統計學（經建行政組） 申論題歷屆試題與參考架構
地方特考三等，民國 102～114 年共 13 份試卷、60 題，其中 42 題附參考答題架構。考這一科的類科：交通技術、工業行政、經建行政、農業行政、離島・經建行政。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
藉由過去數年的資料蒐集與分析，某段道路發生交通事故的次數，為每星期平均 2 次的卜瓦松分配（Poisson distribution）。試問：（計算至小數點後 4 位）（每小題 10 分，共 20 分）
（一）在 12 月第一個星期的時間內，此段道路上發生 2 次及 2 次以上交通事故之機率。
（二）在 12 月最後二個星期的時間內，此段道路上發生 1 次及 1 次以下交通事故之機率。
（20 分）
參考架構・破題
本題考卜瓦松分配（Poisson distribution）的基本運算，真正的考點有兩個：一是強度參數 λ 必須隨觀察期間等比例放大（可加性），二是「幾次及幾次以上／以下」要用補集或直接加總處理。題目要求算到小數點後 4 位，計算過程與最後數值都要寫清楚。
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- 2
依據調查，臺灣 18 歲以下青少年近視比率為 87.2%。若對全國 18 歲以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題：
（一）隨機抽取 8 人，隨機變數 X 代表近視的人數，寫出 X 的機率分配函數。（6 分）
（二）承（一），計算會抽到超過 2 人為近視的機率（亦即 P(X > 2)）。（6 分）
（三）隨機抽取 1000 人，剛好 880 人為近視的機率（請以常態分配機率近似）。（12 分）
（四）若隨機變數 Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出 Y 的機率分配函數。（6 分）
（30 分）
參考架構・破題
四小題分別考二項分配的機率函數、二項尾機率（用補集）、二項的常態近似（要加連續性校正）、以及負二項分配。判斷分配的訣竅是看「什麼固定、什麼是隨機變數」：固定抽 n 人而問成功人數是二項；固定要湊到第 k 位成功而問需抽幾人是負二項（幾何分配的推廣）。
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- 3
下表是全國姓名統計前五大姓氏（及其他）的全國占比，及從臺北市隨機抽取 2694 人，其姓氏之分布情形。姓氏 全國比例（%） 臺北市（人）陳 11.21 304林 8.33 217黃 6.00 143張 5.30 147李 5.13 146其他 64.03 1737總計 100.00 2694試問：
（一）建構臺北市姓氏為陳者的母體比例之 99%區間估計。（8 分）
（二）在顯著水準為 0.05 下，檢定臺北市姓氏為黃者的母體比例是否小於全國姓氏為黃者的比例。（10 分）
（三）在顯著水準為 0.05 下，檢定臺北市各姓氏的比例是否與全國各姓氏的比例一致。（12 分）
（30 分）
參考架構・破題
本題是類別資料的三種推論：單一比例的區間估計、單一比例的左尾檢定、多項比例的卡方適合度檢定。關鍵在先算出各樣本比例，並用對的標準誤（估計用 p̂、檢定用 p0）。
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- 4
某縣政府想評估四種流程（A、B、C、D 表示之）辦理某一業務的效率，在申請該項業務的民眾中，各隨機抽取 6 位民眾至每一種流程，觀測其完成程序所需的時間，彙整於下表：程序完成所需時間（分）辦理流程平均 標準差A 132.0 21.10 B 141.5 19.89 C 149.0 6.22 D 151.5 7.14
（一）在顯著水準為 0.05 下，檢定各辦理流程完成程序的平均所需時間是否相等。（15 分）
（二）詳細說明進行（一）之分析所需的假設。（5 分）卡方分配表Table of the Chi-square Distribution標準常態分配表F 分配機率表
（20 分）
113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為 140，標準差（σ）為 3.5，請回答下列問題：milliequivalents per liter（mEq/L）（每小題 10 分，共 20 分）
（一）假設今隨機抽樣 25 位民眾測其血液中鈉離子，請問這 25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度高於 140.5 mEq/L 的機率約為何？
（二）在母體的標準差（σ）未知情形下，假設今隨機抽樣 25 名民眾，其樣本的標準差（s）為 5。請問這 25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介於 138~142 mEq/L 之間的機率為何？
（20 分）
參考架構・破題
本題考抽樣分配：同樣是「樣本平均數落在某範圍的機率」，母體標準差已知時用常態分配（Z），未知而改用樣本標準差時要換成 t 分配並注意自由度。兩小題的對照就是命題重點，答題時要明確講出為何換分配。
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- 2
令隨機變數 X 1 ,..., X n 彼此獨立且具有相同分配：f ( x) x 1 , 0 x 1 , 0 請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）試求 的最大概似估計子（MLE）。
（二）試求題（一）估計子的一階動差。
（20 分）
參考架構・破題
本題機率密度函數為 f(x) = θx^(θ−1)，0 < x < 1，θ > 0（Beta(θ,1) 分配）。先寫概似函數求 MLE，再利用 −ln X 的分配求估計子期望值，並判斷是否不偏。
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- 3
陳老師為了解創新教學方法是否能提升學生學習成效，於是他針對課堂7 位學生，分別記錄使用創新教學方法前及使用創新教學方法後的測驗成績，成績越高代表學習成效越好，資料如下：學生 1 2 3 4 5 6 7使用前 84 72 61 78 83 86 71使用後 90 86 72 80 85 88 80在 0.05 的顯著水準下，請利用 p 值法檢定是否創新教學方法會提高學生學習成效？（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
同一批學生在教學法前後各測一次，資料為成對（相依）樣本，必須用成對樣本 t 檢定（就差異值做單一樣本 t 檢定），不可誤用兩獨立樣本 t 檢定。題目又指定用 p 值法，所以結尾要比較 p 值與顯著水準 0.05，而非只比臨界值。
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- 4
使用了三種肥料後農作物的生長高度（cm），如下表所示：A B C 20 27 21 27 24 17 26 21 20 24 25 22請建立 ANOVA 表，並在顯著水準 0.1 下檢定三種肥料對農作物的平均生長高度是否不同？（15 分）
（15 分）
- 5
醫藥人員想了解服藥的藥量（X）與藥效維持時間（Y）的關係，於是記錄 8 位病人服藥的結果如下：X 2 3 4 2 5 1 3 4 Y 20 20 60 25 75 10 40 60
（一）試用最小平方估計法（LSE）建立一迴歸方程式，來描述藥量對藥效維持時間的影響。（10 分）
（二）在 0.05 的顯著水準下，檢定藥量對藥效維持時間是否有顯著的影響。（15 分）
（三）此迴歸模型的解釋能力如何？（5 分）附表 1表中的數值代表對應的 z 值累積機率以左，標準常態曲線下方的面積。例如，z=1.25，累積機率下 0.8944。附表 2
（30 分）
112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一家化工廠的管理主管調查該工廠發生誤工事故的數量。根據歷史紀錄顯示，去年有 6%的員工遭遇誤工事故。今年因一項特殊的安全計畫將使此類事故減少至 5%。預估去年發生誤工事故的員工中將有 15%之員工在今年會再發生誤工事故。（每小題 5 分，共 10 分）
