微積分　申論題歷屆試題與參考架構

113 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   試分別求下列的極限值：（每小題 15 分，共 30 分）

   （一） lim ∑ sin 。→

   （二） lim . ∫ ln( + 1) 。→

   （30 分）

   參考架構・破題

   （一）是黎曼和的極限，要認出它是某個定積分；（二）是「積分上限函數÷冪次」的不定型，用微積分基本定理配合羅必達法則處理。兩小題都要把每一步的理由寫出來，不能只寫答案。

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2. 2

   已 知 函 數 ( ) 滿 足 ∫ ( ) = ，試求 ( ) 的函數圖形在點(2, (2))之切線方程式。（20 分）

   （20 分）

3. 3

   若定義 ( ) = ， = ( , , )= + + ， ( , , )= ( ( , , ))，試計算∆ ∶= + + 。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題 H(x,y,z)=e^r / r，其中 r=√(x²+y²+z²)，是只與 r 有關的徑向函數。求三維拉普拉斯算子 ΔH = H_xx + H_yy + H_zz，關鍵是用連鎖律把對 x、y、z 的偏導換成對 r 的導數，得到徑向公式 ΔH = F''(r) + (2/r)F'(r)。答案為 ΔH = e^r / r（在原點以外）。

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4. 4

   令 = {( , )| 0 ≤ 3 + 4 ≤ 2, 0 ≤ 3 − 4 ≤ 2}，試計算下列重積分的值：∬ (9 + 16 ) 。（25 分）

   （25 分）

112 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   求函數 f ( x)  2 x3  3x 2  12 x  2 在區間  3, 3 之最大值及最小值。（15分）

   （15 分）

   參考架構・破題

   閉區間上的連續函數必有最大值與最小值（極值定理），作法是「找臨界點＋比較端點」，把所有候選值列表比大小。題目為 f(x)=2x³+3x²−12x+2，區間 [−3,3]。

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2. 2

   （一）求冪級數  n1 n( x  2) n 之收斂半徑（radius of convergence）及收斂區間（interval of convergence）。（15分）

   （二）求函數 f ( x)  1  x 在 x  0 之四階泰勒多項式（Taylor polynomial）。（15分）

   （30 分）

   參考架構・破題

   （一）冪級數 Σ(n=1→∞) n(x−2)^n，以比值檢定求收斂半徑，再逐一檢查兩個端點決定收斂區間；（二）以 f(x)=√(1+x) 在 x=0 展開到四次，可用逐次求導或二項級數。兩小題都是基本題，分數在過程完整。

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3. 3

   （一）求函數 f ( x, y )  xe xy 之所有一階及二階偏導數。 （10分）

   （二）求函數 f ( x, y )  x 2  y 2  xy  x  y 在點 (1, 2) 沿向量 u  3, 4  之方向導數（directional derivative）。（15分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   （一）對 f(x,y)=x·e^(xy) 求全部一階、二階偏導數，重點是乘積法則與連鎖律，並驗證混合偏導相等；（二）方向導數＝梯度與「單位」方向向量的內積，向量 u=⟨3,4⟩ 必須先單位化成 ⟨3/5, 4/5⟩。

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4. 4

   （一）求  xe 2 x dx 之值。（15分）1 x 2

   （二）求重積分   x 2  y 2 dydx 之值。（15分）0 0

   （30 分）

   參考架構・破題

   （一）∫x·e^(2x)dx 是典型分部積分（LIATE：x 當 u）；（二）二重積分 ∫(0→1)∫(0→x) √(x²+y²) dy dx 的積分區域是三角形 0≤y≤x≤1，被積函數含 x²+y²，應換成極座標，記得 Jacobian r。

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111 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   下列函數：（每小題 10 分，共 20 分）

   （一）在那些地方連續？那些地方不連續？請詳述理由。

   （二）在那些地方可微分？那些地方不可微分？請詳述理由。1  sin x, x  0 f (x)   x  1, x  0 y

   （20 分）

   參考架構・破題

   f(x) = sin x / x（x≠0），f(0) = 1。x≠0 時由初等函數的性質直接得連續可微；整題的重點在 x = 0，連續性看極限 lim sin x / x = 1，可微性要回到導數定義算 f'(0)。結論：f 處處連續、處處可微。

