微積分　申論題歷屆試題與參考架構

106 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   設函數 f ( x)  x1 / 3 ，求函數 f 對 x  8 的泰勒公式（Taylor formula）至第二階，並利用此結果證明 2  3 8.03  2.0025 。（20 分）

   （20 分）

2. 2

   試畫出兩函數 y  x3  2x 2 與 y  3x 之圖形於同一座標圖上，並求被此兩函數圍住區域的面積。（20 分）

   （20 分）

3. 3

   利用 Lagrange 乘數（multiplier），求 x 2  2 xy 於單位圓 x 2  y 2  1之最大值。（20 分）

   （20 分）

4. 4

   敘述級數積分檢定法（integral test for series）。（10 分）利用此檢定法，證明 k 11 / k 2 收斂，且其收斂值小於 2。（10 分）1 1 2

   （20 分）

5. 5

   求二重積分 0 x e y dydx 。（20 分）

   （20 分）

105 年（考試時間 120 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   計算下列各式：⎛ 1 1 ⎞

   （一） lim ⎜ − ⎟ 。（15 分）x →1 ⎝ ln x + x −1⎠ d3

   （二） 3 ln | 2 x + 1 | 。（15 分）dx

   （30 分）

   參考架構・破題

   本題考兩種基本計算：（一）∞−∞ 型不定式極限，先通分化成 0/0 型再用羅必達法則；（二）合成函數的高階導數，逐次微分找出規律即可。

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2. 2

   計算下列積分：5 x 2 + 20 x + 6

   （一）∫ 3 dx 。（15 分）x + 2x + x π sin x

   （二）∫ ∫ 0 0 (1 + cos x ) dydx 。（15 分）x2 − 2x + 4

   （30 分）

   參考架構・破題

   （一）是有理函數積分，分母可因式分解成 x(x+1)²，用部分分式法；（二）是二重積分，先對 y 積分（上限為 sin x），再化成單變數積分。

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3. 3

   試繪 f ( x) = 之圖形，並標出其所有極大點、極小點、反曲點與漸近線。x−2（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   函數 f(x)＝(x²−2x+4)/(x−2) 為有理函數，先用長除法改寫成 x + 4/(x−2)，就能同時看出斜漸近線、方便求導，再依一階、二階導數完成「描繪曲線」的標準步驟。

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4. 4

   求 f ( x, y ) = − x 3 − 2 y 2 + 4 xy + 1 之局部極大點、極小點與鞍點。（20 分）

   （20 分）

   參考架構・破題

   雙變數函數極值的標準題：求偏導數找臨界點，再以二階偏導數檢定（判別式 D＝f_xx f_yy − f_xy²）分類為局部極大、極小或鞍點。

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102 年（考試時間 90 分鐘）　原卷 PDF

1. 1

   計算下列各個題目：

   （一） ∫ 0 xe− x dx =？（15 分）1 2 d x

   （二） =？（15 分）dx x −1

   （30 分）

   參考架構・破題

   兩小題都是基本計算：（一）定積分用變數代換；（二）求導數用商的微分法則。題目在轉檔後符號不清，作答前請先對照原卷確認原式。

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2. 2

   假 如 T 是 一 個 四 面 體 ， 並 且 它 的 四 個 角 分 別 為 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) 和 (0,0,1) 。求 I = ∫∫∫ ydV 。（15 分）T

   （15 分）

   參考架構・破題

   在四面體 T（頂點 (0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)）上積分 y，關鍵是正確寫出三重積分的上下限：T 由三個座標平面與平面 x+y+z＝1 所圍。

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3. 3

   試問當 x ≥ 0 時，什麼函數的馬克勞林（Maclaurin）級數是x x2 ∞ ( −1) n 1− + −L = ∑ x n？2! 4! n = 0 ( 2n)!（請證明你的答案是正確的。）（10 分）

   （10 分）

   參考架構・破題

   級數 1 − x/2! + x²/4! − … ＝ Σ(−1)ⁿ xⁿ/(2n)!，與 cos t 的馬克勞林級數形式相同，只是 t^(2n) 換成 xⁿ；在 x≥0 時令 t＝√x，即可得函數為 cos√x。

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4. 4

   假如函數 f 在閉區間[0,1]是連續的，並且對於每一個 x 在閉區間[0,1]內， 0 ≤ f ( x) ≤ 1 。請證明在閉區間[0,1]內必定存在一個實數 c 滿足 f (c) = c 。（15 分）

   （15 分）

   參考架構・破題

   這是不動點定理的一維版本，標準證法是構造輔助函數 g(x)＝f(x)−x，檢查端點符號後套用中間值定理。

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5. 5

   已知函數 f ( x, y ) = 4 x − 8 xy + 2 y + 1 是在被直線 x＝0, y＝0 和 x＋y＝1 所包圍且在第一象限的三角形板上。求函數 f ( x, y ) 在所給的範圍下的絕對極大值和絕對極小值。（15 分）六、有一個以點(b,0)為中心且半徑為 a 的圓盤，其中 b＞a＞0。將這個圓盤繞著 y 軸旋轉後形成甜甜圈，求該甜甜圈的體積。（15 分）

   （30 分）

   參考架構・破題

   本題含兩題：第五題是封閉區域上的絕對極值（內部臨界點＋邊界逐段檢查＋頂點）；第六題是環面（甜甜圈）體積，可用殼層法或帕普斯定理。

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