（一）試估算這兩年皆遭遇誤工事故的員工比例為何？
（二）這兩年內至少遭受一次誤工事故的員工比例為何？
（10 分）
參考架構・破題
本題是機率的基本運算，考條件機率的乘法法則與聯集的加法法則。關鍵在正確讀出題目給的三個數字各屬於什麼機率：兩個是邊際機率（去年 6%、今年 5%），一個是條件機率（去年發生過的人中今年再發生的比例 15%），千萬不要把 15% 當成聯合機率。
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- 2
勞動部的報告指出，所有失業人口的母體中，失業之平均時間為 17.5 週，失業時間之標準差為 4 週。令 X 代表 50 個樣本之平均失業週數。
（一）試問 X 的抽樣分配（包括分配與參數）？（6 分）
（二）試問樣本平均值落在母體平均值 1 週之內的機率為何？（9 分）
（15 分）
- 3
一位球場老闆宣稱他的球場地形比較複雜，以至於高爾夫球員打一回合後會丟失一打或更多的高爾夫球。一位高爾夫球員懷疑這位球場老闆誇大的宣稱。他蒐集完成一回合的 15 位高爾夫球員的隨機樣本，並記錄每人丟失的高爾夫球數如下：1,14,8,15,17,10,12,6,14,21,15,9,11,4,8假設丟失的高爾夫球數服從常態分配。在 5%的顯著水準下，以上數據能否推翻球場老闆誇大的宣稱？（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
球場老闆宣稱「打一回合會丟失一打或更多」，即主張母體平均丟球數不低於 12；球員質疑其誇大，故對立假設應為平均數小於 12，屬左尾單一母體平均數檢定。母體標準差未知、樣本僅 15 人且題目已假設常態，故用 t 檢定。
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- 4
某雜誌蒐集兩家超市 A 和 B 的顧客滿意度評級。每位調查受訪者都被要求根據多種因素對指定超市進行評分，例如：產品品質、價格、結帳效率、服務等。整體滿意度得分總結了每位受訪者的評分，分數 100 表示受訪者在所有因素方面都完全滿意。樣本數據整理如下：（每小題 15 分，共 30 分）A 超市：250 位客戶，整體滿意度平均分數 86。B 超市：300 位客戶，整體滿意度平均分數 85。
（一）某雜誌假設兩家超市整體滿意度的母體標準差皆為 12，在 0.05 顯著水準下，試以 p 值方式檢定兩家超市的整體滿意度平均分數是否有顯著差異。
（二）試計算兩家超市的整體滿意度平均分數的差異之 95%的信賴區間，並以此信賴區間檢定兩家超市的整體滿意度平均分數是否有顯著差異。
（30 分）
參考架構・破題
本題考兩獨立母體平均數差的推論。因題目假設兩母體標準差皆已知（σ＝12），且樣本數大（250 與 300），統計量用 Z 而非 t。第（一）小題要求 p 值法檢定，第（二）小題要求信賴區間並說明兩者結論一致，正是「檢定與區間估計對偶關係」的標準考法。
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- 5
下列資料是根據國家顧客滿意度指數蒐集的三家公司連續兩年的平均滿意度分數。假設每家公司每年隨機抽取 60 名客戶做為樣本。假設此三家公司每年滿意度分數的標準差均為 6 分。公司 今年 去年A 72 75 B 81 83 C 79 80資料顯示此三家公司今年的滿意度分數均較去年降低。若以 α 0.05 進行假設檢定，試問下降分數須有多大才具有統計顯著性？（15 分）
（15 分）
- 6
在完全隨機的設計中，有一個因子包含五個水準，每個水準下都使用了七個實驗單元。變異數分析表如下：變異來源 平方合 自由度 均方 F處理 300 4誤差總合 460試寫下 F 值對應之虛無與對立假設，並在 α 0.05 的顯著水準下，以 p 值方式進行假設檢定。 （15 分）
（15 分）
111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某研究擬測試三種品牌汽油的每加侖所能行駛之英哩數。由於不同廠牌汽車的汽油性能特點不同，實驗選取 4 個廠牌汽車作為區集；意即，每個廠牌的汽車都用每種類型的汽油進行測試。實驗結果如下表：（以英哩/加侖為單位）汽油品牌I II III甲 18 21 27乙 24 23 28汽車丙 20 25 30丁 22 23 27
（一）試計算並列出適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVA Table）。（20 分）
（二）試寫出檢驗三種品牌汽油之每加侖英哩數差異的虛無假設與對立假設，計算檢定統計量，並說明在 5%之顯著水準下，三種品牌汽油之每加侖英哩數是否有顯著差異。（10 分）
（30 分）
- 2
假設 為解釋變數、 為反應變數，且 i 1,2,..., n 。為了描述兩變數之關聯性，擬建立簡單線性迴歸模型： = + + ，其中 , … , 為獨立 且 相 同 N (0, 2 ) 分 佈 之 誤 差 。 請 利 用 下 方 訊 息 回 答 問 題 ：n 14 , X 630 , Y 520 , X Y 20940 , n n n i 1 i i 1 i i 1 i i X 30300 , Y 22482 。n 2 n 2 i 1 i i 1 i
（一）試計算並寫出最小平方估計方程式。（10 分）
（二）試計算並解釋判定係數（Coefficient of Determination; R2）及樣本相關係數（Sample Correlation Coefficient）。 （10 分）
（三）試計算並解釋當 X 45 時，Y 的期望值之 95%信賴區間。 （10 分）（參考值： t0.025,12 2.179, t0.05,12 1.782, t0.025,13 2.160, t0.05,13 1.771 t0.025,14 2.145, t0.05,14 1.761）
（30 分）
參考架構・破題
由題目給的彙總量（n、ΣX、ΣY、ΣXY、ΣX²、ΣY²）算出 Sxx、Sxy、Syy，依序求最小平方迴歸線、判定係數與相關係數，以及在 X = 45 時平均反應的信賴區間。
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- 3
定義 X 及 Y 為獨立的標準常態分布隨機變數，令 U X / Y 及 V Y 。試計算 U 和 V 之機率密度函數，並說明 U 和 V 分別為何分布。 （20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題 U = X／Y、V = |Y|，X、Y 為獨立標準常態。用雙變數變數變換（Jacobian 法）求聯合密度，再積分得邊際密度；結論是 U 為標準柯西分配、V 為半常態分配，且 U、V 相互獨立。
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- 4
定義母群體平均值為μ，欲進行假設檢定問題：H 0 （虛無假設）： 10 ； H a （對立假設）： 10 。已知母群體標準差為 6，樣本數是 36。在 95%的信心水準之下，當真實的母群體平均值為 10.68 時，試計算並說明進行此檢定最合適的檢定統計量之檢定力（Power）是多少？（20 分）附表一、標準常態分布表(左尾機率)，例如：P(Z ≤ 1.96) = 0.975附表二、F分布表(右尾機率)，例如：P(F , > 8.53) = 0.10
（20 分）
參考架構・破題
母體標準差已知、雙尾檢定，最合適的檢定統計量為 Z 統計量。檢定力 = 1 − β = 真實 μ = 10.68 時拒絕 H0 的機率，關鍵是先把拒絕域換成 X̄ 的臨界值，再在真實平均下計算機率。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
平西鎮於 100 年至 109 年夏季（7-9 月）每日最高氣溫高於 35℃之日數如下表所示：年份 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109日數 28 30 26 24 29 32 34 25 42 30試回答下列問題：
（一）請判斷這十年間夏季每日最高氣溫高於 35℃之日數分布型態為左偏、右偏或對稱，並說明判斷依據。（5 分）