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2. 2

   求反三角函數 f (x, y )  tan 1 之所有二階偏微分。（20 分）x   t 1 1  

   （20 分）

   參考架構・破題

   f(x,y) = tan⁻¹(y/x)，先用反正切導數 d/du tan⁻¹u = 1/(1+u²) 與連鎖律求一階偏導，化簡成以 x²+y² 為分母的形式後，再用商法則求四個二階偏導。定義域為 x≠0。

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3. 3

   已知向量函數 f (t )   , , 2 2 且 f (0)  (3, 2,1)，求 t  1  t  1 t (t  1) (t  1)   f (t ) 。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   已知 f'(t) = ( t/(t+1−√(t+1)), 1/(√t(t+1)), 1/(t²+1)² ) 與 f(0) = (3,2,1)，向量函數的積分就是逐分量積分，再用初始條件決定三個常數。三個分量分別考根式代換、√t 代換、三角代換。

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4. 4

   求自然對數函數 f ( x )  ln x 對 x  a  0 這點展開的泰勒級數一般項公式及其收斂半徑。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   求 ln x 在 x = a > 0 的泰勒級數，先找出 n 階導數的一般式，代入泰勒公式得一般項，再以比值檢定求收斂半徑。結果：ln x = ln a + Σ(n=1→∞) (−1)^(n+1)(x−a)^n / (n·a^n)，收斂半徑 R = a。

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5. 5

   求 f ( x, y )  x 3  y 3  3 x  3 y 2 在區域 {( x, y )|0  x  3, 0  y  3} 的最大值和最小值，並分別找出產生最大值和最小值的所有點。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   有界閉區域上的連續函數必有絕對極值，作法是「內部臨界點＋邊界」比較。本題 f(x,y) = x³ + y³ − 3x − 3y² 可拆成 g(x) + h(y)，其中 g(x) = x³ − 3x、h(y) = y³ − 3y²，而區域是正方形 [0,3]×[0,3]，因此可分別求 g、h 在 [0,3] 的極值再相加，同時仍要依標準步驟交代。

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110 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   求積分之近似解：（20 分）t  e積分 A( x)   2 dt ，其中 x2 為很大的數值，求 A(x)之前兩項並估計0 x t誤差之數量級。

   （20 分）

2. 2

   擺線軌跡：若圓圈徑為 R，且往 x 方向之平移的速率為 U，圓圈轉動的速率為 V，U、V 均為定值。質點 P 固定在圓圈上，隨著圓圈移動及轉動，P 之初始位置在 x＝R 處。

   （一）寫出 P 點在任何時間 t 之坐標。（10 分）

   （二）寫出 P 點在任何時間 t 之速度。（10 分）

   （三）若 U＝V，求 P 點轉一圈的軌跡長度。（20 分）

   （40 分）

   參考架構・破題

   本題為微積分結合運動學之典型擺線參數式與弧長計算題。破題應先建立直角坐標系，將質點運動拆解為圓心沿水平方向等速平移與質點繞圓心等速旋轉之向量疊加，明確交代角速度與線速度關係，進而推導位置坐標、速度向量及純滾動下之弧長積分。

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3. 3

   求微分與不定積分：d (sin 1 x)

   （一） （10 分）dx

   （二）  sin 1 xdx （10 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   本題原式為反正弦函數 sin⁻¹x（即 arcsin x，轉檔時上標「−1」遺失）。第（一）小題考反函數微分，第（二）小題考分部積分，且第（二）小題正好會用到第（一）小題的結果，作答時應前後呼應。

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4. 4

   面積分，函數 f (x)  sin(x) ， g(x)  cos(x) ，如圖所示。5π/4 π/4求兩函數在灰色區域之面積。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   依原卷圖示，灰色區域是 f(x) = sin x 與 g(x) = cos x 兩曲線在相鄰兩交點 x = π/4 與 x = 5π/4 之間所圍的區域，在此區間 sin x 在上、cos x 在下。作答重點是：求交點、判斷上下曲線、列定積分、計算正確數值。

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109 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   令 h( x)  f ( g (x))+ 。已知 f (2)  g (1)  2， f (2)  g (1)  3，求f (2 x)  g ( x) h( x) 的函數圖形在點 (1, h(1)) 之切線方程式。（20分）

