微積分 申論題歷屆試題與參考架構
三等考試，民國 107～115 年共 9 份試卷、56 題，其中 36 題附參考答題架構。考這一科的類科：一般警察・消防警察人員。本頁列出歷年全部題目，參考架構只列開頭的「破題」，完整的答題架構、關鍵字與作答提醒請到站內查看。
115 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
假設函數 f ( x) 的導函數為 f ( x) ( x 1) 2 ( x 3)5 ( x 6) 4，請問在那些區間內函數 f ( x) 是遞增的？（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
已知導函數 f′(x) = (x − 1)²(x − 3)⁵(x − 6)⁴，題目要的是 f′(x) > 0 的區間。關鍵是看出偶次方因式恆非負，只有奇次方因式 (x − 3)⁵ 會讓 f′ 變號，再用符號表判斷遞增區間。
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- 2
假設函數 f ( x) 9 x 2 ， 0 x 3 ， a 8 。（15 分）證明 f ( x) 是一對一函數。試求 f ( x) 的反函數 f 1 ( x) ，且說明反函數 f 1 ( x) 的定義域和值域。試求 (f 1 )(a ) 。x2 x 6
（15 分）
參考架構・破題
本題 f(x) = 9 − x²，限制在 0 ≤ x ≤ 3，a = 8。考三件事：限制定義域後的一對一性、反函數的求法與定義域值域互換、反函數導數公式 (f⁻¹)′(a) = 1 / f′(f⁻¹(a))。
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- 3
令函數 f ( x) ，試求：（10 分）x2 lim g ( x) ，x 2 lim g ( x) ，x 2 lim g ( x) 。x 2
（10 分）
參考架構・破題
本題函數依常見題型推為 g(x) = (x² + x − 6) / |x − 2|，考單邊極限與雙邊極限的關係：分子可因式分解出 (x − 2)，再依 x 在 2 的左右兩側拆開絕對值，比較左右極限是否相等。
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- 4
假設 g ( x ) 9 x ，請利用微分的定義求 g ( x) 的微分式，同時說明 g ( x)和 g ( x) 的定義域。（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題 g(x) = √(9 − x)，指定用「導數的定義」求 g′(x)，不能直接套公式。核心技巧是分子有理化消去 h，最後再比較 g 與 g′ 的定義域差異（端點 x = 9 不可微）。
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- 5
試求由 y1 e x ， y2 xe x ，和 x 0 三條曲線所圍區域的面積。（15 分）
（15 分）
- 6
函數 y ( x) x3 12 x 12 ，試求：（15 分）函數的遞增或遞減區間，函數的相對極大值與相對極小值，以及函數的上凹或下凹區間，與反曲點。
（15 分）
- 7
一個質點的運動方程為 s(t ) t 3 3t ，其中位置 s 的單位是公尺（meter），時間 t 的單位是秒（second）。試求：（15 分）以時間 t 表示的速度函數和加速度函數。當速度為 0 時的加速度。
（15 分）
參考架構・破題
質點位置 s(t) = t³ − 3t（公尺），速度是位置對時間的一階導數、加速度是二階導數。先求 v(t)、a(t)，再解 v(t) = 0 求對應時刻的加速度，注意時間 t ≥ 0 與單位。
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114 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）x2 1
（一） F ( x) 2 為有理函數，請說明 F 的定義域及函數的連續性。x 1
（二）若 P 元存入銀行帳戶，年利率為 r ， n 為每年複利次數， t 年後帳戶餘額 A 的公式為：r A P(1 )nt n當 n 越大時，1 年後帳戶餘額 A 趨近於何值？
（20 分）
參考架構・破題
第（一）小題考有理函數的定義域與連續性：分母為 0 的點排除，其餘處處連續，並說明不連續點的類型。第（二）小題考複利極限：lim(n→∞)(1 + r/n)ⁿ = eʳ，即連續複利 A = Peʳ。
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- 2
令函數 f ( x) x 4 x3 3x 2 1，請討論函數圖形的凹性。（20 分）dC
（20 分）
- 3
某產品 x 單位的邊際成本為 32 0.04 x，若生產一單位的費用為 50 元，dx試求生產 200 單位的總成本為何？（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
