高普考　108 年 高考三級 工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 17 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1. 1V 及 W 是有限維度的空間向量，T 為 V→W 的函數，下列敘述何者正確？

   1. (A) 若 T(x+y) = T(x)+T(y)，則 T 為線性變換
   2. (B) T 為一對一函數，若且唯若 N(T) = {0}，其中 N(T)為 T 的 Null space
   3. (C) 若 T 為線性變換，則 nullity(T) + rank(T) = dim(V)
   4. (D) 若 x1 , x2 ∈V ， y1 , y2 ∈W ，則必定存在一線性變換 T:V→W 使得 T ( x1 ) = y1 及 T ( x2 ) = y2

   正解：(C)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (C) 秩－零度定理：對線性變換 T:V→W，nullity(T)＋rank(T) ＝ dim(V)。

   ❌ (A) 僅滿足加法性尚不足，還須滿足純量乘法的齊次性。

   ❌ (B) N(T) ＝ {0} 等價於一對一的敘述僅在 T 為線性變換時成立，本項未限定 T 為線性。

   ❌ (D) 若 x₁、x₂ 線性相依而 y₁、y₂ 不相容，則不存在這樣的線性變換。

   📚 出處：線性代數－秩－零度定理。

2. 2試決定下列各個線性變換 T，何者不是一對一線性變換？

   1. (A) T:R2→R2, T ( x, y ) = ( y, x)
   2. (B) T:R2→R2, T ( x, y ) = ( x + y, x − y )
   3. (C) T:R2→R3, T ( x, y ) = ( x, y, x + y )
   4. (D) T:R2→R3, T ( x, y ) = ( x − y, y − x,2 x − 2 y )⎡1 1 1 1 ⎤ ⎡1 3 5 7⎤

   正解：(D)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (D) T(x,y) ＝ (x−y, y−x, 2x−2y) 在 x ＝ y 時皆映至零向量，核空間非僅含零向量，故非一對一。

   ❌ (A) 座標交換為可逆變換，屬一對一。

   ❌ (B) 係數矩陣 [[1,1],[1,−1]] 行列式為 −2，可逆。

   ❌ (C) 由前兩個分量即可還原 (x,y)，屬一對一。

   📚 出處：線性代數－線性變換的一對一判定。

3. 3矩陣A = ⎢ ⎥ ,B = ⎢ ⎥ ，試問 Rank(ATB)為何？⎣ 2 2 2 2⎦ ⎣2 4 6 8 ⎦

   1. (A) 1
   2. (B) 2
   3. (C) 3
   4. (D) 4⎡ 3 1⎤⎢ − ⎥

   正解：(A)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (A) A 的兩列成比例，rank(A) ＝ rank(Aᵀ) ＝ 1；rank(AᵀB) ≤ min{rank(Aᵀ), rank(B)} ＝ 1，且乘積不為零矩陣，故秩為 1。

   ❌ (B) 秩受 A 的秩限制，不可能為 2。

   ❌ (C) 3 超過可能的上限。

   ❌ (D) 4 更不可能。

   📚 出處：線性代數－矩陣乘積的秩。

4. 4求⎢ 2 2⎥ = ?⎢ 1 3⎥⎢⎣ 2 2 ⎥⎦⎡ 1 3⎤ ⎡ 3 1 ⎤ ⎡ 1 3⎤ ⎡ 1 3⎤⎢ − ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢− ⎥ ⎢− − ⎥

   1. (A) ⎢ 2 2 ⎥
   2. (B) ⎢ 2 2 ⎥
   3. (C) ⎢ 2 2 ⎥
   4. (D) ⎢ 2 2 ⎥⎢ 3 1 ⎥ ⎢ 1 − 3⎥ ⎢− 3 − 1 ⎥ ⎢ 3 −1 ⎥⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦3 3

   正解：(D)

5. 5線性轉換 L: R →R ，L(x,y,z) = (2x+3y+z,3x+3y+z,2x+4y+z)，試求其逆轉換為何？

   1. (A) L-1(x,y,z) = (-x+y,-x+z,6x-2y-3z)
   2. (B) L-1(x,y,z) = (-2x-3y-z,-3x-3y-z,-2x-4y-z)
   3. (C) L-1(x,y,z) = (0.5x+0.3y+z,0.3x+0.3y+z,0.5x+0.25y+z)
   4. (D) L-1(x,y,z) = (2x+y+z,x+3y+z,x+4y+z)⎡5 32 17 ⎤

   正解：(A)

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6. 6下列何者不是矩陣 ⎢⎢0 12 2 ⎥⎥ 的特徵值？⎢⎣0 − 2 7 ⎥⎦

   1. (A) 5
   2. (B) 8
   3. (C) 11
   4. (D) 141 1⎛ θ + 2π ⎞ ⎛ θ + 2π ⎞ iθ

   正解：(D)

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7. 7給定一複數函數為 f ( z ) = r cos⎜ 3⎟ + ir sin⎜ 3⎟，其中 z = x + yi = re ，請問在 π < θ ≤ 3π⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠範圍內，f (1+i) = ?3 3 17 17iπ − iπ iπ − iπ

   1. (A) 6 2e 4
   2. (B) 6 2e 4
   3. (C) 6 2e 12
   4. (D) 6 2e 12

   正解：(C)

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8. 8曲線 C: y = x2，從(0,0)到(2,4)，求 ∫ z 2 dz = ?C88 16 88 16 88 8 88 8

   1. (A) − − i
   2. (B) − + i
   3. (C) − i
   4. (D) − − i3 3 3 3 3 3 3 3∞nn

   正解：(A)

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9. 9求複變級數 ∑ ＿＿＿ ( z + i)2 n 之中心點（center）及收斂半徑（radius of convergence）：n = 0 n!