（二）請問這十年間是否有夏季每日最高氣溫高於 35℃之日數異常過多或過少之年份，並說明判斷依據。（5 分）
（10 分）
- 2
賢東超商的店長想評估是否應該在週日下午 4 點到晚上 8 點的時段多聘僱一位臨時店員，如果這段時間的平均來客數超過 200 人的話，那麼他就會多聘僱一位臨時店員。店長在過去七個週日記錄該時段的來客數如下表：日期（日/月） 12/9 19/9 26/9 3/10 10/10 17/10 24/10來客數 175 210 190 225 250 190 230假定此一時段的來客數服從常態分配，請回答下列問題：
（一）在顯著水準 0.1 之下，試檢定賢東超商週日下午 4 點到晚上 8 點的平均來客數是否大於 200 人。請完整寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量以及結論。 （10 分）
（二）試建構此平均來客數的 95%信賴區間。（5 分）
（15 分）
參考架構・破題
母體常態、σ 未知、小樣本（n = 7），平均數檢定與區間估計都用 t 分配。店長「超過 200 人才加人」，對立假設應放在 μ > 200 的右尾檢定。
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- 3
鎮平公司有兩條生產線，假定生產線 A 平均每 2 小時會產出一件不良品，而生產線 B 則是平均每 3 小時會產出一件不良品，假定兩條生 產 線 互 相 獨立 而 且 不 良 品的 產 出 均 服 從布 瓦 松 過 程 （ Poisson，在每天上午 8 點兩條生產線同時開動後，請回答下列問題：Process）
（一）第一件不良品是由生產線 A 生產出來的機率為何？（10 分）
（二）試問生產線 B 在中午 12 點暫停休息之前，沒有產出任何一件不良品之機率為何？（10 分）
（20 分）
參考架構・破題
兩條生產線各自為獨立的卜瓦松過程，本題兩小題分別考兩個核心性質：一是「兩個獨立卜瓦松過程競爭，第一個事件來自哪一條的機率＝該線強度占總強度的比例」，二是「指定期間內沒有任何事件的機率＝e 的負 λt 次方」（等價於首次等待時間服從指數分配）。先把兩條線的強度換成相同時間單位是第一步。
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- 4
某醫學中心蒐集就診人的資料以驗證吸菸與心臟血管疾病之關係，資料如下：吸菸習慣 不吸菸 偶爾吸菸 吸菸 大量吸菸無 500 100 150 50心臟血管疾病有 50 40 80 30其中偶爾吸菸指平均一天吸菸不超過 5 支，吸菸表示一天吸菸 5 支到 1 包（20 支），大量吸菸表示一天吸菸 1 包以上。
（一）試檢定吸菸量與是否罹患心臟血管疾病有無相關。請完整寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量及若使用之顯著水準為 0.05 之結論。（10 分）
（二）試檢定不吸菸者罹患心臟血管疾病的機率是否小於吸菸者罹患心臟血管疾病的機率。請完整寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量及結論。 （10 分）
（20 分）
- 5
全東機械公司想要評估 3 種不同的製程方式對產量的影響，於是由旗下的 5 個工廠分別使用 3 種製程方式進行為期一週的生產，產量資料如下：製程方式 A B C 平均 變異數甲 15 16 17 16 1乙 14 13 15 14 1工廠 丙 11 11 14 12 3丁 15 13 17 15 4戊 11 13 15 13 4平均 13.2 13.2 15.6變異數 4.2 3.2 1.8所有 15 筆資料之整體平均產量為 14，變異數為 4。
（一）試問此為何種實驗設計？並說明該設計在此一評估下的優點。（5 分）
（二）請列出正確的變異數分析（ANOVA）表以檢定製程方法對產量是否有顯著影響。在顯著水準 0.05 之下，請完整寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量及結論。（15 分）
（20 分）
參考架構・破題
每個工廠都把三種製程各做一次，工廠是集區（區集），屬隨機化集區設計。ANOVA 要把總變異拆成處理、集區、誤差三塊；題目說「正確的」ANOVA 表，就是提醒不能用單因子 ANOVA。
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- 6
禮樂餐飲集團想研究南屏縣各大學學生人數與校園周邊餐廳數量的關係，資料如下：大學 自強 樂群 真平 美樂 靜平 平均 變異數 標準差學生數5 12 6 10 7 8 8.5 2.92（千）餐廳數 10 25 12 15 18 16 34.5 5.87學生數（千）與餐廳數的相關係數約為 0.847。今若以學生數（千）為解釋變數、餐廳數為反應變數配適一簡單線性迴歸模型，請完成以下之迴歸分析及變異數分析（ANOVA）表格中空格部分（A）至（Q），並請列出必要之計算過程或理由。 （15 分）迴歸分析表：估計值 標準誤 t-值 P 值截距 （A） 5.21 （B） 0.6820學生數（C） （D） （E） 0.0702（千）決定係數（Coefficient of determination，R ）=（F）調整後 R 平方（Adjusted R ） =（G）變異數分析（ANOVA）表：平方和 均方和自由度 F 值 P 值（SS） （MS）學生數（H） （I） （J） （K） （L）（千）殘差 （M） （N） （O）總體 （P） （Q）表1 頁次：9－5表2表3表4-1表4-2 頁次：9－9
（15 分）
參考架構・破題
用摘要統計量重建簡單線性迴歸：斜率 b1 = r×sy/sx，再由 SST、R² 拆出 SSR、SSE，其餘格子都靠 t² = F、R² = SSR/SST 等關係推出。依序算、每格寫公式即可。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
下表為各縣市在109年6月的「扶養比」與「醫療院所平均每千人擁有病床數」。最後一欄為兩變數相乘的值，最後兩列為觀測值的總和與觀測值的平方之總和（平方和） 。醫療院所平均每千人縣市 扶養比（A） （A）×（B）擁有病床數（B）新北市 36.52 4.75 173.470臺北市 46.47 9.68 449.830桃園市 37.25 6.72 250.320臺中市 37.48 7.82 293.094臺南市 38.90 7.05 274.245高雄市 38.59 8.14 314.123宜蘭縣 39.96 8.68 346.853新竹縣 40.67 5.15 209.451苗栗縣 40.81 6.39 260.776彰化縣 40.69 6.28 255.533南投縣 40.47 6.92 280.052雲林縣 42.68 5.74 244.983嘉義縣 40.94 6.70 274.298屏東縣 38.76 7.11 275.584臺東縣 39.78 7.04 280.051花蓮縣 40.29 13.19 531.425澎湖縣 36.97 5.24 193.723基隆市 37.28 10.70 398.896新竹市 42.36 6.34 268.562嘉義市 41.12 15.01 617.211金門縣 29.74 2.36 70.186連江縣 31.50 3.98 125.370總和 859.23 160.99 6388.035平方和 33821.94 1349.34
（一）計算109年度的扶養比之第1、第2與第3四分位數，再求得其四分位距（Interquartile range, IQR）。（10分）
（二）繪製109年度的扶養比之盒鬚圖（box-and-whisker plot）。依據所繪盒鬚圖判斷是否存在離群值；若有，請說明是那些縣市。 （5分）
（三）假設醫療院所平均每千人擁有病床數服從常態分配，在顯著水準0.05下，檢定醫療院所平均每千人擁有病床數之母體均數是否大於6。 （10分）
（四）計算扶養比與醫療院所平均每千人擁有病床數兩變數之相關係數。（10分）
（35 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 2
下表為針對三個直轄市市民，對於日常使用搭乘公車或捷運偏好之隨機抽樣調查結果：公車 捷運新北市 364 391臺北市 369 418高雄市 280 237
（一）計算新北市市民於日常偏好搭乘公車的母體比例之95%區間估計。（8分）
