高普考　111 年高考三級工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 20 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (B) I + AB 不一定可逆：取 A = B = [[0,1],[−1,0]]，則 A、B、A + B = 2A 皆可逆，但 AB = A² = −I，故 I + AB = O 為奇異矩陣。
❌ (A) A、B 皆可逆，Aᵀ 與 B 的乘積必可逆。
❌ (C) I + A⁻¹B = A⁻¹(A + B)，兩因子皆可逆，故必可逆。
❌ (D) I + AB⁻¹ = (B + A)B⁻¹，兩因子皆可逆，故必可逆。
📚 出處：線性代數—可逆矩陣的乘積與因式分解技巧。
2（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (C) det(A) = 1(6 − 42) + 3(14) = 6；det(B) = 1(8 + 2) + 3(−4 − 5) = −17。det(2AᵀB⁻¹) = 2³ · det(A) ÷ det(B) = 8 × 6 ÷ (−17) = −48/17。
❌ (A) 12/17 漏乘純量 2 的三次方或符號有誤。
❌ (B) −12/17 未計入 2³ 的因子。
❌ (D) 48/17 符號錯誤（det(B) 為負）。
📚 出處：線性代數—行列式的乘法性質與純量倍數性質。
3（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (A) 轉移矩陣的各行即 B 的基底向量在 B′ 下的座標：第一行 (2,0,1) 對應 2(1,1,1) + 0(1,1,0) + 1(1,0,0) = (3,2,2)；第二行 (0,1,1) 對應 (2,1,0)；第三行 (1,3,0) 對應 (4,4,1)。
❌ (B) 各向量與座標組合的結果不符。
❌ (C) 誤將轉移矩陣的列（而非行）當作座標。
❌ (D) 向量分量與計算結果不符。
📚 出處：線性代數—基底轉換與轉移矩陣。
4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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5（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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7（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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8（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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9定義 i = −1 ，若 z = a + bi 為 z 2 − (6 − 2i ) z +17 − 6i = 0 之一解，且 ab > 0 ，則 a 2 + b 2 = ?
1. (A) 13
2. (B) 15
3. (C) 18
4. (D) 20
正解：(A)
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10定義 i = −1 ，複變數 z = x + iy 與其共軛複數 z = x − iy 。下列那一個複變函數為完整（entire），即在整個複數平面皆為可解析（analytic）？
1. (A) f ( z ) = izz
2. (B) f ( z) = x 2 + y 2 + i 2 xy
3. (C) f ( z ) = e− x (cos y − i sin y )
4. (D) f ( z) = z( z − i)( )∞ n
正解：(C)
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11複變級數 ∑ ＿＿＿之收斂半徑（radius of convergence）為何？ i = −1n=0 ＿＿＿ nn
1. (A) 1
2. (B) ∞
3. (C) 0
4. (D) γ(
正解：(B)
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12（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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13（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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14（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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15（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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16（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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17（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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18若 X 為一連續均勻分布（uniformly distributed）在區間 (0, 20) 之隨機變數，可計算得知 X < 10 之機率為 a， X > 12 之機率為 b， 8 < X < 16 之機率為 c，則 a + b + c = ？11 6 13 7A. B. C. D.10 5 10 5
正解：(C)
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19將一副正常的撲克牌（52 張牌包含四種花色：黑桃、方塊、紅心、梅花，每種花色各 13 張牌，ACE 為各花色點數 1 的牌）隨機均分為 4 疊，每疊各 13 張牌。這四疊牌每疊恰好包含一張 ACE牌的機率為何？1 927 783 2197A. B. C. D.13 2550 2450 20825
正解：(D)
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20（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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