   1. (A) 中心點（center）為 i，收斂半徑為 e
   2. (B) 中心點（center）為-i，收斂半徑為 1/e
   3. (C) 中心點（center）為-i，收斂半徑為 1/ e
   4. (D) 中心點（center）為 i，收斂半徑為 e

   正解：(C)

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10. 10令 y = a cos(3x) + b sin(3x) + c cos(4 x) 為 微 分 方 程 式 y′′ + 9 y = 14 cos(4 x) 之 解 ， 其 中 y (0) = 0 ，y′(0) = 3 ，求 a+b+c 值？

    1. (A) 1
    2. (B) 3
    3. (C) 6
    4. (D) 8t

    正解：(A)

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11. 11求 sin(ωt ) 之拉普拉斯轉換（Laplace Transform），為下列何者？2ωs2 1 s s 2 − ω2

    1. (A) 2
    2. (B) 2
    3. (C) 2
    4. (D) 2(s + ω 2 ) 2 (s + ω2 ) 2 (s + ω2 ) 2 (s + ω2 )24 4

    正解：(C)

12. 12下列何者是微分方程式 y′′ − y′ + 2 y = x 2 + 1 的解？（選項中 c1 和 c2 為任意常數，而 a1 和 a2 為某x x特定常數。）2 2 2 2 2 2 2 2 4

    1. (A) c1 x + c2 x ln(x) + a1 + a2 x (ln(x))
    2. (B) c1x + c2 x ln(x) + a1x (ln(x)) + a2 x
    3. (C) c1x + c2 x4 + a1 + a2 x2
    4. (D) c1x + c2 x4 + a1x2 + a2 x4 ln(x)

    正解：(D)

13. 13請問 e −2 x cos x 是下列那一微分方程式的解？

    1. (A) y′′′ + 7 y′′ + 16 y′ − 10 y = 0
    2. (B) y′′′ + y′′ − 7 y′ − 15 y = 0
    3. (C) y′′ + 8 y′ + 17 y = 0
    4. (D) 3 y′′′ + 2 y′′ − 8 y′ − 16 y = 0

    正解：(B)

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14. 14下列何者不可能是 y′′ + Ay′ + By = 0 （A 和 B 為常數）的解？B. x2 D. e cos(2x + 3)xA.x C. ex+1∂ 2u 22 ∂ u ∂u 22 ∂ u

    

    正解：(B)

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15. 15若 c 為常數， 2 = c 與 = c 分別為偏微分波方程式（wave equation）及偏微分熱方∂t ∂x2 ∂t ∂x2程式（heat equation），則下列何者錯誤？

    1. (A) u (t , x) = sin 2t sin x 是偏微分波方程式之解−4t
    2. (B) u(t , x) = e cos 3x 是偏微分熱方程式之解
    3. (C) u(t , x) = e sin 3x 是偏微分波方程式之解t−t
    4. (D) u(t , x) = e sin x 是偏微分熱方程式之解2t

    正解：(C)

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16. 16若 f (t ) 之拉普拉斯轉換為 L{ f (t )} = F ( s)，則 L{t * e } 為何，其中符號”*”為迴旋積（convolution）？1 1 1 1A. B. C. 2 D. 2s( s − 2) s( s + 2) s ( s − 2) s ( s + 2)⎧ 0 if − 5 < x < 0 1 5 ⎛ nπ ⎞

    

    正解：(C)

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17. 17有一函數 F ( x) = ⎨ ，週期為 10，則傅立葉係數 bn = ∫ F ( x) sin ⎜ x ⎟dx 之值為⎩3 if 0 < x < 5 5 − 5⎝ 5 ⎠何？(1 − cos nπ ) 3(1 − cos nπ )

    1. (A) bn = 0
    2. (B) bn =
    3. (C) bn =
    4. (D) bn = 3nπ nπ⎧ x2⎪ ,−1 < x < 2

    正解：(C)

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18. 18連續隨機變數 X 具有機率密度函數 f ( x) = ⎨ 3 ，求機率 P (0 < X ≤ 1) 為何？⎪⎩ 0, 其他

    1. (A) 1/9
    2. (B) 2/9
    3. (C) 1/3
    4. (D) 4/9

    正解：(A)

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19. 19設隨機變數（random variable）X 和 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為⎧ 1 −( x / 4) −( y / 3) 0 < x < ∞ and 0 < y < ∞⎪ ef X ,Y ( x, y ) = ⎨12 , 。則機率 P[4 < X ≤ 12,0 < Y < ∞] 之值為何？⎪⎩ 0, elsewhere

    1. (A) e−3 − e−4
    2. (B) e−1 − e−3
    3. (C) e−1 − e−4
    4. (D) 2/3

    正解：(B)

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20. 20某連續隨機變數 X 之值域為[0,1]，密度函數為 f ( x) = 2 x ，試求期望值 E[X]為何？1 1 2A. B. C. D.13 2 3

    

    正解：(C)

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題目與標準答案來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）。最後更新：2026-10-04。