（二）在顯著水準為0.05下，檢定新北與高雄兩直轄市的市民，在日常對於公車的使用偏好的比例是否相等。（10分）
（三）以顯著水準為0.05，檢定三個直轄市的市民，在日常使用捷運之偏好選擇的比例是否皆為一致。 （12分）
（30 分）
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- 3
某工程公司為了解那些因素會影響員工對於公司福利的滿意程度，進行一項抽樣調查。調查結果以福利滿意度分數（分數愈高表示滿意度愈高）為反應變數，同時以員工之工作年資（單位：年） 、薪資（單位：千元）及性別為三個解釋變數，建構迴歸模型分析。分析所得之迴歸殘差標準誤的估計為7.0，且其變異數分析（ANOVA）結果如下：變異來源 平方和（SS） 自由度 均方和（MS） F值Regression 1818 （C） （E） （G）Error （A） 20 （F）Total （B） （D）
（一）請寫出空缺部分（A）至（G） 。（7分）
（二）計算判定係數（coefficient of determination）R²及調整的判定係數（adjusted R²）。（8分）
（15 分）
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- 4
若某委員會有四位超過62歲的委員，其中δ位是女性，4-δ位是男性。考慮假設檢定 ： = 2， ： ≠ 2。其檢定規則為：若以取出放回的方式，由此四位中隨機抽取兩人，若兩位皆為同性別，則拒絕 ；否則，不拒絕 。（每小題10分，共20分）
（一）計算其型 I 錯誤（type I error）的機率。
（二）若改為取出不放回，計算其型 I 錯誤的機率。t分配表α tα卡方分配表
（20 分）
參考架構・破題
本題把假設檢定的「型 I 錯誤」定義套進一個有限母體的抽樣問題。型 I 錯誤機率就是「虛無假設為真時仍落入拒絕域的機率」，因此必須先把 H0 成立時的母體組成寫清楚（δ=2，即 2 女 2 男），再分別以取出放回與取出不放回計算「抽到兩人同性別」的機率。數字本身不難，分數都在定義交代與過程。
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108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
以下是關於條件機率以及指數分配（exponential distribution）的問題。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）一政府官員在 5 個治安情形不同的國家洽公，假定此政府官員的行程如下：A 國→B 國→C 國→D 國→E 國。如果各國錢包被偷的機率是 A 國為 0.02，B 國為 0.03，C 國為 0.07，D 國為 0.01。已知此官員抵達 E 國時，錢包已被偷（非在 E 國被偷），請問此官員其錢包在 C 國被偷的機率為何？
（二）一辦公室在 A 地之政府官員要到 B 地開會，此官員必須先從辦公室走路 9 分鐘至一公車站，然後坐上公車直達 B 地開會地點。已知在此公車站其任一公車之間隔到達時間服從一平均值 20（分鐘）的指數分配（exponential distribution），其中公車之間隔到達時間是指從這班車離開之時間算起到下一班車到達所需等待之時間。若此官員要不晚於上午 10 點 40 分坐上公車，開會才不會遲到。請問此官員最晚應在什麼時間從辦公室出發，才會有至少 0.9 的機率不會遲到（答案請計算至分鐘單位；log(a)為數字 a 的自然對數值，log(2)=0.69，log(3)=1.1，log(10)=2.3，log(13)=2.56）。
（20 分）
參考架構・破題
兩小題分別考「條件機率與全機率法則在互斥事件上的運用」與「指數分配的無記憶性」。第一小題要把「錢包在第 i 國被偷」寫成互斥事件，注意被偷前必須在前面各國都沒被偷；第二小題要看出等車時間服從平均 20 分鐘的指數分配，由 P(等車時間 ≤ t) ≥ 0.9 反解 t，再往前扣 9 分鐘步行時間。
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- 2
以下是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及假設檢定的問題。（每小題 10 分，共 20 分）
（一） 考 慮以 下 離散 型 機率 分 配函 數 （discrete probability distribution function） 2 1 (θ + 3)( 2 ) x , x = 1, 2, 3,… f ( x) = θ +c 2 0 , 其他其中 θ 是參數而 c 是欲求的數。一組服從上述機率分配的母體所得到的一組隨機樣本如下：1 3 1 2 4 1請計算 c 的可能值以及根據此組樣本所得之參數 θ 的最大概似估計量的值。
（二）某電競遊戲設計為共 4 道關卡的闖關遊戲，假定 X 為通過關卡數的隨機變數且其分配是一個成功機率為 p 的二項式分配（binomial distribution） ，其中 X 的可能值為 0, 1, 2, 3, 4。針對以下假設 H： 0 p =對 H： 1 p = ，給定以下 4 種檢定法：檢定法 A：如果 X=4，則拒絕 H 0 ，反之則不拒絕 H 0 ，即拒絕域（rejection region）為集合 {4}；檢定法 B：如果 X=0，則拒絕 H 0 ，反之則不拒絕 H 0 ，即拒絕域為集合 {0}；檢定法 C：如果 X ≤ 1，則拒絕 H 0 ，反之則不拒絕 H 0 ，即拒絕域為集合 {0, 1}；檢定法 D：如果 X=0 或 X=4，則拒絕 H 0 ，反之則不拒絕 H 0 ，即拒絕域為集合 {0, 4}。設定顯著水準為 α = ，請決定上述 4 種檢定法，那一個或那些檢定法是符合α 之設定且有最大檢定力（power）的檢定法？
（20 分）
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- 3
以下是關於朴松分配（Poisson distribution）以及二項式分配（binomial distribution）的參數估計問題。
（一）若某一速食店一日來客人數服從於平均值為 λ （人）的朴松分配（Poisson distribution），以下是隨機收集該速食店 5 日的每日來客人數資料：433 人，375 人，450 人，375 人，367 人。根據上述資料，請算出 λ 的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）的值。（5 分）
（二）若 隨 機 變 數 X 1 , X 2 ,… , X 10 是 彼 此 獨 立 且 其 分 配 為 做 一 次 試 驗且 成 功 機 率 為 0.2 的 二 項 式 分 配 （ binomial distribution） 。∑ i =1 ( X i − X ) 10 2 10請算出 S = 2的 期 望 值 E(S ) 以 及 ∑ X i2 的 變 異 數9 i =1 X ) ，其中 X = ∑i =1 i 。（10 分）X Var(∑10 i =1 i
（15 分）
參考架構・破題
第一小題是朴松分配參數的最大概似估計，標準結論為樣本平均數；第二小題是成功機率 0.2 的白努利樣本，問樣本變異數的期望值與樣本總和的變異數。題幹轉檔後符號略有毀損，但可判讀為求 E(S²) 與 Var(ΣXi)，作答時可先把題意重述清楚再推導。
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- 4
以下是關於卡方檢定（chi-squared test）以及單因子變異數分析法（one-way ANOVA）的問題。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）在一次有 3 位總統候選人的總統大選，某電視名嘴宣稱候選人甲的支持率為 p1=0.425，候選人乙的支持率為 p2=0.235，候選人丙的支持率為 p3=0.115，而不表態或都不支持這 3 位候選人的比率為p4=0.225。某一民調單位得到以下樣本數為 1000 的問卷結果：支持候選人甲的人數為 450 人，支持候選人乙的人數為 225 人，支持候選人丙的人數為 125 人，不表態或者都不支持這 3 位候選人的人數為 200 人。根據這份問卷，在顯著水準 α=0.05 下，請利用卡方檢定（chi-squared test）來驗證此名嘴的說法是否與該民調單位調查結果一致，即檢定H0 ：p1 =0.425，p2 =0.235，p3 =0.115，p4 =0.225對H1 ：p1 ，p ，p 以及p4 並非2 3 p1 =0.425，p2 =0.235，p3 =0.115，p4 =0.225。