   （20 分）

2. 2

   試求不定積分  (e5 x cos 2 x  x sec x 2 )dx 。（20分）

   （20 分）

3. 3

   已知函數 F (r )  ，r  G ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 ， f ( x, y, z )  F (G ( x, y, z ))。r  f  f 2 f 2 2試求 2  2  2 。（20分）x y z

   （20 分）

4. 4

   已知函數 F ( x, y, z )  x  3 y  5 z，G ( x, y )  x 2  9 y 2 及 H ( x, z )  x  5 z。試求F ( x, y, z ) 在 G ( x, y )  2 與 H ( x, z )  1的條件下之最大值與最小值。（20分）y z 2

   （20 分）

5. 5

   試求下列積分  ( x   ) dxdydz ，此處V 3 5 V  {( x, y, z ) | x  0, y  0, z  0, 15 x  5 y  3 z  15} 。（20分）

   （20 分）

108 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   請求出函數 f ( x, y, z ) = 2 x + y − z 在區域 {( x, y, z ) : x 2 + y 2 + 2 z 2 ≤ 1}的最大及最小值。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   本題是有界閉區域上的多變數極值問題：f 為線性函數，梯度恆不為零，內部沒有臨界點，極值必落在邊界橢球面 x²+y²+2z²=1 上，用 Lagrange 乘數法（或柯西不等式驗算）求解。

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2. 2

   計算雙重積分值：（25 分）∫∫ 1 1 dxdy 0 y 1+ x 3

   （25 分）

3. 3

   設曲線 L = {( x, sin x ) : x ∈ [0, π 2]}，請求出 L 繞 x 軸一圈所產生的曲面的面積。（25 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   曲線 y=sin x（0≤x≤π/2）繞 x 軸旋轉，求旋轉曲面面積。套用旋轉面面積公式後，以變數變換 u=cos x 化成 ∫√(1+u²)du 的標準積分。

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4. 4

   設 P(t)是物種在時間 t 時的總數，經典的數學模型是以下的 logistic 模型：dP = αP (γ − P ) dt這時α 跟 γ 都是正的實數。請回答下列兩個問題：

   （一）假設初始物種總數為 P(0) = P0 且 0 < P0 < γ ，請問物種數的變化率，也就是 dP/dt，是否一直是遞增函數？如果不是，請問在物種數 P 等於多少時，dP/dt 的遞增或遞減性會產生改變？（15 分）

   （二）現在假設初始值 P0 為任一正數，請說明此時的 P(t)在 t → ∞ 會趨近於什麼值？這個趨近值跟 P0 有沒有關係？（10 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   Logistic 模型 dP/dt=αP(γ−P) 是自治微分方程。第（一）小題要看 dP/dt 本身隨時間的增減，即求 d²P/dt² 的符號（反曲點）；第（二）小題看平衡點與穩定性，說明 P(t)→γ 與初值無關。

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107 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   求 lim n → ∞ ⎜1 + ⎟ 。（15 分）⎝ 2n ⎠

   （15 分）

2. 2

   （一）求通過 x 2 + x − xy 3 + 2 y + 2 = 0 之圖形上一點 (1, 2) 之切線方程式。（15 分）

   （二）已知 f ( x ) = ，求 f (n ) (0) 。（15 分）1− x

   （30 分）

3. 3

   求 f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 3 y + 2 在點 (2, 3) 之最大方向導數（directional derivative）。（15 分）x2

   （15 分）

4. 4

   求函數 f ( x) = 在 c = 0 之泰勒級數（Taylor Series）。（15 分）2− x

   （15 分）

5. 5

   計算下列積分：2 1

   （一） ∫0 2 dx 。（10 分）x − 3 x − 10

   （二） ∫∫R xy 2 dA ，其中 R = {( x, y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0} 。（15 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   第（一）小題是有理函數的定積分，分母因式分解後用部分分式；第（二）小題積分區域是右半圓環，改用極座標最省力。

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106 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   試分別求下列的極限值：（每小題 10 分，共 20 分）

   （一） lim n 5n 。n →∞ n 5n + k − n

   （二） lim ∑ 3。n→∞ k =1 n d2 f

   （20 分）

2. 2

   已知函數 f (x ) 滿足 ∫0 f (t ) dt = x sin πx ，試求 2 (0.5) 。（20 分）x dx t +1

   （20 分）

3. 3

   已知函數 F (t ) = e ， t = G ( x, y , z ) = x + y + z ， f ( x, y , z ) = F (G ( x, y , z )) ，試求2 2 2 ∂2 f。（20 分）∂z 2