邊際成本 dC/dx = 32 − 0.04x，總成本是邊際成本的反導函數。先不定積分得 C(x) 含常數 K，再用「生產一單位的費用為 50 元」即 C(1) = 50 定出 K，最後求 C(200)。
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- 4
求函數 f ( x) x 2 x 與 x 軸所圍成區域對 x 軸旋轉的立體體積。（20 分）x2 1
（20 分）
參考架構・破題
f(x) = −x² + x 與 x 軸圍成的區域繞 x 軸旋轉，用圓盤法（disk method）：先求與 x 軸交點定積分範圍，再算 V = π∫[f(x)]² dx。
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- 5
請證明常態機率密度函數 f ( x ) e 2 圖形的反曲點在 x 1。（20 分）2
（20 分）
參考架構・破題
標準常態機率密度函數 f(x) = (1/√(2π))e^(−x²/2)，要證明反曲點在 x = ±1。做法是求 f″(x)，利用 eˣ 恆正把 f″ 的正負化約為 x² − 1，再證明兩側凹性確實改變。
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113 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
Find formula for the composite function f o g and g o f with f ( x) 1 x and g ( x ) s 2 1 。（ 計 算 合 成 函 數 f o g 和 g o f 當 f ( x) and 1 x g ( x) s 2 1 ）（5 分）
（5 分）
參考架構・破題
本題考合成函數的定義：(f∘g)(x)=f(g(x))，(g∘f)(x)=g(f(x))，順序不同結果不同，並須交代定義域。依轉檔殘文推斷題目為 f(x)=1/x、g(x)=x²+1（原卷 g 中的加減號在轉檔時遺失，若原題為 x²−1，作法完全相同，只是定義域要另外排除 x=±1）。
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- 2
Show that the equation x 3 x 2 1 has at least one solution in the interval（證明方程式 x 3 x 2 1 在區間[ 1, 1] 內至少有一個解。）[ 1, 1] 。 （15 分）
（15 分）
參考架構・破題
存在性證明題，標準工具是中間值定理（Intermediate Value Theorem）：連續函數在端點函數值異號，則區間內必有零點。依轉檔殘文推斷方程式為 x³+x²=1（即 x³+x²−1=0）；若原卷符號為 x³−x²+1=0，端點代入後同樣一負一正，論證方式完全相同。
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- 3
Find dy / dx if y ln (sin 1 ( x 2 1) )。dy（求 y ln (sin 1 ( x 2 1) )的 。） （20 分）dx
（20 分）
參考架構・破題
本題考連鎖律（chain rule）搭配反三角函數 sin⁻¹（arcsin）的導數與對數函數導數，三層合成：最外層 ln、中間 sin⁻¹、最內層多項式。原卷 x² 與 1 之間的加減號在轉檔時遺失；注意若為 x²+1，因 x²+1≥1，arcsin 只在 x=0 有定義、函數無法微分，故題意應為 y=ln(sin⁻¹(x²−1))，作答時以 u=x²−1 計算並交代定義域。
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- 4
Let f ( x) x 2 px q . Find the values of p and q such that f 1 2 is an extreme value of f on [0, 2] . Is this value a maximum or minimum？（方程式 f ( x) x 2 px q 。求 p 和 q 的值，使得 f 1 2 是 f 在[0, 2] 上的極值。這個值是最大值還是最小值？） （25 分）dx dx
（25 分）
參考架構・破題
利用極值的必要條件：可微函數在區間內部取得極值處導數為 0（費馬定理），再加上 f(1)=2 的條件，兩條方程式解出 p、q；最後用二階導數或比較端點值判斷是最大或最小。題意為「f(1)=2 是 f 在 [0,2] 上的極值」。
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- 5
Find y if 2 x 1 and y (3) 1。（若 2 x 1 且 y (3) 1，求 y。）dy dy（20 分）
（20 分）
參考架構・破題
本題是最簡單的初值問題（initial value problem）：已知導函數 dy/dx=2x+1 與初始條件 y(3)=1，先求不定積分得通解，再以初始條件定出積分常數。原卷 2x 與 1 之間的符號依殘文推斷為加號；若原題為 2x−1，作法相同，結果見下方括號。
