過程列出：（每小題 10 分，共 30 分）
（一）求最小平方直線，並在散布圖中繪出此直線。
（二）以顯著水準為 0.05，檢定迴歸斜率是否顯著異於 0。
（三）迴歸判定係數為何？（請接第三頁）全四頁22780 第三頁附表χ 2分配右尾百分點 χα2 (df )（請接第四頁）全四頁22780 第四頁附表t 分配右尾百分點 tα（df ）
（30 分）
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設一批 12 部裝之電視中有 3 部有瑕疵，今隨機抽出 3 部檢驗，若令隨機變數 X 為檢驗出之良品數，並且當「3 部均為良品時，整批接受；否則退貨」 。
（一）若採抽驗後不放回方式，試寫出 X 之機率分配式、平均數及變異數；並求整批電視機被接受之機率為何？（8 分）
（二）若採抽驗後放回方式，試寫出 X 之機率分配式、平均數及變異數；並求整批電視機被接受之機率為何？（8 分）
（三）若採抽驗後不放回方式，試求在第 3 次檢驗中始驗出第 1 部有瑕疵電視機之機率為何？（4 分）
（20 分）
- 2
自 母 數 為 λ 之 卜 瓦 松 分 配 （ Poisson Distribution ） 抽 出 一 大 小 為 n 的 隨 機 樣 本X 1 , X 2 , … , X n ，以估計此一未知母數 λ 。
（一）試據動差法（Method of Moments）求 λ 之估計量。 （6 分）
（二）試據最概法（Method of Maximum Likelihood）求 λ 之最概估計量（Maximum Likelihood Estimator） λ̂MLE 。（6 分）
（三）驗證 λ̂ MLE 是否符合優良點估計量之一致性（Consistency）及充分性（Sufficiency）。（8 分）
（20 分）
- 3
設隨機變數 X 表一商品上升之價格（元），Y 表該商品銷售量降低之百分比（%），其聯合機率分配如下表：y x 10 20 30 5 0.1 0.2 0.1 10 0.1 0.1 0.1 15 0.1 0.1 0.1
（一）求 X 之邊際機率分配。（4 分）
（二）求 μ x 及 σ x2 。（8 分）
（三）若已知 μ y = 20 , σ y2 = 60 ，求相關係數 ρ 。（5 分）
（四）求 f (x = 5 y = 20 )。（3 分）（請接第二頁）全四頁第二頁
（20 分）
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- 4
兩變數 x 及 y 之 5 個觀察值如下：x 1 2 3 4 5 y 3 7 5 11 14今已求得： x = 3 , y = 8 , ∑ ( x − x )( y − y ) = 26 , ∑ ( x − x ) 2 = 10 , ∑ ( y − y ) 2 = 80 , ∑ ( y − yˆ ) 2 = 12.40
（一）試用最小平方法配合迴歸直線 yˆ = a + bx 。（5 分）
（二）試求相關係數。（5 分）
（三）驗證估計標準誤（Standard error of the estimate） se = 2.033 。（5 分）
（四）試求母體迴歸係數 β 之 95%信賴區間。（5 分）
（20 分）
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- 5
設某電子廠兩生產線之產品重量服從常態分配，今分別自該兩生產線隨機各抽取大小為 5 之樣本，得其產品重量﹙單位：公克﹚如下所示：生產線 A 42 34 40 46 38生產線 B 46 40 44 44 36 ∑ ( x2 − x2 ) = 16 。（6 分）
（一）試驗證生產線 B 之 xB = 42 ， sB2 = nB − 1
（二） 今 若 另 求 得 生 產 線 A 之 xA = 40 , s A2 = 20 。 試 以 α = 0.10 之 顯 著 水 準 ， 檢 定H 0 : σ A2 = σ B2 是否成立？（6 分）
（三）以α = 0.10 之顯著水準，檢定兩生產線所有產品之平均重量是否有差異？（8 分）（請接第三頁）全四頁第三頁參考數值表摘錄標準常態分配數值表Area = P(0 ≤ z ≤ z0) 0 z z0（請接第四頁）全四頁第四頁t 分配數值表α tα Degrees of Freedom χ2 分配數值表α 0 χα d.f. χ.2995 χ.299 χ.2975 χ.295 χ.205 χ.2025 χ.201 χ.2005 d.f. F 分配數值表α 0 Fα Values of F0.05 Degrees of freedom for numerator Degrees of freedom for denominator
（20 分）
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一盒中放有編號 1，2，3，4，5 之大小、形狀、重量完全相同的 5 顆球。今由此盒隨機抽一球，若抽出為 n 號球，則投擲 n 個正、反兩面出現機率均等之均勻的銅板。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）試求最後投擲之銅板中剛好有 3 個正面的機率。
（二）試求投擲之銅板出現正面次數的期望值。
（20 分）
參考架構・破題