   （20 分）

4. 4

   已知函數 f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 12 x − 27 y + 30 ，試求 f ( x , y ) 的所有相對極大值（relative maximum）與相對極小值（relative minimum）。 （20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   兩變數函數求相對極值的標準題：先求臨界點（偏導數同時為 0），再用二階偏導數判別法（Hessian 判別式）逐點判定極大、極小或鞍點，最後代回求函數值。

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5. 5

   試分別求下列的積分值：（每小題 10 分，共 20 分）π

   （一） ∫02 e 2 x (sin x + cos x ) dx 。

   （二） ∫∫ e x dxdy ，其中 Ω 是以(0,0)，(1,3)及(1,0)為頂點的三角形。Ω

   （20 分）

   參考架構・破題

   （一）是指數乘三角函數的定積分，用分部積分兩次或直接套公式；（二）是三角形區域上的二重積分，關鍵在於把區域寫成適當的積分範圍並選對積分順序。

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105 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   求適當的實數 a 和 b 滿足下列極限等式ax + b − 3 lim = 1 。 （15 分）x →1 x −1

   （15 分）

   參考架構・破題

   題目應為 lim_{x→1} (√(ax+b) − 3)/(x − 1) = 1（請對照原卷）。分母趨近 0 而極限存在，分子必須同時趨近 0，得第一條方程式；再以有理化或導數定義求出第二條方程式。

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2. 2

   求函數 f ( x) = sin x 在 x = π / 2 的泰勒級數（Taylor series），且決定此級數的收斂區間（interval of convergence） 。（15 分）

   （15 分）

   參考架構・破題

   求 sin x 在 x = π/2 的泰勒級數，可直接計算各階導數在 π/2 的值，或利用 sin x = cos(x − π/2) 代入餘弦的馬克勞林級數；再以比值審斂法求收斂區間。

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3. 3

   在定義為 x 2 + 4 y 2 ≤ 24 的金屬橢圓盤上，每點的溫度函數為 T ( x, y ) = x 2 + 2 x + y 2 。求在金屬橢圓盤上溫度函數 T 最高溫和最低溫的值，並且求分別對應最高溫和最低溫的點。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   有界閉區域上連續函數的絕對極值：依極值定理必存在最大與最小值，分「內部臨界點」與「邊界」兩部分找候選點，最後比大小。

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4. 4

   假設一個 xyz 空間實體（solid）D 是由兩個圓柱x 2 + y 2 ≤ 1及 x 2 + z 2 ≤ 1所交集出來的空間區域。求此實體 D 的體積為何。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   兩個半徑 1 的圓柱垂直相交（Steinmetz 立體），利用對稱性與「固定 x 的截面為正方形」的切片法求體積。

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5. 5

   計算下列不定積分：x2

   （一）∫ dx 。（15 分）9− x 2

   （二） ∫ e 2 x cos 3 x dx 。（15 分）

   （30 分）

   參考架構・破題

   （一）被積函數含 √(9 − x²)，用三角代換 x = 3 sin θ；（二）指數乘三角函數，用兩次分部積分的循環法。題目應為 ∫x²/√(9 − x²) dx 與 ∫e^{2x} cos 3x dx（請對照原卷）。

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104 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   （一）求數列 { 2, 2 2 , 2 2 2 ,L} 的極限值。（15 分）5− x −2

   （二）求 lim 。（15 分）x →1 2 − x −1

   （30 分）

   參考架構・破題

   （一）遞迴數列 a₁ = √2、a_{n+1} = √(2a_n)，用單調有界定理證明收斂再解極限方程；（二）0/0 型根式極限，分子分母同時有理化。題目（二）應為 lim_{x→1}(√(5−x) − 2)/(√(2−x) − 1)（請對照原卷）。

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2. 2

   （一）已知 f ( x) = (e 2 x − ln 3x) 2 / 3 ，求 f ′(1) = ？（10 分）

   （二）已知 xe y + ye xz + x 2e x / y = 10 ，求 ∂z / ∂x 和 ∂z / ∂y 。（15 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   （一）合成函數求導，用連鎖律；（二）三變數隱函數求偏導數，用隱函數定理 ∂z/∂x = −F_x/F_z。題目（二）的方程請以原卷為準，以下按 x e^y + y e^{xz} + x² e^{x/y} = 10 說明。