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- 6
Find the volume of the solid that is obtained when the region under the y x 1 over the interval [1, 4] is revolved about the x-axis.（求當區間[1, 4] 下 y x 1 圖形所圍成的區域繞 x 軸旋轉時所生成的固體體積。）（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
旋轉體體積題，區域繞 x 軸旋轉，用圓盤法（disk method）：V=π∫ₐᵇ[f(x)]²dx。依轉檔殘文推斷函數為 y=√(x+1)（根號在轉檔時遺失），區間 [1,4]；若原題為 y=√x+1，作法相同，只是平方展開不同，結果見下方括號。
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112 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
試求極限值lim 。（10 分）→
（10 分）
- 2
試利用隱微分法（implicit differentiation）運算
（一）求 + −6 = 0之切線斜率 。（10 分）
（二）求通過指定點（ , ）的切線方程式。（5 分）
（15 分）
參考架構・破題
曲線 x³+y³−6xy=0（笛卡兒葉形線，folium of Descartes）無法簡單解出 y，須用隱函數微分：把 y 視為 x 的函數，兩邊對 x 微分並用連鎖律，再解出 dy/dx；第二小題代入點 (4/3, 8/3) 求斜率寫切線。
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- 3
試求函數 ( ) = ( − 4)
（一）反曲點（Points of Inflection）（如果存在）。（7 分）
（二）並判斷凹性（Concavity）之開區間。 （8 分）
（15 分）
- 4
定積分∫ √ −
（一）請將以上定積分所欲求之面積區域畫出。（4 分）
（二）並計算定積分面積。（6 分）
（10 分）
- 5
兩曲線方程式 = , =4 −
（一）試求以上兩曲線方程式，繞著 x 軸旋轉轉動之物體體積。 （10 分）
（二）試求以上兩曲線方程式，繞著y = 6直線軸旋轉轉動之物體體積。（10 分）
（20 分）
- 6
試利用分部積分法，求不定積分∫ 。（15 分）√ f x x f x
（15 分）
參考架構・破題
求 ∫(2x+1)/√(x+4) dx，題目指定用分部積分法：∫u dv=uv−∫v du。取多項式 2x+1 為 u（微分後變常數）、(x+4)^(−1/2)dx 為 dv（容易積分），一次分部即可完成。
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- 7
請利用 f x lim x 0 x 求證 [ ]= 。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題要求由導數的定義 f′(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)−f(x)]/Δx 出發，證明 d/dx[sin x]=cos x。核心是正弦和角公式，以及兩個基本極限 lim(h→0) sin h/h=1 與 lim(h→0)(cos h−1)/h=0。
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111 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
f ( x) ln ，試求 f ( x) 。（10 分）2 x +1
（10 分）
- 2
在 x y 平面上，有一曲線的斜率為 3 x 2 1，且通過點 (1, 2)，試求此曲線。（10 分）dy
（10 分）
參考架構・破題
已知曲線上每一點的切線斜率 dy/dx=3x²+1，且曲線通過 (1,2)，等於解初值問題：積分得通解，再以通過點定出積分常數。原卷 3x² 與 1 之間的符號依殘文推斷為加號；若原題為 3x²−1，作法相同，結果見下方括號。
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- 3
假設 y tan 1 ( x x 2 1) ，試求 。（10 分）dx 3n 3
（10 分）
參考架構・破題
求 y=tan⁻¹(x+√(x²+1)) 的導數 dy/dx。考反正切函數導數 d/dx[tan⁻¹u]=u′/(1+u²) 配合連鎖律；本題巧妙之處在於化簡後結果非常簡潔：dy/dx=1/[2(1+x²)]。（題目後方的殘字為轉檔雜訊，所求應為 dy/dx。）
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- 4