（二）一機械零件生產公司欲比較其 3 條生產線所生產之零件的平均規格（分別為 µ1 ， µ2 以及 µ 3 ）是否一致。此公司在每一條生產線各取得 5 件隨機樣本，這 3 組樣本其規格之平均值分別為 3.6，3.4以及 4.1。另外，這總共 15 件零件其規格之變異數為 0.14。在顯著水準 α=0.05 下，請利用單因子變異數分析法（one-way ANOVA）來檢定這三條生產線所生產零件的平均規格是否一致，即檢定H0 ：μ1 =μ2 =μ3 對 H1 ：μ1 ，μ2 以及μ3 並不完全相等。
（20 分）
參考架構・破題
兩小題都是「套公式、代數字、下結論」的標準題。第（一）小題用卡方適合度檢定，比較民調觀察次數與名嘴宣稱比例推得的期望次數；第（二）小題用單因子變異數分析，關鍵在於從「15 件零件整體的樣本變異數 0.14」回推總離差平方和，再拆解成組間與組內。
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- 5
以下是關於無母數統計以及母體平均與比率的問題。
（一）對以下來自可能非常態分配母體且樣本數少的隨機樣本14 18 23 25 32 48 11當使用威爾考森符號等級檢定法（Wilcoxon signed rank test）來檢定母體中位數 M 是否為 20，即檢定H0 ：M=20對H1 ：M≠20，請算出分別對應正負符號的兩檢定統計量。（5 分）
（二）某收視率調查公司對某電視節目收視率 p 進行調查，該公司做出兩份利用隨機抽樣所得之收視率報告，其中一份樣本數為 400，而另一份樣本數為 1600，且兩份報告所得之估計收視率相同且都不超過30%，其中估計收視率即樣本中收看此節目觀眾數占樣本數之比率，也就是樣本比率（sample proportion）。而兩份報告關於收視率p 的兩個 95%信賴區間，其中較長的信賴區間比另一信賴區間長度長 0.0294。試求這兩份報告所得之估計收視率以及收視率 p 的兩個95%信賴區間。（10 分）
（三）市售某品牌防彈咖啡號稱喝一個月後有減重效果。若 µ2 是喝此防彈咖啡一個月後消費者之平均體重，而 µ1 是這些消費者喝之前之平均體重，從這些防彈咖啡的消費者，隨機得到以下 6 組成對樣本（paired samples or matched samples）資料(x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) (x4, y4) (x5, y5) (x6, y6) =(63, 61) =(69, 67) =(59, 60) =(57, 58) =(76, 70) =(63, 59)其中 xi 為第 i 個消費者喝此防彈咖啡前所測之體重，而 yi 為這個消費者喝了此防彈咖啡一個月後所測之體重，i=1,…,6。在顯著水準α=0.05 下，請利用成對樣本 t 檢定法（paired samples t test or matched samples t test）決定是否有足夠證據顯示此防彈咖啡有該公司宣稱的減重效果，即檢定H0 ：μ1 ≤ μ2 對H1 ：μ1 > μ2。（10 分）
（25 分）
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
某一箱子有 20 顆球，白球 10 顆，黑球 10 顆。今以取出放回的方式從箱內隨機抽取 3 球。令 X 代表白球的個數。
（一）求 X = 2 的機率，即 P(X = 2)。（5 分）
（二）求 X 的動差母函數，即 E[e tX ]。（5 分）
（三）求 E[X 3]。（5 分）
（四）若隨機變數 Y 與 X 獨立且兩者有相同的機率分配，求 E[( X − Y ) 3 ] 。（ 10 分）
（25 分）
參考架構・破題
箱中白、黑球各 10 顆，取出放回抽 3 球，故白球數 X 服從二項分配 B(3, 1/2)。四小題依序考機率值、動差母函數、三階原始動差，以及利用對稱性求 E[(X − Y)³]。先把分配認出來，後面都是標準運算。
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- 2
設隨機變數 X 服從常態分配，具有平均數 未知，變異數 4，從該母體X 取出一組隨機樣本，有 5 個觀察值，數值如下：2, 3, 4, 4, 2。現進行H：0 μ = 1.4 ， H ：a μ > 1.4 之檢定。
（一）試問該組樣本（前述觀測值樣本）平均數所對應的觀測值的顯著水準（亦稱 p 值）？（10 分）
（二）在型一誤差機率為 0.05 之下，試問接受或拒絕虛無假設 H 0 ？（5 分）
（三）使用型一誤差機率為 0.05 的拒絕域，求 H ： a μ = 2.645 的檢定力。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題是母體變異數已知（σ² = 4）的常態單尾檢定。三小題分別求 p 值、作出決策、以及在特定對立值下的檢定力。重點是分清標準誤 σ/√n = 2/√5，並把拒絕域先換算到樣本平均數的尺度上，才算得出檢定力。
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- 3
今欲比較某作物四種不同品種平均產量差異比較，分別在三個不同地區進行，每個地區種植順序完全隨機安排，記錄其產量，共得 12 筆資料，資料符合變異數分析（ANOVA）模型之假設條件，經由分析結果，摘錄於以下 ANOVA 表：變異來源 df SS MS F品種 （A） （D） 0.222 （G）地區 （B） 60.667 （F） （H）殘差 （C） （E）總計 72.667
（一）完成上述 ANOVA 表內（A）至（H）格的數值。（8 分）
（二）在型一誤差α=0.05 之下，試問該作物四種不同品種平均產量是否有顯著差異？（8 分）
（三）在型一誤差α=0.05 之下，試問該作物在三個不同地區的平均產量是否有顯著差異？（9 分）
（25 分）
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- 4
考慮簡單線性迴歸反應變數模型 yi = β 0 + β1 xi + ε i ，若誤差 ε i 是常態分配，平均數是0，標準差σ 未知。解釋變數 x 與反應變數 y 的 5 個觀測值5 5 5 (x1,y1), … ,(x5,y5) ， 經 計 算 得 到 ∑ xi = 15 ， ∑ yi = 20 ， ∑ xi y i = 69 ，i =1 i =1 i =1 5 5 ∑ xi2 = 55 ， ∑ yi2 = 90 。i =1 i =1
（一）求 x 與 y 的樣本相關係數。（8 分）
（二）以最小平方法求 β1 的估計值。（7 分）
（三）若 β1 估計式（estimator）的標準誤是 0.253，求 β1 的 95%信賴區間。（10 分）附表標準常態分配數值表(右尾機率) 例如: P(Z > 1.645)=0.05 Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233學生 t 分配數值表 (右尾機率)右尾機率例如: 在自由度為1時， P(t > 3.0777)=0.10自由度 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 1 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 F分配數值表 (右尾機率)分子自由度 例如: 在分子自由度為2，分母自由度為2，分母自由度 α 2 3 4 5 6 α=0.05， P(F > 19)=0.05 1 0.05 199.5000 215.7073 224.5832 230.1619 233.9860 1 0.025 799.5000 864.1630 899.5833 921.8479 937.1111 2 0.05 19.0000 19.1643 19.2468 19.2964 19.3295 2 0.025 39.0000 39.1655 39.2484 39.2982 39.3315 3 0.05 9.5521 9.2766 9.1172 9.0135 8.9406 3 0.025 16.0441 15.4392 15.1010 14.8848 14.7347 4 0.05 6.9443 6.5914 6.3882 6.2561 6.1631 4 0.025 10.6491 9.9792 9.6045 9.3645 9.1973 5 0.05 5.7861 5.4095 5.1922 5.0503 4.9503 5 0.025 8.4336 7.7636 7.3879 7.1464 6.9777 6 0.05 5.1433 4.7571 4.5337 4.3874 4.2839 6 0.025 7.2599 6.5988 6.2272 5.9876 5.8198