本題是兩階段隨機實驗：先抽球決定銅板數 N，再投 N 個銅板。第一小題用全機率定理，第二小題用條件期望值（重複期望值定理）E[Y]=E[E(Y｜N)]。
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- 2
投擲三個均勻銅板 4 次，令 X 表 4 次投擲中三個銅板都是反面的次數， Y 表 4 次投擲中三個銅板只有出現一個反面的次數。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）試求 X 與 Y 皆小於 1 的機率。
（二）試求 X − Y = 1的機率。
（20 分）
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- 3
設隨機變數 X 與Y 相互獨立，且各別具有自由度為 2 與 3 之卡方分配 χ 2 (2) 與 χ 2 (3) 。X令隨機變數 T = 。（每小題 10 分，共 20 分）X +Y
（一）試求 T 之機率密度函數 f (t ) 。
（二）試求 T 之變異數Var(T ) 。
（20 分）
參考架構・破題
卡方分配是 Gamma 分配的特例，兩個獨立 Gamma（同尺度參數）變數形成 X/(X+Y) 時服從 Beta 分配。本題先把卡方寫成 Gamma，再用變數變換求出 T 的分配，最後套 Beta 分配的變異數公式。
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- 4
假設 X 1 , X 2 ,K , X n 為抽自具有常態分配 N ( μ ,σ 2 ) 之隨機樣本。（每小題10 分，共20 分）
（一）若 μ 和σ 2 為未知的參數，且設 c 滿足 P [ X 1 ≤ c] = 0.90 ，試求 c 之最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。
（二）若 μ 已知為 1， σ 2 為未知的參數，試求滿足 P [ X 1 ≤ c] = 0.90 之 c 的100(1 − α )% 信賴水準的信賴區間。（已知若隨機變數 Z 具有標準常態分配，則 P [ Z < 1.2816 ] = 0.90 ）
（20 分）
參考架構・破題
第（一）小題考 MLE 的不變性：c 是 μ、σ 的函數，只要求出 μ、σ 的 MLE 代入即可；第（二）小題 μ 已知，以 Σ(Xi−1)²/σ² 服從自由度 n 的卡方分配作為樞紐量，先建 σ² 的信賴區間，再經單調轉換得 c 的區間。
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- 5
考慮建立簡單直線迴歸模型 Yi = β1 + β 2 X i + ε i , i = 1,2,K , n ，且假設 ε i , ε 2 , ε 3 , K ε n 為相互獨立且具常態分配 N (0, σ 2 ) 之隨機誤差。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）試求 β1 與 β 2 之最大概似估計量， β̂1 與 β̂ 2 。
（二）試求題（一）中， β̂1 與 β̂ 2 之相關係數。
（20 分）
參考架構・破題
誤差項為獨立常態時，簡單迴歸的 MLE 與最小平方估計量（OLS）相同。第（一）小題寫出概似函數並求解正規方程式；第（二）小題先求 β̂₁、β̂₂ 的變異數與共變異數，再算相關係數。
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
令隨機變數X的機率密度函數為 f ( x) a bx 2，0 x 1，且X之期望值為 E ( x) ，同時令 Y -2 log X ，試求：（每小題 10 分，共 20 分）、b 之值 。的機率密度函數為何 ？
（20 分）
- 2
某聯歡晚會活動舉辦喝飲料拼字兌獎活動，若集滿「F、U、N、G、O、趣」6 個飲料瓶蓋，即可兌換平板電腦一台，假定每瓶飲料皆有此 6 個字中的一個，且機率相同。請問平均要喝多少瓶才有兌獎機會？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是典型的「集點問題」（coupon collector's problem）：把集滿 6 種瓶蓋的過程拆成 6 個階段，每階段等待新字出現的瓶數服從幾何分配，總期望值為各階段期望值相加。
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- 3
為分析員工的工作效率，下表為 A、B、C 三位員工在不同工作時間下之工作效率的 ANOVA 表，其平均工作量依序為 。變異來源 平方和 自由度時間 18 3員工 104 2誤差 12 6試寫出變異數分析所需的假設。（8 分）在顯著水準為 5％下，檢定時間之不同是否顯著地影響工作量？（9 分）在顯著水準為 5％下，求算各個小母體共同變異數 之信賴區間。（8 分）
（25 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