試求 lim 1 。（10 分）n n x3
（10 分）
- 5
試求積分 dx 。（15 分）2 x3 x 2 x 1 0 1
（15 分）
參考架構・破題
本題轉檔後符號缺漏，依殘留字元判讀應為定積分 ∫₀¹ 2/(x³+x²+x+1) dx（分子 2、分母三次多項式、上下限 0 到 1），屬有理函數積分，核心是因式分解後做部分分式。若原卷形式不同，仍可沿用同一套「分解→拆項→逐項積分」流程。
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- 6
試求 dx 。（15 分） x 2 3 x 2
（15 分）
- 7
試求極平面上，在圓半徑 r 2 外部且在心臟線 r 2(1 cos ) 內部的面積。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
求極座標下「圓 r=2 外、心臟線 r=2(1+cos θ) 內」的面積（原式缺漏的符號依題意為 +；若是 1−cos θ，圖形對稱、答案相同）。關鍵是求交點決定積分範圍，再用兩曲線面積差公式。
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- 8
有一均勻物質薄片，其形狀是由 y sin x 與 y cos x 之間所圍成的圖形，圖形於第一象限內，且在 x 0 到 x / 4 的區域，假設此一物質的密度是常數 k，求此一薄片的質心。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
求 y=cos x（上）與 y=sin x（下）在 0 ≤ x ≤ π/4 所夾均勻薄片的質心（原式缺漏符號依題意為 π/4）。均勻密度 k 會約掉，質心等於形心，分別算面積、對 y 軸力矩 M_y、對 x 軸力矩 M_x。
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110 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
找出 f x x 2 之反函數。（10 分） 1 x, x0二、找出 f x 2 之極限值，當 x 趨近於 0 時。（10 分） x 4, x 0三、找出 y cos 1 x 3 之微分。（10 分）四、找出 y x 3 99 之微分。（10 分）五、找出 y x 3 之絕對最小值。（10 分）3x 2 8六、找出 f x 2 之水平漸近線。（10 分）x 16 d x 3 dx x2七、求 t dt 。（10 分）八、求 x 2 x 3 dx 。（10 分）2 3九、求 tan 1 2x dx 。（10 分）十、找出 y x3 2 之弧長從 0,0 到 1, 1 。（10 分）
（100 分）
參考架構・破題
本卷是十小題各 10 分的基本計算題，涵蓋反函數、分段函數極限、反三角微分、連鎖律、絕對極值、漸近線、微積分基本定理、分部積分與弧長。轉檔後多數式子缺符號，以下依可辨識部分整理各題方法；作答時每題寫出公式與關鍵步驟即可拿到大部分分數。
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109 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
試求極限值 lim 2 。（10 分） x x 0 sin x 2 f ( x) g ( x)
（10 分）
- 2
令 h( x) f g ( x) 。已知 f (1) g (1) 1， f (1) g (1) 2 ，求f ( x) g ( x) h(1) 。（15 分）
（15 分）
- 3
令 F ( x) 2 x 3 3x 2 12 x 18，求 F ( x) 在區間 2,3 上的最大值與最小值。（15 分） 1 t sin t 1 t cos t dt ， 試 求 函 數 G( x) 的 圖 形 在 點1 x 2
（15 分）
- 4
令 G ( x) 1, G(1) 之切線方程式。（15 分）
（15 分）
- 5
試求不定積分 e3 x cos3 x x 2 e2 x dx 。（15 分） 2 32
（15 分）
- 6
試求曲線線段 y x , 0 x 3 的長度。（15 分）x x
（15 分）
- 7
令區域 R 為曲線 y 1 與曲線 y 1 所包圍的區域。將區域 R 圍3 3繞 y 軸旋轉一圈，生成空間一實體 V。使用殼形法（Shell Method）求實體 V 的體積。（15 分）
（15 分）
108 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
定義函數 F ( x) = ∫sin x e dt 。試求 F ' (0) 之值。（10 分）（註：須在使用處說明所使用的定理或法則的名稱。）
（10 分）
- 2
試求適當的實數 a 和 b 滿足下列極限等式。（15 分）lim + + =0 →（註：須在使用處說明所使用的定理或法則的名稱。）x2 y2
（15 分）
- 3
試求橢圓 + = 1 與直線 x + y = 6 的（最短）距離。（15 分）9 16 x3 1