（25 分）
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106 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
已知兩個獨立且相同分配的隨機變數分別為 X 和 Y，而且 X + Y 的動差母函數t（moment generating function）為 m X +Y (t ) = e 4(e −1) 。請回答下列問題：
（一）求隨機變數 X 的動差母函數及機率分配函數。 （12 分）
（二）計算機率 P(X ≥ 2) 。（5 分）
（三）利用題（一）的動差母函數，求母體變異數（variance）。 （8 分）
（25 分）
參考架構・破題
由 X + Y 的動差母函數 e^(4(e^t − 1)) 可認出 X + Y 服從朴松分配、參數 4；又 X、Y 獨立同分配，mgf 具可乘性，故 X 的 mgf 為 e^(2(e^t − 1))，即 X ~ 朴松(2)。認出分配是全題關鍵，後兩小題都是它的直接應用。
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- 2
設 X 1 和 X 2 是兩個獨立且有相同分配的隨機變數，其機率密度函數如下所示：x 1 − f ( x) = e θ ， 0 < x < ∞ ， 0 < θ < ∞ 。θ請回答下列問題：（每小題 6 分，共 24 分）
（一）證明 X 1 + X 2 是θ 的充分統計量（sufficient statistic）。
（二）求 Y1 = X 1 + X 2 和 Y2 = X 2 的聯合機率密度函數。
（三） Y1 和 Y2 如題（二）所定義，計算已知 Y1 下， Y2 的期望值，即 E (Y2 | Y1 ) 。
（四） Y1 和 Y2 如題（二）所定義，求 E (Y2 | Y1 ) 的變異數，即 Var ( E (Y2 | Y1 )) 。
（24 分）
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- 3
研究洋蔥在不同溫度下軟化的程度，隨機抽取 6 袋洋蔥，每袋有 5 顆洋蔥。3 袋洋蔥存放於華氏 60 度的儲存室，另外 3 袋洋蔥存放於華氏 80 度的儲存室。應變數（dependent variable）Y 為軟化的程度。利用統計軟體（SAS）PROC MEANS 得到下列結果：溫度 袋 總和 平均數 修正的平方和（corrected sum squares）60 1 50 10 52.58 60 2 55 11 42.82 60 3 75 15 19.30 80 4 70 14 22.78 80 5 90 18 51.12 80 6 80 16 57.40 === === ===== 420 84 246.00請回答下列問題：
（一）寫出計算適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVA Table），包含來源（source）、自由度（degree of freedom）及平方和（sum of squares）。（18 分）
（二）以 F 檢定（F test）檢定溫度的效果，列出虛無假設與對立假設，檢定統計量、棄卻域（rejection region）和結論。 （8 分）（參考的 f 值： f5, 24,0.05 = 2.621, f1, 24,0.05 = 4.260, f1, 4,0.05 = 7.709, f1, 23,0.05 = 4.279) 31480 全一張33980 （背面）等 別：三等考試
（26 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 4
某便利商店為了瞭解廣告的促銷效果，在臺北市隨機抽取 15 家分店比較廣告前的銷售量 xi 與廣告後的銷售量 yi ， i = 1, 2, ... , 15 。資料整理如下所示：廣告前的銷售量 廣告後的銷售量樣本平均數 x = 800 y = 1200樣本變異數 S x2 = 1400 S y2 = 2000另知廣告前後銷售量的樣本相關係數為 r = 0.85 。擬以簡單線性迴歸模型i.i.d. yi = β 0 + β1xi + ε i , ε i ～ N (0, σ 2 ) , i = 1, 2, ... ,15 ,分析資料，請回答下列問題：
（一）求斜率（ β1 ）的最小平方估計值。（10 分）
（二）檢定廣告前後的平均銷售量是否相等？（假設廣告前後的銷售量的母體均滿足變異數均等的常態分配，顯著水準α = 0.10 。）（5 分）
（三）已知廣告前的銷售量是 900，求其廣告後的平均銷售量是多少？（10 分）（參考的 t 值： t30,0.05 = 1.697, t 29,0.05 = 1.699, t15,0.05 = 1.753, t14,0.05 = 1.761）
（25 分）
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105 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
下表為 102 年度各縣市之自有財源占歲出比與人事費占自有財源比的資料。（桃園於103 年 12 月 25 日後升格改制為直轄市）類別 縣市別 自有財源占歲出比（%） 人事費占自有財源比（%）新北市 76 59.89臺北市 79 59.67桃園市 81 73.80直轄市臺中市 73 61.55臺南市 65 70.10高雄市 70 75.73基隆市 55 101.83市 新竹市 75 71.76嘉義市 57 95.41宜蘭縣 56 98.61新竹縣 66 84.94苗栗縣 42 113.48彰化縣 51 121.02南投縣 53 109.54縣雲林縣 48 120.77嘉義縣 38 140.21屏東縣 41 152.01臺東縣 37 160.36花蓮縣 45 124.21澎湖縣 27 111.98離島 金門縣 94 33.81連江縣 21 141.96假設各縣市之自有財源占歲出比與人事費占自有財源比皆服從常態分配，請回答以下問題：
（一）在顯著水準為 0.05 下，檢定自有財源占歲出比與人事費占自有財源比的母體平均數是否相等。 （8 分）
（二）若以自有財源占歲出比為解釋變數，人事費占自有財源比為反應變數，依此建立一簡單線性迴歸模型，請以最小平方估計法，計算此迴歸模型之截距與斜率。 （10 分）
（三）將各縣市分為「直轄市」、「市」、「縣」及「離島」等四類（如表格中之「類別」一欄所示），且假設各類別下各縣市之人事費占自有財源比皆服從常態分配。在顯著水準為 0.05 下，請以單因子變異數分析檢定各類別之人事費占自有財源比的母體平均數是否都相等。（12 分）（請接第二頁）全五頁31980、34480 第二頁等 別：三等考試
（30 分）
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- 2
某大企業集團有 A、B、C 三個事業群，事業群 A 下置有四個單位執行長，事業群 B下有三個執行長，事業群 C 下有兩個執行長。若集團董事會將隨機由此九個執行長選派三人至集團總管理處，令隨機變數 Y1與 Y2 分別代表事業群 A 和事業群 B 會被選派到的人數：
（一）請寫出 Y1 與 Y2 的聯合機率分配函數。（5 分）
（二） Y1 的邊際機率分配函數。（10 分）
（三） Y1 與 Y2 是否為互相獨立？請詳述理由。（10 分）
（25 分）
參考架構・破題