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3. 3

   已知函數 f ( x, y ) = − y 2 − 2 x 2 + 3 y + 4 x + 5 定義在由直線 y = x ， y = 2 和 y = − x 所圍成的區域和邊界上。求其最大值和其最小值。（15 分）

   （15 分）

   參考架構・破題

   在三角形閉區域上求連續函數的絕對極值：找內部臨界點，再分三條邊界逐段化為單變數問題，最後連同頂點比較。

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4. 4

   計算下列的積分式：∫

   （一） x ln xdx 。（15 分）1 y

   （二）∫ ∫ x 2 + y 2 dxdy 。（15 分）0 −y

   （30 分）

   參考架構・破題

   （一）x ln x 用分部積分（u = ln x）；（二）二重積分區域為 0 ≤ y ≤ 1、−y ≤ x ≤ y 的三角形，被積函數應為 √(x² + y²)，適合改用極座標。上下限請以原卷為準。

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103 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   設 C 為攝氏溫度數，F(C)為華氏溫度數。 F(95)  203 ， F(5)  41 ，請計算 i998 F(40) 。（15 分）求 0 ix  dx ，n 為正整數。（5 分）1 n

   （20 分）

2. 2

   求 0  ix  dx 。（15 分）1 k k 1 i x 1

   （15 分）

3. 3

   求 lim x 。（20 分）x 1

   （20 分）

4. 4

   求 f(x)＝ 在 10  x  10 之所有極點（產生局部極大、極小值的點）和所有反1  (ix) 2曲點。（20 分） 

   （20 分）

5. 5

   令 D＝ (x, y) x 2  y 2  1 為單位圓，用極坐標 x  r cos  ， y  r sin  y x 2  y2 dxdy ＝ r 3 sin drd 。（5 分） (iy) (ix)  (iy) dxdy （20 分），可用 的公式。2 2 D

   （25 分）

102 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   （一）設 k ≥ 0 ，求 lim 。（10 分）n →∞ n k +1 ∞

   （二）求級數 ∑ [tan −1 (n + 1) − tan −1 n] 之和。（10 分）n =1

   （20 分）

   參考架構・破題

   （一）題目應為 lim_{n→∞}(1^k + 2^k + … + n^k)/n^{k+1}（請對照原卷），把它看成黎曼和轉成定積分；（二）反正切的差構成伸縮級數，求部分和再取極限。

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2. 2

   求下列積分：

   （一） ∫ e x dx （10 分）x2

   （二） ∫ dx （10 分）( 0 1+ x ) 2 2

   （20 分）

   參考架構・破題

   本題測驗基本積分技巧：（一）變數代換，（二）三角代換處理（1+x²）的次方。題目文字在轉檔時有缺漏，作答前請先對照原卷確認被積函數；以下依最可能的題意「（一）∫x·e^(x²) dx、（二）∫₀¹ dx／(1+x²)²」說明。

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3. 3

   （一） 設 z = x 2 + y 2 ( ) ，求 ∂∂xz 。（10 分）xy x

   （二） 設 f ( x) = ∫ te − t dt ，求 f (n ) (0) 。（15 分）

   （25 分）

   參考架構・破題

   （一）是變數同時出現在底數與指數的偏導數，要用對數微分法；（二）是變上限積分的高階導數，用微積分基本定理配合泰勒級數處理。題目文字有缺漏，以下依最可能的題意「z = (x²+y²)^(xy)」與「f(x) = ∫₀^x t·e^(−t²) dt」說明，作答前請先對照原卷。

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4. 4

   令 C 為拋物面 z = x 2 + y 2 與橢圓面 4 x 2 + y 2 + z 2 = 9 兩曲面之交線。求此曲線 C 在點(-1, 1, 2)的切線參數方程式。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   兩曲面交線上某點的切向量，同時垂直於兩曲面在該點的法向量，所以取兩個梯度向量的外積即為切線方向。

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5. 5

   一個圓形的雨滴落下時，遇到乾燥的大氣而蒸發，蒸發的速率與表面積成正比。求證雨滴的半徑以等速率遞減。（15 分）

   （15 分）

   參考架構・破題

   本題是相關變化率的應用：把「體積變化率與表面積成正比」寫成微分方程，再用連鎖律把 dV/dt 換成 dr/dt，即可證明 dr/dt 為常數。

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