小江每週路跑 2 次，平均每次跑步的時間是 40 分鐘，標準差為 5 分鐘，且每週平均為 1 小時 20 分，標準差為 4 分鐘，假設在星期一他只跑 15 分鐘下，求他在星期五會跑步的預期時間為何？（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題關鍵在於由「單次」與「每週合計」的標準差反推兩次跑步時間的共變異數與相關係數，再假設雙變量常態，用條件期望值（迴歸）預測星期一跑 15 分鐘時星期五的跑步時間。
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- 5
臺灣地區滿 16 歲以上的人口約 1300 萬人，為估計這些人中抽菸的比例 p，今以隨機抽樣法抽出樣本數為 n 的一組樣本，設 X 表示樣本抽菸的人數，以樣本比例估計 p 值，則：（每小題 10 分，共 20 分）假設 n=100 人，x=50 人，在 95％的信心水準之下，試估計誤差界限（margin of error）之值為何？在 中，若希望誤差界限不超出 0.02，則 n=100 是否太多或太少，需要增加或減少多少？22980、28280 Areas under the Normal Curve 22980、28280 Critical Values of the F Distribution at a 5 Percent Level of Significance .05 0 F 22980、28280卡方分配臨界值表
（20 分）
參考架構・破題
本題考母體比例的區間估計與樣本數決定。誤差界限為 z_{α/2}·√(p̂(1−p̂)/n)；第二小題反解 n，比較所需樣本數與現有 100 人。母體 1300 萬遠大於樣本，有限母體校正可忽略。
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102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請證明：若事件 A 與事件 B 獨立，則事件 A 與事件 BC 也獨立。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題是機率公理的基本證明題：利用 A 可分割為 A∩B 與 A∩Bᶜ 兩個互斥事件，再代入獨立的定義 P(A∩B)=P(A)P(B)，即可推得 P(A∩Bᶜ)=P(A)P(Bᶜ)。
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- 2
一隨機變數 X 的動差母函數為 MX(t)=(0.3+0.7et)n，請利用動差母函數與動差的關係求算 E(X)與 V(X)。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
動差母函數的 k 階導數在 t=0 的值等於 k 階原點動差。本題 MX(t)=(0.3+0.7eᵗ)ⁿ 正是二項分配 B(n,0.7) 的動差母函數，對 t 微分一次、二次後代 t=0 即可求出 E(X) 與 V(X)。
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- 3
（一）何謂中央極限定理？試詳述之。（10 分）
（二）何謂弱大數法則？試詳述之。（5 分）
（15 分）
參考架構・破題
中央極限定理（CLT）談的是樣本平均數「分配的形狀」趨近常態；弱大數法則（WLLN）談的是樣本平均數「機率收斂」到母體平均數。兩者都是大樣本理論的基礎，作答要寫出條件、數學敘述與意義，並區辨兩者。
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- 4
下列是 5 位學生的身高與體重資料：身高（x） 172 168 164 170 176 體重（y） 62 54 58 64 62請問那一個變數的離勢（Dispersion）較大？（15 分）
（15 分）
- 5
下表是隨機選出的 10 個家庭的父母與小孩觀賞電視時間（分鐘）：家庭 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10小孩（x1） 45 56 73 53 27 34 76 21 54 43父母（x2） 23 25 43 26 21 29 32 23 25 21
（一）請問在.05 顯著水準下，我們是否可以推論父母觀賞電視的平均時間比小孩長？（15 分）
（二）在執行（一）的檢定時，我們需要那些假設條件？（5 分）32680、32880 全一張33080、37380 （背面）類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術六、為瞭解測量誤差，一位統計學教授請 4 位同學測量他自己、一位男學生及一位女學生的身高，下表是正確值與測量值的差（以公分計）。測量誤差同學 教授（1） 男學生（2） 女學生（3）1 1.4 1.5 1.3 2 3.1 2.6 2.4 3 2.8 2.1 1.5 4 3.4 3.6 2.9
（一）請問在.05 顯著水準下，我們是否可以推論 3 位被測量者的平均測量誤差間存在差異？（20 分）
（二）在執行（一）的檢定時，我們需要那些假設條件？（10 分）
（50 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
其他等別的「統計學（經建行政組）」
- 統計學（經建行政組）（地方特考三等）（60 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。