九位執行長依事業群分為 4、3、2 三群，無放回隨機選派 3 人，Y1 與 Y2 的聯合分配即多變量超幾何分配。三小題依序考聯合機率分配、邊際機率分配與獨立性判斷；因為抽取人數固定，兩者必然不獨立且呈負相關。
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- 3
若 Y 之機率密度函數如下：⎧ φ ( y) ⎪ a< y<b f ( y ) = ⎨ Φ(b) − Φ(a) ⎪⎩ 0 其他其中φ ( y ) 與 Φ( y ) 分別為標準常態分配的機率密度函數與分配函數。請推導求得 Y 的φ (a) − φ (b)期望值 E (Y ) = 。（13 分）Φ(b) − Φ(a)
（13 分）
參考架構・破題
本題是截斷常態分配（truncated normal，截斷於 a < y < b）的期望值推導。核心工具只有一個：標準常態密度滿足 φ'(y) = −y φ(y)，因此 y φ(y) 的反導函數為 −φ(y)。把它代進期望值定義式即可得證。
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- 4
下表為今年度高考三級錄取人數最多的前 5 類的到考人數與錄取人數，包括土木工程、財稅行政、人事行政、會計及一般行政。類科 到考人數 錄取人數土木工程 1691 436財稅行政 2382 208人事行政 2840 204會計 1542 180一般行政 3171 170在顯著水準為 0.05 下，請檢定「類科」和「錄取與否」是否有關。（12 分）
（12 分）
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- 5
若有兩組獨立隨機樣本，分別以{Y11, Y12 ,..., Y1n } 與{Y21 , Y22 ,..., Y2 n } 表示之，此兩組樣本1 2各抽自具不同母體平均數的常態分配，但有相同的母體變異數 σ²。令 Y1 與 Y2 為第一、二組資料的樣本平均數， s12 與 s 22 分別為其樣本變異數，定義如下：ni ∑ (Yij − Yi )2 j =1 si2 = i = 1,2 n i −1請回答以下問題：(n1 −1) s12 + (n2 − 1) s 22
（一）若 s p = ，則 s 2p 是否為 σ²的不偏估計？請詳述理由。（10 分）n1 + n2 − 2
（二）計算求得 s 2p 的變異數。（10 分）（請接第三頁）全五頁31980、34480 第三頁等 別：三等考試（請接第四頁）全五頁31980、34480 第四頁等 別：三等考試χ 2 分配表（請接第五頁）全五頁31980、34480 第五頁等 別：三等考試
（20 分）
參考架構・破題
本題考併組（pooled）樣本變異數的不偏性與變異數。關鍵在於兩個常態母體共用變異數 σ² 時，(ni − 1)si²/σ² 服從自由度 ni − 1 的卡方分配，且兩組樣本獨立；有了這個分配結果，期望值與變異數都只是卡方分配動差的套用。
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104 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
二因子（假設二因子皆固定的，fixed factors）變異數分析表如下：變異來源 平方和 自由度 均方 F值因子 1 450 2 A F1因子 2 3.5 3 B F2交互作用 246.5 C D F3誤差 E F G總和 750 23
（一）請填入表格中 A, B, C, D, E, F, G, F1, F2, F3 的數值。（10 分）
（二）在顯著水準 0.05 下，檢定因子 1, 因子 2, 和交互作用是否顯著（寫出虛無假設和對立假設，說明檢定統計量之分配及檢定之結果） 。（15 分）
（25 分）
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- 2
電器公司想了解冷氣機銷售量（y）和在電視上做廣告次數（x）之關係，隨機抽取之數據如下表：x y 4 52 7 59 3 43 5 56 6 56 3 40 9 65 5 50
（一）畫出 y 和 x 之散布圖並依散布圖寫出 y 和 x 的迴歸模式。 （5 分）
（二）迴歸模式中的參數之最小平方估計值為何？（10 分）
（三）以迴歸模式中的斜率估計值計算 y 和 x 的相關係數。（5 分）
（四）以（三）計算得的相關係數計算判定係數（coefficient of determination）。（5 分）（請接第二頁）全四頁32080 第二頁等 別：三等考試
（25 分）
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- 3
假設隨機變數 Xi，i = 1,2,…,n，為互相獨立的常態分配，期望值為 μ，且變異數為σ 2 。⎧1, 若 | X i − μ| ≤ 2σ令 p = P (| X i − μ |≤ 2σ ) ， I i = ⎨ ，且 M = ∑in=1 I i 。⎩0, 其他
（一）計算 p 值。（5 分）
（二）說明 M 之分配為何？（5 分）
（三）計算機率，P(M = 2 )。（5 分）
（四）計算 I i 之變異數。（5 分）
（五）以柴比雪夫定理（Chebyshev’s theorem）計算p值或p值之範圍。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題把「常態分配兩個標準差內的機率」與「指標變數加總」串在一起：Ii 是白努利變數，M = ΣIi 服從二項分配。最後一小題要用柴比雪夫定理給出 p 的下界，並與常態的精確值對照，考的正是「分配已知」與「只知變異數」兩種情形的差別。
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- 4
令隨機變數 X 和 Y 分別為兩獨立零件之壽命，其機率密度函數（pdf）分別為f X ( x ) = λ e − λx , x ≥ 0 ， f Y ( y ) = λ e − λy , y ≥ 0 。
（一）令隨機變數 Z 為產品之壽命，而產品之壽命即兩零件壽命之和。請推導出 Z 之 pdf，並說明 Z 為那個分配。（10 分）
（二）令 W = min(X, Y)，即 W 為兩零件壽命中之較短壽命，請推導出 W 的 pdf，並說明W 為那個分配。（10 分）
（三）計算機率，P(W < 10)，其中 W = min(X, Y)。（5 分）（請接第三頁）全四頁32080 第三頁等 別：三等考試附統計表：F 表和 Z 值表Critical Values of the F-Distribution: A = .05 f(F) A F 0 FA v1 NUMERATOR DEGREES OF FREEDOM v2 DENOMINATOR DEGREES OF FREEDOM（請接第四頁）全四頁32080 第四頁等 別：三等考試Cumulative Standardized Normal Probabilities
（25 分）
參考架構・破題
兩個獨立且參數相同的指數分配零件壽命，分別問「和」與「最小值」的分配。和服從伽瑪（Erlang）分配，最小值仍是指數分配但參數變成 2λ。推導時「和」用卷積最直接，「最小值」用存活函數最省力，不要硬算二重積分。
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103 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
設 X 與 N 為兩個離散隨機變數，N~P(λ)，X|N=n~Bin(n,p)。試求 X 之邊際分配，需說明分配名稱及參數。（10 分）計算 X 之動差母函數，Mx(t) 。（5 分）並由此計算：。（5 分）)。（5 分）
（25 分）
參考架構・破題
本題考「隨機參數的二項分配（混合分配）」，核心是用全機率法則對 N 加總，把 X 的邊際機率質量函數化簡成卜瓦松。先點明這是卜瓦松稀釋（Poisson thinning）的標準結果：X~Poisson(λp)，再用動差母函數求各階動差。
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- 2