（15 分）
參考架構・破題
本題求橢圓 x²/9 + y²/16 = 1 與直線 x + y = 6 的最短距離。先判斷直線與橢圓是否相交：若相交，距離為 0；若不相交，最短距離發生在橢圓上「切線與已知直線平行」的點，再用點到直線距離公式計算。
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- 4
試求曲線線段 y = + ，1 ≤ x ≤ 4 的長度。（15 分）12 x
（15 分）
參考架構・破題
本題為弧長計算。題目文字有部分毀損，依殘存片段判讀曲線為 y = x³/12 + 1/x，1 ≤ x ≤ 4。此類題目的設計重點是 1 + (y')² 恰好可配成完全平方，開根號後積分變得簡單。
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- 5
導出下列遞迴公式：cos n −1 x sin x n − 1
（一） ∫ cos xdx = n + ∫ cos n −2 xdx, n ≥ 2 。（9 分）n n（註：只有導出此遞迴公式才給分。）
（二）並求 cos d 之值。（6 分）（註：可直接用上列遞迴公式求 cos d 之值。）
（15 分）
本題含圖表或公式，請對照原卷 PDF。
- 6
定義區域 為曲線 = + 1 和線 = 2 + 1所包圍的區域。讓區域圍繞 軸旋轉，生成空間一實體 。使用圓盤法（disk method）求出實體的體積。（15 分）（註：限使用圓盤法才給分。）
（15 分）
- 7
考慮弧線 = √4 − ， − 1 ≤ ≤ 1。試求將這個弧線圍繞 軸旋轉而獲得的旋轉曲面之面積。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題為旋轉曲面面積。題目文字有部分毀損，依殘存片段判讀為弧線 y = √(4 − x²)，−1 ≤ x ≤ 1，繞 x 軸旋轉。這是半徑 2 的上半圓的一段，旋轉後為球面的一帶（球帶），可用公式直接計算，也可用阿基米德球帶定理驗算。
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107 年（考試時間 120 分鐘） 原卷 PDF
- 1
一橢圓曲線表為 C : x 2 + 4 y 2 = 4 ，試求 C 於點 ( 2 , − 2 / 2 )之切線方程式。（10 分）
（10 分）
參考架構・破題
本題求橢圓 C：x² + 4y² = 4 在指定點的切線。題目文字有部分毀損，判讀切點為 (√2, −√2/2)；先驗證該點在橢圓上，再用隱函數微分求斜率，或直接使用二次曲線切線公式。
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- 2
已知曲線 y = 3 + 2 x − x 2 與點 ( x, y ) = (1, 2) 之最近距離為 d，試求 d 之值。（10 分）3x + sin( x) − 2
（10 分）
參考架構・破題
本題求拋物線 y = 3 + 2x − x² 上的點與 (1, 2) 的最短距離。做法是寫出距離平方函數再求極小值；本題的巧妙處在於拋物線頂點正是 (1, 4)，用 u = (x − 1)² 換元可大幅簡化計算。
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- 3
試求極限值 lim 。（10 分）x →− ∞ 2x2 + 1
（10 分）
- 4
試求極限值 lim (1 + x ) 1 / x 。（10 分）x → 0+ ∫
（10 分）
參考架構・破題
本題 lim(x→0⁺) (1 + x)^(1/x) 為「1 的無限大次方」型不定式，標準做法是取自然對數轉為 0/0 型，再用羅必達法則，最後以指數函數連續性還原，答案為 e。
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- 5
試求定積分 I = dx 之值。（15 分）1 x (1 + x ) 2
（15 分）
- 6
試求不定積分 I = ∫ (ln x )2 dx 。（15 分）
（15 分）
- 7
試求 y = 4 − x 2 與 y = x + 2 兩線所圍束區域之面積。（15 分）
（15 分）
- 8
一平面區域 D 由 x + y = a 、 x = 0 及 y = 0 所圍而成，令 D 對 x 軸旋轉一周所形成之實體體積為 V 且V = k π a 3 ，試求 k 之值。（15 分）
（15 分）
參考架構・破題
本題考「旋轉體體積」。區域 D 為以 (0,0)、(a,0)、(0,a) 為頂點的直角三角形，繞 x 軸旋轉後成為底半徑 a、高 a 的圓錐，以圓盤法積分求體積，再與 kπa³ 比較求 k。
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其他等別的「微積分」
- 微積分（普通考試）（55 題）
- 微積分（地方特考四等）（14 題）
題目來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）；參考架構為本站自撰，僅供準備方向參考，非官方標準答案。最後更新：。