設 X i ~N(μi,σi2), i=1,2,…,n，為一組獨立之常態分配。試說明： X i i n i 1 i 之精確分配。（10 分） X i i n 計算期望值 E( i 1 )。（5 分） i X i i n變異數 Var( i 1 )。 （5 分）i X i i n 當 n→∞，試寫出 之極限分配。（5 分）i 1 i
（25 分）
- 3
若 X i 1 ~U(θ,1)為一組來自均勻分配在區間(θ,1)之獨立同態的隨機樣本。n試寫出 θ 之參數空間。（5 分）試求 θ 之動差估計式，θMM。（5 分）試求一常數 c 使 c θMM 為 θ 之一不偏估計式。（5 分）試求 θ 之最大概似估計式，θMLE。（10 分）
（25 分）
- 4
設 ( xi , Yi )i 1 滿足一無截距之簡單線性迴歸模型 Y i = 1 xi i ，設 E(εi)=0，Var(εi)=σ2，n cov(εi , εj)=0，i j。試求 β1 之最小平方估計式（LSE）。（10 分）吾人若欲對此模型作推論，則於 εi 需加上何種分配的假設？（5 分）在題 之假設下，給定 α (0,1)之顯著水準，如何檢定此迴歸線是否顯著？（10 分）
（25 分）
102 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
回答下列問題：（每小題 5 分，共 20 分）
（一）「統計量（Statistics）」與「估計量（Estimator）」有何差異？
（二）「母體分配（Population Distribution）」與「抽樣分配（Sampling Distribution）」有何差異？
（三）「偏誤（Bias）」與「估計誤差（Error of Estimation）」有何差異？
（四）「標準差（Standard Deviation）」與「標準誤差（Standard Error）」有何差異？
（20 分）
參考架構・破題
四小題都在考同一條軸線：「母體層次 vs 樣本層次」與「隨機變數 vs 其實現值」。每小題先各給一句定義與符號，再用一句話點出差異，最後補一個例子（以 X̄ 估 μ），最容易拿滿分。
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- 2
信用卡公司主管根據過去紀錄，發現其公司有5%之信用卡客戶是不良的客戶，公司每年因為詐欺行為而造成的損失都非常可觀。該公司主管為了能夠更精確偵測客戶的詐欺行為，遂利用統計分析的方法來分析信用卡客戶可能的詐欺行為。根據過去客戶的消費及繳費資料，發現如果客戶是不良的客戶，則其繳費帳單逾繳超過二次以上之機率為 100%；如果是一般的客戶，則其繳費帳單逾繳超過二次以上之機率為 20%。
（一）如果現在有一客戶其繳費帳單已經逾繳二次，此客戶可能是不良的客戶之機率為何？（10 分）
（二）如果此信用卡公司新的政策是如果一客戶可能成為不良的客戶之機率超過 20%時，該信用卡公司便會取消該客戶之信用卡，請問（一）之客戶是否會被取消信用卡？（5 分）
（15 分）
- 3
（一）請寫出卜瓦松分配（Poisson Distribution）公式，並說明公式中符號所代表之意義。（3 分）
（二）請寫出指數分配（Exponential Distribution）公式，並說明公式中符號所代表之意義。（3 分）
（三）請說明卜瓦松分配與指數分配的差異點。（4 分）
（10 分）
參考架構・破題
卜瓦松分配與指數分配是同一個卜瓦松過程的兩面：前者數「單位期間內發生幾次」，後者數「兩次發生之間要等多久」。答題時先寫公式並逐一說明符號，第三小題再從「離散／連續」「計數／等候時間」「兩者的橋樑」三層比較。
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- 4
若從一組成對資料 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),L, ( xn , yn ) ，得到迴歸方程式為 yˆ = 6 − 8 x , n = 10 , x = 50 , y = 100 , γ xy = −0.7 。（每小題 10 分，共 20 分）
（一）若 重 新 令 x′ = x − x , y′ = y − y ， 再 利 用 y′ 對 x′ 建 立 迴 歸 方 程 式 yˆ ′ = βˆ ′ + βˆ ′x′ ，0 1求 β̂ 0′ = ？ β̂1′ = ？x−x y− y
（二）若重新令 x* = , y* = ，再利用 y* 對 x* 建立迴歸方程式 yˆ * = βˆ0* + βˆ1* x* ，Sx Sy求 β̂ 0* = ？ β̂1* = ？（請接第二頁）全四頁32080 第二頁等 別： 三等考試類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術i ⋅i ⋅ d 10
（20 分）
參考架構・破題
本題考線性變換對最小平方估計式的影響：中心化只平移資料，不改斜率而使截距為 0；標準化則讓斜率直接等於相關係數。全題用 β̂1=r×(Sy/Sx) 與 β̂0=ȳ−β̂1x̄ 兩條性質推導即可，不必重算 Σxy。
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- 5
設 X 1 , X 2 , L , X 10 ~ Bernoulli(p)，若 H 0 ： p = 0.3 vs. H1 ： p = 0.6 ，令 Y = ∑ X i ，i =1拒絕域 C = {Y ≥ 8}，試求：（每小題 10 分，共 20 分）
（一）型一錯誤的機率（α 風險）。
（二）型二錯誤的機率（β 風險）。12 12 12 12 12 六、已知： ∑ X i = 408 ， ∑ X i 2 = 18,447 ， ∑ Yi = 828 ， ∑ Yi 2 = 71,061 ， ∑ X iYi = 31,237 。i =1 i =1 i =1 i =1 i =1迴歸模型為 yi = β 0 + β1 xi + ε i 時：（每小題 5 分，共 15 分）
（一）試求最小平方迴歸直線。
（二）在 0.05 的顯著水準下，檢定迴歸線是否通過原點？
（三）在 0.05 的顯著水準下，檢定迴歸線是否與 X 軸平行？表一Example: If z =1.96, then P(0 to z)= 0.4750 z 0 1.96（請接第三頁）全四頁32080 第三頁等 別： 三等考試類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術表二1 1 α α α α 2 2 -t t -t 0 t 0 t -t 0 t Confidence interval Left-tailed test Right-tailed test Two-tailed test Confidence Intervals, c Confidence Intervals, c 80% 90% 95% 98% 99% 99.9% 80% 90% 95% 98% 99% 99.9% Level of Significance for One-Tailed Test, α Level of Significance for One-Tailed Test, α df 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005 df 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005 Level of Significance for Two-Tailed Test, α Level of Significance for Two-Tailed Test, α 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001（請接第四頁）全四頁32080 第四頁等 別： 三等考試類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術表三.05 0 F Degrees of Freedom for the Numerator Degrees of Freedom for the Denominator
（20 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
其他等別的「統計學（經建行政組）」
- 統計學（經建行政組）（高考三級）（69 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。